Как найти котерминальный угол в тригонометрии

Trigonometry is a subject that involves the observation of evaluation or analysis of angles. It includes trigonometric functions and trigonometric operations for the determination of unknown angles. Trigonometry also has its own formulas for different operations and has standard trigonometric values or ratios under different angles for the basic functions sine, cosine, tangent, cotangent, secant, and cosecant.

The given article focuses on the sub-topic of trigonometry coterminal angles. The content of the article includes a bride description about coterminal angles and their types, the formula of coterminal angles, and the method to find it out. Some sample problems are also included to understand the method of calculation.

Coterminal angles

Coterminal angles can be defined as the angles having the same initial and terminal sides. Coterminal angles hold a standard position in each quadrant which determines their different values. When we see coterminal angles in trigonometry, the coterminal angles have the same values for the functions of sine, cosine, and tangent. These angles are generally determined by the mathematical operation of adding or subtracting 360 degrees or 2π to the given angle.

While determining a coterminal angle is the angles move clockwise or anticlockwise they will coincide at the same terminal side. As per their rotation, coterminal angles can be positive or negative.

• Positive coterminal angle

When the rotation is anticlockwise and the value of ‘n’ is found to be positive it is considered to be the positive coterminal angle.

 In θ ± 360n, the n attends positive value when the rotation is anticlockwise.

• Negative coterminal angle

When the rotation is clockwise and the value of ‘n’ is found to be negative it is considered to be the negative coterminal angle.

In θ ± 360n, the n attends negative value when the rotation is clockwise.

How to find coterminal angles?

Answer:

The coterminal angles are determined by the derived coterminal angles formula that uses   ‘θ’ as a reference for the operation. Hence, the value of θ is required to find coterminal angles whether in degree or radian.

The mathematical formula of coterminal angles is,

• In Degrees

θ ± 360n

• In Radian

θ±2πn

Where, 

n is the integer

As studied earlier it is known that coterminal angles can be determined in degrees or radians. And, the 360n or 2πn are the multiples of the given integer. Therefore,

• To determine the coterminal angle in degrees, add or subtract multiples of 360 to the given angle.
• To determine the coterminal angles in radians, add or subtract multiples of 2π to the given angle.

Sample Problems

Question 1: Find the coterminal angle of π/2.

Solution:

Given:

The angle is θ = π/2. (In radians)

Now,

Add or subtract multiples of 2π from the angle,

Let’s subtract 2π from the given angle.

=> π/2 – 2π

=> -3π/2

Hence, the coterminal angle of π/2 is -3π/2.

Question 2: Find the coterminal angle of π/4.

Solution:

Given:

The angle is θ = π/4 (In radians)

Now,

Add or subtract multiples of 2π from the angle,

Let’s add 2π from the given angle.

=> π/4 + 2π

=> 9π/4

Hence, the coterminal angle of π/4 is 9π/4.

Question 3: Find the coterminal angle of π/6.

Solution:

Given

The angle is θ = π/6 (In radians)

Now,

Add or subtract multiples of 2π from the angle,

Let’s subtract 2π from the given angle.

=> π/6 – 2π

=> -11π/6

Hence, the coterminal angle of π/6 is -11π/6.

Question 4: Find the coterminal angles of 30°.

Solution:

Given:

The angle θ = 30°

For anticlockwise, let n = 1

=> θ + 360n

=> 30 + 360(1)

=> 390°

For clockwise, let n = -2

=> θ – 360n

=> 30 – 360(-2)

=> -690°

Question 5: Find the coterminal angles of 40°.

Solution:

Given:

The angle θ = 40°

For anticlockwise, let n = 1

=> θ + 360n

=> 40 + 360(1)

=> 400°

For clockwise, let n = -2

=> θ – 360n

=> 40 – 360(-2)

=> 40 – 720

=> -680°

Question 6: Find the coterminal angles of -450°.

