Как найти ковариацию двух случайных величин пример

Двумерной называют случайную величину

, возможные значения
которой есть пары чисел

. Составляющие

 и

, рассматриваемые
одновременно, образуют систему двух случайных величин. Двумерную величину
геометрически можно истолковать как случайную точку

 на плоскости

 либо как случайный вектор

.

Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны.

Закон распределения дискретной двумерной СВ.
Безусловные и условные законы распределения составляющих

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие
между возможными значениями и их вероятностями.

Закон
распределения дискретной двумерной случайной величины может быть задан:

а) в
виде таблицы с двойными входом, содержащей возможные значения и их вероятности;

б) аналитически, например в виде функции распределения.

Зная
закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы
каждой из составляющих. В общем случае, для того чтобы найти вероятность

, надо просуммировать
вероятности столбца

. Аналогично сложив
вероятности строки

 получим вероятность

.

Пусть
составляющие

 и

 дискретны и имеют соответственно следующие
возможные значения:

; 

.

Условным распределением составляющей

 при

 (j сохраняет одно и то же
значение при всех возможных значениях

) называют совокупность
условных вероятностей:

Аналогично
определяется условное распределение

.

Условные
вероятности составляющих

 и

 вычисляют соответственно по формулам:

Для
контроля вычислений целесообразно убедиться, что сумма вероятностей условного
распределения равна единице.

Ковариация (корреляционный момент)

Ковариация двух случайных величин характеризует степень зависимости случайных величин, так
и их рассеяние вокруг точки

.

Ковариацию
(корреляционный момент) можно найти по формуле:

Свойства ковариации

Свойство 1.

Ковариация двух независимых случайных величин равна нулю.

Свойство 2.

Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их
произведение математических ожиданий.

Свойство 3.

Ковариация двухмерной случайной величины по абсолютной случайной величине не
превосходит среднеквадратических отклонений своих компонентов.

Коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции – отношение ковариации двухмерной случайной
величины к произведению среднеквадратических отклонений.

Формула коэффициента корреляции:

Две
случайные величины

 и

 называют коррелированными, если их коэффициент
корреляции отличен от нуля.

 и

 называют некоррелированными величинами, если
их коэффициент корреляции равен нулю

Свойства коэффициента корреляции

Свойство 1.

Коэффициент корреляции двух независимых случайных величин равен нулю. Отметим,
что обратное утверждение неверно.

Свойство 2.

Коэффициент корреляции двух случайных величин не превосходит по абсолютной
величине единицы.

Свойство 3.

Коэффициент корреляции двух случайных величин равен по модулю единице тогда и
только тогда, когда между величинами существует линейная функциональная
зависимость.

Линейная регрессия

Рассмотрим
двумерную случайную величину

, где

 и

 – зависимые случайные величины. Представим
одну из величины как функцию другой. Ограничимся приближенным представлением
величины

 в виде линейной функции величины

:

где

 и

 – параметры, подлежащие определению. Это можно
сделать различными способами и наиболее употребительный из них – метод
наименьших квадратов.

Линейная
средняя квадратическая регрессия

 на

 имеет вид:

Коэффициент

называют
коэффициентом регрессии

 на

, а прямую

называют
прямой среднеквадратической регрессии

 на

.

Аналогично
можно получить прямую среднеквадратической регрессии

 на

:

Смежные темы решебника:

• Двумерная непрерывная случайная величина
• Линейный выборочный коэффициент корреляции
• Парная линейная регрессия и метод наименьших квадратов

Задача 1

Закон
распределения дискретной двумерной случайной величины (X,Y) задан таблицей.

Требуется:

—
определить одномерные законы распределения случайных величин X и Y;

— найти
условные плотности распределения вероятностей величин;

—
вычислить математические ожидания m_x и m_y;

—
вычислить дисперсии σ_x и σ_y;

—
вычислить ковариацию μ_xy;

—
вычислить коэффициент корреляции r_xy.

xy	3	5	8	10	12
-1	0.04	0.04	0.03	0.03	0.01
1	0.04	0.07	0.06	0.05	0.03
3	0.05	0.08	0.09	0.08	0.05
6	0.03	0.04	0.04	0.06	0.08

---

Задача 2

Задана
дискретная двумерная случайная величина (X,Y).

а) найти
безусловные законы распределения составляющих; б) построить регрессию случайной
величины Y на X;  в) построить регрессию случайной величины X на Y;  г) найти коэффициент ковариации; д) найти
коэффициент корреляции.

Y	X
1	2	3	4	5
30	0.05	0.03	0.02	0.01	0.01
40	0.03	0.02	0.02	0.04	0.01
50	0.05	0.03	0.02	0.02	0.01
70	0.1	0.03	0.04	0.03	0.01
90	0.1	0.04	0.01	0.07	0.2

---

Задача 3

Двумерная случайная величина (X,Y) задана
таблицей распределения. Найти законы распределения X и Y, условные
законы, регрессию и линейную регрессию Y на X.

x y	1	2	3
1.5	0.03	0.02	0.02
2.9	0.06	0.13	0.03
4.1	0.4	0.07	0.02
5.6	0.15	0.06	0.01

---

Задача 4

Двумерная
случайная величина (X,Y) распределена по закону

XY	1	2
-3	0,1	0,2
0	0,2	0,3
-3	0	0,2

Найти
законы распределения случайных величины X и Y, условный закон
распределения Y при X=0 и вычислить ковариацию.
Исследовать зависимость случайной величины X и Y.

---

Задача 5

Случайные
величины ξ и η имеют следующий совместный закон распределения:

P(ξ=1,η=1)=0.14

P(ξ=1,η=2)=0.18

P(ξ=1,η=3)=0.16

P(ξ=2,η=1)=0.11

P(ξ=2,η=2)=0.2

P(ξ=2,η=3)=0.21

1)
Выписать одномерные законы распределения случайных величин ξ и η, вычислить
математические ожидания Mξ, Mη и дисперсии Dξ, Dη.

2) Найти
ковариацию cov(ξ,η) и коэффициент корреляции ρ(ξ,η).

3)
Выяснить, зависимы или нет события {η=1} и {ξ≥η}

4)
Составить условный закон распределения случайной величины γ=(ξ|η≥2) и найти Mγ и
Dγ.

---

Задача 6

Дан закон
распределения двумерной случайной величины (ξ,η):

	ξ=-1	ξ=0	ξ=2
η=1	0,1	0,1	0,1
η=2	0,1	0,2	0,1
η=3	0,1	0,1	0,1

1) Выписать одномерные законы
распределения случайных величин ξ и η, вычислить математические ожидания M_ξ,
M_η и дисперсии D_ξ, D_η

2) Найти ковариацию cov(ξ,η) и
коэффициент корреляции ρ(ξ,η).

3) Являются ли случайные события |ξ>0|
и |η> ξ | зависимыми?

4) Составить условный закон
распределения случайной величины γ=(ξ|η>0) и найти M_γ  и D_γ.

---

Задача 7

Дано
распределение случайного вектора (X,Y). Найти ковариацию X и Y.

XY	1	2	4
-2	0,25	0	0,25
1	0	0,25	0
3	0	0,25	0

---

Задача 8

Случайные
приращения цен акций двух компаний за день имеют совместное распределение,
заданное таблицей. Найти ковариацию этих случайных величин.

YX	-1	1
-1	0,4	0,1
1	0,2	0,3

---

Задача 9

Найдите
ковариацию Cov(X,Y) для случайного дискретного вектора (X,Y),
распределенного по закону:

	X=-3	X=0	X=1
Y=-2	0,3	?	0,1
Y=1	0,1	0,1	0,2

---

Задача 10

Совместный
закон распределения пары

 задан таблицей:

xh	-1	0	1
-1	1/12	1/4	1/6
1	1/4	1/12	1/6

Найти
закон распределения вероятностей случайной величины xh и вычислить cov(2x-3h,x+2h).
Исследовать вопрос о зависимости случайных величин x и h.

---

Задача 11

Составить двумерный закон распределения случайной
величины (X,Y), если известны законы независимых составляющих. Чему равен коэффициент
корреляции r_xy?

X	20	25	30	35
P	0.1	0.1	0.4	0.4

и

---

Задача 12

Задано
распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (X,Y):

XY	0	1	2
-1	?	0,1	0,2
1	0,1	0,2	0,3

---

Задача 13

Совместное
распределение двух дискретных случайных величин ξ и η задано таблицей:

ξη	-1	1	2
0	1/7	2/7	1/7
1	1/7	1/7	1/7

Вычислить
ковариацию cov(ξ-η,η+5ξ). Зависимы ли ξ и η?

---

Задача 14

Рассчитать
коэффициенты ковариации и корреляции на основе заданного закона распределения
двумерной случайной величины и сделать выводы о тесноте связи между X и Y.

XY	2,3	2,9	3,1	3,4
0,2	0,15	0,15	0	0
2,8	0	0,25	0,05	0,01
3,3	0	0,09	0,2	0,1

---

Задача 15

Задан
закон распределения случайного вектора (ξ,η). Найдите ковариацию (ξ,η)
и коэффициент корреляции случайных величин.

xy	1	4
-10	0,1	0,2
0	0,3	0,1
20	0,2	0,1

---

Задача 16

Для
случайных величин, совместное распределение которых задано таблицей
распределения. Найти:

а) законы
распределения ее компонент и их числовые характеристики;

b) условные законы распределения СВ X при условии Y=b и СВ Y при
условии X=a, где a и b – наименьшие значения X и Y.

с)
ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y;

d) составить матрицу ковариаций и матрицу корреляций;

e) вероятность попадания в область, ограниченную линиями y=16-x² и y=0.

f) установить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми;
коррелированными.

XY	-1	0	1	2
-1	0	1/6	0	1/12
0	1/18	1/9	1/12	1/9
2	1/6	0	1/9	1/9

---

Задача 17

Совместный
закон распределения случайных величин X и Y задан таблицей:

XY	0	1	3
0	0,15	0,05	0,3
-1	0	0,15	0,1
-2	0,15	0	0,1

Найдите:

а) закон
распределения случайной величины X и закон распределения
случайной величины Y;

б) EX, EY, DX, DY, cov(2X+3Y, X-Y), а
также математическое ожидание и дисперсию случайной величины V=6X-8Y+3.

---

Задача 18

Известен
закон распределения двумерной случайной величины (X,Y).

а) найти
законы распределения составляющих и их числовые характеристики (M[X],D[X],M[Y],D[Y]);

б)
составить условные законы распределения составляющих и вычислить
соответствующие мат. ожидания;

в)
построить поле распределения и линию регрессии Y по X и X по Y;

г)
вычислить корреляционный момент (коэффициент ковариации) μ_xy и
коэффициент корреляции r_xy.

	5	20	35
100	—	—	0.05
115	—	0.2	0.15
130	0.15	0.35	—
145	0.1	—	—-

Содержание:

Ковариация:

Важную информацию о системе случайных величин

которая называется ковариацией или ковариационным моментом. Заметим, что Из определения ковариации следует, что 

откуда 

Кроме того, 

Если случайные величины X и Y независимы, то их ковариация равна нулю и тогда

Ковариация содержит информацию о зависимости между величинами. Но значение изменяется при изменении единиц измерения X и Y. Поэтому для характеристики зависимости между величинами удобно рассматривать величину

которая называется коэффициентом корреляции величин X и Y.

Величины и характеризуют разброс положений случайной точка на плоскости. Эти числовые характеристики принято записывать в виде матрицы

которую называют ковариационной матрицей системы случайных величин (X,Y).

Корреляционная зависимость

Наиболее простой и известной формой зависимости между величинами является функциональная зависимость, при которой каждому значению аргумента соответствует строго определенное значение функции. Функциональная зависимость может быть и между случайными величинами. Существует иной, широко распространенный в природе, тип зависимости между случайными величинами. Эта зависимость проявляется в том, что закон распределения одной случайной величины изменяется при изменении другой. Такая зависимость называется статистической.

Следует заметить, что функциональная зависимость бывает лишь в теоретических построениях или в условиях специально подготовленных опытов. Физический опыт в том и состоит, что исследователь старается по возможности исключить влияние всех посторонних факторов и наблюдать зависимость в чистом виде.

Явления окружающего нас мира взаимосвязаны и воздействие одной переменной на другую происходит при одновременном воздействии множества других переменных, поэтому даже функциональные зависимости проявляются как зависимости статистические.

Итак, при статистической зависимости изменение одной величины приводит к изменению закона распределения другой. Если Y – дискретная случайная величина, то это означает, что при каждом фиксированном значении имеется набор возможных значений и соответствующих им вероятностей Последним обозначением подчеркивается, что речь идет о событии при условии, что произошло событие .

Набор возможных значений и соответствующих им условных вероятностей образует условный закон распределения

Для непрерывной случайной величины можно ввести понятие условной функции распределения или условной плотности вероятности. Если рассмотреть вероятности событий и то по аналогии с теоремой умножения вероятностей событий можно получить для условной плотности вероятности соотношение где – плотность вероятности системы  а – маргинальная плотность вероятности случайной величины X. Из этого соотношения

На протяжении этого раздела будем проводить выкладки только для дискретных случайных величин. Для непрерывных случайных величин все рассуждения и выводы останутся в силе, если заменить суммы на интегралы, а вероятности на плотности вероятности.

Статистическая зависимость сложна для изучения. Трудно проследить за изменением всего закона распределения сразу. Проще сосредоточиться на изучении изменения числовых характеристик, в первую очередь математического ожидания. Условный закон распределения имеет числовые характеристики такие же, как и обычные законы распределения. В частности, – для дискретной случайной величины называют условным математическим ожиданием, или средним значением Y при заданном значении . Для непрерывной случайной величины его вычисляют в виде Если условные математические ожидания при разных значениях X соединить, то получится линия, называемая линией регрессии Y на X. Уравнение этой линии называют уравнением регрессии Y на X (см. рис. 2.14.1, на котором точками показаны возможные значения двумерной случайной величины ).

Корреляционной зависимостью Y от X называется функциональная зависимость условного среднего значения Y от X. Графиком корреляционной зависимости служит линия регрессии. Например, рост человека X и его вес Y связаны статистической зависимостью. Для каждого значения роста существует целое распределение возможных значений веса. Между этими величинами существует и корреляционная зависимость, которая для людей зрелого возраста выражается известной формулой:

Вместе с изменением условного среднего значения может изменяться и разброс Y относительно условного среднего значения. При каждом 142 значении можно вычислить дисперсию соответствующих значений Y. Эту дисперсию называют условной дисперсией. Например, для дискретной случайной величины условная дисперсия равна 

Всякую зависимость изучают для того, чтобы уметь по известному значению одной величины предсказывать значение другой. При статистической зависимости между величинами можно использовать для прогноза линию регрессии. Если стало известно, что , то в качестве предполагаемого значения Y можно назвать соответствующее условное среднее значение т.е. ординату линии регрессии при данном Если Y принимает значение то будет ошибкой прогноза и величину можно рассматривать как среднюю квадратическую ошибку прогноза Y по значению X при указанном способе действий.

Представление о среднем квадрате ошибки прогноза Y по линии регрессии дает средняя из условных дисперсий

Здесь значения взяты с учетом вероятности каждого значения Величина равна среднему квадрату отклонения значений Y от линии регрессии. Ее можно записать в виде 

Заметим, что при прогнозе Y по любой другой линии средний квадрат ошибки прогноза будет больше. В самом деле, для любой постоянной

Второе слагаемое в правой части равно нулю, так как Третье слагаемое, очевидно, неотрицательно. Поэтому 

Равенство возможно лишь при  Это означает, что средняя квадратическая ошибка прогноза будет наименьшей, если случайную величину прогнозировать по ее среднему значению. Линия регрессии проходит через условные средние значения Y. Поэтому можно утверждать, что линия регрессии минимизирует среднюю квадратическую ошибку прогноза случайной величины Y по наблюдаемому значению величины X.

Линейная корреляция

Корреляция называется линейной, если линия регрессии одной величины на другую является прямой. В противном случае говорят о нелинейной корреляции.

