Как найти красную границу фотоэффекта для лития

Нужна помощь, скоро экзамен: Найдите красную границу фотоэффекта для лития, если работа выхода с…

Ваш ответ

Обучайтесь и развивайтесь всесторонне вместе с нами, делитесь знаниями и накопленным опытом, расширяйте границы знаний и ваших умений.

поделиться знаниями или
запомнить страничку

• Все категории
• экономические
  43,662
• гуманитарные
  33,654
• юридические
  17,917
• школьный раздел
  611,985
• разное
  16,906

Разделив обе части формулы (8.9) на произведение ωω′ и

учитывая известное соотношение ω = 2π с/λ, получаем формулу Комптона

λ = λ′ – λ =λc (1 – cosϕ), λc = 2π h /(m0 c)

(8.10)

Здесь m0 – масса покоя электрона. Величина c называется

комптоновской длиной волны. Ее численное значение для электрона выражается как

Формулы (8.10), (8.11) полностью согласуются с экспериментами Комптона.

Итак, при рассеянии монохроматического света на металлах в спектре отраженного света появляются составляющие с частотой меньшей, чем частота падающего света. Возникает вопрос: почему этот эффект не наблюдается при рассеянии света диэлектриками. Дело в том, что в диэлектриках электроны локализированы в атомах, поэтому обмен энергией и импульсом происходит с атомом как с целым. Так как масса атома значительно превосходит массу электрона, то комптоновская длина волны атома исчезающе мала, а потому практически не меняется длина волны отраженного света.

8.2. Световое давление и масса фотона

Световое давление было открыто П.Н. Лебедевым в 1900 г. Вычислим величину давления P при нормальном падении ПМ– волны на плоскую поверхность тела.

Давление фотонов, обладающих энергией ε на участок

поверхности S определяется как Р =	Fср/ S, где	Fср – средняя
сила давления фотонов на площадку S за время	t :
Fср = ( pотр / t) Nотр + (	pпогл /	t)	Nпогл
где pпогл ( pотр ) – изменение импульса поглощаемых
( отражающихся ) фотонов за время	t ,	Nпогл	( Nотр )	–
число поглощаемых ( отражающихся ) фотонов на площадке	S

за время t. Введем общее число фотонов, подающих на

площадку S за время t : N = Nпогл + Nотр . С учетом pпогл = р = h/λ =ε /c , pотр = 2р = 2ε /c , получаем

131

F		=[(1- ρ ) p + 2ρ p] N = (1+ ρ )	p N		N = (1+ ρ ) ε	N
ср			t		t		c	t
где ρ =	Nотр/	N – коэффициент отражения фотонов.	посредством
Вводя объемную	плотность	фотонов	n
соотношения	N = n V , где V –	цилиндрический объем,
который заполняют фотоны за время	t , стартуя с участка	S,
являющегося	его же	основанием.	Далее V = S	h , h = c t ,

поэтому N/ t = nc S. Окончательно для светового давления получаем

P = (1	+ ρ) p j = (1 + ρ) w, w =ε n = I / c	(8.12)
где j = nc –	плотность потока числа фотонов,	w = ε n –

объемная плотность энергии электромагнитного поля (см. определение (1.6)), I – интенсивность излучения. Формула (8.12) полностью согласуется с выводами классической электродинамики.

Эффективная масса фотона mэф определяется как
mэф = ε /c2	(8.13)

Это соотношение является следствием известной релятивистской формулы, определяющей полную энергию микрочастицы E = mc2. На основании формулы (8.13) можно рассчитать массу фотонного газа или поток массы, если заданы энергия или поток энергии фотонов.

Упражнение. Вывести формулу, определяющую поток массы с поверхности звезды, если она излучает в единицу времени с единицы поверхности энергию Re.

Определим число фотонов, которые излучаются точечным источником в единицу времени в расчете на единицу поверхности, если известна интенсивность излучения и энергия фотонов. Пусть Ф – суммарный поток излучаемой энергии, определяемый как Ф = I S , где I интенсивность излучения, S – площадь сферы, в центре которой находится точечный источник

излучения. С другой стороны Ф = ε	•	ε – энергия фотона,
N s , где
•

N s – суммарное число фотонов, излучаемых через поверхность S в единицу времени. Отсюда получаем

132

•
N s = (I /ε ) S = Ф /ε	(8.14)

•

Плотность числа фотонов ns , излучаемых в единицу времени с единицы площади, выражается как

• •
ns = N s /S = I/ε	(8.15)

Контрольные вопросы

1.В чем суть квантовой природы света?