Solution:

Given:

The angle θ = -450°

For anticlockwise, let n = 1

=> θ + 360n

=> -450 + 360(1)

=> -90°

For clockwise, let n = -2

=> θ – 360n

=> -450 – 360(-2)

=> -450 – 720

=> -1170°

Last Updated :
28 Nov, 2022

Like Article

Save Article

Содержание

• Как найти терминальные углы в градусах
• Как найти терминальные углы в радианах
• Пример 1: Нахождение конерминальных углов и классификация по квадранту
• Пример 10: Котерминальные главные углы

Котерминальные углы — это углы в стандартном положении, которые имеют одинаковые конечные стороны. Каждый угол имеет неограниченное количество концевых углов. Если задано θ в стандартном положении с измерением xn, то угловые меры, которые совпадают с углом, задаются формулой θ = x ° + 360 ° n. Обратите внимание, что n — целое число. Эта теорема утверждает, что меры любых двух котерминальных углов различаются на целое число, кратное 360 °. Например, на приведенном ниже рисунке θ = 430 °. Ниже показан пример угла на одном конце, который показывает θ и два его угла на одном конце, обозначенные цифрами 1 и 2.

1 = 430° + 360° (-1)
1 = 70°

2 = 430° + 360° (-2)
2 = -290°

Если мы сложим положительные кратные от 360 ° до 430 °, мы обнаружим, что углы с размерами 790 °, 1150 °, 1510 ° также совпадают с заданным θ = 430 °.

Запишите эти несколько заметок, чтобы иметь возможность подробно узнать о конерминальных углах. Поверните луч или полулинию вокруг его конечной точки, чтобы определить угол. Начальное положение луча — это начальная сторона угла, а положение после поворота — конечная сторона. Начало координат — это вершина в системе координат, а начальная сторона совпадает с положительной осью абсцисс; такой угол находится в стандартном положении. Также следует помнить, что вращение против часовой стрелки генерирует положительные углы, а вращение по часовой стрелке генерирует отрицательные углы. Наконец, всегда помните, что два угла являются концевыми, если разница в их градусах делится на 360 °.

Давайте посмотрим на концевые углы некоторых основных тригонометрических углов, показанные в таблице вопросов и ответов.

Котерминальные углы 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 120 °, 112 ° и 220 °

Как найти терминальные углы в градусах

При нахождении концевых углов обратите внимание на то, что их размеры должны отличаться на целое число, кратное 360 °.

• Случай 1: задан положительный угол и угол больше 360°. Чтобы найти наименьшие положительные концевые углы, вычитайте 360 ° несколько раз, пока результат не станет положительным углом, меньшим или равным 360 °.
• Случай 2: задан неположительный угол. При нахождении концевых углов неположительного угла несколько раз прибавляйте 360 °, пока результат не станет положительным углом, меньшим или равным 360 °.

Как найти терминальные углы в радианах

Два угла являются концевыми, если у них одинаковые начальная и конечная стороны, а другой способ измерения углов — в радианах. Один радиан — это мера центрального угла θ, который пересекает дугу s, равную по длине радиусу r окружности. Это означает, что θ = s / r, где θ в радианах. Поскольку длина окружности равна 2

Тот же принцип применяется к нахождению оконечных углов в радианах. Например, углы 0 и 2

Пример 1: Нахождение конерминальных углов и классификация по квадранту

Предположим, что данные углы находятся в стандартном положении. Определите величину положительного угла величиной менее 360 °, которая совпадает с данным углом. Затем классифицируйте угол по квадранту.

1. = 550°
2. β = -225°
3. = 1105°

Решение

θ = x ° + 360 ° с.
= х ° + 360 ° (п)
1105 ° = х ° + 360 ° (3)
x ° = 1105 ° — 1080 °
х ° = 25 °

Окончательный ответ

1. Какой угол между 0 ° и 360 ° имеет ту же конечную сторону, что и θ?
2. Какой опорный угол для θ?

Решение

Уменьшите заданное значение θ до минимально возможного угла наклона от 0 ° до 360 °, добавив при необходимости несколько раз 360 °.

928° — 360° = 568°

568° — 360° = 208°

Определим квадрант, в котором находятся концевые углы. Поскольку 928 ° и 208 ° имеют одну и ту же сторону вывода в квадранте III, опорный угол для θ = 928 ° можно определить путем вычитания 180 ° из угла котерминала между 0 ° и 360 °.

208° — 180° = 28°

Окончательный ответ

Угол между 0 ° и 360 ° имеет ту же сторону вывода, что и θ = 928 °, это 208 °, а исходный угол составляет 28 °.

Пример 10: Котерминальные главные углы

Какой главный угол совпадает с углом -743 °?

Решение

Напишите уравнение по общей формуле для концевых углов θ = x ° + 360 ° n, учитывая, что θ = -743.

-743 ° = x ° — 360 ° с.ш.

-743 ° = x ° — 360 ° (3)

-743 ° = х ° — 1080 °

Умножьте обе части уравнения на -1. Обратите внимание, что выбор положительного целого числа для n приводит к углу, который больше, чем угол 743 °, но наиболее близок к нему.

-1 (-743 °) = -1 (x ° — 1080 °)

743 ° = -x ° + 1080 °

x ° = 1080 ° — 743 °

х ° = 337 °

Окончательный ответ

Главный угол на терминале с θ = -743 равен x ° = 337 °.

Любой угол может иметь много-много описаний в терминах угловых измерений, потому что угол эквивалентен его углам. Наиболее часто используемые положительные угловые измерения — это измерения от 0 до 360 градусов. Правила для общих углов включают сложение или вычитание поворотов (или кратных 360 градусам).

Первое уравнение показывает, что происходит, когда вы добавляете полный оборот снова и снова. Вторая показывает, что происходит, когда вы вычитаете полный оборот много раз. Результаты все углы coterminal.

Таким образом, угол, равный 100 градусам, совпадает со следующим:

Вот пример: предположим, что вы хотите задать новые меры для углов 800 градусов и –1, 040 градусов, найдя эквивалентную угловую меру от 0 до 360 градусов.

Вычтите 360 градусов из 800, пока результат не станет меньше 360.



Угол измерения 800 градусов является общим для угла 80 градусов.

Добавьте 360 градусов к –1, 040, пока результат не станет положительным.



Угол измерения –1, 040 градусов является коперминалом с углом 40 градусов.

Тригонометрические функции кратных углов (вывод с помощью комплексных чисел)

Рассмотрим комплексное число

модуль которого равен 1, а аргумент равен α (см. раздел «Комплексные числа» нашего справочника). Если комплексное число (1) возвести в квадрат, то, с одной стороны,

а, с другой стороны,

откуда, приравнивая вещественные и мнимые части комплексных чисел (2) и (3), мы получаем тригонометрические формулы «Косинус двойного угла» и «Синус двойного угла»:

cos 2α = cos ²α – sin ²α ,

sin 2α = 2cos α sin α .

Если же комплексное число (1) возвести в куб, то, с одной стороны,

а, с другой стороны,

Следовательно,

z ³ = cos ³ α – 3cos α sin² α +
+ i (3cos ²α sin α – sin³α) ,

откуда, приравнивая вещественные и мнимые части комплексных чисел (4) и (5), мы получаем соотношения

cos 3α =
= cos³α – 3cos α sin² α =
= cos³α –
– 3cos α (1 – cos²α) =
= 4cos³α – 3cos α ,

sin 3α =
= 3cos²α sin α – sin³α =
= 3(1 – sin²α) sin α –
– sin³α =
= 3sin α – 4sin³α .

Таким образом,

cos 3α = 4cos³α – 3cos α ,

sin 3α = 3sin α – 4sin³α ,

и вывод тригонометрических формул «Косинус тройного угла» и «Синус тройного угла» завершен.

Совершенно аналогично можно вывести формулы для cos nα и sin nα, где n – произвольное натуральное число.