Пусть линия регрессии имеет вид Согласно свойству линии регрессии, должен быть минимален средний квадрат отклонений Y от этой линии, т.е. минимальной должна быть величина

причем ее минимальное значение равно

Параметры можно найти из условия минимума функции Необходимые условия экстремума дают систему уравнений

решения которой имеют вид 

где – коэффициент корреляции (2.14.1). Если выражения (2.14.3) подставить в то после ряда преобразований получается, что

Из соотношений (2.14.3) и (2.14.4) можно извлечь информацию о свойствах коэффициента корреляции.

1. Так как то откуда

2. Если то в силу (2.14.3) и угловой коэффициент линии регрессии равен нулю. Линия регрессии параллельна оси ОX. В этом случае говорят, что величины некоррелированы, так как среднее значение Y не изменяется при изменении X. Отсутствие корреляционной зависимости не всегда означает независимость величин. Например, при постоянном среднем значении Y может изменяться разброс значений относительно среднего (см. рис. 2.14.2, на котором точками изображены возможные положения случайной точки).

3. Из (2.14.3) следует, что угловой коэффициент линии регрессии и коэффициент корреляции имеют одинаковые знаки. Если то говорят, что величины коррелированы положительно. В этом случае большему значению величины X соответствует большее среднее значение Y (см. рис. 2.14.3). Еще раз подчеркнем, что речь идет именно об увеличении среднего значения Y. В отдельных опытах большему X может соответствовать меньшее Y. Например, положительно коррелированы рост и вес человека, возраст и высота дерева, качество сырья и качество продукции и т.д.

Если то говорят, что величины коррелированы отрицательно. Это означает, что большему значению одной величины соответствует в среднем меньшее значение другой. Например, число пропусков занятий и успеваемость коррелированы отрицательно.

4. Если то из (2.14.4) следует, что В этом случае разброса относительно линии регрессии нет. Между величинами существует линейная функциональная зависимость.

5. Из (2.14.4) следует, что при   Значит, чем больше по модулю коэффициент корреляции, тем теснее прилегают значения Y к линии регрессии, тем меньше средний квадрат ошибки прогноза Y по наблюдаемому значению X. На рис. 2.14.4 для сравнения показан разброс положений случайной точки относительно линии регрессии при двух разных значениях коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции служит мерой линейной зависимости между величинами. Он показывает насколько статистическая зависимость близка к функциональной.

Отметим, что в силу (2.14.3) уравнение линии регрессии можно записать в виде

или 

Пример №1

Случайные величины X и Y независимы и имеют одинаковое распределение с математическим ожиданием и дисперсией

1) Найти коэффициент корреляции случайных величин   и

2) Найти коэффициент корреляции между случайными величинами

Решение. 1) По определению Найдем необходимые для вычисления величины. По свойствам математического ожидания и дисперсии имеем:

Аналогично, 

Так как X и Y независимы, то 

В результате имеем

2) Вычислим величины, которые необходимы для использования формулы

Так как X и Y независимы, то 

Поэтому 

Ответ.  

Пример №2

Равновозможны все положения случайной точки в треугольнике D с вершинами А(0,0), В(0,1) и С(2,1). Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y. Найти линию регрессии Y на X и оценить точность прогноза величины Y по наблюдаемому значению X.

Решение. Равновозможность всех положений случайной точки в треугольнике АВС (см. рис. 2.14.5) означает, что плотность вероятности вне этого треугольника, а в точках треугольника постоянна.

Площадь треугольника АВС равна 1. В точках треугольника положим Тем самым соблюдено условие равенства единице объема, заключенного между функцией плотности вероятности и координатной плоскостью (напомним, что это является одним из отличительных свойств функции плотности вероятности системы двух случайных величин).

Маргинальные функции плотности вероятности величин X и Y равны соответственно: 

Вычислим величины, необходимые для использования формул (2.14.3) и (2.14.5): 

Тогда 

По формулам (2.14.3), (2.14.5) находим коэффициент корреляции и уравнение линии регрессии Если использовать эту линию регрессии для прогноза Y по известному значению X, то средний квадрат ошибки прогноза по формуле (2.14.4) равен 

Ответ. 

