Как найти котангенс угла между плоскостями - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Угол между плоскостями

Содержание:

Углы между плоскостями — обозначение
Расположение плоскостей и формула вычисления угла между ними
- Параллельность
- Перпендикулярность
- Угол между плоскостями
Примеры решения задач

Углы между плоскостями — обозначение

Определение

Углом между плоскостями именуется такой угол, который образовался между перпендикулярными прямыми, опущенными в пределах этих плоскостей к линии их пересечения.

Рассмотрим данное понятие наглядно с помощью картинки:

Угол между плоскастями

Допустим, α и β — пересекающиеся плоскости. Проведем к линии с перпендикуляр a, который принадлежит α. Далее проведем прямую b, лежащую в β и образующую с прямой c угол в 90°. Угол между α и β равен углу, который образовался между а и b, обозначенному на картинке как φ. В записи это выглядит следующим образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

∠(α, β)=∠(а, b)=φ

На схеме видно, что при пересечении α и β возникают четыре угла, но углом между плоскостями считается острый угол. В случае, когда плоскости при пересечении создают прямые углы, они считаются перпендикулярными друг другу.

Расположение плоскостей и формула вычисления угла между ними

Существует несколько вариаций взаимного расположения двух плоскостей.

Параллельность

Теорема

Две плоскости считаются параллельными в том случае, если у них отсутствуют общие точки.

Возьмем за условие, что плоскости α, расположенной в некоторой прямоугольной системе координат, соответствует общее уравнение: А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0. А плоскость β определяется общим уравнением вида: А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0.

Согласно теореме о параллельности плоскостей, чтобы α и β являлись параллельными, достаточно отсутствия решений системы линейных уравнений вида:

(left{begin{array}{l}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0end{array}right.)

То есть приведенная выше система должна быть несовместной.

Доказательство

Допустим, указанные плоскости, соответствующие уравнениям А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 и А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0 параллельны друг другу, следовательно, у них отсутствуют общие точки. Это значит, что нет ни одной точки в прямоугольной системе координат, находящейся в трехмерном пространстве, чьи координаты отвечали бы условиям обоих уравнений одновременно или:

(left{begin{array}{l}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0end{array}right.)

не имеет решения.

В случае, если данная система уравнений не имеет решений, то в прямоугольной системе координат трехмерного пространства отсутствуют точки с координатами, одновременно отвечающими условиям обоих уравнений, входящих в рассматриваемую систему. Отсюда можно сделать вывод, что плоскости α и β с соответствующими им уравнениями А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 и А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0 не обладают ни одной общей точкой, а значит, являются параллельными. Теорема доказана.

Перпендикулярность

Две плоскости перпендикулярны друг другу, в ситуации, когда они при взаимном пересечении образуют прямой угол, то есть угол в 90°.

Теорема

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, которая перпендикулярна другой плоскости, то такие плоскости являются перпендикулярными.

Доказательство

Пусть: AB∈α, AB⊥β, AB∩β=A.

Перпендикулярный угол между плоскостями

Необходимо доказать, что α⊥β.

α∩β=AC, причем AB⊥AC по условию.
Проведем прямую AD, принадлежащую плоскости β и перпендикулярную AC.
∠BAD=90°, поскольку AB⊥β. Следовательно, заданные плоскости перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Следствие

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Теорема

Явность перпендикулярных пересекающихся плоскостей достигается при необходимом и достаточном условии, что нормальные векторы данных плоскостей при пересечении образовали прямой угол.

Доказательство

Допустим, в трехмерном пространстве существует некоторая прямоугольная система координат. При наличии нормальных векторов заданных плоскостей α и β с координатами:

(overrightarrow{n_1}=(A_1,B_1,C_1),)

(overrightarrow{n_2}=(A_2,B_2,C_2),)

то необходимо и достаточно, чтобы эти векторы приняли вид:

(left(overrightarrow{n_1},overrightarrow{;n_2}right)=0Leftrightarrow A_1times A_2+B_1times B_2+C_1times C_2=0)

Отсюда следует, что:

(overrightarrow{n_1}=(A_1,B_1,C_1),)

(overrightarrow{n_2}=(A_2,B_2,C_2))

— нормальные векторы плоскостей α и β. Чтобы заданные плоскости были перпендикулярными, достаточно, чтобы скалярное произведение данных векторов ровнялось нулю, то есть принимало вид:

(left(overrightarrow{n_1},overrightarrow{;n_2}right)=0Leftrightarrow A_1times A_2+B_1times B_2+C_1times C_2=0)

Равенство соблюдено.

Угол между плоскостями

Для вычисления угла между двумя пересекающимися плоскостями используют метод координат. Суть данного способа заключается в нахождении косинуса угла, образованного при пересечении плоскостей.

Метод координат

Предположим, что плоскости P₁ и P₂ заданы следующими уравнениями:

(P_1:;A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,;{overline N}_1=left(A_1,B_1,C_1right);)

(P_2:;A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,;{overline N}_2=left(A_2,B_2,C_2right))

Найдем косинус угла между P₁ и P₂ по формуле:

(cosleft(overbrace{P_1,P_2}right)=frac{overline{N_1}timesoverline{N_2}}{left|overline{N_1}right|timesleft|overline{N_2}right|}frac{A_1times A_2+B_1times B_2+C_1times C_2}{sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}timessqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}})

Запишем в ответе модуль косинуса угла, поскольку за величину угла между плоскостями принимают острый угол.

Примеры решения задач

Задача №1

Плоскости заданы уравнениями:

(alpha:;x-y+1=0)

(beta:y-z+1=0)

Определить пересекаются ли α и β. В случае пересечения заданных плоскостей найти угол между ними.

Решение:

Найдем угол между заданными плоскостями:

(alpha:;x-y+1=0,Rightarrowoverline{N_1}=(1,-1,0);)

(beta:;y-z+1=0,Rightarrowoverline{N_2}=(0,1,-1))

Далее вычислим косинус угла между α и β:

(cosleft(overbrace{alpha,beta}right)=frac{overline{N_1}timesoverline{N_2}}{left|overline{N_1}right|timesleft|overline{N_2}right|}=frac{1times0+left(-1right)times1+0timesleft(-1right)}{sqrt{1^2+left(-1right)^2+0^2}timessqrt{0^2+1^2+left(-1right)^2}}=frac{-1}{sqrt4}=-frac12)

В ответе запишем модуль найденной величины.

Ответ: плоскости α и β пересекаются, а косинус угла между ними равен ½.

Задача №2

Плоскость α проходит через точку A(1,1,−1) и перпендикулярна к плоскостям, заданным уравнениями:

(beta:;2x-y+5z+3=0;)

(varphi:;x+3y-z-7=0)

Составьте уравнение плоскости α.

Решение:

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности α к плоскостям β и φ является параллельность α к нормалям β и φ — N₁ и N₂, иными словами, α должна быть перпендикулярна к произведению векторов [N₁,N₂].

(x = {-b pm sqrt{b^2-4ac} over 2a}beta:;2x-y+5z+3=0,Rightarrow;overline{N_1}=left(2,-1,5right))

(varphi:;x+3y-z-73=0,Rightarrow;overline{N_2}=left(1,3,-1right))

(left[N_1,N_2right]=begin{vmatrix}i&j&k\2&-1&5\1&3&-1end{vmatrix}=ileft(1-15right)-jleft(-2-5right)+kleft(6+1right)=-14i+7j+7k)

Следующим шагом выпишем уравнение плоскости α, проходящей через точку A(1,1,−1) и перпендикулярную вектору [N₁,N₂]=(−14,7,7):

(-14left(x-1right)+7left(y-1right)+7left(z+1right)=left.0right|:7)

(-2left(x-1right)+y-1+z+1=0)

(−2x+y+z+2=0)

Ответ: (−2x+y+z+2=0.)

Источник

.
.
Найдите угол между

(ABC)
и (FDC)

(FDC)
и (FBC)

(ABF)
и (FDC)

FB

(ABC).
Найдите
угол между

(ABC)
и (FDC)

(AFB)
и (FBC)

(AFD)
и (FBC)

AF

(ABC).
Найдите угол между (ABC)
и (FCB).

_ΔАВС–
равнобедренный

_ΔАВС
–
прямоугольный,

С
= 90⁰

_ΔАВС
– тупоугольный,

С
> 90⁰

SB

(ABC).
ABCDEF
– правильный шестиугольник. Найдите
угол между

(SAB) и (SBC)	(SFЕ) и (ABC)	(ASF) и (ABC)

(FSЕ) и (DSE)	(ASB) и (SDE)	(ASF) и (SCD)

ABCDA₁B₁C₁D₁
– прямой параллелепипед. Найдите угол

(AА₁C₁)
и
(BB₁D₁)

(ABC)
и
(AB₁C₁)

(ABC)
и
(AB₁C)

Задачи

3.1.1. а) Основанием
пирамиды FABCD
служит квадрат со стороной 16. Вершина
пирамиды проецируется в центр основания.
Высота пирамиды равна 8. Какой угол
составляет плоскость боковой грани
(FDC)
с плоскостью основания?

О т в е т: 45⁰.

б) Основанием
пирамиды FABCD
является ромб со стороной 16 и углом 30⁰.
Вершина пирамиды проецируется в точку
пересечения диагоналей ромба. Высота
пирамиды равна 8. Чему равен тангенс
угла наклона боковой грани (FDC)
к плоскости основания?

О т в е т: 2.

3.1.2. а)
Основанием
пирамиды служит квадрат. Вершина пирамиды
проецируется в центр основания. Докажите,
что угол между смежными боковыми гранями
не может быть равен 60⁰.

б) FABCD
– пирамида.
ABCD
– ромб.
....
Расстояние от точки пересечения
диагоналей ромба до большего бокового
ребра равно 6. Найдите угол между
плоскостями (FDC)
и (FBC).

О т в е т: 90⁰.

3.1.3. а) Основанием
пирамиды служит квадрат со стороной 2.
Вершина пирамиды проецируется в центр
основания. Угол между несмежными боковыми
гранями пирамиды равен 60⁰.
Найдите площадь боковой поверхности
пирамиды.

О т в е т: 8.

б) Основанием
пирамиды FABCD
является ромб со стороной 12. Вершина
пирамиды проецируется в точку пересечения
диагоналей ромба. Высота пирамиды равна
.
Угол между плоскостями (ABF)
и (FDC)
равен 60⁰.
Найдите площадь боковой поверхности
пирамиды.

О т в е т: 144.

3.2.1. а) Основанием
пирамиды является квадрат, диагональ
которого равна
.
Плоскости двух боковых граней
перпендикулярны к плоскости основания,
а две другие боковые грани образуют с
основанием углы по 45⁰.
Чему равна высота пирамиды?

О т в е т: 3.

б) Основанием
пирамиды служит ромб со стороной 12 и
углом 150⁰.
Высота пирамиды равна 9. Плоскости двух
боковых граней перпендикулярны к
плоскости основания. Найдите тангенс
угла наклона двух других боковых граней
к плоскости основания.

О т в е т: 1,5.

3.2.2. а) FABCD
– пирамида.
ABCD
– ромб.
...
Найдите длину ребраFB.

О т в е т: 6.

б)
FABCD
– пирамида.
ABCD
– ромб.

.
Найдите
длину ребра FB.

О т в е т: 2.

3.2.3. а) FABCD
– пирамида. ABCD
– квадрат.
..
Косинус угла между плоскостями (AFD)
и (FBC)
равен 0,8. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.

О т в е т: 27.

б)
FABCD
– пирамида.
ABCD
– ромб.
...
Косинус угла между плоскостями (AFD)
и (FBC)
равен 0,8. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.

О т в е т: 54.

3.3.1.
FABC
– пирамида.
.
Расстояние между прямымиAF
и BC
равно 6. Плоскость (FBC)
составляет с плоскостью (ABC)
угол, тангенс которого равен 0,75. Найдите
высоту пирамиды.

О т в е т: 4,5.

3.3.2. FABC
– пирамида.
.,.
Косинус угла между плоскостями (AFC)
и (AFB)
равен 0,8. Котангенс угла между плоскостями
(FBC)
и (ABC)
равен 2,5. Найдите высоту пирамиды.

О т в е т: 1,6.

3.3.3. Основание
пирамиды FABC
служит тупоугольный равнобедренный
треугольник ABC,
площадь которого равна
,.,.
Найдите котангенс угла между плоскостями
(FBC)
и (ABC).

О т в е т: 0,5.

3.4. SABCDEF
– пирамида.
.ABCDEF
– правильный
шестиугольник. Найдите:

1) Косинус угла
между плоскостями (SAB)
и (SBC).

О т в е т: – 0,5.

2) Угол между
плоскостями (SFЕ)
и (ABC),
если
.

О т в е т: 30⁰.

3) Высоту пирамиды,
если
,
угол между плоскостями (ASF)
и (ABC)
равен 60⁰.

О т в е т: 9.

4) Угол между
плоскостями (FSЕ)
и (DSE),
если расстояние от вершины F
до большего ребра пирамиды равно стороне
основания.

О т в е т: 120⁰.

5) Угол между
плоскостями (ASB)
и (SDE),
если
.

О т в е т: 60⁰.

6) Угол между
плоскостями (ASF)
и (SCD),
если
,.

О т в е т: 60⁰.

3.5.1 а) ABCDA₁B₁C₁D₁
– прямой параллелепипед. Найдите угол
между плоскостями (AА₁C₁)
и (BB₁D₁),
если ABCD
– квадрат.

О т в е т: 90⁰.

б) Основанием
прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁
является параллелограмм ABCD,
в котором
,,.
Найдите синус угла между плоскостями
(AА₁C₁)
и (BB₁D₁).

О т в е т: 0,8.

3.5.2 а) ABCDA₁B₁C₁D₁
– прямой параллелепипед. ABCD
– квадрат.
..
Найдите косинус угла наклона плоскостик плоскости основания параллелепипеда.

О т в е т: 0,6.

б) Основанием
прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁
является параллелограмм ABCD,
в котором
,.
Высота призмы равна 3. Найдите тангенс
угла между плоскостью основания и
плоскостью.

О т в е т: 1,2.

3.5.3 а)
ABCDA₁B₁C₁D₁
– прямой параллелепипед. ABCD
– квадрат. Косинус угла между плоскостями
(ABC)
и (AB₁C)
равен
.
Во сколько раз высота параллелепипеда
больше стороны основания?

О т в е т: в 2 раза.

б) ABCDA₁B₁C₁D₁
– прямой параллелепипед. ABCD
– параллелограмм,
,.
Синус угла между плоскостями (ABC)
и (AB₁C)
равен 0,8. Найдите высоту параллелепипеда.

О т в е т: 4.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

На этой странице вы узнаете

Как мы сталкиваемся с двугранными углами, когда читаем книгу?
Где в комнате можно найти перпендикулярные плоскости?
Как с помощью линейки и листа воспроизвести в жизни теорему о трех перпендикулярах?

Стереометрия — это не просто раздел математики, который нужно долго и нудно учить. На самом деле стереометрия описывает всю нашу жизнь. Стало интересно? Давайте разбираться.

Углы между плоскостями

Мы точно знаем, что угол между стеной и полом равен 90°. Также, как и угол между стеной и потолком, или полом и любым предметом мебели.

Но чему равен угол между двумя открытыми страницами тетради? Или угол между стеной и полуоткрытой дверью? Угол между перилами и плоскостью пола? Все эти углы достаточно легко найти. И ответы на все эти вопросы нам дает именно стереометрия.

Начнем разбирать в углах между плоскостями с того, что введем понятие двугранного угла.

Двугранный угол — это часть пространства, заключенная между двумя полуплоскостями, имеющими общую границу.

Если мы откроем книгу не полностью и посмотрим на пространство между двумя страницами, это пространство и будет двугранным углом.

На рисунке:
АВ — общая прямая для плоскостей, ее называют ребром двугранного угла;
a, b — плоскости, которые образуют двугранный угол, они называются гранями двугранного угла.

Как мы сталкиваемся с двугранными углами, когда читаем книгу?

Если раскрыть книгу не полностью, то ее страницы будут образовывать двугранный угол, то есть часть пространства, заключенную между двумя страницами.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей обычно образуется четыре двугранных угла. Нас интересует меньший из них.

Настало время ввести понятие угла между двумя плоскостями. Но для этого нам нужно провести перпендикуляры к ребру двугранного угла в каждой плоскости. Важно, чтобы перпендикуляры пересекались в одной точке.

Проведенные перпендикуляры образовали четыре угла. Меньший из них и будет называться углом между плоскостями.

Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей. Перпендикуляры должны лежать в данных плоскостях.

Обозначим нужный нам угол на рисунке как угол COD. Он и будет являться углом между данными плоскостями.

Угол COD также будет называться линейным углом двугранного угла.

Линейный угол двугранного угла показывает градусную меру двугранного угла. Поскольку двугранный угол — это часть пространства, то в этом пространстве можно провести множество линейных углов, которые будут равны между собой.

Как и обычные углы, углы между плоскостями бывают трех видов:

Острые, то есть меньше 90⁰
Прямые, равные 90⁰
Тупые, которые больше 90и меньше 180⁰

Как уже было сказано выше, за угол между плоскостями всегда принимается острый угол, образованный этими плоскостями.

А что будет, если между плоскостями получится прямой угол?

Такие плоскости называются перпендикулярными.

Где в комнате можно найти перпендикулярные плоскости?

Достаточно посмотреть на стены и пол, или стены и потолок. А еще на углы потолка — в них будет три перпендикулярные плоскости.

У перпендикулярных плоскостей есть одна очень интересная особенность: все углы, образованные ими, равны между собой и равняются 90° градусам.

Чтобы найти угол между плоскостями, необходимо следовать следующему алгоритму.

Алгоритм нахождения угла между плоскостями

1 шаг. Найти линию пересечения плоскостей.

2 шаг. Достроить к этой линии перпендикуляр в каждой плоскости.

3 шаг. Найти острый угол между построенными перпендикулярами.

Углы между прямой и плоскостью

Если нарисовать две прямые на листе бумаги, мы с легкостью можем измерить угол между ними с помощью транспортира. А если провести прямую к плоскости, как точно измерить угол между ними?

И в этом вопросе к нам снова на помощь приходит стереометрия. Но для начала рассмотрим, что такое угол между прямой и плоскостью.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Что такое проекция? Предположим, мы проткнем лист бумаги (плоскость) очень длинной иглой.

А теперь сделаем этот рисунок ближе к чертежу. Пусть плоскость а пересекает прямая а в точке О.

Начнем строить проекцию. Прежде чем разобраться, что такое проекция прямой на плоскость, найдем проекцию точки на плоскость.

Возьмем на нашей прямой а точку А и опустим из нее перпендикуляр к плоскости а. Точка, в которой перпендикуляр пересечет плоскость, будет называться проекцией точки на плоскость. На рисунке обозначим ее как А₁.

Проекция точки на плоскость — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Теперь, если мы будем брать каждую точку на прямой и проектировать ее на плоскость а, то получим проекцию этой прямой на плоскость. Но поскольку на прямой бесконечное множество точек, достаточно соединить точки А₁ и О, получаем, что А₁О — проекция прямой а на плоскость а.

Заметим, что если мы проведем из любой точки прямой проекцию к плоскости, то попадем на прямую А₁О.

Проекция прямой а на плоскость — это прямая а₁, образованная проекциями всех точек прямой а на плоскость.

Таким образом можно построить проекции не только прямой, но и любой фигуры.

Мы построили угол из определения. Тогда углом между прямой а и плоскость а будет угол А₁ОА.

В этом случае мы также берем острый угол, образованный прямой и плоскостью.

Алгоритм нахождения угла между прямой и плоскостью

Шаг 1. Построить проекцию прямой на плоскость.

Шаг 2. Найти угол между прямой и построенной проекцией.

Если прямая параллельна плоскости угол будет равен 0.

Проекция прямой на плоскость будет этой же прямой, просто лежащей в плоскости.

Когда прямая перпендикулярна плоскости, проекцией прямой на плоскость будет точка пересечения прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью будет равен 90°.

Чуть подробнее остановимся на случае, когда прямая перпендикулярна плоскости.

Прямая, перпендикулярная плоскости — прямая, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей в этой плоскости.

А что делать, если прямая будет перпендикулярна только одной прямой из плоскости? По определению обязательно, чтобы она была перпендикулярна всем прямым из плоскости. Как тогда проверить перпендикулярность?

Для этого существует признак перпендикулярности прямой и плоскости:

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она будет перпендикулярна этой плоскости.

Следовательно, если необходимо в задаче доказать перпендикулярность прямой и плоскости, достаточно доказать, что прямая будет перпендикулярна всего двум пересекающимся прямым в этой плоскости, а не всему множеству прямых, лежащий в данной плоскости.

Рассмотрим несколько интересных свойств, связанных с прямой, перпендикулярной к плоскости.

Свойство 1. Через любую точку пространства можно провести единственную прямую, перпендикулярную плоскости.

Попробуйте подставить уголок к стене из любой точки. Получится ли у вас сделать так, что из одной и той же точки уголок встанет перпендикулярно стене несколько раз? Нет.

Свойство 2. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то такие прямые параллельны.

Здесь тоже просто все доказать. Достаточно построить в плоскости прямую, которая пересечет две данные прямые и посмотреть на рисунок “сбоку”. Заметим, что соответственные углы равны, а значит, прямые параллельны.

Подробнее про соответственные углы и параллельные прямые можно прочитать в статье “Основы планиметрии”.

Свойство 3. Если к одной прямой перпендикулярны две плоскости, то такие плоскости параллельны.

Тут такие же рассуждения, как и в предыдущем свойстве: достаточно построить прямые, принадлежащие плоскостям, и посмотреть на них “сбоку”.

Свойство 4. Если через перпендикулярную к плоскости прямую проходит плоскость, то данные плоскости будут перпендикулярны.

Это легко проверить, если найти любой двугранный угол между построенными плоскостями.

Теорема о трех перпендикулярах

Разберем еще одну очень интересную теорему, связанную с проекциями прямой на плоскость. А именно мы рассмотрим теорему о трех перпендикулярах.

Для начала попробуем понять ее на реальных предметах.

Как с помощью линейки и листа воспроизвести в жизни теорему о трех перпендикулярах?

Возьмем уголок и зафиксируем его строго вертикально на листе. Для удобства назовем уголок АВС, где С — прямой угол.

Сразу заметим, что прямая АС будет перпендикулярна плоскости листа (поскольку уголок стоит строго вертикально, а лист лежит строго горизонтально).
Дальше заметим, что прямые АС и ВС также перпендикулярны, поскольку в уголке угол С равен 90°.
Посмотрим чуть-чуть внимательнее и обратим внимание, что прямая ВС при этом будет проекцией на плоскость листа прямой АВ.

Немного достроим наш рисунок и через точку В проведем прямую, перпендикулярную ВС. Назовем эту прямую КМ.
Сразу отмечаем, что прямая КМ перпендикулярна ВС по построению, а также перпендикулярна прямой АС (поскольку АС — перпендикуляр к плоскости листа).

Можем ли мы что-то еще сказать про нашу ситуацию? Оказывается, прямая АВ также будет перпендикулярна прямой КМ.

Возникнет вопрос, почему?

1. Вспомним признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она будет перпендикулярна этой плоскости.

Теперь узнаем, как этот признак выполняется в данной ситуации.

2. Посмотрим на ситуацию немного под другим углом и в этот раз возьмем за плоскость не лист, а нашу линейку.

3. Тогда две пересекающиеся прямые в плоскости линейки будут перпендикулярны прямой КМ: BCKM по построению, а ACKM как прямая, перпендикулярная к плоскости листа, а значит, и перпендикулярная всем прямым в этой плоскости.

4. Получается, что прямая КМ перпендикулярна плоскости АВС, следовательно, перпендикулярна и всем прямым в этой плоскости, в том числе прямой АВ.

Таким образом, длинная сторона линейки будет наклонной прямой, основание — ее проекцией, а начерченная линия — перпендикуляром к проекции.

Мы рассмотрели теорему о трех перпендикулярах. Осталось ее только сформулировать математическим языком.

Теорема о трех перпендикулярах
Если наклонная прямая АВ к плоскости а перпендикулярна прямой КМ в этой плоскости, то и проекция прямой АВ на плоскость а перпендикулярна к прямой КМ.

Для построения чертежа заменим линейку на несколько отрезков. Тогда АВ — наклонная, ВС — проекция, КМ — прямая в плоскости.

Как с помощью линейки и листа воспроизвести в жизни теорему о трех перпендикулярах?

Для этого нужно взять лист бумаги и треугольную линейку. На листе бумаги построить произвольную прямую, а после поставить линейку строго вертикально так, чтобы основание линейки на листе было перпендикулярно начерченной прямой.

Таким образом, длинная сторона линейки будет наклонной прямой, основание — ее проекцией, а начерченная линия — перпендикуляром к проекции.

Вот и все, ничего сложного. А называется теорема так потому, что в построении действительно присутствуют три перпендикуляра, которые отлично видно на рисунке.

Теорему о трех перпендикулярах можно активно использовать для доказательства и решении задач.

Фактчек

Двугранный угол — это часть пространства, заключенная между двумя полуплоскостями, имеющими общую границу. Градусной мерой двугранного угла будет линейный угол двугранного угла или, другими словами, угол между плоскостями.
Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей. Перпендикуляры должны лежать в данных плоскостях. За угол между плоскостями принимают острый угол, образованный этими плоскостями. Если угол между плоскостями равен 90°, то такие плоскости перпендикулярны.
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, необходимо построить проекцию прямой на плоскость и найти угол между прямой и ее проекцией. Если прямая параллельна плоскости, то угол между ними будет равен 0°. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними будет равен 90°.
Прямая, перпендикулярная плоскости — прямая, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы доказать, что прямая перпендикулярна плоскости, достаточно доказать, что эта прямая перпендикулярна двум пересекающимся в плоскости прямым.
Теорема о трех перпендикулярах гласит, что если наклонная прямая а к плоскости а перпендикулярна прямой b в этой плоскости, то и проекция прямой а на плоскость а перпендикулярна к прямой b.

Проверь себя

Задание 1.
Выберите верное утверждение.

Градусной мерой двугранного угла будет линейный угол двугранного угла. При этом все линейные углы двугранного угла равны между собой;
Градусной мерой двугранного угла будет линейный угол двугранного угла. При этом линейные углы двугранного угла не равны между собой;
Грань двугранного угла — это общая прямая плоскостей, которые его образуют;
Ребра двугранного угла — это плоскости, которые его образуют.

Задание 2.
Угол между плоскостями — это…

Тупой угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей;
Острый или прямой угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей;
Тупой угол между двумя произвольными линиями, проведенными к линии пересечения плоскостей;
Острый или прямой угол между двумя произвольными линиями, проведенными к линии пересечения плоскостей.

Задание 3.
Что такое проекция прямой на плоскость?

Это любая прямая, проведенная из точки пересечения прямой и плоскости;
Это перпендикуляр, опущенный из любой точки на плоскость;
Это всегда точка пересечения прямой и плоскости;
Это прямая, образованная проекциями всех точек прямой на плоскость.

Задание 4.
Какой будет проекция прямой, перпендикулярной к плоскости, на эту плоскость?

Проекция будет равна этой прямой и параллельна ей;
Проекция будет меньше прямой и образовывать с ней угол;
Проекция будет точкой пересечения прямой и плоскости;
Проекция будет больше прямой и образовывать с ней угол.

Задание 5.
Как доказать, что прямая перпендикулярна плоскости?

Достаточно доказать, что прямая перпендикулярна одной любой прямой в плоскости;
Достаточно доказать, что прямая перпендикулярна двум параллельным прямым в плоскости;
Достаточно доказать, что угол между прямой и любой прямой в плоскости равен 90°;
Достаточно доказать, что прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в этой плоскости.

Ответы: 1. — 1 2. — 2 3. — 4 4. — 3 5. — 4

Источник

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Нахождение угла между плоскостями (двугранный угол)

(blacktriangleright) Двугранный угол – угол, образованный двумя полуплоскостями и прямой (a), которая является их общей границей.

(blacktriangleright) Чтобы найти угол между плоскостями (xi) и (pi), нужно найти линейный угол (причем острый или прямой) двугранного угла, образованного плоскостями (xi) и (pi):

Шаг 1: пусть (xicappi=a) (линия пересечения плоскостей). В плоскости (xi) отметим произвольную точку (F) и проведем (FAperp
a);

Шаг 2: проведем (FGperp pi);

Шаг 3: по ТТП ((FG) – перпендикуляр, (FA) –наклонная, (AG) – проекция) имеем: (AGperp a);

Шаг 4: угол (angle FAG) называется линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями (xi) и (pi).

Заметим, что треугольник (AG) – прямоугольный.
Заметим также, что плоскость (AFG), построенная таким образом, перпендикулярна обеим плоскостям (xi) и (pi). Следовательно, можно сказать по-другому: угол между плоскостями (xi) и (pi) — это угол между двумя пересекающимися прямыми (cin xi) и (binpi), образующими плоскость, перпендикулярную и (xi), и (pi).

Задание
1

#2875

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дана четырехугольная пирамида, все ребра которой равны, причем основание является квадратом. Найдите (6cos alpha), где (alpha) – угол между ее смежными боковыми гранями.

Пусть (SABCD) – данная пирамида ((S) – вершина), ребра которой равны (a). Следовательно, все боковые грани представляют собой равные равносторонние треугольники. Найдем угол между гранями (SAD) и (SCD).

Проведем (CHperp SD). Так как (triangle SAD=triangle SCD), то (AH) также будет высотой в (triangle SAD). Следовательно, по определению (angle AHC=alpha) – линейный угол двугранного угла между гранями (SAD) и (SCD).
Так как в основании лежит квадрат, то (AC=asqrt2). Заметим также, что (CH=AH) – высота равностороннего треугольника со стороной (a), следовательно, (CH=AH=frac{sqrt3}2a).
Тогда по теореме косинусов из (triangle AHC): [cos alpha=dfrac{CH^2+AH^2-AC^2}{2CHcdot AH}=-dfrac13 quadRightarrowquad
6cosalpha=-2.]

Ответ: -2

Задание
2

#2876

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Плоскости (pi_1) и (pi_2) пересекаются под углом, косинус которого равен (0,2). Плоскости (pi_2) и (pi_3) пересекаются под прямым углом, причем линия пересечения плоскостей (pi_1) и (pi_2) параллельна линии пересечения плоскостей (pi_2) и (pi_3). Найдите синус угла между плоскостями (pi_1) и (pi_3).

Пусть линия пересечения (pi_1) и (pi_2) – прямая (a), линия пересечения (pi_2) и (pi_3) – прямая (b), а линия пересечения (pi_3) и (pi_1) – прямая (c). Так как (aparallel b), то (cparallel aparallel b) (по теореме из раздела теоретической справки “Геометрия в пространстве” (rightarrow) “Введение в стереометрию, параллельность”).

Отметим точки (Ain a, Bin b) так, чтобы (ABperp a, ABperp b) (это возможно, так как (aparallel b)). Отметим (Cin c) так, чтобы (BCperp c), следовательно, (BCperp b). Тогда (ACperp c) и (ACperp a).
Действительно, так как (ABperp b, BCperp b), то (b) перпендикулярна плоскости (ABC). Так как (cparallel aparallel b), то прямые (a) и (c) тоже перпендикулярны плоскости (ABC), а значит и любой прямой из этой плоскости, в частности, прямой (AC).

Отсюда следует, что (angle BAC=angle (pi_1, pi_2)), (angle
ABC=angle (pi_2, pi_3)=90^circ), (angle BCA=angle (pi_3,
pi_1)). Получается, что (triangle ABC) прямоугольный, а значит [sin angle BCA=cos angle BAC=0,2.]

Ответ: 0,2

Задание
3

#2877

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Даны прямые (a, b, c), пересекающиеся в одной точке, причем угол между любыми двумя из них равен (60^circ). Найдите (cos^{-1}alpha), где (alpha) – угол между плоскостью, образованной прямыми (a) и (c), и плоскостью, образованной прямыми (b) и (c). Ответ дайте в градусах.

Пусть прямые пересекаются в точке (O). Так как угол между любыми двумя их них равен (60^circ), то все три прямые не могут лежать в одной плоскости. Отметим на прямой (a) точку (A) и проведем (ABperp
b) и (ACperp c). Тогда (triangle AOB=triangle AOC) как прямоугольные по гипотенузе и острому углу. Следовательно, (OB=OC) и (AB=AC).
Проведем (AHperp (BOC)). Тогда по теореме о трех перпендикулярах (HCperp c), (HBperp b). Так как (AB=AC), то (triangle
AHB=triangle AHC) как прямоугольные по гипотенузе и катету. Следовательно, (HB=HC). Значит, (OH) – биссектриса угла (BOC) (так как точка (H) равноудалена от сторон угла).

Заметим, что таким образом мы к тому же построили линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью, образованной прямыми (a) и (c), и плоскостью, образованной прямыми (b) и (c). Это угол (ACH).

Найдем этот угол. Так как точку (A) мы выбирали произвольно, то пусть мы выбрали ее так, что (OA=2). Тогда в прямоугольном (triangle AOC): [sin 60^circ=dfrac{AC}{OA}
quadRightarrowquad AC=sqrt3 quadRightarrowquad
OC=sqrt{OA^2-AC^2}=1.] Так как (OH) – биссектриса, то (angle
HOC=30^circ), следовательно, в прямоугольном (triangle HOC): [mathrm{tg},30^circ=dfrac{HC}{OC}quadRightarrowquad HC=dfrac1{sqrt3}.] Тогда из прямоугольного (triangle ACH): [cosangle alpha=cosangle ACH=dfrac{HC}{AC}=dfrac13 quadRightarrowquad
cos^{-1}alpha=3.]

Ответ: 3

Задание
4

#2910

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Плоскости (pi_1) и (pi_2) пересекаются по прямой (l), на которой лежат точки (M) и (N). Отрезки (MA) и (MB) перпендикулярны прямой (l) и лежат в плоскостях (pi_1) и (pi_2) соответственно, причем (MN = 15), (AN = 39), (BN = 17), (AB = 40). Найдите (3cosalpha), где (alpha) – угол между плоскостями (pi_1) и (pi_2).

Треугольник (AMN) прямоугольный, (AN^2 = AM^2 + MN^2), откуда [AM^2 = 39^2 — 15^2 = 36^2.] Треугольник (BMN) прямоугольный, (BN^2 = BM^2 + MN^2), откуда [BM^2 = 17^2 — 15^2 = 8^2.] Запишем для треугольника (AMB) теорему косинусов: [AB^2 = AM^2 + MB^2 — 2cdot AMcdot MBcdotcosangle AMB.] Тогда [40^2 = 36^2 + 8^2 — 2cdot 36cdot 8cdotcosangle AMBqquadLeftrightarrowqquad cosangle AMB = -dfrac{5}{12}] Так как угол (alpha) между плоскостями – это острый угол, а (angle AMB) получился тупым, то (cosalpha=dfrac5{12}). Тогда [3cosalpha = dfrac54=1,25.]

Ответ: 1,25

Задание
5

#2911

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

(ABCDA_1B_1C_1D_1) – параллелепипед, (ABCD) – квадрат со стороной (a), точка (M) – основание перпендикуляра, опущенного из точки (A_1) на плоскость ((ABCD)), кроме того (M) – точка пересечения диагоналей квадрата (ABCD). Известно, что (A_1M = dfrac{sqrt{3}}{2}a). Найдите угол между плоскостями ((ABCD)) и ((AA_1B_1B)). Ответ дайте в градусах.

Построим (MN) перпендикулярно (AB) как показано на рисунке.

Так как (ABCD) – квадрат со стороной (a) и (MNperp AB) и (BCperp AB), то (MNparallel BC). Так как (M) – точка пересечения диагоналей квадрата, то (M) – середина (AC), следовательно, (MN) – средняя линия и (MN =frac12BC= frac{1}{2}a).
(MN) – проекция (A_1N) на плоскость ((ABCD)), причем (MN) перпендикулярен (AB), тогда по теореме о трех перпендикулярах (A_1N) перпендикулярен (AB) и угол между плоскостями ((ABCD)) и ((AA_1B_1B)) есть (angle A_1NM).
[mathrm{tg}, angle A_1NM = dfrac{A_1M}{NM} = dfrac{frac{sqrt{3}}{2}a}{frac{1}{2}a} = sqrt{3}qquadRightarrowqquadangle A_1NM = 60^{circ}]

Ответ: 60

Задание
6

#1854

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В квадрате (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей; (S) – не лежит в плоскости квадрата, (SO perp ABC). Найдите угол между плоскостями (ASD) и (ABC), если (SO = 5), а (AB = 10).

Прямоугольные треугольники (triangle SAO) и (triangle SDO) равны по двум сторонам и углу между ними ((SO perp ABC) (Rightarrow) (angle SOA = angle SOD = 90^circ); (AO = DO), т.к. (O) – точка пересечения диагоналей квадрата, (SO) – общая сторона) (Rightarrow) (AS = SD) (Rightarrow) (triangle ASD) – равнобедренный. Точка (K) – середина (AD), тогда (SK) – высота в треугольнике (triangle ASD), а (OK) – высота в треугольнике (AOD) (Rightarrow) плоскость (SOK) перпендикулярна плоскостям (ASD) и (ABC) (Rightarrow) (angle SKO) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.

В (triangle SKO): (OK = frac{1}{2}cdot AB = frac{1}{2}cdot 10 = 5 = SO) (Rightarrow) (triangle SOK) – равнобедренный прямоугольный треугольник (Rightarrow) (angle SKO = 45^circ).

Ответ: 45

Задание
7

#1855

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В квадрате (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей; (S) – не лежит в плоскости квадрата, (SO perp ABC). Найдите угол между плоскостями (ASD) и (BSC), если (SO = 5), а (AB = 10).

Прямоугольные треугольники (triangle SAO), (triangle SDO), (triangle SOB) и (triangle SOC) равны по двум сторонам и углу между ними ((SO perp ABC) (Rightarrow) (angle SOA = angle SOD = angle SOB = angle SOC = 90^circ); (AO = OD = OB = OC), т.к. (O) – точка пересечения диагоналей квадрата, (SO) – общая сторона) (Rightarrow) (AS = DS = BS = CS) (Rightarrow) (triangle ASD) и (triangle BSC) – равнобедренные. Точка (K) – середина (AD), тогда (SK) – высота в треугольнике (triangle ASD), а (OK) – высота в треугольнике (AOD) (Rightarrow) плоскость (SOK) перпендикулярна плоскости (ASD). Точка (L) – середина (BC), тогда (SL) – высота в треугольнике (triangle BSC), а (OL) – высота в треугольнике (BOC) (Rightarrow) плоскость (SOL) (она же плоскость (SOK)) перпендикулярна плоскости (BSC). Таким образом получаем, что (angle KSL) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.

(KL = KO + OL = 2cdot OL = AB = 10) (Rightarrow) (OL = 5); (SK = SL) – высоты в равных равнобедренных треугольниках, которые можно найти по теореме Пифагора: (SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50). Можно заметить, что (SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2) (Rightarrow) для треугольника (triangle KSL) выполняется обратная теорема Пифагора (Rightarrow) (triangle KSL) – прямоугольный треугольник (Rightarrow) (angle KSL = 90^circ).

Ответ: 90

Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ по математике, как правило, начинается с повторения основных формул, в том числе и тех, которые позволяют определить угол между плоскостями. Несмотря на то, что этот раздел геометрии достаточно подробно освещается в рамках школьной программы, многие выпускники нуждаются в повторении базового материала. Понимая, как найти угол между плоскостями, старшеклассники смогут оперативно вычислить правильный ответ в ходе решения задачи и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.

Основные нюансы

Чтобы вопрос, как найти двугранный угол, не вызывал затруднений, рекомендуем следовать алгоритму решения, который поможет справиться с заданиями ЕГЭ.
Вначале необходимо определить прямую, по которой пересекаются плоскости.
Затем на этой прямой нужно выбрать точку и провести к ней два перпендикуляра.
Следующий шаг — нахождение тригонометрической функции двугранного угла, который образован перпендикулярами. Делать это удобнее всего при помощи получившегося треугольника, частью которого является угол.
Ответом будет значение угла или его тригонометрической функции.

Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха

В процессе занятий накануне сдачи ЕГЭ многие школьники сталкиваются с проблемой поиска определений и формул, которые позволяют вычислить угол между 2 плоскостями. Школьный учебник не всегда есть под рукой именно тогда, когда это необходимо. А чтобы найти нужные формулы и примеры их правильного применения, в том числе и для нахождения угла между плоскостями в Интернете в режиме онлайн, порой требуется потратить немало времени.

Математический портал «Школково» предлагает новый подход к подготовке к госэкзамену. Занятия на нашем сайте помогут ученикам определить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях.

Мы подготовили и понятно изложили весь необходимый материал. Базовые определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».

Для того чтобы лучше усвоить материал, предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач различной степени сложности, например, на нахождение угла между прямой и плоскостью, представлена в разделе «Каталог». Все задания содержат подробный алгоритм нахождения правильного ответа. Перечень упражнений на сайте постоянно дополняется и обновляется.

Практикуясь в решении задач, в которых требуется найти угол между двумя плоскостями, учащиеся имеют возможность в онлайн-режиме сохранить любое задание в «Избранное». Благодаря этому они смогут вернуться к нему необходимое количество раз и обсудить ход его решения со школьным учителем или репетитором.

Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды

Источник

Угол между плоскостями.

Определение.

Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному нормальными векторами этих плоскостей.

Определение.

Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному прямыми l₁ и l₂, лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии пересечения плоскостей.

Формула для вычисления угла между плоскостями

Если заданы уравнения плоскостей A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, то угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

cos α =	\|A₁·A₂ + B₁·B₂ + C₁·C₂\|
√A₁² + B₁² + C₁²√A₂² + B₂² + C₂²

Примеры задач на вычисление угла между плоскостями

Пример 1.

Найти угол между плоскостями 2x + 4y — 4z — 6 = 0 и 4x + 3y + 9 = 0.

Решение. Подставим в формулу вычисления угла между плоскостями соответствующие коэффициенты:

cos α =

|2·4 + 4·3 + (-4)·0|√2² + 4² + (-4)²√4² + 3² + 0²

|8 + 12|√36√25

2030

Ответ: косинус угла между плоскостями равен cos α = 23.

Источник