Как найти котангенс угла через косинус

Как найти тангенс угла, если известен косинус? Как найти котангенс угла, если известен косинус? Итак, читаем внимательно условие вопроса, и вспоминаем, чему нас учили в школе, у нас есть косинус угла, и этого окажется вполне достаточным для того, чтобы мы выполнили задание автора вопроса и нашли тангенс и котангенс данного угла. Вспоминаем, что мы можем найти, зная косинус, конечно-же, мы сразу можем найти синус, это очень легко, и в этом нам поможет вот это волшебное тождество и то, что из него следует, — формула для нахождения синуса: Теперь, зная чему равен синус угла, через косинус, проще простого решать дальше по известным формулам для нахождения тангенса и котангенса, просто подставляя в них эти формулы для синуса, которые я разместила выше: система выбрала этот ответ лучшим Ксарф­акс [156K] 5 лет назад  Для того, чтобы найти тангенс и котангенс через косинус, достаточно вспомнить тригонометрические формулы: tgα = sinα / cosα. ctgα = cosα / sinα. Так как косинус известен, то синус можно найти из основного тригонометрического тождества: sin²α + cos²α = 1. sinα = √(1 — cos²α), если угол α находится в 1 и 2 четверти. sinα = — √(1 — cos²α), если угол α находится в 3 и 4 четверти. Таким образом: tgα = ± √(1 — cos²α) / cosα. ctgα = ± cosα / √(1 — cos²α). Так как произведение тангенса и котангенса = 1, то ctgα также можно найти из формулы: ctgα = 1 / tgα. Пример Косинус угла α равен 0,94, при этом α находится в 1 четверти (0 < α < 90). Нужно найти тангенс и котангенс. Воспользуемся формулой: tgα = √(1 — cos²α) / cosα. В первой четверти синус и косинус больше 0, поэтому тангенс и котангенс также будут положительными. tgα ≈ 0,34 / 0,94 ≈ 0,36. Соответственно ctgα ≈ 1 / 0,36 ≈ 2,78. Лара Изюми­нка [59.9K] 6 месяцев назад  В школе изучают следующую тригонометрическую формулу: Косинус в квадрате альфа равно единица разделить на сумму единицы и тангенса в квадрате альфа. Из этой формулы легко выразить тангенс в квадрате альфа. Он очевидно равен 1 деленная на косинус в квадрате альфа и из этой дроби нужно вычесть один, а можно еще преобразовать как на картинке. Ну, а для того чтобы выразить котангенс, нужно вспомнить , что произведение тангенса и котангенса равно единице, тогда просто меняем числитель и знаменатель местами и получается формула для нахождения котангенса через косинус. Ну, а знак тангенса и котангенса определяем по той четверти, в которой находится угол. Если это первая и третья четверти, то плюс, иначе минус. bezde­lnik [34.1K] 5 лет назад  tg а = Sin a/Cos a. Чтобы выразить тангенс через косинус осталось выразить синус через косинус. Для этого воспользуемся основной тригонометрической формулой (Sin a)^2 +/(Cos a)^2 = 1. Тогда (Sin a)^2 = 1 — (Cos a)^2, Sin a = √(1 — (Cos a)^2), а tg = √(1 — (Cos a)^2)/Cos a. Например, при а= 60 градусов Cos 60° = 0,5, tg = √(1 — 0,25)/0,5 = √(0,75)/0,5 = √(3*0,25)/0,5 = (0,5*√3)/0,5 = √3 = 1,732… . ctg a = Cos a/Sin a, то-есть величина обратная tg а, и при а = 60° ctg 60° = 1/√3 = √3/3 = 0,57735… . 12777­1 [273K] 3 года назад  Первым делом стоит вспомнить определение тангенса и котангенса, а именно: То есть получаются следующие формулы: tg(x) = sin(x) / cos(x) ctg(x) = cos(x) / sin(x) Из условия задачи нам известен косинус, значит нам нужно будет найти синус. Для этого есть такая формула: sin^2(x) + cos^2(x) = 1 Значит: sin^2(x) = 1 — cos^2(x) sin(x) = √(1 — (Cos a)^2) Теперь у нас есть значения синуса и косинуса, которые можно будет подставить в следующие формулы: Rafai­l [136K] 5 лет назад  Наверное все помнят основное тождество тригонометрии: sin^2(x)+cos^2(x)=1. Почему-то также чётко я запомнил следующие простые формулы: tg^2(x)+1=sec^2(x) и ctg^2(x)+1=cosec^2(x). Ну и три определения: sec(x)=1/cos(x), cosec(x)=1/sin(x) и ctg(x)=1/tg(x). Теперь осталось выбрать нужные и применить. Допустим, cos(x)=(√3)/2, тогда sec(x)=2/√3, sec^2(x)=4/3, tg^2(x)=1/3, tg(x)=1/√3, ctg(x)=√3. Зайце­вана [557] 5 лет назад  Пусть cosa = 1/2, тогда tga^2 = 1/(cosa)^2-1, (tga)^2 =1/0,25 — 1 = 3, tga =корень квадратный из 3, (со знаком + или — в зависимости в какой четверти находится а). ctga = 1/корень из 3. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла — это тригонометрические функции. Можно сказать, что все они связаны между собой. Часто для нахождения одной из этих функций при условии, что известна другая, приходится вспоминать основные тригонометрические равенства или тождества, а также определение самих этих понятий. Зная все перечисленное выше, несложно выразить одну функцию через другую. Тангенс угла — это отношение синуса этого угла к его косинусу. Котангенс угла — это отношение косинуса угла к его синусу. Нам известен косинус, из основного тригонометрического тождества ( sin²α + cos²α = 1 ) выразим синус: sinα = √(1 — cos²α) для α из 1 и 2 четвертей, sinα = -√(1 — cos²α) для α из 3 и 4 четвертей. Подставив формулу для синуса угла в формулу тангенса и котангенса, получим формулы для вычисления значений этих функций: tgα = ± √(1 — cos²α) / cosα, ctgα = ± cosα / √(1 — cos²α). Котангенс, впрочем, можно вычислить путем попроще, вспомнив, что тангенс и котангенс — функции обратные, то есть ctgα = 1 / tgα. Подставляем в формулу значение тангенса и вычисляем котангенс. Если вам требуется найти тангенс и котангенс при помощи косинуса, то вам предстоит воспользоваться определенной тригонометрической формулой: при которой вы сможете отыскать синус из данной формулы, при том, что мы имеем известный косинус. Получившаяся формула выглядит таким образом: Теперь, нам следует подставить значение синуса в формулу вычисления тангенса, а именно речь идет о : Теперь подставим аналогичную формулу через косинус для котангенса: TheSu­n [2.3K] 3 года назад  Для нахождения тангенса и котангенса через косинус необходимо воспользоваться приведенной ниже тригонометрической формулой: Находим синус из формулы указанной выше (при условии, что косинус нам известен), получается: Подставляем в формулу вычисления тангенса значение синуса: tg? = sin? / cos? = ± ?(1 — cos??) / cos?. Теперь аналогично для котангенса через косинус. ctg? = cos? / sin? = ± cos? / ?(1 — cos??). Все функции мы знаем из курса тригонометрии, и в это же время проходят и алгоритм нахождения тангенса/котангенса через косинус. Ну как следует из вопроса косинус нам известен. Если нет, то находим по формулам — Имея на руках значения двух вводных — синуса и косинуса, далее еще проще действовать по формулам нахождения тангенса и котангенса. Знаете ответ?

Определение котангенса угла

Котангенс является обратно пропорциональной величиной к тангенсу. То есть, это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Для простоты запоминания можно дать такое определение: котангенс угла — это отношение ближнего от рассматриваемого угла катета к дальнему катету.

В случае с рисунком, описанным выше: ctg⁡α=bactgalpha=frac{b}{a}

ctg⁡α=cos⁡αsin⁡αctgalpha=frac{cosalpha}{sinalpha}

Задача 1

Пусть в прямоугольном треугольнике синус угла равен 0.200.20, а косинус этого угла равен 0.980.98. Найдите котангенс данного по условию угла.

Решение

sin⁡α=0.20sinalpha=0.20
cos⁡α=0.98cosalpha=0.98

ctg⁡α=cos⁡αsin⁡α=0.980.20=4.9ctgalpha=frac{cosalpha}{sinalpha}=frac{0.98}{0.20}=4.9

Ответ

4.94.9

После того, как мы изучили и тангенс, и котангенс, можно рассмотреть еще одно тождество:

Связь тангенса с котангенсом

tg⁡α⋅ctg⁡α=1tgalphacdotctgalpha=1

Вывод его прост:

tg⁡α⋅ctg⁡α=sin⁡αcos⁡α⋅cos⁡αsin⁡α=1tgalphacdotctgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}cdotfrac{cosalpha}{sinalpha}=1

Благодаря ему можно быстро и без каких-либо трудностей вычислять одну из этих величин.

Задача 2

Каков тангенс угла, если его котангенс равен 4.54.5?

Решение

ctg⁡α=4.5ctgalpha=4.5

tg⁡α⋅ctg⁡α=1tgalphacdotctgalpha=1

tg⁡α⋅4.5=1tgalphacdot4.5=1

tg⁡α=14.5tgalpha=frac{1}{4.5}

tg⁡α≈0.22tgalphaapprox0.22

Ответ

0.220.22

Еще одно тождество помогает решить задачи, связанные с котангенсом:

1+ctg⁡2α=1sin⁡2α1+ctg^2alpha=frac{1}{sin^2alpha}

Оно появляется путем деление каждого слагаемого основного тождества тригонометрии на квадрат синуса.

Задача 3

Найдите котангенс угла, если квадрат его синуса равен 0.490.49.

Решение

sin⁡2α=0.49sin^2alpha=0.49

1+ctg⁡2α=1sin⁡2α1+ctg^2alpha=frac{1}{sin^2alpha}

1+ctg⁡2α=10.491+ctg^2alpha=frac{1}{0.49}

1+ctg⁡2α≈2.041+ctg^2alphaapprox2.04

ctg⁡2α≈1.04ctg^2alphaapprox1.04

ctg⁡α≈1.02ctgalphaapprox1.02

Ответ

1.021.02

Решение задач по математике недорого от экспертов биржи!

Тест по теме «Вычисление котангенса»

Как найти котангенс угла

Котангенсом называют одну из тригонометрических функций — производную от синуса и косинуса. Это нечетная периодическая (период равен числу Пи) и не непрерывная (разрывы в точках, кратных числу Пи) функция. Рассчитать ее значение можно по величине угла, по известным длинам сторон в треугольнике, по значениям синуса и косинуса и другими способами.

Инструкция

Если вам известна величина угла, вычислить значение котангенса можно, например, с использованием стандартного калькулятора ОС Windows. Для его запуска раскройте главное меню, наберите с клавиатуры «ка» и нажмите Enter. Затем переведите калькулятор в «инженерный» режим — выберите пункт с таким названием в разделе «Вид» меню программы или воспользуйтесь сочетанием клавиш Alt + 2.

Введите величину угла в градусах. Отдельной кнопки для функции котангенс здесь не предусмотрено, поэтому сначала найдите тангенс (щелкните по кнопке tan), а затем разделите на полученное значение единицу (кликните кнопку 1/x).

Если значение тангенса нужного угла дано в условиях задачи, для вычисления котангенса знать величину этого угла не обязательно — просто разделите единицу на число, выражающее тангенс: ctg(α) = 1/tg(α). Но можно, конечно, сначала определить градусную меру угла с использованием обратной тангенсу функции — арктангенса, а затем уже вычислить котангенс известного угла. В общем виде это решение можно записать так: ctg(α) = arctg(tg(α)).

При известных из условий значениях синуса и косинуса нужного угла тоже нет необходимости определять его величину. Чтобы найти котангенс разделите второе число на первое: ctg(α) = cos(α)/sin(α).

Если в условиях задачи для нахождения котангенса предоставлено только одно значение (синус или косинус), преобразуйте формулу предыдущего шага, исходя из связывающего их соотношения sin²(α) + cos²(α) = 1. Из него можно выразить одну функцию через другую: sin(α) = √(1-cos²(α)) и cos(α) = √(1-sin²(α)). Подставьте соответствующее равенство в формулу: ctg(α) = cos(α)/√(1-cos²(α)) или ctg(α) = √(1-sin²(α))/sin(α).

Без информации о величине угла или соответствующих ему значениях тригонометрических функций тоже можно рассчитать котангенс при наличии некоторых дополнительных данных. Например, это можно сделать, если угол, котангенс которого нужно рассчитать, лежит в одной из вершин прямоугольного треугольника с известными длинами катетов. В этом случае рассчитайте дробь, в числитель которой поставьте длину того из катетов, который примыкает к нужному углу, а длину второго поместите в знаменатель.

Источники:

• найдите котангенс угла аов

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы — элементарные функции, которые выражают зависимость всех сторон прямоугольного треугольника от острых углов при гипотенузе (или зависимость хорд и высот от его центрального угла в круге).

К прямым функциям тригонометрии относят: sin x (синус), cos x (косинус). К производным: tg x (тангенс), ctg x (котангенс). А также другие тригонометрические функции: sec x (секанс) и cosec x (косеканс).

Косинус и синус в тригонометрии являются Вещественнозначными функциями, которые неограниченно дифференцируются и являются периодически непрерывными. Остальные же наоборот дифференцируются в области определении, однако, как и прямые тригонометрические функции есть непрерывными.

Значения функция для некоторых углов представлены в следующей таблице. Обозначение «∞» говорит о том, что функция в данной точке не определена и стремится к бесконечности.

Основные тригонометрические тождества:

1. При известном синусе или косинусе числа можно найти его тангенс или котангенс: tg a = sin a/cos a
2. Можно найти синус числа, если известен его косинус и наоборот: sin2 a + cos2 a = 1
3. Найти тангенс можно через синус при известном косинусе: 1 + tg2 a = 1/cos2 a
4. Найти котангенс можно через синус при известном косинусе: 1 + 1/tg2 a = 1/sin2
5. sin(90o – a ) = cos a
6. cos(90o – a ) = sin a   

Формулы двойного аргумента позволяют выразить sin2x, cos2x, tg2x через tg x, cos x и sin x. Соответственно формулы тройного аргумента выражают sin2x, cos2x, tg2x. Всем известно, что любая формула в математике может применяться не только слева на право, но и наоборот. В тригонометрии это действует во время преобразования суммы в произведение или же при переходе от произведения к сумме.

Переход от произведения к сумме:

Переход от суммы к произведению:

Возникновение тригонометрии и тригонометрических формул связанно с астрономией, строительным делом и землемерием. Не смотря на то, что некоторые факты и понятия были

известны еще две тысячи лет назад, сам термин тригонометрия появился относительно недавно. Впервые способ решать зависимости между сторонами треугольника нашли Гиппарх и Клавдий Птолемеи (ІІ н.е.). Только намного позже эти зависимости стали называть тригонометрическими формулами.

Примеры:

(ctg⁡:30^° =sqrt{3})
(ctg⁡:(frac{π}{3})=frac{1}{sqrt{3}})
(ctg:⁡2=-0,487…)

Содержание:

• Аргумент и значение
• 
  Котангенс острого угла
• 
  Котангенс числа или любого угла
• 
  Знаки по четвертям
• 
  Связь с другими функциями

Аргумент и значение

Аргументом может быть:
— как число или выражение с Пи: (1,3), (frac{π}{4}), (π), (-frac{π}{3}) и т.п.
— так и угол в градусах: (45^°), (360^°),(-800^°), (1^° ) и т.п.

Для обоих случаев значение котангенса вычисляется одинаковым способом – либо через значения синуса и косинуса, либо через тригонометрический круг (см. ниже).

Значение котангенса – всегда действительное число (возможно, иррациональное): (1), (sqrt{3}), (-frac{1}{sqrt{3}}), (-0,1543…)

Котангенс острого угла

Пример:

1) Пусть дан угол и нужно определить (ctgA).

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить (ctg;A).

Вычисление котангенса числа или любого угла

Пример. Вычислите (ctg: frac{5π}{6}).
Решение: Найдем сначала (frac{5π}{6}) на круге. Затем найдем (cos:⁡frac{5π}{6}) и (sin:frac{5π}{6}), а потом поделим одно на другое.

(ctg:frac{5π}{6}=)(frac{cos⁡:frac{5π}{6}}{sin⁡:frac{5π}{6}})(=-frac{sqrt{3}}{2}:frac{1}{2}=-frac{sqrt{3}}{2} cdot frac{2}{1}=-sqrt{3})

Ответ: (-sqrt{3}).

Пример. Вычислите (ctg:frac{π}{2}).

Решение: Чтобы найти котангенс пи на (2) нужно найти сначала косинус и синус (frac{π}{2}). И то, и другое найдем с помощью тригонометрического круга:

Точка (frac{π}{2}) на числовой окружности совпадает с (1) на оси синусов, значит (sin:frac{π}{2}=1). Если из точки (frac{π}{2}) на числовой окружности провести перпендикуляр к оси косинусов, то мы попадем в точку (0), значит (cos:⁡frac{π}{2}=0). Получается: (ctg:frac{π}{2}=)(frac{cos:⁡frac{π}{2}}{sin:⁡frac{π}{2}})(=)(frac{0}{1})(=0).

Ответ: (0).

Пример. Вычислите (ctg:(-765^circ)).
Решение:   (ctg: (-765^circ)=)(frac{cos:(-⁡765^circ)}{sin:⁡(-765^circ)})
Что бы вычислить синус и косинус (-765^°). Отложим (-765^°) на тригонометрическом круге. Для этого надо повернуть в отрицательную сторону на (720^°) , а потом еще на (45^°).

(sin⁡(-765^°)=-frac{sqrt{2}}{2});
(cos⁡(-765^°)=frac{sqrt{2}}{2}) ;
получается (ctg(-765^°)= frac{sqrt{2}}{2} ∶ -frac{sqrt{2}}{2}=-1).

Ответ: (-1).

Пример. Найдите (ctg:frac{π}{3}).
Решение:   (ctg: frac{π}{3}=)(frac{cos:⁡frac{π}{3}}{sin:⁡frac{π}{3}}). Опять находим синус пи на 3 и косинус пи на 3 (хоть с помощью тригонометрического круга, хоть по таблице):
(sin⁡(frac{π}{3})=frac{sqrt{3}}{2});
(cos⁡(frac{π}{3})=frac{1}{2}) ;
получается (ctg(frac{π}{3})=frac{1}{2} ∶ frac{sqrt{3}}{2}= frac{1}{2} cdot frac{2}{sqrt{3}}=frac{1}{sqrt{3}}).

Ответ: (frac{1}{sqrt{3}}).

Однако можно определять значение котангенса и напрямую через тригонометрический круг — для этого надо на нем построить дополнительную ось:

Ось котангенсов – это фактически копия оси косинусов, только сдвинутая. Поэтому все числа на ней расставляются так же как на оси косинусов.

Пример. Вычислите (ctg:frac{π}{4}).
Решение:   
1) Отмечаем (frac{π}{4}) на окружности.

2) Проводим через данную точку и начало координат прямую.

3) В данном случае координату долго искать не придется – она равняется (1).

Ответ: (1).

Пример. Найдите значение (ctg: 30°) и (ctg: (-60°)).
Решение:   
Для угла (30°) ((∠COA)) котангенс будет равен (sqrt{3}) (приблизительно (1,73)), потому что именно в таком значении сторона угла, проходящая через начало координат и точку (A), пересекает ось котангесов.
(ctg;(-60°)=frac{sqrt{3}}{{3}}) (примерно (-0,58)).

Значения для других часто встречающихся в практике углов смотри в тригонометрической таблице.

При этом котангенс не определен для:
1) всех точек (C) (значение в Пи: …(0), (2π), (4π), (-2π), (-4π) …; и значение в градусах: …(0°),(360°), (720°),(-360°),(-720°)…)
2) всех точек (D) (значение в Пи: …(π), (3π), (5π), (-π), (-3π), (-5π) …; и значение в градусах: …(180°),(540°),(900°),(-180°),(-540°),(-900°)…) .

Так происходит потому, что в этих точках синус равен нулю. А значит, вычисляя значение котангенса мы придем к делению на ноль, что запрещено. И прямая проходящая через начало координат и любую из этих точек никогда не пересечет ось котангенсов, т.к. будет идти параллельно ей. Поэтому в этих точках котангенс – НЕ СУЩЕСТВУЕТ (для всех остальных значений он может быть найден).

Из-за этого при решении тригонометрических уравнений и неравенств с котангенсом необходимо учитывать ограничения на ОДЗ.

Знаки по четвертям

С помощью оси котангенсов легко определить знаки по четвертям тригонометрической окружности. Для этого надо взять любую точку на четверти и определить знак котангенса для нее описанным выше способом. У всей четверти знак будет такой же.

Для примера на рисунке нанесены две зеленые точки в I и III четвертях. Для них значение котангенса положительно (зеленые пунктирные прямые приходят в положительную часть оси), значит и для любой точки из I и III четверти значение будет положительно (знак плюс).
С двумя фиолетовыми точками в II и IV четвертях – аналогично, но с минусом.

Связь с другими тригонометрическими функциями:

— синусом того же угла: формулой (1+ctg^2⁡x=)(frac{1}{sin^2⁡x}) 

— косинусом и синусом того же угла: (ctg⁡:x=)(frac{cos:⁡x}{sin⁡:x}) 

— тангенсом того же угла: формулой (tg⁡:x=)(frac{1}{ctg:x}) 
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь.

Смотрите также:
Формулы приведения
Решение уравнений (tgx=a) и (ctgx=a)