Чтобы найти косинус угла по клеточкам, следует вспомнить, что это собственно за величина — косинус.
По определению, косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Зная это определение мы очень легко можем найти косинус любого прямоугольного треугольника, нарисованного на клеточках. То есть если задан просто угол, мы достраиваем его до прямоугольного треугольника:
Разберем несколько случаев.
Катеты расположены вертикально и горизонтально. Тогда их длину определяем по клеточкам, а длину гипотенузы по теореме Пифагора.
Катеты расположены произвольно. Заключаем треугольник в прямоугольник и находим катеты и гипотенузу по теореме Пифагора для всех трех сторон. Дальше находим косинус как отношение по определению.
Например здесь катет АО находится как корень из 20 (16+4). Гипотенуза ОВ находится как корень из 37 (36+1). Их отношение — косинус угла АОВ.
Если треугольник АОВ не получается прямоугольным, то имеет смысл использовать теорему косинусов:
Угол на клетчатой бумаге. В этой статье мы с вами рассмотрим задачу, суть которой заключается в том, чтобы найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла, построенного на листе в клетку. Такие задания входят в состав экзамена по математике.
Способы решения существуют разные, их более трёх. Подход изложенный ниже можно было бы назвать универсальным. Если у вас найдутся задачи, которые вы таким способом решить не сможете, пришлите мне их, подберём другой. Углы могут быть построены следующим образом (примеры):
Итак, рассмотрим задание:
Найдите тангенс угла AOB. В ответе укажите значение тангенса, умноженное на 8.
Соединим точки А и В. Получили треугольник АОВ. На сторонах полученного треугольника построим прямоугольные треугольники так, чтобы эти стороны являлись гипотенузами.
Суть подхода такова: находим все стороны треугольника (это можно сделать по теореме Пифагора); далее используя теорему косинусов, мы можем найти косинус угла; зная косинус мы без труда найдём остальные тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс).
АВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 3,
ОВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 1,
OА является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 2,
По теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Из основного тригонометрического тождества можем найти sin AOB:
*Обратите внимание, что перед знаком корня у нас «+», так как угол острый (от 0 до 90 градусов). А синус острого угла имеет положительное значение.
Теперь можем найти тангенс:
Умножим результат на 8 и запишем ответ:
Ответ: 11
Ещё раз повторим: как бы не был построен угол, мы всегда можем достроить его до треугольника, найти стороны этого треугольника (используя теорему Пифагора), далее используя теорему косинусов найти косинус угла (заданного в условии). Затем не составит труда, используя основное тригонометрическое тождество, найти синус. Тангенс и котангенс далее не сложно найти по их формулам.
Ниже предложено самостоятельно решить задачи. При их решении на сайте использовались и другие способы (вы решите представленным выше):
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.
Посмотреть решение
Найдите тангенс угла AOB.
Посмотреть решение
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на половину корня из пяти.
Посмотреть решение
Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на два корня из пяти.
Посмотреть решение
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.
Посмотреть решение
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2 корня из двух.
Посмотреть решение
Найдите тангенс угла AOB.
Посмотреть решение
В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!
С уважением, Александр Крутицких.
*Делитесь информацией в социальных сетях )
— формула приведения. Строим дополнительный луч и рассматриваем нормальный прямоугольный треугольник.
В нем . Находим косинус как отношение прилежащего катета к гипотенузе. Теперь косинус искомого угла будет равен минус косинусу найденного.
Задача 53690 на клетчатой бумаге с размером клетки…
Условие
на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён угол, найдите косинус этого угла
математика
4496
Решение
★
Все решения
Достраиваем угол до прямоугольного треугольника АВС
∠ C=90 °
Катет АС=3 клеточкам
катет BC= 4 клеточкам
1 клеточка =1 см
АС=3 см
ВС=4 см
По теореме ПИфагора
AB^2=AC^2+BC^2=3^2+4^2=9+16=25
AB=5 cм
Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен
отношению прилежащего катета к гипотенузе:
[m]cos angle A= frac{AC}{AB}=frac{3}{5}=0,6[/m]
О т в е т .0,6
Написать комментарий
Найти угол, построенный на листке в клетку
Учитель математики МАОУ «ССОШ№2»
Королева Е.И.
2015-2016гг.
Давайте рассмотрим задачу, суть которой заключается в том, чтобы найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла, построенного на листе в клетку. Такие задачи входят в состав ЕГЭ по математике
(задание №6 в профильном уровне.)
Способы решения существуют разные, их более трёх.
Подход изложенный ниже можно было бы назвать универсальным
Углы могут быть построены следующим образом (примеры):
Задача№1.
Найдите тангенс угла AOB. В ответе укажите значение тангенса, умноженное на 8.
Соединим точки А и В. Получили треугольник АОВ. На сторонах полученного треугольника построим прямоугольные треугольники так, чтобы эти стороны являлись гипотенузами.
Суть подхода такова: находим все стороны треугольника (это можно сделать по теореме Пифагора); далее используя теорему косинусов, мы можем найти косинус угла; зная косинус мы без труда найдём остальные тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс).
АВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 3,
ОВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 1,
OА является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 2,
По теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Из основного тригонометрического тождества можем найти sin AOB:
*Обратите внимание, что перед знаком корня у нас «+», так как угол острый (от 0 до 90 градусов). А синус острого угла имеет положительное значение.
Теперь можем найти тангенс:
Умножим результат на 8 и запишем ответ:
Ответ: 11
Ещё раз повторим: как бы не был построен угол, мы всегда можем достроить его до треугольника, найти стороны этого треугольника (используя теорему Пифагора), далее используя теорему косинусов найти косинус угла (заданного в условии). Затем не составит труда, используя основное тригонометрическое тождество, найти синус. Тангенс и котангенс далее не сложно найти по их формулам.
Задача№2
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.
Задача№3
Найдите тангенс угла AOB.
Задача№4
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на половину корня из пяти.
Задача№5
Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на два корня из пяти.
Задача№6
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.
Задача№7
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2 корня из двух.
Задача№8
Найдите тангенс угла AOB.
Литература , сайты:
- ЕГЭ 4000 задач. под редакцией И.В.Ященко.
2.МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2016 -50 вариантов.
3.ФИПИ открытый банк заданий.
4. http://matematikalegko.ru
+приложение.
Удачи!!!