Пример №3

Подбрасывают два игральных кубика. Пусть X – число выпавших «пятерок», а Y – число нечетных очков. Найдите закон 149 распределения случайного вектора  его математическое ожидание и дисперсионную матрицу. Найдите коэффициент корреляции

Решение. Если кубики однородны и симметричны, то вероятность выпадения каждой грани равна 1/6. Запишем сначала закон распределения случайного вектора . Каждая из компонент вектора может принимать только значения 0, 1 и 2. Поэтому закон распределения можно представить в виде таблицы: 

В клетках таблицы записаны вероятности Например, 1 так как с вероятностью на первом кубике появится «5», а на втором кубике с вероятностью выпадет четное число, либо наоборот, на первом кубике – четное число, а на втором – «5». Или, например, так как на каждом кубике должна выпасть нечетная цифра, но не «5». Вычислим числовые характеристики случайного вектора: 

Заметим, что X имеет биномиальное распределение. Поэтому математическое ожидание можно было подсчитать проще: – произведение числа опытов на вероятность появления события в одном опыте. Аналогично, Для вычисления дисперсий вычислим предварительно математические ожидания квадратов величин:

Тогда 

Дисперсионная матрица случайного вектора имеет вид 

Коэффициент корреляции равен

Ответ. 

Замечание. Рассмотрим индикатор события A:

Известно, что Силу зависимости между событиями A и B можно оценить по величине коэффициента корреляции индикаторов этих событий. По формуле (2.14.1) имеем

Коэффициент принимает значения в [-1;1], но есть некоторые особенности в трактовке значений коэффициента.

Если  то события независимы и наоборот (вспомните, для случайных величин факт равенства коэффициента корреляции нулю не означал независимость случайных величин). Положительные значения коэффициента корреляции говорят о том, что появление одного события увеличивает вероятность появления другого. Например, из рис. 2.14.6 видно, что отношение площади области B к площади прямоугольника меньше, чем отношение площади области AB к площади области A. Поэтому факт появления события A увеличивает вероятность появления события B.

Чем ближе к плюс единице значение , тем в большей степени проявляется это увеличение. При появление одного события всегда влечет появление другого. Если же то появление одного события уменьшает вероятность появления другого. Например, из рис. 2.14.7 видно, что отношение площади области B к площади прямоугольника больше, чем отношение площади области AB к площади области A. Поэтому факт появления события A уменьшает вероятность появления события B. Значение свидетельствует о том, что появление одного события исключает появление другого. 

Пример №4

В одной урне четыре белых и два черных шара, а во второй два белых и три черных. Обозначим через A и B выбор белого шара соответственно из первой и второй урны. Ясно, что а 152 P( ) 2 / 5 B = и события независимы. Пусть при выборе из первой урны белого шара, его перекладывают во вторую урну и только потом выбирают из нее шар. Оценить силу зависимости между событиями A и B.

Решение. Для вычисления коэффициента корреляции воспользуемся формулой (2.14.6):

Заметим, что в случае добавлении не одного, а двух белых шаров во вторую урну этот коэффициент равен

 

Ответ. 

Ковариации двух случайных величин

Ковариация

_{Характеристикой
зависимости между случайными величинами
X
и Y
служит математическое ожидание
произведения отклонений X
и Y от их
центров распределений (так иногда
называют математическое ожидание
случайной величины), которое называется
коэффициентом ковариации или просто
ковариацией.}

_{Cov(X;Y) = E((X–EX)(Y–EY))}

_{Пусть
X = x1,
x2,
x3,,
xn,
Y= y1,
y2,
y3,,yn.
Тогда}

_Cov(X;Y)=

_{Эту
формулу можно интерпретировать так.
Если при больших значениях Х
более вероятны большие значения Y,
а при малых значениях X
более вероятны малые значения Y,
то в правой части формулы ковариации
положительные слагаемые
доминируют, и ковариация принимает
положительные значения.}

_{Если
же более вероятны произведения
(xi – EX)(yj – EY),
состоящие из сомножителей разного
знака, то есть исходы случайного
эксперимента, приводящие к большим
значениям X
в основном приводят к малым значениям
Y и наоборот,
то ковариация принимает большие по
модулю отрицательные значения.}

