Угол между двумя прямыми
30 мая 2011
Буду кратким. Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Таким образом, если вам удастся найти координаты направляющих векторов a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2), то сможете найти угол. Точнее, косинус угла по формуле:
Посмотрим, как эта формула работает на конкретных примерах:
Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены точки E и F — середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.
Поскольку ребро куба не указано, положим AB = 1. Введем стандартную систему координат: начало в точке A, оси x, y, z направим вдоль AB, AD и AA1 соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1. Теперь найдем координаты направляющих векторов для наших прямых.
Найдем координаты вектора AE. Для этого нам потребуются точки A = (0; 0; 0) и E = (0,5; 0; 1). Поскольку точка E — середина отрезка A1B1, ее координаты равны среднему арифметическому координат концов. Заметим, что начало вектора AE совпадает с началом координат, поэтому AE = (0,5; 0; 1).
Теперь разберемся с вектором BF. Аналогично, разбираем точки B = (1; 0; 0) и F = (1; 0,5; 1), т.к. F — середина отрезка B1C1. Имеем:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).
Итак, направляющие векторы готовы. Косинус угла между прямыми — это косинус угла между направляющими векторами, поэтому имеем:
Задача. В правильной трехгранной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, отмечены точки D и E — середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AD и BE.
Введем стандартную систему координат: начало координат в точке A, ось x направим вдоль AB, z — вдоль AA1. Ось y направим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью ABC. Единичный отрезок равен AB = 1. Найдем координаты направляющих векторов для искомых прямых.
Для начала найдем координаты вектора AD. Рассмотрим точки: A = (0; 0; 0) и D = (0,5; 0; 1), т.к. D — середина отрезка A1B1. Поскольку начало вектора AD совпадает с началом координат, получаем AD = (0,5; 0; 1).
Теперь найдем координаты вектора BE. Точка B = (1; 0; 0) считается легко. С точкой E — серединой отрезка C1B1 — чуть сложнее. Имеем:
Осталось найти косинус угла:
Задача. В правильной шестигранной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, отмечены точки K и L — середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AK и BL.
Введем стандартную для призмы систему координат: начало координат поместим в центр нижнего основания, ось x направим вдоль FC, ось y — через середины отрезков AB и DE, а ось z — вертикально вверх. Единичный отрезок снова равен AB = 1. Выпишем координаты интересующих нас точек:
Точки K и L — середины отрезков A1B1 и B1C1 соответственно, поэтому их координаты находятся через среднее арифметическое. Зная точки, найдем координаты направляющих векторов AK и BL:
Теперь найдем косинус угла:
Задача. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, отмечены точки E и F — середины сторон SB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.
Введем стандартную систему координат: начало в точке A, оси x и y направим вдоль AB и AD соответственно, а ось z направим вертикально вверх. Единичный отрезок равен AB = 1.
Точки E и F — середины отрезков SB и SC соответственно, поэтому их координаты находятся как среднее арифметическое концов. Выпишем координаты интересующих нас точек:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Зная точки, найдем координаты направляющих векторов AE и BF:
Координаты вектора AE совпадают с координатами точки E, поскольку точка A — начало координат. Осталось найти косинус угла:
Смотрите также:
- Задача 14: Угол между плоскостями сечения
- Видеоурок по задачам C2: расстояние от точки до плоскости
- Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
- Решение задач B12: №440—447
- Текстовые задачи про рельсы
- Задача B4: Семья из трех человек едет из Москвы в Нижний Новгород
Угол между прямыми на плоскости
Определение.
Углом между прямыми называется наименьший
из двух смежных углов, образованных
этими прямыми.
Для
решения вопроса о нахождении угла между
прямыми достаточно заменить прямые их
направляющими векторами и находить
острый угол между векторами.
Пусть
прямые ℓ1
и ℓ2
заданы общими уравнениями в прямоугольной
декартовой системе координат О
:
ℓ1:
= 0,
ℓ2:
= 0.
Направляющие
векторы этих прямых имеют координаты
1(В1,
– А1)
и
2(В2,
– А2).
Пусть угол между прямыми равен .
Тогда
cos
=
или
cos
=
.