2.Какие экперименты доказывают, что эл.-м. волны представляют собой поток фотонов?

3.Как объясняется тормозное излучение?

4.Дать определение фотоэффекта и перечислить основные его закономерности.

5.Объяснить явление фотоэффекта на микроскопическом уровне.

6.Объяснить эффект Комптона.

7.Как опыт Боте доказывает, что эл.-м. поле имеет корпускулярную структуру.

8.Как объясняется световое давление?

9.Дать понятие эффективной массы фотона.

10.Объяснить, почему не существует масса покоя фотона.

ЗАДАЧИ
Задача 8.1
Определить энергию, массу	и импульс фотона, если соот-
			o
ветствующая ему длина волны равна 0,016 A.
Решение.	Используя формулы	(8.1),	(8.13) , получаем
ε = hν =	h с / λ = = 1,24 10–13 Дж ,	mэф = ε /c2 = 1,38 10–30 кг,

p = hk =h/λ = 4,1 10–22 кг м /с.

Задача 8.2

Ртутная лампа имеет мощность Р = 125 Вт. Сколько квантов света испускается ежесекундно в излучении с длиной волны

o

λ = 5461 А, если интенсивность этой линии равна 2% от полной интенсивности ртутной лампы?

133

Решение. Мощность излучения фотонов данной длины волны выражается как Ф = Р/50. Используя формулу (8.14), находим

N• s = Ф /ε = Фλ /(εhc) = ( 125/50) 5461 10–10 / (6,6 10–34 3 108) = = 5,8 1018 квантов за секунду.

Задача 8.3

Найти красную границу фотоэффекта для лития, натрия, калия и цезия.

Решение. Используя табличные значения работы выхода электрона для лития χLi = 2,4 эв, натрия χNa = 2,3 эв, калия

χKa = 2,0 эв, цезия χCe = 1,9 эв, и формулу (8.5) λкр = 2π hc/χ с

учетом соотношения 1 эв = 1,6 10–19 Дж,	получаем следующие
значения для красной границы по длине волны для	лития λLi =
0,517 мкм, натрия λNa = 0,54 мкм,	калия λKa	= 0,62 мкм,
и цезия λCe = 0,66 мкм.

Задача 8.4

Найти частоту света, вырывающего с поверхности металла электроны, если они задерживаются обратным потенциалом

UЗ = 3 В. Фотоэффект у этого металла начинается при частоте света ν = 6 1014 с –1.

Решение. По формуле eUЗ = m vmax2/2 = Ек находим кинетическую энергию, а согласно νкр = χ/h – работу выхода χ = νкр h .

Тогда на основании (8.4) получим частоту излучения ν = χ/h + Ек

= χ/h + eUЗ = ( 6 1014 +1,6 10–19 3/6.6 10–34)c–1 = 13,3 1014c–1.

Задача 8.5

Металлический шарик облучается фотонами частоты ν > νкр . Найти потенциал заряжания шарика, если длина волны фотонов равна λ = 0,5 мкм, работа выхода электрона из металла χ = 1,9 эв.

Решение. Согласно закону сохранения	энергии, фотоэффект
прекращается при потенциале шарика ϕ,	определяемом выра-

жением eϕ = m vmax2/2, где m – масса электрона. Подставляя это

соотношение в формулу (8.4), с учетом соотношения

1 эв = 1,6 10–19 Дж получим ϕ = (hν –χ)/e = (hc/λ –χ)/e = = [6.6 10–34 3 108/0,5 10–6 – 1,9 1,6 10–19 ]/ 1,6 10–19 = 0,55 В.

134

9. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Тепловым излучением называется явление испускания электромагнитных волн во всем диапазоне длин волн 0 < λ < ∞ нагретыми телами за счет внутренней энергии тел.

Все остальные виды излучений называются люминесценцией: при химическом превращении – хемилюменисценцией, при газовом разряде – электролюменисценцией, при поглощении электромагнитных волн – фотолюменисценцией и т.д.

9.1. Основные характеристики теплового излучения

Поток энергии Re , излучаемый с единичной площадки тела в единицу времени во всем диапазоне частот, называется его

энергетической светимостью. На основании опытных данных энергетическая светимость тела, излучающего энергию в диапазоне частот (ω , ω + dω ), определяется как

dRe (ω,T) = r(ω,T)dω

(9.1)

Величина r(ω,T) называется испускательной способностью

тела.

