Как найти косинус угла между векторами калькулятор

© 2011-2023 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Векторы – одна из тем школьной программы. При вычислении угла между векторами можно использовать специальный калькулятор. Это онлайн-сервис, которым могут воспользоваться клиенты фриланс-биржи «Напишем». Он поможет ускорить процесс решения задач или проверить правильность выполнения заданий.

Особенности сервиса

Известно, то между векторами всегда образуется угол. Чтобы его вычислить, нужно знать длины векторов и использовать формулу для определения их скалярного произведения. Процедура состоит из двух действий. Определяется:

• косинус угла между векторами;
• сам угол.

Схематически угол между векторами изображают так:

Формула определения скалярного произведения выглядит так:

[ vec{a} cdot vec{b}=|vec{a}| cdot|vec{b}| cdot cos (varphi) ]

Косинус определяется по формуле:

[ cos (varphi)=frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot|vec{b}|} ]

Используя координатные соотношения, для вычисления косинуса угла между векторами используют следующую формулу:

[ cos (varphi)=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} cdot sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}} ]

Где [vec{a}=left{a_{x}, a_{y}, a_{z}right}] и [vec{b}=left{b_{x}, b_{y}, b_{z}right}].

Чтобы получить нужно е значение, данные подставляют в соответствующие окошки и нажимают клавишу «Решение».

Укажите размерность пространства
Укажите форму представления первого вектора
Укажите форму представления второго вектора

Задайте координаты первого вектора
a̅ =
{
;

}

Задайте координаты вектора b
b̅ =
{
;

}

Как найти угол между векторами

Чтобы вычислить угол между векторами a и b, где a = {a_x; a_y} и b = {b_x; b_y} необходимо:

1.Вычислить скалярное произведение векторов a и b.

2. Вычислить длину вектора a.

3. Вычислить длину вектора b.

4. Вычислить произведение длин векторов a и b.

5. Вычислить косинус α. Разделить скалярное произведение векторов на произведение длин векторов.

6. Вычислить арккосинус α.

Формулы вычисления угла между векторами

Если векторы a и b заданы координатами, где a = {a_x; a_y} и b = {b_x; b_y}, то косинус угла α вычисляется по формуле:

Если векторы a и b заданы координатами, где a = {a_x; a_y} и b = {b_x; b_y}, то угол в радианах вычисляется по формуле:

Если векторы a и b заданы координатами, где a = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z}, то косинус угла α вычисляется по формуле:

Если векторы a и b заданы координатами, где a = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z}, то угол в радианах вычисляется по формуле:

Если координаты обоих векторов заданы точками – вектора a задан точками A(x, y) и B(x, y), вектор b задан точками C(x, y) и D(x, y), то косинус угла α вычисляется по формуле:

Если координаты обоих векторов заданы точками – вектора a задан точками A(x, y) и B(x, y), вектор b задан точками C(x, y) и D(x, y), то угол α в радианах вычисляется по формуле:

Если координаты обоих векторов заданы точками – вектора a задан точками A(x, y, z) и B(x, y, z), вектор b задан точками C(x, y, z) и D(x, y, z), то косинус угла α вычисляется по формуле:

Если координаты обоих векторов заданы точками – вектора a задан точками A(x, y, z) и B(x, y, z), вектор b задан точками C(x, y, z) и D(x, y, z), то угол α в радианах вычисляется по формуле:

Если необходимо вычислить значение угла в градусах, то необходимо значение угла между векторами умножить на 180 и получившееся значение разделить на π

Примеры вычисления угла между векторами

Пример 1. Найдем угол между векторами плоскости. Координаты обоих векторов заданны точками.

Координаты точки А вектора AB: (5 ; 9)
Координаты точки B вектора AB: (-2 ; 11)
Координаты точки C вектора CD: (0 ; 12)
Координаты точки D вектора CD: (-3 ; 1)

Пример 2. Найдем угол между векторами плоскости.

Координаты вектора a: (5 ; 9)
Координаты вектора b: (-1 ; 7)

Пример 3. Найдем угол между векторами пространства. Координаты обоих векторов заданны точками.

Координаты точки А вектора AB: (7; 0.2 ; 69)
Координаты точки B вектора AB: (-1 ; 0 ; 2/8)
Координаты точки C вектора CD: (-4 ; -6 ; 2)
Координаты точки D вектора CD: (3 ; 0 ; 9)

Пример 4. Найдем угол между векторами пространства.

Координаты вектора a: (5 ; 1 ; 7)
Координаты вектора b: (2 ; 4 ; 6)

Ответ. $begin cos phi=frac<14> <15>end$

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу: