Как найти кпд тепловой машины по циклу

На этой странице вы узнаете

• В чем прелесть фазовых переходов?
• Что лучше выбрать: Mercedes или BMW?

Люди научились летать в космос, покорять недра Земли и погружаться в глубины океана. Эти и другие достижения возможны благодаря способности извлекать максимум пользы из имеющихся ресурсов,а именно получать тепловую энергию различными доступными способами. Сегодня мы разберем задачи, которые заставят тепловые процессы играть на нашей стороне. 

Тепловые машины и их КПД

Рекомендация: перед тем как приступить к выполнению задач неплохо было бы повторить тему «Уравнение состояния идеального газа» . Но ключевую теорию, на которой основано решение задач, сейчас разберем вместе.

Мы не почувствуем, как испарится капелька у нас на руке, потому что это не требует много тепла от нашего тела. Но мы можем наблюдать, как горят дрова в мангале, когда мы жарим шашлык, потому что выделяется огромное количество теплоты. А зачем мы вообще рассматриваем эти фазовые переходы? Все дело в том, что именно фазовые переходы являются ключевым звеном во всех процессах, где нас просят посчитать КПД, от них нашему рабочему телу и подводится теплота нагревателя.

Человечество придумало такие устройства, которые могут переработать тепловую энергию в механическую.

Тепловые двигатели, или тепловые машины, — устройства, способные преобразовывать внутреннюю энергию в механическую. 

Их устройство довольно просто: они на входе получают какую-то энергию (в основном — энергию сгорания топлива), а затем часть этой теплоты расходуется на совершение работы механизмом. Например, в автомобилях часть энергии от сгоревшего бензина идет на движение. Схематично можно изобразить так:

Рабочее тело — то, что совершает работу — принимает от нагревателя количество теплоты Q₁, из которой A уходит на работу механизма. Остаток теплоты Q₂ рабочее тело отдает холодильнику, по сути — это потеря энергии.

Физика не была бы такой загадочной, если б все в ней было идеально. Как и в любом процессе или преобразовании, здесь возможны потери, зачастую очень большие. Поэтому «индикатором качества» машины является КПД, с которым мы уже сталкивались в механике:

Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины — это отношение полезной работы двигателя к энергии, полученной от нагревателя.

Мы должны понимать, что КПД на практике никогда не получится больше 1, поскольку всегда будут тепловые потери. 

Полезную работу можно расписать как Q₁ — Q₂ (по закону сохранения энергии). Тогда формула примет вид:

(eta = frac{Q_1 — Q_2}{Q_1} = 1 — frac{Q_2}{Q_1})

Цикл Карно

Мы знаем, что потери — это плохо, поэтому должны предотвращать их. Как это сделать? Нам ничего делать не нужно, за нас уже все сделал Сади Карно, французский физик, разработавший цикл, в котором машины достигают наивысшего КПД. Этот цикл носит его имя и состоит из двух изотерм и двух адиабат. Рассмотрим, как этот цикл выглядит в координатах p(V).

• Температура верхней изотермы 1-2 — температура нагревателя (так как теплота в данном процессе подводится).
• Температура нижней изотермы 3-4 — температура холодильника (так как теплота в данном процессе отводится).
• 2-3 и 4-1 — это адиабатические расширение и сжатие соответственно, в них газ не обменивается теплом с окружающей средой.

Цикл Карно — цикл идеальной тепловой машины, которая достигает наивысшего КПД. 

Формула, по которой можно рассчитать ее КПД выражается через температуры:

Приступим к задачам

Задачи на данную тему достаточно часто встречаются в задании 27 из КИМа ЕГЭ. Давайте разберем некоторые примеры.

Задание 1. Одноатомный газ совершает циклический процесс, как показано на рисунке. На участке 1–2 газ совершает работу A₁₂ = 1520 Дж. Участок 3–1 представляет собой адиабатный процесс. Количество теплоты, отданное газом за цикл холодильнику, равно |Q_хол| = 4780 Дж. Найдите работу газа |A₁₃| на адиабате, если количество вещества постоянно.

Решение:

Шаг 1. Первое, с чего лучше начинать задачи по термодинамике — исследование процессов. 

Посмотрим на участок 1-2 графика: продолжение прямой проходит через начало координат, поэтому график функционально можно записать, как p = aV, где a — какое-то число, константа. Графиком является не изотерма, поскольку график изотермы в координатах p-V — гипербола. Из уравнения Менделеева-Клапейрона следует: (frac{pV}{T} = const). Отсюда можно сделать вывод, что возрастает температура, так как растут давление и объем.  Температура и объем растут, значит, увеличивается и внутренняя энергия и объем соответственно.

Участок 2-3: процесс изохорный, поскольку объем постоянен, следовательно, работа газом не совершается. Рассмотрим закон Шарля: (frac{p}{T} = const). Давление в этом процессе растет, тогда растет и температура, поскольку дробь не должна менять свое значение. Делаем вывод, что внутренняя энергия тоже увеличивается.

Участок 3-1: адиабата по условию, то есть количество теплоты в этом переходе равна нулю из определения адиабатного процесса. Работа газа отрицательна, так как газ уменьшает объем. 

Оформим все данные в таблицу. 

Определим знаки Q, используя первый закон термодинамики: Q = ΔU + A.

Из этих данных сразу видно, что количество теплоты, отданное холодильнику — это количество теплоты в процессе 2-3.

Шаг 2. Первый закон термодинамики для процесса 1-2 запишется в виде: 

Q₁₂ = ΔU₁₂ + A₁₂. 

Работа A12 — площадь фигуры под графиком процесса, то есть площадь трапеции: 

(A_{12} = frac{p_0 + 2p_0}{2} * V0 =frac{3p_0V_0}{2}). 

Запишем изменение внутренней энергии для этого процесса через давление и объем. Мы выводили эту формулу в статье «Первое начало термодинамики»:

(Delta U_{12} = frac{3}{2}(2p_0 * 2V_0 — p_0V_0) = frac{9p_0V_0}{2}). 

Заметим, что это в 3 раза больше работы газа на этом участке: 

(Delta U_{12} = 3A_{12} rightarrow Q_{12} = 4A_{12}).

Шаг 3. Работа цикла — площадь фигуры, которую замыкает график, тогда . A = A₁₂ — |A₃₁|. С другой стороны, работа цикла вычисляется как разность между энергиями нагревателя и холодильника: A = Q₁₂ — |Q₃₁|.

 Сравним эти формулы:

Q₁₂ -|Q₃₁| = A₁₂ — |A₃₁|,

подставим выражения из предыдущего пункта:

4A₁₂ — |Q₃₁| = A₁₂ — |A₃₁| (rightarrow) |A₃₁| = -3A₁₂ + |Q₃₁| = -31520 + 4780 = 220 Дж.

Ответ: 220 Дж

Задание 2. Найти КПД цикла для идеального одноатомного газа.

Решение:

Шаг 1. КПД цикла определим по формуле: (eta = frac{A}{Q}), где Q — количество теплоты от нагревателя, а А — работа газа за цикл. Найдем А как площадь замкнутой фигуры: A = (2p₁ — p₁)(3V₁ — V₁) = 2p₁V₁.

Шаг 2. Найдем процесс, который соответствует получению тепла от нагревателя. Воспользуемся теми же приемами, что и в прошлой задаче:

Посмотрим на участок 1-2 графика: давление растет, объем не меняется. По закону Шарля (frac{p}{T} = const) температура тоже растет. Работа газа равна 0 при изохорном процессе, а изменение внутренней энергии положительное.

2-3: давление не меняется, растет объем, а значит, работа газа положительна. По закону Гей-Люссака (frac{V}{T} = const) температура тоже растет, растет и внутренняя энергия.

3-4: давление уменьшается, следовательно, и температура уменьшается. При этом процесс изохорный и работа газа равна 0.

4-1: давление не меняется, объем и температура уменьшаются — работа газа отрицательна и внутренняя энергия уменьшается.

Оформим данные в таблицу: 

Отметим, что  необходимое Q = Q₁₂ + Q₂₃.

Шаг 3. Запишем первый закон термодинамики для процессов 1-2 и 2-3:

(Q_{12} = U_{12} + A_{12} = Delta U_{12} = frac{3}{2}(2p_1V_1 -p_1V_1) = frac{3}{2}p_1V_1).
(Q_{23} = Delta U_{23} + A_{23}), работу газа найдем как площадь под графиком: A₂₃ = 2p₁(3V₁ — V₁) = 4p₁V₁.
(Delta U_{12} = frac{3}{2}(2p_1 * 3V_1 — 2p_1V_1) = 6p_1V_1).
(Q_{23} = Delta U_{23} + A_{23} = 10p_1V_1).

Шаг 4. Мы готовы считать КПД: (eta = frac{A}{Q} = frac{A}{Q_{12} + Q_{23}} = frac{2p_1V_1}{frac{3}{2}p_1V_1 + 10p_1V_1} = frac{4}{23} approx 0,17).

Ответ: 17%

Теперь вас не должно настораживать наличие графиков в условиях задач на расчет КПД тепловых машин. Продолжить обучение решению задач экзамена вы можете в статьях «Применение законов Ньютона» и «Движение точки по окружности».

Фактчек

• Тепловые двигатели — устройства, способные преобразовывать внутреннюю энергию в механическую. 
• Тепловая машина принимает тепло от нагревателя, отдает холодильнику, а рабочим телом совершает работу.
• Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины — это отношение полезной работы двигателя к энергии, полученной от нагревателя.
  (eta = frac{A}{Q_1} = frac{Q_1 — Q_2}{Q_1} = 1 — frac{Q_2}{Q_1})  
• Цикл Карно — цикл с максимально возможным КПД: (eta = frac{T_1 — T_2}{T_1} = 1 — frac{T_2}{T_1})
• Не забываем, что работа считается, как площадь фигуры под графиком.

Проверь себя

Задание 1. 
1 моль идеального газа переходит из состояния 1 в состояние 2, а потом — в состояние 3 так, как это показано графике. Начальная температура газа равна T₀ = 350 К. Определите работу газа при переходе из состояния 2 в состояние 3, если k = 3, а n = 2.

1. 5672 Дж
2. 4731 Дж
3. 5817 Дж
4. 6393 Дж

Задание 2. 
1 моль идеального одноатомного газа совершает цикл, который изображен на pV-диаграмме и состоит из двух адиабат, изохоры, изобары. Модуль отношения изменения температуры газа при изобарном процессе ΔT₁₂ к изменению его температуры ΔT₃₄ при изохорном процессе равен 1,5. Определите КПД цикла.

1. 0,6
2. 0,5
3. 0,8
4. 1

Задание 3.
В топке паровой машины сгорело 50 кг каменного угля, удельная теплота сгорания которого равна 30 МДж/кг. При этом машиной была совершена полезная механическая работа 135 МДж. Чему равен КПД этой тепловой машины? Ответ дайте в процентах.

1. 6%
2. 100%
3. 22%
4. 9%

Задание 4.
С двумя молями одноатомного идеального газа совершают циклический процесс 1–2–3–1 (см. рис.). Чему равна работа, совершаемая газом на участке 1–2 в этом циклическом процессе?

1. 4444 Дж
2. 2891 Дж
3. 4986 Дж
4. 9355 Дж

Ответы:1 — 3; 2 — 1; 3 — 4; 4 — 3.

Спрятать решение

Спрятать критерии

Рассмотрим более
подробно цикл и принцип работы тепловой
машины. Уравнение первого закона
термодинамики для рабочего тела в
круговом процессе имеет вид:
,
поскольку при завершении его рабочее
тело возвращается в исходное состояние,
поэтому.

Но, согласно второму
закону термодинамики, теплота не может
превратиться в работу, если при этом не
протекает какой-либо компенсирующий
процесс. В тепловых двигателях таким
процессом является отдача части теплоты,
полученной рабочим телом, другому телу,
причем не тому, от которого она была
получена.

Рис. 3.5

Таким образом, принципиальная
схема тепловой машины должна включать
в себя минимум три элемента (рис. 3.5):

1. рабочее тело (газ
   или пар), получающее теплоту q₁
   и переводящее
   часть ее в работу цикла

l
_ц;

2) теплоотдатчик
(нагреватель), сообщающий за цикл каждой
единице массы рабочего тела теплоту
q₁;

3) теплоприемник
(охладитель), в который от единицы массы
рабочего тела за каждый цикл отводится
теплота q₂
, меньшая
q₁.
Таким образом, в полезную работу
преобразуется только часть теплоты,
получаемой от теплоотдатчика:

.
(3.2)

Термическим кпд цикла тепловой машины называется отношение

работы
цикла к теплоте, подведенной к рабочему
телу (от теплоотдатчика), т.е.

. (3.3)

Термический КПД
характеризует совершенство цикла
тепловой машины (двигателя) с точки
зрения преобразования в полезную работу
теплоты q₁,
подведенной к рабочему телу.

Так как по
второму закону термодинамики всегда
q₂
> 0, то для

всех тепловых
машин _t
< 1.

3.5. Цикл Карно и теоремы Карно

Французский инженер
Сади Карно в 1824 г. опубликовал работу,
в которой предложил цикл, дающий
максимальное значение термического
КПД цикла тепловой машины при данных
значениях температур теплоотдатчика
и теплоприемника. Это прямой обратимый
цикл, состоящий из двух изотерм и двух
адиабат, изображенный в p,
v—
координатах
на рис. 3.6 и получивший название цикла
Карно.

Рис. 3.6. График цикла Карно				Рис. 3.7. Физическая картина явлений цикла Карно

Физическая картина
явлений может быть представлена следующим
образом (рис. 3.7). В точке А
находится газ с давлением объемом
υ_А
и температурой
Т₁,
равной температуре нагревателя,
заключающего в себе большой запас
энергии. Поршень двигателя под влиянием
высокого давления начинает двигаться
вправо, при этом внутреннее пространство
цилиндра сообщено с нагревателем,
поддерживающим в расширяющемся газе
постоянную температуру Т₁посредством
передачи ему соответствующего количества
энергии в виде теплоты q₁.
Таким образом, расширение газа идет
изотермически по кривой
А-В. В точке
В цилиндр
изолируется от нагревателя, но газ
продолжает расширяться, двигая поршень
в том же направлении; процесс расширения
идет без подвода теплоты, т.е. адиабатно
(q =
0) по кривой
В-С. В этом
процессе в работу расширения превращается
часть внутренней энергии газа и,
следовательно, его температура понижается
до значения
Т₂,
равного температуре охладителя. В этот
момент поршень достигает своего крайнего
правого положения.

Обратное движение
поршня происходит под воздействием
энергии, накопленной в маховике и
передаваемой посредством кривошипно-шатунного
механизма. Газ сжимается сначала
изотермически по кривой C—D,
для этого внутреннее пространство
цилиндра сообщается с охладителем,
поддерживающим температуру
,
а в точке D
цилиндр изолируется от охладителя, и
дальнейшее сжатие идет по адиабате
D—A
(q
= 0). В этом
процессе за счет работы сжатия внутренняя
энергия газа повышается, поэтому его
температура растет от Т₁
до Т₂.
Сжатие заканчивается в точке A,
где газ приходит к своему начальному
состоянию. На этом цикл завершен и
возможно его повторение.

Проследим процессы,
протекающие в рабочем теле в этом цикле,
считая рабочее тело идеальным
газом.

Процесс А-В
– изотермическое расширение газа при
.
Газ совершает работу расширения
,
эквивалентную площади под кривой этого
процесса, за счет подвода к нему от
теплоотдатчика теплоты, эквивалентной
этой работе:.

Процесс В-С
– адиабатное расширение газа (q
= 0). Газ совершает
работу расширения за счет убыли его
внутренней энергии, при этом его
температура снижается до значения
.

Процесс C—D
– изотермическое
сжатие газа при
.
На сжатие газа затрачивается работа,
эквивалентная площади под кривой этого
процесса, а в теплоприемник отводится
теплота,
эквивалентная этой работе, в количестве:

.

Процесс D—A
– адиабатное
сжатие газа (q
= 0). На сжатие
газа затрачивается работа, эквивалентная
площади под кривой этого процесса. При
этом внутренняя энергия газа повышается,
и он нагревается до температуры
,
возвращаясь в исходное состояние в
точке А.

Термический
КПД цикла Карно.

.
(3.4)

Для адиабатных
процессов В-С
и D—A
можно записать

и
.

Следовательно,

или
.

Тогда из (3.4) следует,
что термический КПД цикла Карно для
идеального газа равен:

, (3.5)

т.е. зависит только
от соотношения температур теплоотдатчика
и теплоприемника.

Опираясь на второй
закон термодинамики, Карно доказал
также следующие положения, носящие
название теорем
Карно:

1) термический КПД
цикла Карно не зависит от природы
рабочего тела и определяется только
отношением температур теплоотдатчика
Т₁
и теплоприемника
Т₂;

2) невозможно
создать тепловую машину, работающую в
том же диапазоне температур (т.е. с
),
термический КПД которой был бы выше

КПД
цикла Карно.

Действительно,
если температуры теплоотдатчика Т₁
и теплоприемника Т₂
постоянны в процессах подвода и отвода
тепла, то цикл Карно является единственно
возможным обратимым
циклом. Поэто­му его термический
к.п.д. устанавливает максимально
возмож­ную степень преобразования
теплоты в работу при заданных зна­чениях
Т₁
и Т₂.
Любой другой
цикл, в котором теплоотдатчик и
теплоприемник имеют те же значения
температур (Т₁
и Т₂),
а температура рабочего тела в процессах
подвода и отвода тепла изменяется, будет
необратимым,
так как в этом случае не выпол­няется
одно из условий обратимости, а именно
отсутствие конечной
разности температур рабочего тела и
теплоотдатчика (или теплоприемника)
при подводе или отводе тепла. Поскольку
необратимость
связана с потерей работы (например,
за счет трения), значения термических
к.п.д. таких циклов всегда меньше цикла
Карно.

Таким образом,
термический КПД цикла Карно, определяемый
формулой (3.5), представляет собой
максимально
возможное значение термического КПД
тепловой машины,
цикл которой реализуется в диапазоне
температур между Т₁
и Т₂
.

Из анализа
результатов, полученных С. Карно,
вытекает также следующее.

Во-первых,
так как реально Т₁
< 
и Т₂
> 0, то
всегда
.

Во-вторых,
если Т₁ = Т₂
,
то термический КПД цикла Карно равен
нулю. Следовательно, если все тела
термодинамической системы имеют
одинаковую температуру, т. е. находятся
в тепловом равновесии, то преобразование
теплоты в работу невозможно.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Речь в статье пойдет о КПД различных циклов, проводимых с газом. При этом давайте помнить, что внутренняя энергия изменяется тогда, когда изменяется температура, а в адиабатном процессе передачи тепла не происходит, то есть для совершения работы в таком процессе газ «изыскивает внутренние резервы». Кроме того, работа численно равна площади под кривой процесса, а работа за цикл — площади внутри цикла.

Задача 1.

На рисунке представлена диаграмма цикла с одноатомным идеальным газом. Участки и — адиабаты.  Вычислите КПД данной тепловой машины и максимально возможный КПД .

КПД тепловой машины можно вычислить как

Машина получает тепло только на участке AB, и, так как работы здесь не совершается, то можно вычислить количество теплоты, полученное газом, как увеличение его внутренней энергии:

Работа численно равна площади, ограниченной циклом. Поэтому

Участк и по условию – адиабаты, то есть передачи тепла газу на этих участках не происходит, следовательно, работа будет совершена за счет «внутренних резервов» — то есть внутренней энергии. Нужно, следовательно, найти, как она изменилась.

Задачу можно решить двумя способами. Во-первых, просто определить температуры в точках и , и , это легко сделать из данных графика с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона, и затем посчитать . Но, так как , а ,то изменение внутренней энергии будет равно

Определим максимальный КПД. Посчитаем его как КПД цикла Карно. Максимальная температура газа будет достигнута в точке , а минимальная – в точке :

Ответ: , .

Задача 2.

Над идеальным одноатомным газом проводят цикл, включающий изобару, изохору, изотерму, при этом работа газа за цикл равна кДж.  В процессе изотермического сжатия (3-1) внешние силы совершают над газом положительную работу кДж. Найдите КПД данной тепловой машины.

Работа газа в процессе 1-2– площадь под линией процесса 1-2. Работа внешних сил – площадь под циклом (под линией 3-1). Поэтому полная работа за цикл – это разность работы газа и работы внешних сил, площадь, ограниченная линиями цикла. Она будет равна 5 кДж.

Работа газа в процессе 1-2, таким образом, равна 8 кДж. А поскольку процесс изобарный, то кДж. Тогда КПД

Ответ: .

Задача 3.

КПД  тепловой машины, работающей по циклу, включающему изотермический (1-2) и адиабатный (3-1) процессы, равен , причем работа, совершенная 2 моль одноатомного идеального газа в изотермическом процессе кДж. Найдите разность максимальной и минимальной  температур  газа в цикле.

Полная площадь под кривой процесса 1-2 равна кДж. При этом, так как КПД машины 25%, то площадь внутри цикла равна , а под кривой 3-1  — .  В процессе 1-2 изменения внутренней энергии не было, так как температура не менялась, а в процессе 3-1 газу не передавали тепло, следовательно, работа совершена за счет внутренней энергии. Т.е.

Ответ: 500 K.