Энергетическая светимость тела определяется интегралом

∞	∞
Re = ∫dRe (ω,T) = ∫r(ω,T)dω	(9.2)
0	0

Энергия Ф, излучаемая телом со всей поверхности S и во всем диапазоне частот в расчете на единицу времени, выражается как

Таким образом, для вычисления энергии, излучаемой телом, необходимо знать испускательную способность тела r(ω,T). Оказывается, что эта величина связана со спектральной плотностью эл.-м. энергии тела u(ω,T), определяемую как объемную плотность эл.-м. энергии тела на интервал частот. Эту связь можно установить следующим образом.

Рассмотрим некоторую площадку dS на поверхности тела (рис. 9.1). Энергия, излучаемая телом в сферический угол dΩ за время dt в интервале частот (ω,ω + dω), выражается как

dU (ω,T,θ,ϕ)= u(ω,T)dW dV,

(9.4)

135

где dW – вероятность попадания фотона в элемент сферического угла dΩ = sin θ dθdφ, dV – элемент объема, который заполняют фотоны, пересекающие площадку dS за время dt.

n	θ	dΩ
dh		cdt
dS
	φ
Рис. 9.1. Определение испускательной способности тела
Из рис. 9.1 видно, что
dV = dS dh,	dh = cdt cos θ,	(9.5)

где θ – угол между нормалью к площадке dS и направлением вылета фотона. При равновероятном направлении вылета фотона, имеем

Суммарная энергия dU (ω,T) , излучаемая по всевозможным направ-лениям, определяется интегрированием по углам

π / 2 2π
dU (ω,T) = ∫ ∫dU (ω,T,θ,ϕ),
ψ =0ϕ=0
Используя (9.4) – (9.6) и проводя интегрирование, получим
dU(ω,T) = [c u(ω,T)/4] dS dt dω	(9.7)

Поток энергии dRe(ω), излучаемой с единичной площадки в единицу времени и в интервале частот (ω,ω+dω), определяется как

dRe(ω) = dU(ω,T) /(dt dS) = [c u(ω,T)/4] dω

Сравнивая это соотношение с (9.1), находим искомую связь

r(ω,T) = c u (ω,T)/4

(9.8)

136

9.2. Законы Кирхгофа. Распределение Планка

Будем говорить, что тело находится в равновесии с излучением, если количество падающей энергии dRпад(ω) в единицу времени на любую единичную площадку в интервале частот (ω,ω + dω) равно соответствующему количеству излучаемой энергии dRизл(ω):

dRпад(ω) = dRизл(ω)	(9.9)
Первый закон Кирхгофа. Формулировка:	спектральная
плотность

эл.-м. энергии u(ω,T) любого тела, находящегося в равновесии с излучением, не зависит от материала и формы тела и является функцией только частоты ω и температуры T.

Доказательство. Так как эл.-м. волны в любой среде находятся в меж-атомном пространстве, то достаточно вычислить энергию излучения, находящегося в равновесии с телом в некоторой его замкнутой полости. Ради простоты выкладок считаем полость кубической со стороной квадрата равной L. В силу того, что система находится в термодинамическом равновесии, то температура тела постоянная и равна T. Под температурой излучения будем понимать температуру тела, с которым излучение находится в равновесии. Электромагнитное поле в

полости определяется волновым уравнением (1.5): ∂2E/∂t2	=
c2 E. Из условия равновесия следует, что вся падающая	на

поверхность энергия переизлучается вновь в полость. Это эквивалентно тому, что стенки тела являются зеркальными. В этом случае электромагнитное поле в полости будет определяться совокупностью стоячих волн вида

E = E0 cos (ω t + α) sin k1 x sin k2 y sin k3 z,	(9.10)
kj = π nj /L , j = 1, 2, 3,	(9.11)

где nj – целые числа, определяющие число и конфигурацию стоячих волн (как говорят число мод); x, y, z – декартовы координаты, оси которых направлены вдоль ребер куба.