_{В
первом случае принято говорить о прямой
связи: с ростом X
случайная величина Y
имеет тенденцию к возрастанию.}

_{Во
втором случае говорят об обратной связи:
с ростом X
случайная величина Y
имеет тенденцию к уменьшению или падению.}

_{Если
примерно одинаковый вклад в сумму дают
и положительные и отрицательные
произведения (xi – EX)(yj – EY)pij,
то можно сказать, что в сумме они будут
“гасить” друг друга и ковариация будет
близка к нулю. В этом случае не
просматривается зависимость одной
случайной величины от другой.}

_{Легко
показать, что если}

_{P((X = xi)∩(Y = yj)) = P(X = xi)P(Y = yj)
(i = 1,2,,n;
j = 1,2,,k),}

_{то
cov(X;Y)=
0.}

_{Действительно
из (2) следует}

_{Здесь
использовано очень важное свойство
математического ожидания: математическое
ожидание отклонения случайной величины
от ее математического ожидания равно
нулю.}

_{Ковариацию
удобно представлять в виде}

_{Cov(X;Y)=E(XY–XEY–YEX+EXEY)=E(XY)–E(XEY)–E(YEX)+E(EXEY)=}

_{=E(XY)–EXEY–EXEY+EXEY=E(XY)–EXEY}

_{Ковариация
двух случайных величин равна математическому
ожиданию их произведения минус
произведение математических ожиданий.}

_{Поскольку
для независимых случайных величин EXY
= EXEY,
то, очевидно, что для
независимых случайных величин X
и Y cov(X;Y)=0.}

Определение.
Случайные величины, ковариация которых
равна нулю, называют некоррелированными.

!!!
Замечание.
Как было
показано выше, из независимости случайных
величин следует их некоррелированность,
то есть равенство нулю корреляции.
Обратное
неверно! Рассмотрим
соответствующий пример:

Пусть
случайная величина Х имеет равномерное
распределение на интервале (-1, 1), а
случайная величина Y
связана со случайной величиной Х
функциональной зависимостью Y=X²
. Покажем, что cov
(X,Y)=0,
хотя налицо функциональная зависимость
.

Учитывая
, что ЕХ=0 (середина интервала (-1,1)),
получаем:

cov
(X,Y)=EXY-EXEY=EX³
=

Итак,
из некоррелированности случайных
величин не следует их независимость.

Ковариация
случайных величин отражает степень
близости зависимости случайных величин
к линейной, то есть, к зависимости вида
Y=aX+b.

Рассмотрим
теперь еще одну меру линейной зависимости
– коэффициент
корреляции
случайных величин Х и Y
r(X,Y)
=

Может
возникнуть вопрос, зачем вводить еще
одну меру линейной зависимости?

1. Коэффициент
   корреляции меняется от -1 до 1, а не по
   всей числовой оси

2. Коэффициент
   корреляции, в отличие от ковариации,
   нечувствителен к смене единиц измерения

3. Если
   случайные величины независимы, то
   коэффициент корреляции, как и ковариация,
   равен нулю.

4. Если
   случайные величины линейно зависимы,
   то r=1
   – прямая зависимость , r=-1,
   обратная. И наоборот, из равенства по
   модулю 1 следует линейная зависимость.

Пусть
распределение случайных величин задано
таблицей

ЕХ₁

ЕХ₂

DX₁
= EX₁
²
– (EX₁)²=
0,59

DX₂
= EX₂
²
– (EX₂)²=
0,2475

Cov
(X₁
,X₂
)= E (X₁
,X₂
)–E X₁
EX₂

E
(X₁
,X₂
) =

Замечание.
Ковариационная и корреляционная матрицы
– это таблицы, состоящие соответственно
из ковариаций и коэффициентов корреляций
соответствующих случайных величин.
(Заметим, что по главной диагонали
корреляционной матрицы стоят 1 –
случайная величина, очевидно, находится
сама с собой в линейной зависимости).
Используются эти матрицы для наглядного
представления данных о связи величин
и в статистике.

Соседние файлы в папке Модуль 1. Лекции

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #