|
Как найти тангенс угла, если известен косинус? Как найти котангенс угла, если известен косинус?
Итак, читаем внимательно условие вопроса, и вспоминаем, чему нас учили в школе, у нас есть косинус угла, и этого окажется вполне достаточным для того, чтобы мы выполнили задание автора вопроса и нашли тангенс и котангенс данного угла. Вспоминаем, что мы можем найти, зная косинус, конечно-же, мы сразу можем найти синус, это очень легко, и в этом нам поможет вот это волшебное тождество и то, что из него следует, — формула для нахождения синуса: Теперь, зная чему равен синус угла, через косинус, проще простого решать дальше по известным формулам для нахождения тангенса и котангенса, просто подставляя в них эти формулы для синуса, которые я разместила выше: система выбрала этот ответ лучшим
Ксарфакс 5 лет назад Для того, чтобы найти тангенс и котангенс через косинус, достаточно вспомнить тригонометрические формулы: tgα = sinα / cosα. ctgα = cosα / sinα. Так как косинус известен, то синус можно найти из основного тригонометрического тождества: sin²α + cos²α = 1. sinα = √(1 — cos²α), если угол α находится в 1 и 2 четверти. sinα = — √(1 — cos²α), если угол α находится в 3 и 4 четверти. Таким образом: tgα = ± √(1 — cos²α) / cosα. ctgα = ± cosα / √(1 — cos²α). Так как произведение тангенса и котангенса = 1, то ctgα также можно найти из формулы: ctgα = 1 / tgα. Пример Косинус угла α равен 0,94, при этом α находится в 1 четверти (0 < α < 90). Нужно найти тангенс и котангенс. Воспользуемся формулой: tgα = √(1 — cos²α) / cosα. В первой четверти синус и косинус больше 0, поэтому тангенс и котангенс также будут положительными. tgα ≈ 0,34 / 0,94 ≈ 0,36. Соответственно ctgα ≈ 1 / 0,36 ≈ 2,78.
Лара Изюминка 6 месяцев назад В школе изучают следующую тригонометрическую формулу: Косинус в квадрате альфа равно единица разделить на сумму единицы и тангенса в квадрате альфа. Из этой формулы легко выразить тангенс в квадрате альфа. Он очевидно равен 1 деленная на косинус в квадрате альфа и из этой дроби нужно вычесть один, а можно еще преобразовать как на картинке. Ну, а для того чтобы выразить котангенс, нужно вспомнить , что произведение тангенса и котангенса равно единице, тогда просто меняем числитель и знаменатель местами и получается формула для нахождения котангенса через косинус. Ну, а знак тангенса и котангенса определяем по той четверти, в которой находится угол. Если это первая и третья четверти, то плюс, иначе минус.
bezdelnik 5 лет назад tg а = Sin a/Cos a. Чтобы выразить тангенс через косинус осталось выразить синус через косинус. Для этого воспользуемся основной тригонометрической формулой (Sin a)^2 +/(Cos a)^2 = 1. Тогда (Sin a)^2 = 1 — (Cos a)^2, Sin a = √(1 — (Cos a)^2), а tg = √(1 — (Cos a)^2)/Cos a. Например, при а= 60 градусов Cos 60° = 0,5, tg = √(1 — 0,25)/0,5 = √(0,75)/0,5 = √(3*0,25)/0,5 = (0,5*√3)/0,5 = √3 = 1,732… . ctg a = Cos a/Sin a, то-есть величина обратная tg а, и при а = 60° ctg 60° = 1/√3 = √3/3 = 0,57735… .
127771 3 года назад Первым делом стоит вспомнить определение тангенса и котангенса, а именно: То есть получаются следующие формулы: tg(x) = sin(x) / cos(x) ctg(x) = cos(x) / sin(x) Из условия задачи нам известен косинус, значит нам нужно будет найти синус. Для этого есть такая формула: sin^2(x) + cos^2(x) = 1 Значит: sin^2(x) = 1 — cos^2(x) sin(x) = √(1 — (Cos a)^2) Теперь у нас есть значения синуса и косинуса, которые можно будет подставить в следующие формулы:
Rafail 5 лет назад Наверное все помнят основное тождество тригонометрии: sin^2(x)+cos^2(x)=1. Почему-то также чётко я запомнил следующие простые формулы: tg^2(x)+1=sec^2(x) и ctg^2(x)+1=cosec^2(x). Ну и три определения: sec(x)=1/cos(x), cosec(x)=1/sin(x) и ctg(x)=1/tg(x). Теперь осталось выбрать нужные и применить. Допустим, cos(x)=(√3)/2, тогда sec(x)=2/√3, sec^2(x)=4/3, tg^2(x)=1/3, tg(x)=1/√3, ctg(x)=√3.
Зайцевана 5 лет назад Пусть cosa = 1/2, тогда tga^2 = 1/(cosa)^2-1, (tga)^2 =1/0,25 — 1 = 3, tga =корень квадратный из 3, (со знаком + или — в зависимости в какой четверти находится а). ctga = 1/корень из 3.
Синус, косинус, тангенс и котангенс угла — это тригонометрические функции. Можно сказать, что все они связаны между собой. Часто для нахождения одной из этих функций при условии, что известна другая, приходится вспоминать основные тригонометрические равенства или тождества, а также определение самих этих понятий. Зная все перечисленное выше, несложно выразить одну функцию через другую. Тангенс угла — это отношение синуса этого угла к его косинусу. Котангенс угла — это отношение косинуса угла к его синусу. Нам известен косинус, из основного тригонометрического тождества ( sin²α + cos²α = 1 ) выразим синус: sinα = √(1 — cos²α) для α из 1 и 2 четвертей, sinα = -√(1 — cos²α) для α из 3 и 4 четвертей. Подставив формулу для синуса угла в формулу тангенса и котангенса, получим формулы для вычисления значений этих функций: tgα = ± √(1 — cos²α) / cosα, ctgα = ± cosα / √(1 — cos²α). Котангенс, впрочем, можно вычислить путем попроще, вспомнив, что тангенс и котангенс — функции обратные, то есть ctgα = 1 / tgα. Подставляем в формулу значение тангенса и вычисляем котангенс.
Если вам требуется найти тангенс и котангенс при помощи косинуса, то вам предстоит воспользоваться определенной тригонометрической формулой:
при которой вы сможете отыскать синус из данной формулы, при том, что мы имеем известный косинус. Получившаяся формула выглядит таким образом:
Теперь, нам следует подставить значение синуса в формулу вычисления тангенса, а именно речь идет о : Теперь подставим аналогичную формулу через косинус для котангенса:
TheSun 3 года назад Для нахождения тангенса и котангенса через косинус необходимо воспользоваться приведенной ниже тригонометрической формулой: Находим синус из формулы указанной выше (при условии, что косинус нам известен), получается: Подставляем в формулу вычисления тангенса значение синуса: tg? = sin? / cos? = ± ?(1 — cos??) / cos?. Теперь аналогично для котангенса через косинус. ctg? = cos? / sin? = ± cos? / ?(1 — cos??).
Все функции мы знаем из курса тригонометрии, и в это же время проходят и алгоритм нахождения тангенса/котангенса через косинус. Ну как следует из вопроса косинус нам известен. Если нет, то находим по формулам — Имея на руках значения двух вводных — синуса и косинуса, далее еще проще действовать по формулам нахождения тангенса и котангенса. Знаете ответ? |
Тригонометрия — это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции, их свойства, взаимосвязи и применение.
Слово «тригонометрия» образовано от греческих слов «trigonom» (треугольник) и «metreo» (измерять).
Возникновение и развитие тригонометрии связаны с практическими потребностями в измерении и вычислении сначала элементов треугольников на местности, а позднее — в строительстве, мореплавании и астрономии. Современная тригонометрия широко применяется в разных областях математики, в частности в геометрии, других науках, в технике. Например, тригонометрические функции используются при решении задач оптики, задач кинематического анализа и синтеза механизмов, гармонического анализа и других.
Cинус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника
Нет понятий «просто синус» или «просто косинус», не имеют смысла записи типа «sin» и «cos» сами по себе, они сами по себе никакой величины не обозначают (точно так же, как и, например, значок квадратного корня сам по себе). Те, кто этого не понимает, часто делает грубую ошибку типа: sin x /cos x = in /co
Есть понятие синуса, косинуса, тангенса, котангенса как тригонометрических функций угла. Здесь угол — аргумент функции. Он может обозначаться «х», «а», «альфа», «бета», «гамма», «фи», «дельта» или ещё какой-нибудь буквой. Суть от этого не меняется.
Для того, чтобы более наглядно представить приведенные ниже определения, начертите прямоугольный треугольник. Это треугольник, один из углов которого — прямой (т.е. один из углов равен 90 градусов). Стороны, прилежащие к прямому углу (перпендикулярные друг другу стороны) — это катеты данного прямоугольного треугольника. Противолежащая прямому углу сторона — это гипотенуза.
Теперь выберите любой из двух других (острых) углов треугольника и обозначьте его, например, альфа. Один из катетов будет примыкать к вершине этого угла (и, собственно, образовывать этот угол вместе с гипотенузой). Это — прилежащий катет. Другой катет не примыкает к вершине этого угла, он находится как бы напротив данной вершины. Это — противолежащий катет.
Кстати, почему-то не все представляют, что такое угол треугольника при данной вершине. У треугольника (обозначим его ABC) есть три вершины: А, В и С. Когда говорят об угле А треугольника, то подразумевают угол, образованный сторонами ВА и АС. Это и есть угол при вершине А.
Итак,
Синусом острого угла называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.
Котангенсом острого угла называется отношение прилежащего этому углу катета к противолежащему катету.
Секансом острого угла называется отношение гипотенузы к прилежащему к этому углу катету. Обозначается: sec x.
Косекансом острого угла называется отношение гипотенузы к противолежащему этому углу катету. Обозначается: cosec x.
Как найти углы в прямоугольном треугольнике, если известны стороны?
Дан треугольник АВС, угол С — прямой.
Стороны АВ, АС и ВС известны.
Т.к. угол С — прямой, он равен 90 градусам.
Другие углы можно найти, например, так:
если известен катет и гипотенуза
sinA = BC / AB,
sinB = AC / AB,
если известны два катета
tg A = BC / AC
tg B = AC / BC
Предположим, получили, что sin A = ½. По таблице смотрим, что такому значению sin x соответствует величина угла 30 градусов.
Или, к примеру, получили, что tg B = 1. Значит, угол В равен 45 градусов.
Или, к примеру, мы получили, что sin B = 0,259. По таблице Брадиса или с помощью калькулятора находим, что угол В равен 15 градусов.
sin 15° = 0,259
arcsin0,259 = 15°
Как найти углы в прямоугольном треугольнике, если известен один угол?
Поскольку треугольник прямоугольный, то один из его углов равен 90 градусов. Величина второго угла известна (по условию задачи, обозначим её альфа). В сумме углы треугольника составляют 180 градусов. Значит, третий угол равен 180—90—альфа.
Еединичная окружность (единичный круг)
Единичный круг — это круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице (R = 1).
Единичная окружность — это окружность единичного круга (т.е. окружность с центром в начале координат и с радиусом, равным единице).
Единичный радиус-вектор — это вектор, начало которого совпадает с началом координат, а его длина равна единице.
Углы отсчитывают от начального положения подвижного радиуса-вектора (совпадает с положением Ох).
Координатные четверти отсчитываются так:
y
|
|
(II четверть) | (I четверть)
|
________________________ x
|0
|
(III четверть) | (IV четверть)
|
|
Угол первой четверти — от 0 до 90 градусов (от 0 до пи/2).
Угол второй четверти — от 90 до 180 градусов (от пи/2 до пи).
Угол третьей четверти — от 180 до 270 градусов (от пи до 2пи/3).
Угол четвертой четверти — от 270 до 360 градусов (от 2пи/3 до 2пи).
Например:
- углы первой четверти: 30 градусов, 85 градусов, пи/4;
- углы второй четверти: 120 градусов, 178 градусов;
- углы третьей четверти: 205 градусов, 260 градусов;
- углы четвертой четверти: 272 градуса, 305 градусов.
Тригонометрические функции
К тригонометрическим функциям относятся функции:
y = sin x;
y = cos x;
y = tg x;
y = ctg x;
y = sec x;
y = cosec x.
Синусом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Оу к его длине.
Косинусом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Ох к его длине.
Тангенсом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Оу к его проекции на ось Ох.
Котангенсом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Ох к его проекции на ось Оу.
Секансом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение длины этого вектора к его проекции на ось Ох.
Косекансом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение длины этого вектора к его проекции на ось Оу.
Тригонометрические функции связаны между собой, и этим можно воспользоваться для нахождения синуса угла по его косинусу или котангенсу или косинуса угла по его синусу или тангенсу.
Как найти синус угла, если известен косинус?
Нужно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:
sin2a + cos2a = 1
sin2a = 1 − cos2a
|sin a| = КОРЕНЬ(1 − cos2a)
sin a = ± КОРЕНЬ(1 − cos2a)
знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (синус положительный в I и II четвертях, косинус положительный в I и IV четвертях)
Как найти косинус угла, если известен синус?
Нужно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:
sin2a + cos2a = 1
cos2a = 1 − sin2a
|cos a| = КОРЕНЬ(1 − sin2a)
cos a = ± КОРЕНЬ(1 − sin2a)
знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (синус положительный в I и II четвертях, косинус положительный в I и IV четвертях)
Как найти синус угла, если известен котангенс?
Нужно воспользоваться тригонометрическим тождеством
1 + ctg2 a = 1/sin2 a
sin2 a = 1 / (1 + ctg2 a)
|sin a| = 1/ КОРЕНЬ(1 + ctg2 a)
sin a = ±1/ КОРЕНЬ(1 + ctg2 a)
знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (синус положительный в I и II четвертях, котангенс положительный в I и III четвертях)
Как найти косинус угла, если известен тангенс?
Нужно воспользоваться тригонометрическим тождеством
1 + tg2 a = 1/cos2 a
cos2 a = 1 / (1 + tg2 a)
|cos a| = 1/ КОРЕНЬ(1 + tg2 a)
cos a = ±1/ КОРЕНЬ(1 + tg2 a)
знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (косинус положительный в I и IV четвертях, тангенс положительный в I и III четвертях)
Тригонометрическое тождество
Тригонометрическим тождеством называется равенство, в которое входят тригонометрические функции и которое удовлетворяется произвольным допустимым значением угла — аргумента тригонометрических функций, но не удовлетворяется, если каждую в отдельности тригонометрическую функцию заменить произвольной величиной.
Основные тригонометрические тождества:
sin2a + cos2a = 1
tg a = sin a / cos a
ctg a = cos a / sin a
sec a = 1 / cos a
cosec a = 1 / sin a
Arcsin, arcos, arctg, arcctg (обратные тригонометрические функции)
- arcsin — читается: арксинус;
- arcos — читается: арккосинус;
- arctg — читается: арктангенс;
- arcctg — читается: арккотангенс.
arcsin, arcos, arctg, arcctg — это обратные тригонометрические функции.
Обратной тригонометрической функцией y = arcsin x называют угол у, взятый на отрезке от –пи/2 до +пи/2, синус которого равен х:
y = arcsin x sin y = x
Обратной тригонометрической функцией y = arccos x называют угол у, взятый на отрезке от –пи до +пи, косинус которого равен х:
y = arccos x cos y = x
Обратной тригонометрической функцией y = arctg x называют угол у, взятый на промежутке от –пи/2 до +пи/2 (исключая концы), тангенс которого равен х:
y = arctg x tg y = x
Обратной тригонометрической функцией y = arcctg x называют угол у, взятый на промежутке от 0 до пи (исключая концы), котангенс которого равен х:
y = arctg x tg y = x
Например,
sin 30° = 0,5
arcsin0,5 = 30°
Синусоида и косинусоида
График функции y = sin x называется синусоидой.
График функции y = cos x называется косинусоидой.
Источники информации:
- Справочник по элементарной математике. Геометрия, тригонометрия, векторная алгебра. Под редакцией П.Ф. Фильчакова. —К.: Наукова думка, 1967. — 442 с.
- В.Д. Гетманцев, О.Ф. Саушкiн. Математика: Тригонометрiя: Посiбник для слухачiв пiдотовчих вiддiлень, вступникiв до вищих навчальних закладiв, студентiв педагогiчних iнститутiв (на укр.). —К.: Либiдь, 1994. — 144 с.
- docme.ru — зачем нужна тригонометрия?
- ru.wikipedia.org — Википедия — тригонометрия;
- ru.wikihow.com — как изучать тригонометрию?
Для удобства сразу же приведем таблицу с всеми тригонометрическими тождествами. Всегда удобно открыть формулы в одном месте, выбрать нужную и решить пример. После таблицы мы по отдельности рассмотрим каждую тригонометрическую формулу: обсудим ее вывод и порешаем примеры.
- Основное тригонометрическое тождество:
$$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$ - Определение тангенса и котангенса через синус и косинус:
$$tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)};$$
$$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};$$ - Cвязь тангенса и котангенса:
$$tg(alpha)=frac{1}{ctg(alpha)};$$
$$tg(alpha)*ctg(alpha)=1;$$ - Тангенс через косинус. Котангенс через синус:
$$tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
$$ctg(alpha)^2+1=frac{1}{sin(alpha)^2};$$ - Синус суммы и разности:
$$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$ - Косинус суммы и разности:
$$cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);$$
$$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$ - Тангенс суммы и разности:
$$tg(alpha+beta)=frac{tg(alpha)+tg(beta)}{1-tg(alpha)*tg(beta)};$$
$$tg(alpha-beta)=frac{tg(alpha)-tg(beta)}{1+tg(alpha)*tg(beta)};$$ - Котангенс суммы и разности:
$$сtg(alpha+beta)=frac{-1+сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)+ctg(beta)};$$
$$сtg(alpha-beta)=frac{-1-сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)-ctg(beta)};$$ - Двойной угол:
$$cos(2*alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2*sin(alpha)^2=2*cos(alpha)^2-1;$$
$$sin(2*alpha)=2*sin(alpha)*cos(alpha);$$
$$tg(2*alpha)=frac{2*tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
$$ctg(2*alpha)=frac{ctg(alpha)^2-1}{2*ctg(alpha)};$$ - Тройной угол:
$$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3*sin(alpha)^2*cos(alpha)=-3*cos(alpha)+4*cos(alpha)^3;$$
$$sin(3*alpha)=3*sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3;$$
$$tg(3*alpha)=frac{3*tg(alpha)-tg(alpha)^3}{1-3*tg(alpha)^2};$$
$$ctg(3*alpha)=frac{ctg(alpha)^3-3*ctg(alpha)}{3*ctg(alpha)^2-1};$$ - Формулы половинного угла:
$$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
$$tg(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
$$ctg(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$ - Понижение степени:
$$sin(alpha)^2=frac{1-cos(2*alpha)}{2};$$
$$cos(alpha)^2=frac{1+cos(2*alpha)}{2};$$
$$sin(alpha)^3=frac{3*sin(alpha)-sin(3*alpha)}{4};$$
$$cos(alpha)^3=frac{3*cos(alpha)+cos(3*alpha)}{4};$$
$$sin(alpha)^4=frac{3-4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
$$cos(alpha)^4=frac{3+4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$ - Преобразование суммы и разности тригонометрических функций:
$$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$sin(alpha)-sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)+cos(beta)=2*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)-cos(beta)=-2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)-cos(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{beta-alpha}{2}right);$$
$$tg(alpha)+tg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
$$tg(alpha)-tg(beta)=frac{sin(alpha-beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
$$ctg(alpha)+ctg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
$$ctg(alpha)-ctg(beta)=frac{sin(beta-alpha)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$ - Преобразование произведения тригонометрических функций:
$$sin(alpha)*sin(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)right);$$
$$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)right);$$
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)right);$$ - Формулы подстановки тангенса:
$$sin(alpha)=frac{2*tg(frac{alpha}{2})}{1+tg(frac{alpha}{2})^2};$$
$$cos(alpha)=frac{1-tg(frac{alpha}{2})^2}{1+tg(frac{alpha}{2})^2};$$
$$tg(alpha)=frac{2*tg(frac{alpha}{2})}{1-tg(frac{alpha}{2})^2};$$
$$ctg(alpha)=frac{1-tg(frac{alpha}{2})^2}{2*tg(frac{alpha}{2})};$$ - Формулы приведения можно найти в отдельной статье
Зачем нужны тригонометрические формулы?
Как видите, тригонометрических формул очень много. Тут еще и не все приведены. Но на ваше счастье, учить всю эту таблицу не нужно. Достаточно знать только основные: №1-6, 9. Остальные на ЕГЭ по профильной математике встречаются крайне редко, а если и попадутся, то, скорее всего, будут даны в справочных материалах.
Но для участия в олимпиадах или, если вы хотите поступать в сильный математический ВУЗ через вступительные экзамены, то вам может понадобиться вся таблица. По крайней мере, у вас точно должно быть представление о существовании таких формул, чтобы их вывести в случае необходимости. Да, большинство из них легко выводятся.
Тригонометрические формулы нужны, чтобы связать все тригонометрические функции между собой. Если вы знаете одну из функций, например, синус, то, используя эти формулы, можно легко найти оставшиеся три тригонометрические функции (косинус, тангенс и котангенс). Кроме этого тождества позволяют упростить выражение под тригонометрической функцией: например, выразить синус от двойного угла через комбинацию тригонометрических функций от одинарного угла, что бывает очень полезно при решении тригонометрических уравнений и неравенств.
Обсудим и порешаем примеры на все формулы из таблицы.
Основное тригонометрическое тождество
$$mathbf{sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;}$$
Эту формулу можно считать главной и самой часто используемой в тригонометрии. Она выводится при помощи определения синуса и косинуса через прямоугольный треугольник и теоремы Пифагора. Не буду еще раз описывать вывод, с ним можно познакомиться в самой первой главе по тригонометрии.
При помощи основного тригонометрического тождества очень удобно искать значение синуса, если известен косинус и наоборот. Разберем пример:
Пример 1
Найдите (3sqrt{2}*sin(alpha)=?), если (cos(alpha)=frac{1}{3}) и (alphain(0;frac{pi}{2})). (ЕГЭ)
Чтобы найти значение выражения (3sqrt{2}*sin(alpha)) необходимо сначала найти значение синуса.
Формула, которая связывает и синус, и косинус — это основное тригонометрическое тождество:
$$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
Просто подставим в нее известное значение косинуса
$$sin(alpha)^2+left(frac{1}{3}right)^2=1;$$
$$sin(alpha)^2+frac{1}{9}=1;$$
$$sin(alpha)^2=1-frac{1}{9};$$
$$sin(alpha)^2=frac{8}{9};$$
$$sin(alpha)=pmsqrt{frac{8}{9}}=pmfrac{2sqrt{2}}{3};$$
Обратите внимание на знак (pm), отрицательное значение синуса нас тоже устраивает, так как при подстановке и возведении в квадрат знак минус исчезает.
В задании указано, что это пример из ЕГЭ первой части, значит должен быть только один ответ. Какое же значение синуса нам выбрать: положительное или отрицательное?
В этом нам поможет дополнительное условие на (alphain(0;frac{pi}{2})), что соответсвует первой четверти на тригонометрической окружности. Раз (alpha) лежит в первой четверти, то синус должен быть положительный. Выбираем положительное значение синуса:
$$sin(alpha)=frac{2sqrt{2}}{3};$$
И подставим найденное значение в искомое выражение:
$$3sqrt{2}*sin(alpha)=3sqrt{2}*frac{2sqrt{2}}{3}=4.$$
Ответ: (4.)
Аналогично по основному тригонометрическому тождеству можно находить значение косинуса, если известен синус.
Основные тригонометрическое тождество это ключ к решению более половины всех тригонометрических уравнений.
Основные связи тригонометрических функций
А как найти тангенс или котангенс, если нам, например, известен косинус? Посмотрите на формулы №2, для того, чтобы найти тангенс, нужно знать и косинус, и синус:
$$mathbf{tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)};}$$
$$mathbf{ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};}$$
Но зная косинус, мы легко можем найти синус по основному тригонометрическому тождеству, а потом уже найти тангенс.
Пример 2
Найдите (tg(alpha)) и (ctg(alpha)), если (cos(alpha)=frac{sqrt{10}}{10}) и (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)).
Сначала находим значение синуса:
$$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
$$sin(alpha)^2+left(frac{sqrt{10}}{10}right)^2=1;$$
$$sin(alpha)^2+frac{1}{10}=1;$$
$$sin(alpha)^2=1-frac{1}{10};$$
$$sin(alpha)^2=frac{9}{10};$$
$$sin(alpha)=pmsqrt{frac{9}{10}}=pmfrac{3}{sqrt{10}};$$
Так как по условию задачи (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)), что соответсвует четвертой четверти на тригонометрической окружности, то (sin(alpha)<0). Выбираем отрицательное значение:
$$sin(alpha)=-frac{3}{sqrt{10}};$$
Теперь нам известны значения и косинуса, и синуса, можем найти тангенс:
$$tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}=frac{-frac{3}{sqrt{10}}}{frac{sqrt{10}}{10}}=-frac{3}{sqrt{10}}*frac{10}{sqrt{10}}=-3;$$
Котангенс можно найти аналогично по формуле:
$$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};$$
Но поступим проще и воспользуемся тригонометрической формулой, связывающей тангенс с котангенсом:
$$mathbf{сtg(alpha)=frac{1}{tg(alpha)};}$$
$$сtg(alpha)=frac{1}{-3}=-frac{1}{3};$$
Ответ: (tg(alpha)=-3;) (ctg(alpha)=-frac{1}{3}.)
Как видите, чтобы найти тангенс или котангенс через косинус или синус, необходимо воспользоваться сразу двумя тригонометрическими формулами. Это не очень удобно, поэтому очень полезны тригонометрические формулы, связывающие тангенс с косинусом или котангенс с синусом напрямую:
$$mathbf{tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};}$$
$$mathbf{ctg(alpha)^2+1=frac{1}{sin(alpha)^2};}$$
Вывод связи тангенса с косинусом и котангенса с синусом
Полезно знать, как они выводятся. Вывод, на самом деле, элементарный, с использованием основного тригонометрического тождества и определения тангенса через синус и косинус:
$$tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
$$left(frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}right)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
Приводим левую часть к общему знаменателю:
$$frac{sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}+frac{cos(alpha)^2}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
$$frac{sin(alpha)^2+cos(alpha)^2}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
В числителе у нас получилось основное тригонометрическое тождество:
$$frac{1}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
Получилось верное равенство — формула доказана. Аналогично доказывается формула для котангенса и синуса. (В качестве упражнения докажите ее сами).
Если решать пример №2 по этим формулам, то решение заметно сокращается:
$$tg(alpha)^2+1=frac{1}{left(frac{sqrt{10}}{10}right)^2};$$
$$tg(alpha)^2+1=10;$$
$$tg(alpha)^2=9;$$
$$tg(alpha)=pm3;$$
Так как (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)), то тангенс будет отрицательным:
$$tg(alpha)=-3;$$
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
- Синус суммы и разности:
$$mathbf{sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);}$$
$$mathbf{sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);}$$ - Косинус суммы и разности:
$$mathbf{cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);}$$
$$mathbf{cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);}$$ - Тангенс суммы и разности:
$$mathbf{tg(alpha+beta)=frac{tg(alpha)+tg(beta)}{1-tg(alpha)*tg(beta)};}$$
$$mathbf{tg(alpha-beta)=frac{tg(alpha)-tg(beta)}{1+tg(alpha)*tg(beta)};}$$ - Котангенс суммы и разности:
$$mathbf{сtg(alpha+beta)=frac{-1+сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)+ctg(beta)};}$$
$$mathbf{сtg(alpha-beta)=frac{-1-сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)-ctg(beta)};}$$
Формулы суммы разности тригонометрических функций попадаются в ЕГЭ по профильной математике в №12. В прошлые года эти формулы давались в справочные материалах и учить их было не обязательно. Тем не менее, я бы рекомендовал выучить хотя бы формулы суммы и разности для синуса и косинуса.