(7)
При
решении задач часто сталкиваемся с
нахождением угла между прямыми, когда
прямые ℓ1
и ℓ2
задаются
уравнениями с угловым коэффициентом
(не забываем, что прямые ℓ1
и ℓ2
не параллельны оси Оу):
ℓ1:
,
ℓ2:
.
Если
переписать эти уравнения в общем виде,
то получим
ℓ1:
= 0,
ℓ2:
= 0.
Соответственно,
их направляющие векторы
1(1,
k1)
и
2(1,
k2),
и формула (7) принимает вид:
cos
=
.
Более
интересна формула для угла между прямыми
ℓ1
и ℓ2
:
=
.
Действительно,
,
(см. рисунок). Тогда
один из углов между прямыми ℓ1
и ℓ2
:
= |
|.
Так как
=
|
|
= |
|,
то
=
.
Замечание.
Если ℓ1
ℓ2,
то
– не существует и
= –1.
Взаимное расположение двух прямых на плоскости
Пусть
прямые ℓ1
и ℓ2
заданы общими уравнениями в О
:
ℓ1:
= 0,
ℓ2:
= 0.
Вопрос
о взаимном расположении двух прямых
можно решить алгебраическим путем, а
именно, исследуя решение системы линейных
уравнений
Как
известно, система имеет единственное
решение только в единственно случае,
когда коэффициенты при неизвестных не
пропорциональны
.
Следовательно,
1.
ℓ1
ℓ2
ℓ1
ℓ2
.
2.
ℓ1||ℓ2
ℓ1
ℓ2
(
).
3.
ℓ1
=
ℓ2
=
( прямые совпадают).
Расстояние от точки до прямой
Пусть
прямая ℓ задана общим уравнением в О
:
ℓ:
= 0.
Нормальный
вектор прямой имеет координаты:
.
Выберем произвольно точку М0(
)
и найдем расстояние от точки М0
до прямой ℓ.
Из
точки М0
опустим
перпендикуляр на прямую ℓ
и обозначим
основание
перпендикуляра
М1(
).
Так как М1
ℓ, то
= 0 и
С
= – (
).
(8)
Искомое
расстояние равно |М1М0|.
С другой стороны
||
и, следовательно, угол
между ними равен или 0, или .
Поэтому:
(
,
)
= |
|
|
|cos
=
|
|
|
|
=
|
|
.
Запишем
полученное равенство в координатной
форме.
Имеем:
(
.
Поэтому,
учитывая (8) получим:
(
,
)
=
=
=
.
Учитывая,
что скалярное произведение векторов
может быть отрицательным, будем
рассматривать его по абсолютной величине
и находим
|
|
= |
|,
|М1М0|
=
.
(9)
Знак
трехчлена Ах
+ Ву + С
Пусть
прямая ℓ задана общим уравнением в О
:
ℓ:
= 0.
Нормальный
вектор прямой имеет координаты:
.
От произвольной точки
прямой
ℓ откладываем представитель
вектора
.
Как
известно прямая ℓ разбивает плоскость
на две открытые полуплоскости, которые
обозначим
и ,
причем полуплоскость
содержит отрезок
.
Тогда,
как нетрудно заметить, если точка М(
)
расположена в полуплоскости ,
то угол между векторами
и
будет острый. Если точка М
расположена в полуплоскости ,
то угол между векторами
и
будет тупой. Рассматривая скалярные
произведения этих векторов, получим:
-
Если
точка М
расположена в полуплоскости ,
то (
,
)
> 0. -
Если
точка М
расположена
в полуплоскости ,
то (
,)
< 0.
Записывая
1 и 2 в координатной форме, получим:
М
>
0,
М
<
0.
Учитывая,
что точка
ℓ, (см (8)) получим:
М
> 0, (10)
М
< 0. (11)
Таким
образом, строгие неравенства (10), (11)
являются уравнениями открытых
полуплоскостей. Если неравенства
нестрогие, т.е.
≥ 0,
(12)
0.
(13),
то
они являются уравнениями полуплоскостей
(вместе с граничной прямой ℓ).
Пример.
В прямоугольной декартовой системе
координат на плоскости заданы точки:
А(2; −1), В(−1;
3), С(4; −5).
1)
Составить уравнения прямой АВ
в канонической,
параметрической и общей формах. Определить
координаты ее нормального вектора.
2)
Определить угловой коэффициент прямой
(АС)
и отрезки, отсекаемые ею на осях координат.
3)
Найти косинус угла между прямыми (АВ)
и (АС).
4)
Найти длину высоты треугольника АВС,
проведенной из вершины С и составить
уравнение прямой, содержащей этот
отрезок.
Решение.
1. Прямую (АВ)
можно задать точкой А(2;
−1) и вектором
,
тогда каноническое и параметрическое
задания данной прямой будут выглядеть
следующим образом:
(1)
и
где
R.
(2)
Из
канонического уравнения (1) равносильными
переходами получим ее общее уравнение:
,
.
(3)
Из
уравнения (3) найдем координаты нормального
вектора этой прямой:
.
2.
Аналогично пункту (1) можно получить
общее уравнение прямой (АС):
2x
+ y
− 3 = 0.
Откуда
y
= −2x
+ 3.
Следовательно,
угловой коэффициент этой прямой k
= − 2.
Уравнение
прямой (АС)
запишем в виде: 2x
+ y
= 3 и, разделив
обе части уравнения на 3, получим
.
Мы
получили уравнение прямой в отрезках.
Отсюда находим точки пересечения прямой
с осями координат:
,
B(0;3)
3.
Для нахождения косинуса угла между
прямыми (АВ)
и (АС)
используем следующую формулу:
,
где
–угл между прямыми,
k1,
k2
– угловые коэффициенты данных прямых.
Во второй части задания мы нашли k2
= −2.
Общее
уравнение прямой (АВ)
получено в первой части задания:
4x
+ 3y
− 5 = 0, откуда
и k1=
.
Следовательно,
.
Итак,
.
4
.
Длину
высоты
можно рассматривать как расстояние от
точки С(4;−5).до прямой (АВ):
.
Т
H
аким образом,
.
Формула расстояния от точки до прямой
известна:
.
Следовательно,
.
Итак,
|CH|=0,8.
Прямую
(CH)
можно задать точкой С(4;
-5) и нормальным
вектором
.
Поэтому −3
∙(x
− 4) + 4 ∙(y
+5)=0,
3x
— 4y
– 32 = 0 –
уравнение прямой (CH).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Векторы в пространстве и метод координат
Существует два способа решения задач по стереометрии
Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.
Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.
Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.
Система координат в пространстве
Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.
Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.
Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:
Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.
Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора:
Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:
Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма
Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .
Сумма векторов:
Разность векторов:
Произведение вектора на число:
Скалярное произведение векторов:
Косинус угла между векторами:
Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:
Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.
Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.
Запишем координаты векторов:
и найдем косинус угла между векторами и :
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.
Координаты точек A, B и C найти легко:
Из прямоугольного треугольника AOS найдем
Координаты вершины пирамиды:
Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.
Найдем координаты векторов и :
и угол между ними:
Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму.
3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1
Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.
Запишем координаты точек:
Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.
Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:
Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.
Плоскость в пространстве задается уравнением:
Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.
Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.
Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.
Покажем, как это делается.
Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).
Уравнение плоскости выглядит так:
Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.
Для точки M:
То есть A + C + D = 0.
Для точки N:
Аналогично для точки K:
Получили систему из трех уравнений:
.
В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.
Пусть, например, D = −2. Тогда:
;
.
Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:
.
Решив систему, получим:
Уравнение плоскости MNK имеет вид:
Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:
Вектор — это нормаль к плоскости MNK.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:
Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.
Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.
Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.
Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.
Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.
Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:
Напишем уравнение плоскости AEF.
Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.
Упростим систему:
.
Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.
Уравнение плоскости AEF:
Нормаль к плоскости AEF:
Найдем угол между плоскостями:
5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.
Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике»
Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».
Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?
«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.
Итак, AA1 = √3
Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .
Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:
Координаты вектора — тоже:
Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:
Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле
Получим:
Ответ:
Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.
Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.
Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:
6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.
Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат
Находим координаты вектора .
Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .
Найдем угол между прямой и плоскостью:
Ответ:
Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:
7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.
Построим чертеж и выпишем координаты точек:
Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D
Решим эту систему. Выберем
Тогда
Уравнение плоскости A1DB имеет вид:
Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:
В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Векторы в пространстве и метод координат» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023
Первая прямая проходит через заданные точки $Aleft(2,-4,-1right)$ и $Bleft(-3,5,6right)$, вторая прямая — через заданные точки $Cleft(1,-2,8right)$ и $Dleft(6,7,-2right)$. Найти расстояние между этими прямыми.
