Как найти косинус зная косинус двойного угла

Автор: Виктория Андрианова, менеджер кафедры математики АПО.

Одна из моих учениц обучается в классе «Математическая вертикаль». Рассказала недавно, что начали изучать тригонометрию. Начало 9 класса и сразу тригонометрия. Так еще и на уроке геометрии. Сначала не поняла, начала разбираться в программе. И… мне захотелось этим поделиться.

Как показал опрос подписчиков нашей группы «Олимпиады по математике», большинству тригонометрические функции либо выводили через окружность единичного радиуса, либо вообще не выводили.

Я хочу показать достаточно простой и красивый способ их вывода через геометрию.

Классическое доказательство

Не берусь судить за все школы, но мне в 9 классе, как и большинству, все показывали через окружность с радиусом 1. Давайте сначала разберем это доказательство.

Косинус разности и косинус суммы

Чтобы вывести формулу косинуса суммы, отметим углы a и b так, как показано на рисунке ниже.

Из определений синуса и косинуса узнаем координаты точек А и В. Тогда вектор ОА равен (cos a, sin a), а ОВ равен (cos b, sin b). Также известно, что длины этих векторов равны 1. Давайте запишем скалярное произведение этих вектором двумя различными способами. Напомню необходимые формулы.

Тогда |OA|*|OB|*cos(a-b) = cos a * cos b + sin a * sin b. Но |ОА| = 1 и |ОВ| = 1.

Следовательно, cos(a-b) = cos a * cos b + sin a * sin b.

Формула для косинуса суммы доказывается аналогичным образом.

cos(a+b) = cos a * cos b — sin a * sin b.

Синус разности и синус суммы

Формулы синусов доказываются, когда мы уже вывели формулы для косинусов. Нужно только воспользоваться формулой приведения.

Формула синуса суммы доказывается подобным образом.

Доказательство через геометрию

Для начала давайте разберемся, что если у прямоугольного треугольника гипотенуза равна 1, то его катеты будут равны косинусу и синусу соответствующего угла.

Отсюда легко вывести основное тригонометрическое тождество. Достаточно записать теорему Пифагора для данного треугольника.

Косинус суммы

Когда мы разобрались со сторонами прямоугольного треугольника с единичной гипотенузой, выведем формулу косинуса суммы. Будем пользоваться следующей картинкой

Рассмотрим прямоугольный треугольник АНВ. В нем гипотенуза равна 1. Тогда длина отрезка АН является искомым cos (a+b). АН найдем путем вычитания из длины отрезка AD отрезок HD.

АС = cos (a) из треугольника АВС. Теперь мы можем найти АD из прямоугольного треугольника ACD. АD катет, прилежащий к углу b. Поэтому AD = AC * cos (b) = cos (a) * cos (b).

Заметим далее, что HD = BE (т.к. HDEB прямоугольник). ВС = sin (a) (из треугольника АВС). Тогда ВЕ = ВС * sin (b) = sin (a) * sin (b). НD = sin (a) * sin (b).

Отсюда искомый АН = cos (a+b) = cos (a) * cos (b) — sin (a) * sin (b).

Чтобы вывести формулу для косинуса разности, достаточно вместо угла b подставить угол -b.

cos (a-b) = cos (a) * cos (b) — sin (a) * sin (-b) = cos (a) * cos (b) +sin (a) * sin (b).

Синус суммы

Теперь выведем формулу синуса суммы при помощи той же картинки.

Синусом угла a+b будет отрезок ВН. Найдем его как сумму ЕС и CD.

ЕС = ВС * cos b. ВС = sin a. Тогда ЕС = sin (a) * cos (b).

CD = AC * sin b. AC = cos a. Отсюда CD = sin (b) * cos (a).

Наконец выразим ВН. ВН = sin (a+b) = sin (a) * cos (b) + sin (b) * cos (a).

Ну, а чтобы вывести синус разности, опять подставим в уже имеющуюся формулу угол -b.

sin (a-b) = sin (a) * cos (-b) + sin (-b) * cos (a) = sin (a) * cos (b) -sin (b) * cos (a).

Синус и косинус двойного угла

Конечно, зная формулы косинуса и синуса суммы, можно выразить формулы и для двойных углов. Но я предлагаю вам воспользоваться следующими картинками и вывести их самостоятельно.

Хочу заметить, что треугольники АВС в обоих случаях равны.