Это не очень удобно, но иногда формулы суммы разности используют для вывода формул приведения:
Пример 3
Упростить выражение (sin(frac{pi}{2}+alpha)).
Воспользуемся формулой синуса суммы:
$$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(frac{pi}{2}+alpha)=sin(frac{pi}{2})*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(frac{pi}{2})=$$
$$=1*cos(alpha)+sin(alpha)*0=cos(alpha);$$
Формулы суммы разности так же полезны, когда нужно посчитать значение тригонометрических функций некоторых нестандартных углов:
Пример 4
Найдите значение (sin(15^o)=?)
(15^o) нестандартный угол, вы его не найдете в тригонометрической таблице углов. Представим (15^o) в виде разности стандартных углов (15^o=45^o-30^o). И воспользуемся формулой синуса разности:
$$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(15^o)=sin(45^o-30^o)=sin(45^o)*cos(30^o)-sin(30^o)*cos(45^o)=$$
$$=frac{sqrt{2}}{2}*frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=$$
$$=frac{sqrt{6}}{4}-frac{sqrt{2}}{4}=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4};$$
Вот мы наши синус (15^o). Получилось такое иррациональное некрасивое выражение, так и оставляем.
Ответ: (sin(15^o)=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}.)
Пример 5
Найдите значение (cos(75^o)=?)
(75^o) можно представить в виде суммы стандартных углов (75^o=30^o+45^o). Здесь воспользуемся формулой косинуса суммы:
$$cos(alpha+beta)=cos(30^o)*cos(45^o)-sin(30^0)*sin(45^0)=$$
$$=frac{sqrt{3}}{2}*frac{sqrt{2}}{2}-frac{1}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=$$
$$=frac{sqrt{6}}{4}-frac{sqrt{2}}{4}=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4};$$
У нас получился опять отвратительный ответ, но внимательный читатель заметит, что ответ такой же, как в предыдущем примере, это значит, что (cos(75^o)=sin(15^o)). Такой же вывод можно было бы сделать исходя из формул приведения и знания тригонометрической окружности.
Ответ: (cos(75^o)=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}.)
Мы не будем выводить эти формулы — это не самое приятное занятие. Их проще выучить, а вывод вам вряд ли когда-либо пригодится. Но сами формулы суммы и разности служат основой для доказательства других тригонометрических формул.
Формулы двойного угла
$$cos(2*alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2*sin(alpha)^2=2*cos(alpha)^2-1;$$
$$sin(2*alpha)=2*sin(alpha)*cos(alpha);$$
$$tg(2*alpha)=frac{2*tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
$$ctg(2*alpha)=frac{ctg(alpha)^2-1}{2*ctg(alpha)};$$
Формулы двойного угла для синуса, косинуса, тангенса и котангенса дают возможность выразить двойной угол (2alpha) через (alpha). Формулы для синуса и косинуса очень часто встречаются на ЕГЭ. Их обязательно нужно знать. Все они легко выводятся из формул синуса и косинуса суммы (формулы №5 и №6) :
$$cos(2alpha)=cos(alpha+alpha)=cos(alpha)*cos(alpha)-sin(alpha)*sin(alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2;$$
Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством можно преобразовать эту формулу:
$$cos(2alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-sin(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2sin(alpha)^2;$$
$$cos(2alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=cos(alpha)^2-(1-cos(alpha)^2)=2cos(alpha)^2-1;$$
Синус двойного угла выводится аналогичным образом только с использованием формулы синуса суммы:
$$sin(2alpha)=sin(alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(alpha)=2sin(alpha)cos(alpha);$$
Для вывода формул двойного угла для тангенса нам понадобится представить тангенс в виде отношения синуса к косинуса по определению и только что выведенные формулы синуса и косинуса двойного угла:
$$tg(2alpha)=frac{sin(2alpha)}{cos(2alpha)}=frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}=frac{frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{cos(alpha)^2}}{frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}}=frac{frac{2sin(alpha)}{cos(alpha)}}{1-frac{sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}}=frac{2tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
Котангенс двойного угла выводится абсолютно также:
$$сtg(2alpha)=frac{cos(2alpha)}{sin(2alpha)}=frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{2sin(alpha)cos(alpha)}=frac{frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{sin(alpha)^2}}{frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{sin(alpha)^2}}=frac{frac{cos(alpha)^2}{sin(alpha)^2}-1}{frac{2cos(alpha)}{sin(alpha)}}=frac{ctg(alpha)^2-1}{2ctg(alpha)};$$
В первой части на ЕГЭ попадаются номера на преобразование тригонометрических выражений, где часто содержится двойной угол:
Пример 6
Найти значение (24cos(2alpha)=?), если (sin(alpha)=-0,2.)
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
$$cos(2alpha)=1-2sin(alpha)^2;$$
$$24cos(2alpha)=24(1-2sin(alpha)^2)=24-48sin(alpha)^2=24-48*(-0,2)^2=24-48*0,04=22,08.$$
Пример 7
Найти значение (frac{10sin(6alpha)}{3cos(3alpha)}=?), если (sin(3alpha)=0,6.)
Используем синус двойного угла, для этого представим (6alpha=2*(3alpha)):
$$sin(6alpha)=sin(2*(3alpha))=2sin(3alpha)cos(3alpha);$$
$$frac{10sin(6alpha)}{3cos(3alpha)}=frac{10*2sin(3alpha)cos(3alpha)}{3cos(3alpha)}=frac{20sin(3alpha)}{3}=frac{20*0,6}{3}=frac{12}{3}=4.$$
Пример 8
Найти значение выражения (frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{sin(22^o)}=?)
Замечаем, что (22^o=2*11^o) и воспользуемся синусом двойного угла:
$$frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{sin(22^o)}=frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{2sin(11^o)cos(11^o)}=frac{12}{2}=6.$$
Формулы тройного угла
Формулы тройного угла обычно попадаются на математических олимпиадах или вступительных экзаменах в математические ВУЗы. Учить их необязательно, но знать о существовании полезно, тем более, что они достаточно легко выводятся.
$$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3*sin(alpha)^2*cos(alpha)=-3*cos(alpha)+4*cos(alpha)^3;$$
$$sin(3*alpha)=3*sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3;$$
$$tg(3*alpha)=frac{3*tg(alpha)-tg(alpha)^3}{1-3*tg(alpha)^2};$$
$$ctg(3*alpha)=frac{ctg(alpha)^3-3*ctg(alpha)}{3*ctg(alpha)^2-1};$$
Выведем эти формулы, использую формулы сложения. Начнем с косинуса тройного угла:
$$cos(3*alpha)=cos(2alpha+alpha)=cos(2alpha)*cos(alpha)-sin(2alpha)*sin(alpha)=$$
$$=(cos(alpha)^2-sin(alpha)^2)*cos(alpha)-2sin(alpha)*cos(alpha)*sin(alpha)=$$
$$=cos(alpha)^3-sin(alpha)^2*cos(alpha)-2sin(alpha)^2*cos(alpha)=$$
$$=cos(alpha)^3-3sin(alpha)^2*cos(alpha);$$
Если расписать (sin(alpha)^2=1-cos(alpha)^2), то получим еще один вариант формулы тройного угла:
$$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3sin(alpha)^2*cos(alpha)=cos(alpha)^3-3(1-cos(alpha)^2)*cos(alpha)=$$
$$=4cos(alpha)^3-3cos(alpha);$$
Аналогично выводится формула синуса тройного угла:
$$sin(3alpha)=sin(2alpha+alpha)=sin(2alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(2alpha)=$$
$$=2sin(alpha)*cos(alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*(cos(alpha)^2-sin(alpha)^2)=$$
$$=2sin(alpha)*cos(alpha)^2+sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3;$$
Распишем по основному тригонометрическому тождеству (cos(alpha)^2=1-sin(alpha)^2) и подставим:
$$sin(3alpha)=3sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=$$
$$=3sin(alpha)*(1-sin(alpha)^2)-sin(alpha)^3=3sin(alpha)-4sin(alpha)^3;$$
Для тангенса и котангенса формулы тройного угла здесь выводить не будем, так как они достаточно редки. Но в качестве упражнения можете сами выполнить вывод, представив тангенс или котангенс по определению: через отношение синуса тройного угла к косинусу тройного угла или наоборот соотвественно.
Формулы тройного угла обычно используются при преобразовании сложных тригонометрических выражений. Например, на вступительных экзаменах в МФТИ любят давать тригонометрические уравнения на тройной угол и больше.
Формулы половинного угла (двойного аргумента)
$$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
$$tg(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
$$ctg(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$
Формулы половинного угла это по сути формулы обратные формулам двойного угла. Достаточно запомнить их элементарный вывод, тогда учить совсем необязательно. Здесь важный момент, что любой угол (alpha) всегда можно представить в виде удвоенного угла (frac{alpha}{2}):
$$alpha=2*frac{alpha}{2};$$
Выведем формулу синуса половинного угла, для этого нам понадобится формула косинуса двойного угла:
$$cos(alpha)=1-2*sin(frac{alpha}{2})^2;$$
Выразим отсюда (sin(frac{alpha}{2})):
$$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
Иногда эту формулу записывают без квадрата:
$$sin(frac{alpha}{2})=pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}};$$
Плюс минус возникает при избавлении от квадрата.
Вывод косинуса половинного угла тоже получается из формулы косинуса двойного угла:
$$cos(alpha)=2*cos(frac{alpha}{2})^2-1;$$
$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{cos(alpha)+1}{2};$$
$$cos(frac{alpha}{2})=pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}};$$
Доказательство формул половинного угла для тангенса и котангенса следует из выше доказанных формул:
$$tg(frac{alpha}{2})=frac{sin(frac{alpha}{2})}{cos(frac{alpha}{2})}=frac{pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}}}{pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}}}=sqrt{frac{frac{1-cos(alpha)}{2}}{frac{cos(alpha)+1}{2}}}=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
Точно так же для котангенса:
$$сtg(frac{alpha}{2})=frac{cos(frac{alpha}{2})}{sin(frac{alpha}{2})}=frac{pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}}}{pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}}}=sqrt{frac{frac{cos(alpha)+1}{2}}{frac{1-cos(alpha)}{2}}}=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$
Пример 9
При помощи формул половинного угла можно, например, посчитать (cos(15^o)):
$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
$$cos(15^o)^2=frac{1+cos(30^o)}{2}=frac{1+frac{sqrt{3}}{2}}{2}=frac{2+sqrt{3}}{4};$$
$$cos(15^o)=sqrt{frac{2+sqrt{3}}{4}}.$$
Кстати, формулы половинного угла справедливы не только в явном виде, когда аргумент правой части формулы (alpha), а левой (frac{alpha}{2}). Но и в неявном, достаточно, чтобы аргумент правой части был больше аргумента левой в два раза:
$$sin(5alpha)=pmsqrt{frac{1-cos(10alpha)}{2}};$$
Формулы понижения степени
$$sin(alpha)^2=frac{1-cos(2*alpha)}{2};$$
$$cos(alpha)^2=frac{1+cos(2*alpha)}{2};$$
$$sin(alpha)^3=frac{3*sin(alpha)-sin(3*alpha)}{4};$$
$$cos(alpha)^3=frac{3*cos(alpha)+cos(3*alpha)}{4};$$
$$sin(alpha)^4=frac{3-4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
$$cos(alpha)^4=frac{3+4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
Формулы понижения второй степени на самом деле дублируют формулы половинного угла.
Формулы понижения третей степени перестановкой слагаемых дублируют формулы тройного угла.
Преобразование суммы и разности тригонометрических функций:
$$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$sin(alpha)-sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)+cos(beta)=2*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)-cos(beta)=-2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)-cos(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{beta-alpha}{2}right);$$
$$tg(alpha)+tg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
$$tg(alpha)-tg(beta)=frac{sin(alpha-beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
$$ctg(alpha)+ctg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
$$ctg(alpha)-ctg(beta)=frac{sin(beta-alpha)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
Формулы для суммы и разности тригонометрических функций полезны, если необходимо превратить сумму двух функций в произведение. Они в основном используются в уравнениях и преобразованиях сложных выражений, когда необходимо слагаемые разложить на множители.
Для вывода формул суммы и разности синусов и косинусов нам понадобится пара трюков и формулы синуса и косинуса суммы и разности (тут можно запутаться, в названиях формул, будьте внимательны). Вывод получается не самый очевидный.
Обратите внимание, что любой угол (alpha) можно представить в таком странном виде:
$$alpha=frac{alpha}{2}+frac{alpha}{2}+frac{beta}{2}-frac{beta}{2}=frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2};$$
Аналогично угол (beta):
$$beta=frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2};$$
Эти странности нам понадобятся при выводе формул, просто обратите на них внимание.
А теперь перейдем непосредственно к выводу формулы суммы синусов двух углов. Для начала распишем угла (alpha) и (beta) по формулам выше:
$$sin(alpha)+sin(beta)=sin(frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2}); qquad (*)$$
Теперь воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности:
$$sin(gamma+sigma)=sin(gamma)*cos(sigma)+sin(sigma)*cos(gamma);$$
$$sin(gamma-sigma)=sin(gamma)*cos(sigma)-sin(sigma)*cos(gamma);$$
Только у нас под синусами будут стоять не (gamma) и (sigma), а целые выражения.
Пусть:
$$gamma=frac{alpha+beta}{2};$$
$$sigma=frac{alpha-beta}{2};$$
Применим формулы синуса суммы и разности в (*):
$$sin(alpha)+sin(beta)=sin(frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2})=$$
$$=left(sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha-beta}{2})*cos(frac{alpha+beta}{2})right)+$$
$$+left(sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2})-sin(frac{alpha-beta}{2})*cos(frac{alpha+beta}{2})right)=$$
$$=2*sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2}); $$
В самом конце мы просто раскрыли большие скобки и привели подобные слагаемые.
Аналогично выводятся все остальные формулы.
Пример 10
Вычислить (sin(165)+sin(75)=?)
(165^o) и (75^o) это не табличные углы. Значения синусов этих углов мы не знаем. Для решения этого примера воспользуемся формулой суммы синусов:
$$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$sin(165^o)+sin(75^o)=2*sinleft(frac{165^o+75^o}{2}right)*cosleft(frac{165^o-75^o}{2}right)=$$
$$=2*sin(120^o)*cos(45^o)=2*frac{sqrt{3}}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=frac{sqrt{6}}{2}.$$
Преобразование произведения тригонометрических функций
$$sin(alpha)*sin(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)right);$$
$$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)right);$$
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)right);$$
В некотором смысле формулы произведения синуса, косинуса, тангенса и котангенса являются обратными к тригонометрическим формулам суммы и разности тригонометрических функций. При помощи этих формул возможно перейти от произведения к сумме или разности.
Для вывода нам опять понадобятся формулы косинуса суммы и разности:
$$cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);$$
$$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Сложим эти две формулы. Для этого складываем их левые части и приравниваем сумме правых частей:
$$cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha)+cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Приводим подобные слагаемые:
$$cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=2*cos(alpha)*cos(beta);$$
Отсюда получаем:
$$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta));$$
Формула произведения косинусов доказана.
Произведение синусов доказывается похожим образом. Для этого домножим формулу косинуса суммы слева и справа на ((-1)):
$$-cos(alpha+beta)=-cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Косинус разности оставим без изменений:
$$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Сложим опять эти две формулы:
$$cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha)-cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
$$cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)=2*sin(beta)*sin(alpha);$$
$$sin(beta)*sin(alpha)=frac{1}{2}*(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta));$$
Произведение синусов тоже доказано.
Для того, чтобы вывести формулу произведения синуса и косинуса, нам понадобятся формулы синуса суммы и разности:
$$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
Сложим их:
$$sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)=2*sin(alpha)*cos(beta);$$
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta));$$
Пример 11
Вычислить (sin(75^o)*cos(15^o)=?)
Воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса:
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta));$$
$$sin(75^o)*cos(15^o)=frac{1}{2}*(sin(75^o+15^o)+sin(75^o-15^o))=$$
$$=frac{1}{2}*(sin(90^o)+sin(60^o))=frac{1}{2}*(1+frac{sqrt{3}}{2})=frac{2+sqrt{3}}{4}.$$
Внимание! Эти формулы работают только если аргументы у тригонометрических функций одинаковые, т.е.
(sin^2 776^° +cos^2 776^° =1)
(tg, 3xcdot ctg, 3x=1)
Но:
(sin^2x+cos^23x≠1)
(tg, xcdot ctg, y≠1)
Все формулы связи тригонометрических функций учить не надо, потому что они достаточно легко получаются друг из друга несложными преобразованиями (подробности в этих видео). Кроме того, при частом использовании они постепенно запоминаются сами.
Примеры применения формул связи
Зачем нужны формулы связи? Они позволяют найти все тригонометрические функции угла, если известна лишь одна из них, а также дают возможность упрощать выражения, доказывать тождества, решать тригонометрические уравнения, заменяя одну функцию другой и так далее.
Пример. Найдите (5sin,α), если (cos,α=frac{2sqrt{6}}{5}) и (α∈(frac{3π}{2};2π)).
Решение. Нам известен косинус, найти надо синус. А что связывает синус и косинус? Основное тригонометрическое тождество:
(sin^2α+cos^2α=1).
Подставим вместо косинуса его значение:
(sin^2α+)((frac{2sqrt{6}}{5}))(^2=1)
(sin^2α+)(frac{4cdot 6}{25})(=1)
(sin^2α+)(frac{24}{25})(=1)
(sin^2α=1-)(frac{24}{25})
(sin^2α=)(frac{1}{25})
(sinα=±)(frac{1}{5})
Внимание! Последняя строчка – место, где теряется огромное количество баллов на ЕГЭ! Это одна из самых популярных ошибок – забыть отрицательный корень. Пожалуйста, раз и навсегда запомните, что у неполного квадратного уравнения вида (x^2=a) (при (a>0)) два корня (x_1=sqrt{a}) и (x_2=-sqrt{a}). Пусть двойка над иксом (та которая «квадрат») будет вам вечным маяком, сигнализирующим: «тут ДВА корня! Два! Не забудь!»
Вернемся к задаче. Получилось, что синус может иметь значение (frac{1}{5}), а может (-)(frac{1}{5}). И какое значение нам надо выбрать — с минусом или плюсом? Тут нам на помощь приходит информация, что (α∈(frac{3π}{2};2π)). Давайте нарисуем числовую окружность и отметим отрезок ((frac{3π}{2};2π)).
Обратите внимание – в этой четверти синус принимает только отрицательные значения (можно провести перпендикуляры до оси синусов и убедиться, что это так).
Значит, в нашем случае (sin,α=-frac{1}{5}) т.е. (5sin,α=5cdot(-frac{1}{5})=-1).
Ответ: (-1).
Пример.Найдите (tg,α), если (cos,α=)(frac{sqrt{10}}{10}) и (α∈(frac{3π}{2};2π)).
Решение. Есть 2 пути решения этой задачи:
— напрямую вычислить тангенс через формулу (tg^2α+1=)(frac{1}{cos^2α});
— сначала с помощью тождества (sin^2α+cos^2α=1) найти (sin,α), а потом через формулу (tg,α=)(frac{sin,α}{cos,α}) получить тангенс.
В учебниках обычно идут первым путем, поэтому мы пойдем вторым.
Вычисляем синус:
(sin^2α+)((frac{sqrt{10}}{10})^2)(=1)
(sin^2α+)(frac{10}{100})(=1)
(sin^2α+)(frac{1}{10})(=1)
(sin^2α=1-)(frac{1}{10})
(sin^2α=)(frac{9}{10});
(sin,α=±)(frac{3}{sqrt{10}})
Опять (α∈(frac{3π}{2};2π)), значит в итоге синус может быть только отрицательным. То есть, (sin,α=-)(frac{3}{sqrt{10}}).
А теперь вычисляем тангенс: (tg,α=-)(frac{3}{sqrt{10}})(:)(frac{sqrt{10}}{10})(=)(-frac{3}{sqrt{10}}cdotfrac{10}{sqrt{10}})(=-)(frac{30}{10})(=-3).
Ответ: (-3).
Пример. Известно, что (tg,α=-frac{3}{4}) и (frac{π}{2}<α<π). Найдите значения трех других тригонометрических функций угла (α).
Решение. Проще всего из тангенса найти котангенс:
(ctg, α=)(frac{1}{tg, α})
(ctg,α=1:(-frac{3}{4})=1cdot(-frac{4}{3})=-frac{4}{3}).
Теперь вычислим косинус по упомянутой выше формуле:
(tg^2 α+1=)(frac{1}{cos^2α})
((-)(frac{3}{4}))(^2+1=)(frac{1}{cos^2α})
(frac{9}{16})(+1=)(frac{1}{cos^2α})
(frac{9+16}{16})(=)(frac{1}{cos^2α})
(frac{25}{16})(=)(frac{1}{cos^2α})
(cos^2α=)(frac{16}{25})
(cosα=±)(frac{4}{5})
Опять перед нами стоит выбор плюс или минус. Отметим отрезок ((frac{π}{2};π)) на тригонометрической окружности и посмотрим какие значения принимает косинус в этой четверти, чтобы определится со знаком.
Очевидно, что косинус отрицателен в этой четверти, а значит (cos,α=-)(frac{4}{5}).
Осталось найти синус:
(sin^2α+cos^2α=1)
(sin^2α+(-)(frac{4}{5})()^2=1)
(sin^2α+)(frac{16}{25})(=1)
(sin^2α=1-)(frac{16}{25})
(sin^2α=)(frac{9}{25})
(sin,α=±)(frac{3}{5})
Опять используем круг, чтобы определить знак.
Получается, что (sin,α=)(frac{3}{5}).
Ответ: (ctg,α=-)(frac{4}{3}); (cos,α=-)(frac{4}{5}); (sin,α=)(frac{3}{5}).
Пример (ЕГЭ). Найдите (tg^2 α), если (5 sin^2α+13 cos^2α=6).
Решение. Давайте пойдем от того, что известно. В равенстве (5 sin^2α+13 cos^2α=6) синус заменим на косинус:
(5(1-cos^2α)+13 cos^2α=6)
(5-5 cos^2α+13 cos^2α=6)
(5+8 cos^2α=6)
(8 cos^2α=1)
(cos^2α=)(frac{1}{8})
Поняли почему именно синус заменили на косинус, а не наоборот? И почему не надо извлекать корень, досчитывая до «чистого» косинуса? Потому что для нахождения (tg^2α) хорошо подходит формула (tg^2α+1=)(frac{1}{cos^2α}) :
(tg^2 α+1=1:)(frac{1}{8})
(tg^2 α+1=1cdot)(frac{8}{1})
(tg^2 α+1=8)
(tg^2 α=7)
Ответ: (7).
Теперь еще одна задача из ЕГЭ, для наглядности мы ее решение оформили картинкой.
Пример. Упростите выражение (frac{1}{sin^2 α})(-ctg^2 α-cos^2 β).
Решение.
|
(frac{1}{sin^2 α})(-ctg^2 α-cos^2 β) |
Самое очевидное, что можно сделать – это представить котангенс как отношение косинуса к синусу. |
|
|
(=)(frac{1}{sin^2 α})(-)(frac{cos^2α}{sin^2 α})(-cos^2 β=) |
Приводим дроби к общему знаменателю. |
|
|
(=)(frac{1-cos^2α}{sin^2 α})(-cos^2 β=) |
(1-cos^2α) можно заменить на (sin^2 α). |
|
|
(=)(frac{sin^2 α}{sin^2 α})(-cos^2 β=) |
Сокращаем синусы. |
|
|
(=1-cos^2 β=sin^2 β). |
Пример. Докажите тождество (frac{cos^4α-sin^4α}{(1-sinα)(1+sinα)})(+2tg^2 α=)(frac{1}{cos^2 α}).
Решение.
|
(frac{cos^4α-sin^4α}{(1-sinα)(1+sinα)})(+2tg^2 α=)(frac{1}{cos^2 α}) |
Чтобы доказать это тождество, будем преобразовывать левую часть, пытаясь свести ее к правой. Поехали. Разложим числитель левой дроби по формуле разности квадратов, а знаменатель, наоборот, соберем по ней же. |
|
|
(frac{(cos^2α-sin^2α )(cos^2 α+sin^2α)}{1-sin^2α})(+2tg^2 α=)(frac{1}{cos^2 α}) |
Очевидно, что вторая скобка числителя равна (1) (по основному тригонометрическому тождеству), а знаменатель можно заменить на (cos^2 α). |
|
|
(frac{cos^2α-sin^2α}{cos^2 α})(+2tg^2 α=)(frac{1}{cos^2 α}) |
Теперь разложим тангенс по формуле (tg, α=)(frac{sin,α}{cos,α}). |
|
|
(frac{cos^2α-sin^2α}{cos^2 α})(+2)(frac{sin^2α}{cos^2α})(=)(frac{1}{cos^2 α}) |
Приводим дроби к общему знаменателю. |
|
|
(frac{cos^2α-sin^2α+2 sin^2α}{cos^2 α})(=)(frac{1}{cos^2 α}) |
Приводим подобные слагаемые. |
|
|
(frac{cos^2α+sin^2α}{cos^2 α})(=)(frac{1}{cos^2 α}) |
И вновь нас выручает основное тригонометрическое тождество |
|
|
(frac{1}{cos^2 α}) (=)(frac{1}{cos^2 α}) |
Левая часть полностью идентична правой, то есть тождество доказано.
Как доказать все формулы связи
Как найти котангенс угла
Котангенсом называют одну из тригонометрических функций — производную от синуса и косинуса. Это нечетная периодическая (период равен числу Пи) и не непрерывная (разрывы в точках, кратных числу Пи) функция. Рассчитать ее значение можно по величине угла, по известным длинам сторон в треугольнике, по значениям синуса и косинуса и другими способами.
Инструкция
Если вам известна величина угла, вычислить значение котангенса можно, например, с использованием стандартного калькулятора ОС Windows. Для его запуска раскройте главное меню, наберите с клавиатуры «ка» и нажмите Enter. Затем переведите калькулятор в «инженерный» режим — выберите пункт с таким названием в разделе «Вид» меню программы или воспользуйтесь сочетанием клавиш Alt + 2.
Введите величину угла в градусах. Отдельной кнопки для функции котангенс здесь не предусмотрено, поэтому сначала найдите тангенс (щелкните по кнопке tan), а затем разделите на полученное значение единицу (кликните кнопку 1/x).
Если значение тангенса нужного угла дано в условиях задачи, для вычисления котангенса знать величину этого угла не обязательно — просто разделите единицу на число, выражающее тангенс: ctg(α) = 1/tg(α). Но можно, конечно, сначала определить градусную меру угла с использованием обратной тангенсу функции — арктангенса, а затем уже вычислить котангенс известного угла. В общем виде это решение можно записать так: ctg(α) = arctg(tg(α)).
При известных из условий значениях синуса и косинуса нужного угла тоже нет необходимости определять его величину. Чтобы найти котангенс разделите второе число на первое: ctg(α) = cos(α)/sin(α).
Если в условиях задачи для нахождения котангенса предоставлено только одно значение (синус или косинус), преобразуйте формулу предыдущего шага, исходя из связывающего их соотношения sin²(α) + cos²(α) = 1. Из него можно выразить одну функцию через другую: sin(α) = √(1-cos²(α)) и cos(α) = √(1-sin²(α)). Подставьте соответствующее равенство в формулу: ctg(α) = cos(α)/√(1-cos²(α)) или ctg(α) = √(1-sin²(α))/sin(α).
Без информации о величине угла или соответствующих ему значениях тригонометрических функций тоже можно рассчитать котангенс при наличии некоторых дополнительных данных. Например, это можно сделать, если угол, котангенс которого нужно рассчитать, лежит в одной из вершин прямоугольного треугольника с известными длинами катетов. В этом случае рассчитайте дробь, в числитель которой поставьте длину того из катетов, который примыкает к нужному углу, а длину второго поместите в знаменатель.
Источники:
- найдите котангенс угла аов
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.