© 2011-2023 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com
Калькулятор онлайн.
Вычисление угла между векторами.
Этот калькулятор онлайн вычисляет угол между векторами в двух- или трехмерном пространстве.
Онлайн калькулятор для вычисления угла между векторами не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с
пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода чисел
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: ( -frac{2}{3} )
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: ( -1frac{5}{7} )
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Определение и основные свойства скалярного произведения векторов
Определение
Скалярным произведением двух ненулевых векторов ( vec{a} ) и ( vec{b} ) называется число (скаляр), равное произведению длин
этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов ненулевой, то угол не определен и скалярное произведение векторов
по определению полагают равным нулю.
Скалярное произведение векторов ( vec{a} ) и ( vec{b} ) обозначают ( vec{a} cdot vec{b} ). Итак,
( vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}||vec{b}|cos varphi )
где ( varphi ) — угол между векторами ( vec{a} ) и ( vec{b} )
Типичным примером скалярного произведения векторов в физике является формула работы:
( A = |vec{a}||vec{b}|cos varphi )
где вектор ( vec{a} ) — сила, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора ( vec{b} )
Рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения векторов.
1. ( vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a} ) (свойство перестановочности сомножителей)
2. ( (alpha vec{a} ) cdot vec{b} = alpha ( vec{b} cdot vec{a} ) ) (свойство сочетательности относительно умножения на число)
3. ( vec{a} cdot ( vec{b} + vec{c} ) = vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot vec{c} ) (свойство распределительности суммы векторов)
4. ( vec{a} cdot vec{a} = |vec{a}|^2 )
5. ( vec{a} cdot vec{b} = 0 ), если ( vec{a} bot vec{b} ) , и обратно, ( vec{a} bot vec{b} ) ,
если ( vec{a} cdot vec{b} = 0 ) и ( vec{a} neq vec{0}, ; vec{b} neq vec{0} ).
Выражение скалярного произведения через координаты векторов
Теорема
Если векторы ( vec{a} ) и ( vec{b} ) заданы своими координатами:
( vec{a} left( a_x; a_y; a_z right), ;; vec{b} left( b_x; b_y; b_z right) ), то их скалярное произведение можно
вычислить по формуле
( vec{a} cdot vec{b} = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z )
Следствие
Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов ( vec{a} left( a_x; a_y; a_z right) ) и
( vec{b} left( b_x; b_y; b_z right) ) является равенство
( a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z = 0 )
Следствие
Косинус угла между векторами ( vec{a} left( a_x; a_y; a_z right) ) , и ( vec{b} left( b_x; b_y; b_z right) ) определяется
равенством
$$ cos varphi = frac{ vec{a} cdot vec{b}}{ |vec{a}| |vec{b}| } =
frac{a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z}{sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} ; sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} } $$
Укажите размерность пространства
Укажите форму представления первого вектора
Укажите форму представления второго вектора
Задайте координаты первого вектора
a̅ =
{
;
}
Задайте координаты вектора b
b̅ =
{
;
}
Как найти угол между векторами
Чтобы вычислить угол между векторами a и b, где a = {ax; ay} и b = {bx; by} необходимо:
1.Вычислить скалярное произведение векторов a и b.
2. Вычислить длину вектора a.
3. Вычислить длину вектора b.
4. Вычислить произведение длин векторов a и b.
5. Вычислить косинус α. Разделить скалярное произведение векторов на произведение длин векторов.
6. Вычислить арккосинус α.
Формулы вычисления угла между векторами
Если векторы a и b заданы координатами, где a = {ax; ay} и b = {bx; by}, то косинус угла α вычисляется по формуле:
a = {ax; ay}
b = {bx; by}
Если векторы a и b заданы координатами, где a = {ax; ay} и b = {bx; by}, то угол в радианах вычисляется по формуле:
a = {ax; ay}
b = {bx; by}
Если векторы a и b заданы координатами, где a = {ax; ay; az} и b = {bx; by; bz}, то косинус угла α вычисляется по формуле:
a = {ax; ay; az}
b = {bx; by; bz}
Если векторы a и b заданы координатами, где a = {ax; ay; az} и b = {bx; by; bz}, то угол в радианах вычисляется по формуле:
a = {ax; ay; az}
b = {bx; by; bz}
Если координаты обоих векторов заданы точками – вектора a задан точками A(x, y) и B(x, y), вектор b задан точками C(x, y) и D(x, y), то косинус угла α вычисляется по формуле:
A = (Ax; Ay)
B = (Bx; By)
C = (Cx; Cy)
D = (Dx; Dy)
Если координаты обоих векторов заданы точками – вектора a задан точками A(x, y) и B(x, y), вектор b задан точками C(x, y) и D(x, y), то угол α в радианах вычисляется по формуле:
A = (Ax; Ay)
B = (Bx; By)
C = (Cx; Cy)
D = (Dx; Dy)
Если координаты обоих векторов заданы точками – вектора a задан точками A(x, y, z) и B(x, y, z), вектор b задан точками C(x, y, z) и D(x, y, z), то косинус угла α вычисляется по формуле:
A = (Ax; Ay; Az)
B = (Bx; By; Bz)
C = (Cx; Cy; Cz)
D = (Dx; Dy; Dz)
Если координаты обоих векторов заданы точками – вектора a задан точками A(x, y, z) и B(x, y, z), вектор b задан точками C(x, y, z) и D(x, y, z), то угол α в радианах вычисляется по формуле:
A = (Ax; Ay; Az)
B = (Bx; By; Bz)
C = (Cx; Cy; Cz)
D = (Dx; Dy; Dz)
Если необходимо вычислить значение угла в градусах, то необходимо значение угла между векторами умножить на 180 и получившееся значение разделить на π
Примеры вычисления угла между векторами
Пример 1. Найдем угол между векторами плоскости. Координаты обоих векторов заданны точками.
Координаты точки А вектора AB: (5 ; 9)
Координаты точки B вектора AB: (-2 ; 11)
Координаты точки C вектора CD: (0 ; 12)
Координаты точки D вектора CD: (-3 ; 1)
| cos α = | AB ⋅ CD | |
| |AB| ⋅ |CD| |
Решение:
1) Вычислим модуль (длину) первого и второго векторов:
|AB| =
(Bx — Ax)2 + (By — Ay)2
=
(-2 — 5)2 + (11 — 9)2
=
(-7)2 + 22
=
49 + 4
=
53
= 7.28010988928052
|CD| =
(Dx — Cx)2 + (Dy — Cy)2
=
(-3 — 0)2 + (1 — 12)2
=
(-3)2 + (-11)2
=
9 + 121
=
130
= 11.4017542509914
2) Вычислим произведение модулей векторов:
|AB| ⋅ |CD| =
53
⋅
130
=
6890
3) Вычислим координаты первого вектора по двум точкам A и B:
AB = {Bx — Ax ; By — Ay} = {-2 — 5 ; 11 — 9} = {-7 ; 2}
4) Вычислим координаты второго вектора по двум точкам C и D:
CD = {Dx — Cx ; Dy — Cy} = {-3 — 0 ; 1 — 12} = {-3 ; -11}
5) Найдем скалярное произведение векторов: AB и CD
AB ⋅ CD = ABxCDx + AByCDy = -7 ⋅ (-3) + 2 ⋅ (-11) = 21 + (-22) = -1
6) Вычислим косинус угла между векторами:
| cos α = | AB ⋅ CD | = |
| |AB| ⋅ |CD| |
| -1 /
6890 = -0.0120473184147734 |
||
7) Вычислим значение угла ∠α между векторами:
∠α = 1.58284393664908 Radians
∠α = 90.6902771978651° Degrees
Пример 2. Найдем угол между векторами плоскости.
Координаты вектора a: (5 ; 9)
Координаты вектора b: (-1 ; 7)
Решение:
1) Вычислим модуль (длину) первого и второго векторов:
|a| =
ax2 + ay2
=
52 + 92
=
25 + 81
=
106
= 10.295630140987
|b| =
bx2 + by2
=
(-1)2 + 72
=
1 + 49
=
50
= 5
2
= 7.07106781186548
2) Вычислим произведение модулей векторов:
|a| ⋅ |b| =
106
⋅
50
=
5300
3) Найдем скалярное произведение векторов: a и b
a ⋅ b = axbx + ayby = 5 ⋅ (-1) + 9 ⋅ 7 = -5 + 63 = 58
4) Вычислим косинус угла между векторами:
| cos α = | a ⋅ b | = |
| |a| ⋅ |b| |
| 58 /
5300 = 0.796691270902396 |
||
5) Вычислим значение угла ∠α между векторами:
∠α = 0.648995558996501 Radians
∠α = 37.1847064532332° Degrees
Пример 3. Найдем угол между векторами пространства. Координаты обоих векторов заданны точками.