Пусть некоторая прямая перпендикулярна к прямым $AB$ и $CD$ и пересекает их в точках $M$ и $N$ соответственно. При таких условиях длина отрезка $MN$ равна расстоянию между прямыми $AB$ и $CD$.
Строим вектор $overline{AB}$:
[overline{AB}=left(-3-2right)cdot bar{i}+left(5-left(-4right)right)cdot bar{j}+left(6-left(-1right)right)cdot bar{k}=-5cdot bar{i}+9cdot bar{j}+7cdot bar{k}.]
Пусть отрезок, изображающий расстояние между прямыми, проходит через точку $Mleft(x_{M} ,y_{M} ,z_{M} right)$ на прямой $AB$.
Строим вектор $overline{AM}$:
[overline{AM}=left(x_{M} -2right)cdot bar{i}+left(y_{M} -left(-4right)right)cdot bar{j}+left(z_{M} -left(-1right)right)cdot bar{k}=]
[=left(x_{M} -2right)cdot bar{i}+left(y_{M} +4right)cdot bar{j}+left(z_{M} +1right)cdot bar{k}.]
Векторы $overline{AB}$ и $overline{AM}$ совпадают, следовательно, они коллинеарны.
Известно, что если векторы $overline{a}=x_{1} cdot overline{i}+y_{1} cdot overline{j}+z_{1} cdot overline{k}$ и $overline{b}=x_{2} cdot overline{i}+y_{2} cdot overline{j}+z_{2} cdot overline{k}$ коллинеарны, то их координаты пропорциональны, то есть $frac{x_{{it 2}} }{{it x}_{{it 1}} } =frac{y_{{it 2}} }{{it y}_{{it 1}} } =frac{z_{{it 2}} }{{it z}_{{it 1}} } $.
Имеем:
$frac{x_{M} -2}{-5} =frac{y_{M} +4}{9} =frac{z_{M} +1}{7} =m$, где $m$ — результат деления.
Отсюда получаем: $x_{M} -2=-5cdot m$; $y_{M} +4=9cdot m$; $z_{M} +1=7cdot m$.
Окончательно получаем выражения для координат точки $M$:
[x_{M} =2-5cdot m; y_{M} =-4+9cdot m; z_{M} =-1+7cdot m.]
Строим вектор $overline{CD}$:
[overline{CD}=left(6-1right)cdot bar{i}+left(7-left(-2right)right)cdot bar{j}+left(-2-8right)cdot bar{k}=5cdot bar{i}+9cdot bar{j}-10cdot bar{k}.]
Пусть отрезок, изображающий расстояние между прямыми, проходит через точку $Nleft(x_{N} ,y_{N} ,z_{N} right)$ на прямой $CD$.
Строим вектор $overline{CN}$:
[overline{CN}=left(x_{N} -1right)cdot bar{i}+left(y_{N} -left(-2right)right)cdot bar{j}+left(z_{N} -8right)cdot bar{k}=]
[=left(x_{N} -1right)cdot bar{i}+left(y_{N} +2right)cdot bar{j}+left(z_{N} -8right)cdot bar{k}.]
Векторы $overline{CD}$ и $overline{CN}$ совпадають, следовательно, они коллинеарны. Применяем условие коллинеарности векторов:
$frac{x_{N} -1}{5} =frac{y_{N} +2}{9} =frac{z_{N} -8}{-10} =n$, где $n$ — результат деления.
Отсюда получаем: $x_{N} -1=5cdot n$; $y_{N} +2=9cdot n$; $z_{N} -8=-10cdot n$.
Окончательно получаем выражения для координат точки $N$:
[x_{N} =1+5cdot n; y_{N} =-2+9cdot n; z_{N} =8-10cdot n.]
Строим вектор $overline{MN}$:
[overline{MN}=left(x_{N} -x_{M} right)cdot bar{i}+left(y_{N} -y_{M} right)cdot bar{j}+left(z_{N} -z_{M} right)cdot bar{k}.]
Подставляем выражения для координат точек $M$ и $N$:
[overline{MN}=left(1+5cdot n-left(2-5cdot mright)right)cdot bar{i}+]
[+left(-2+9cdot n-left(-4+9cdot mright)right)cdot bar{j}+left(8-10cdot n-left(-1+7cdot mright)right)cdot bar{k}.]
Выполнив действия, получаем:
[overline{MN}=left(-1+5cdot n+5cdot mright)cdot bar{i}+left(2+9cdot n-9cdot mright)cdot bar{j}+left(9-10cdot n-7cdot mright)cdot bar{k}.]
Поскольку прямые $AB$ и $MN$ перпендикулярны, то скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю, то есть $overline{AB}cdot overline{MN}=0$:
[-5cdot left(-1+5cdot n+5cdot mright)+9cdot left(2+9cdot n-9cdot mright)+7cdot left(9-10cdot n-7cdot mright)=0;]
[5-25cdot n-25cdot m+18+81cdot n-81cdot m+63-70cdot n-49cdot m=0.]
Выполнив действия, получаем первое уравнение для определения $m$ и $n$: $155cdot m+14cdot n=86$.
Поскольку прямые $CD$ и $MN$ перпендикулярны, то скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю, то есть $overline{CD}cdot overline{MN}=0$:
[5cdot left(-1+5cdot n+5cdot mright)+9cdot left(2+9cdot n-9cdot mright)-10cdot left(9-10cdot n-7cdot mright)=0;]
[-5+25cdot n+25cdot m+18+81cdot n-81cdot m-90+100cdot n+70cdot m=0.]
Выполнив действия, получаем второе уравнение для определения $m$ и $n$: $14cdot m+206cdot n=77$.
Находим $m$ и $n$, решив систему уравнений $left{begin{array}{c} {155cdot m+14cdot n=86} \ {14cdot m+206cdot n=77} end{array}right. $.
Применяем метод Крамера:
[Delta =left|begin{array}{cc} {155} & {14} \ {14} & {206} end{array}right|=31734; ]
[Delta _{m} =left|begin{array}{cc} {86} & {14} \ {77} & {206} end{array}right|=16638; ]
[Delta _{n} =left|begin{array}{cc} {155} & {86} \ {14} & {77} end{array}right|=10731;]
[m=frac{Delta _{m} }{Delta } =frac{16638}{31734} approx 0,5243; n=frac{Delta _{n} }{Delta } =frac{10731}{31734} approx 0,3382.]
Находим координаты точек $M$ и $N$:
[x_{M} =2-5cdot m=-0,6215; y_{M} =-4+9cdot m=0,7187; z_{M} =-1+7cdot m=2,6701;]
[x_{N} =1+5cdot n=2,691; y_{N} =-2+9cdot n=1,0438; z_{N} =8-10cdot n=4,618.]
Окончательно:
[Mleft(-0,6215;0,7187;2,6701right), Nleft(2,691;1,0438;4,618right).]
Окончательно записываем вектор $overline{MN}$:
$overline{MN}=left(2,691-left(-0,6215right)right)cdot bar{i}+left(1,0438-0,7187right)cdot bar{j}+left(4,618-2,6701right)cdot bar{k}$ или $overline{MN}=3,3125cdot bar{i}+0,3251cdot bar{j}+1,9479cdot bar{k}$.
Расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ — это длина вектора $overline{MN}$:$d=sqrt{3,3125^{2} +0,3251^{2} +1,9479^{2} } approx 3,8565$ лин. ед.
Угол между прямыми онлайн
С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
1. Угол между прямыми на плоскости
Прямые заданы каноническими уравнениями
1.1. Определение угла между прямыми
Пусть в двухмерном пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями
и
где q1=(m1, p1) направляющий вектор прямой L1, а q2=(m2, p2) направляющий вектор прямой L2.
Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 (рис.1).
Из определения скалярного произведения:
где |q1| и |q2| модули направляющих векторов q1 и q2 соответственно, φ -угол между векторами q1 и q2.
Из выражения (1.3) получим:
Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ1. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.
Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пример 1. Определить угол между прямыми
и
Решение. Прямая (1.5) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1)=(3, 4), а прямая (1.6) − q2=(m2, p2)=(− 3, 1). Для определения угла между прямыми (1.5) и (1.6) подставим значения m1, p1, m2, p2 в (1.4):
Упростим и решим:
Найдем угол φ
Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:
Ответ.
Угол между прямыми равен:
1.2. Условие параллельности прямых
Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:
Сделаем преобразования с выражением (1.7):
Таким образом условие параллельности прямых L1 и L2 имеет вид (1.8). Если m2≠0 и p2≠0, то (1.8) можно записать так:
Пример 2. Определить, параллельны ли прямые
и
Решение. Прямая (1.10) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1)=(3, 3), а прямая (1.11) − q2=(m2, p2)=(−2, −2). Тогда
Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.
Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.
1.3. Условие перпендикулярности прямых
Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:
Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие
Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые
и
Решение. Прямая (1.14) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1)=(3, 1), а прямая (1.15) − q2=(m2, p2)=(−2, 6). Тогда
Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.
Прямые заданы общими уравнениями
1.4. Определение угла между прямыми
Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями
и
Так как нормальным вектором прямой L1 является n1=(A1, B1), а нормальным вектором прямой L2 является n2=(A2, B2), то задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла φ между векторами n1 и n2 (Рис.2).
Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:
где |n1| и |n2| модули нормальных векторов n1 и n2 соответственно, φ -угол между векторами n1 и n2.
Из уравнения (19) получим
Пример 4. Найти угол между прямыми
и
Решение. Прямая (1.21) имеет нормальный вектор n1=(A1, B1)=(5, −2), а прямая (1.22) − n2=(A2, B2)=(1, 3). Задача определения угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла между векторами n1 и n2. Из определения скалярного произведения векторов имеем: (n1,n2)=|n1||n2|cosφ. Тогда
Подставляя значения A1, B1, A2, B2 в (1.23), получим:
Упростим и решим:
Найдем угол φ:
Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:
1.5. Условие параллельности прямых
Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:
С другой стороны условие параллельности прямых L1 и L2 эквивалентно условию коллинеарности векторов n1 и n2 и можно представить так:
Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A2≠0 и B2≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).
Пример 5. Определить, параллельны ли прямые
и
Решение. Прямая (1.26) имеет нормальный вектор n1=(A1, B1)=(4, 2), а прямая (1.27) − n2=(A2, B2)=(2, 1). Тогда подставляя значения A1, B1, A2, B2 в (1.24), получим
Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.
Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.
1.6. Условие перпендикулярности прямых
Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n1,n2)=0. Откуда
Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).
Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые
и
Решение. Прямая (1.29) имеет нормальный вектор n1=(A1, B1)=(4, −1), а прямая (1.30) − n2=(A2, B2)=(2, 8). Тогда подставляя значения A1, B1, A2, B2 в (28), получим
Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.
2. Угол между прямыми в пространстве
2.1. Определение угла между прямыми
Пусть в пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями
и
где q1=(m1, p1, l1) направляющий вектор прямой L1, а q2=(m2, p2, l2) направляющий вектор прямой L2.
Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 .
Из определения скалярного произведения:
где |q1| и |q2| модули направляющих векторов q1 и q2 соответственно, φ -угол между векторами q1 и q2.
Из выражения (2.3) получим:
Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.
Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пример 1. Определить угол между прямыми
и
Решение. Прямая (2.5) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(1, 1, 3), а прямая (2.6) − q2=(m2, p2, l2)=(− 3, 1, 2). Для определения угла между прямыми (2.5) и (2.6) подставим значения m1, p1, l1, m2, p2, l2 в (2.4):
Упростим и решим:
Найдем угол φ
Ответ.
Угол между прямыми равен:
2.2. Условие параллельности прямых
Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q1 и q2, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть
где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q1 и q2 пропорциональны, и, следовательно прямые L1 и L2 параллельны.
Условие параллельности прямых можно представить и так:
Отметим, что любую пропорцию нужно понимать как равенство ad=bc.
Пример 2. Определить, параллельны ли прямые
и
Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(3, 2, 4), а прямая (2.10) − q2=(m2, p2, l2)=(6, 4, 8). Тогда
Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.
Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.
Пример 3. Определить, параллельны ли прямые
и
Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(1, 2, 0), а прямая (2.10) − q2=(m2, p2, l2)=(2, 4, 0). Подставляя значения m1, p1, l1, m2, p2, l2 в (2.8), получим
Выражение (2.13) нужно понимать так:
Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.
Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.
2.3. Условие перпендикулярности прямых
Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:
Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие
Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые
и
Решение. Прямая (2.16) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(3, 2, 1), а прямая (2.17) − q2=(m2, p2, l2)=(4, −6, 0). Тогда
Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.