Координаты точки А вектора AB: (7; 0.2 ; 69)
Координаты точки B вектора AB: (-1 ; 0 ; 2/8)
Координаты точки C вектора CD: (-4 ; -6 ; 2)
Координаты точки D вектора CD: (3 ; 0 ; 9)
| cos α = | AB ⋅ CD | |
| |AB| ⋅ |CD| |
Решение:
1) Вычислим модуль (длину) первого и второго векторов:
|AB| =
(Bx — Ax)2 + (By — Ay)2 + (Bz — Az)2
=
(-1 — 7)2 + (0 — 0.2)2 + (2/8 — 69)2
=
(-8)2 + (-0.2)2 + (-275/4)2
=
64 + 0.04 + (75625/16)
=
|CD| =
(Dx — Cx)2 + (Dy — Cy)2 + (Dz — Cz)2
=
(3 — (-4))2 + (0 — (-6))2 + (9 — 2)2
=
72 + 62 + 72
=
49 + 36 + 49
=
134
= 11.5758369027902
2) Вычислим произведение модулей векторов:
|AB| ⋅ |CD| =
1916241/400
⋅
134
=
641940.735
3) Вычислим координаты первого вектора по двум точкам A и B:
AB = {Bx — Ax ; By — Ay; Bz — Az} = {-1 — 7 ; 0 — 0.2 ; 2/8 — 69} = {-8 ; -1/5 ; -275/4}
4) Вычислим координаты второго вектора по двум точкам C и D:
CD = {Dx — Cx ; Dy — Cy; Dz — Cz} = {3 — (-4) ; 0 — (-6) ; 9 — 2} = {7 ; 6 ; 7}
5) Найдем скалярное произведение векторов: AB и CD
AB ⋅ CD = ABxCDx + AByCDy + ABzCDz = -8 ⋅ 7 + (-1/5) ⋅ 6 + (-275/4) ⋅ 7 = -56 + (-6/5) + (-1925/4) = -10769/20 = -538.45
6) Вычислим косинус угла между векторами:
| cos α = | AB ⋅ CD | = |
| |AB| ⋅ |CD| |
| -538.45 /
641940.735 = -0.672044318228661 |
||
7) Вычислим значение угла ∠α между векторами:
∠α = 2.30776235411475 Radians
∠α = 132.225043009951° Degrees
Пример 4. Найдем угол между векторами пространства.
Координаты вектора a: (5 ; 1 ; 7)
Координаты вектора b: (2 ; 4 ; 6)
Решение:
1) Вычислим модуль (длину) первого и второго векторов:
|a| =
ax2 + ay2 + az2
=
52 + 12 + 72
=
25 + 1 + 49
=
75
= 5
3
= 8.66025403784439
|b| =
bx2 + by2 + bz2
=
22 + 42 + 62
=
4 + 16 + 36
=
56
= 2
14
= 7.48331477354788
2) Вычислим произведение модулей векторов:
|a| ⋅ |b| =
75
⋅
56
=
4200
3) Найдем скалярное произведение векторов: a и b
a ⋅ b = axbx + ayby + azbz = 5 ⋅ 2 + 1 ⋅ 4 + 7 ⋅ 6 = 10 + 4 + 42 = 56
4) Вычислим косинус угла между векторами:
| cos α = | a ⋅ b | = |
| |a| ⋅ |b| |
| 56 /
4200 = 0.864098759787715 |
||
5) Вычислим значение угла ∠α между векторами:
∠α = 0.527439299499548 Radians
∠α = 30.2200458106607° Degrees
Онлайн калькуляторы
На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.
Справочник
Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!
Заказать решение
Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!
Угол между векторами онлайн
Наш онлайн калькулятор помогает найти угол и косинус угла между векторами всего за несколько минут. Для нахождения угла между двумя векторами выберите их размерность, введите все координаты и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор выдаст подробный ход решения и ответ! Калькулятор сам посчитает скалярное произведение векторов, вычислит косинус угла и сам угол. Каждый шаг будет детально расписан, это поможет вам проверить свое решение и понять, как был получен ответ.
Введите данные для вычисления угла между векторами
Форма представления векторов:
|
Формула : |
 |
Решили сегодня: раз, всего раз
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |
Решение. Для нахождения косинуса угла между заданными векторами, воспользуемся формулой
Ответ. $begin cos phi=frac<14> <15>end$
Нахождение угла между векторами
Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.
Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →
Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .
Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^
Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.
a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.
Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.
Нахождение угла между векторами
Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.
Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .
Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:
cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →
Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.
Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.
Решение
Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,
Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4
Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4
Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.
Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:
cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2
Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.
Решение
- Для решения задачи можем сразу применить формулу:
cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70
- Также можно определить угол по формуле:
cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,
но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70
Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70
Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.
Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .
Решение
Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )
Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13
Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13
Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:
A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,
b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^
и отсюда выведем формулу косинуса угла:
cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →
Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.
Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_13_9.php
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/nahozhdenie-ugla-mezhdu-vektorami-primery-i-reshen/