Вычислим число мод в интервале частот (ω, ω + dω). Для этого вначале определим число мод в интервалах целых чисел

(n1, n1 + d n1), (n2, n2 + d n2), (n3, n3 + d n3). Это число с учетом

(9.11) запишется как

137

d3N ≡ 2 dn1 dn2 dn3 = (V/π3) dk1 dk2 k3

(9.12)

где V = L3 – объем полости, а множитель 2 учитывает тот факт, что частоту ω могут иметь два фотона с противоположно направленными спинами. Из (9.12) видно, что величина d3N определяется количеством волновых векторов k, модуль которых k, определяется постоянной частотой ω, согласно дисперсионному соотношению

ω = с k,	k = k2	+ k2	+ k2	(9.13)
	1	2	3

Чтобы просуммировать по всем k, перейдем к сферической системе координат:

k1 = k sinθ cosϕ,	k2 = k sinθ sinϕ,	k3 = k cosθ
С учетом dk1 dk2 dk3	= k2 sinθ dθ dϕ dk	и	дисперсионного
соотношения (9.13) получаем
d3N = 2 (V/π3) k2 sinθ dθ dϕ dk =V [2ω2/(c3π3)]	sinθ dθ dϕ dω

Интегрируя по всем углам и учитывая, что числа nj принимают только положительные значения (тогда и kj только положительны

– см. рис. 9.2), получим следующее выражение	для	число
мод в	интервале частот (ω, ω + dω)
		2ω2	π / 2	π / 2		ω2
dN =V			∫	dϕ ∫ sinθ dθ dω =V D(ω) dω,	D(ω) =
3 3	π	2	c	3
		c π	0	0

Величина D(ω) =ω2 /(π 2c3) называется плотностью числа мод;

она определяет число колебаний разной конфигурации на интервал частот и единицу объема.

k3

k

k2

k1

Рис. 9.2. Число мод постоянной частоты определяется числом волновых векторов k постоянной длины k в 1/8 части сферы

138

Среднее число фотонов n(ε) с энергией ε определяется

температурой тела и согласно каноническому распределению Гиббса выражается как

∞

ε j

∞

n(ε) = ∑ jWj (ε) ,

,

∑ Wj (ε) =1

Wj (ε) = Zexp − k T

j=1

B

j=0

где kB – постоянная Больцмана. Вычисления дают

n(ε) =

1

(9.14)

exp[ε /(k T)] −1

B

Упражнение.

Используя

формулу для суммы геометрической

∞

j

1

ε

прогрессии

∑ q

=

,

−

и

соотношение

1

− q

q = exp

kBT

j=0

∞

d

∞

∑ jWj (ε) =

∑q j

доказать формулу (9.14).

j=1

dq j=0

Выражение (9.14) называют равновесным распределением

Планка числа фотонов по частотам.

Суммарная энергия электромагнитного поля в кубической полости определяется суммой энергий фотонов по всем частотам

		∞
U =V ∫	ε n(ε) D(ω) dω,	ε = hω
	0
Запишем этот интеграл в виде
		∞
U =V ∫u(ω,Т) dω,			(9.15)
	0
u(ω,T) =			h			ω3			(9.16)
π	2	c	3		exp[hω /(k T)] −1
				B

Функция u(ω,T), определенная согласно (9.16), называется

спектральной плотностью энергии по частотам и называется законом излу—чения Планка ( формулой Планка ). Формула

(9.16) показывает, что спектральная плотность u(ω,T) не зависит от материала и формы тела и является функцией только частоты ω и температуры T, что и доказывает первый закон Кирхгофа.

139

Второй закон Кирхгофа. Пусть на единичную площадку некоторого тела в интервале частот (ω,ω+dω) падает поток энергии dФ(ω). Часть этого потока d/Ф(ω) будет поглощаться. Безразмерная величина

А(ω,T) = d/Ф(ω) / dФ(ω)

(9.17)

называется поглощающей способностью тела или степенью черноты.

По определению А(ω,T) ≤ 1. Если А(ω,T)	=	1,	то	тело
называют абсолютно черным. Если А(ω,T)	<	1,	то	тело
называют серым.
Формулировка второго закона Кирхгофа: отношение
r(ω,T)/ А(ω,T) = f(ω,T)				(9.18)
для всех тел одинаково и определяется универсальной	(одной и

той же) функцией f(ω,T).

Доказательство. С единицы площади в единицу времени тело излучает энергию за счет собственного излучения, равного энергетической светимости dRe(ω) и отраженной энергии

[1–А(ω,T)]dRпад(ω), так что

dRизл(ω)= dRe(ω) + [1 – А(ω,T)]dRпад(ω)

В равновесии согласно (9.9) имеем

dRпад(ω) = dRe(ω) + [1 – А(ω,T)]dRпад(ω)

Отсюда с учетом (9.1) получим

r(ω,T)dω = А(ω,T) dRпад(ω),

или

r(ω,T)/ А(ω,T) = dRпад(ω)/dω ≡ f(ω,T),

что и доказывает второй закон Кирхгофа.

Если применить (9.18) к абсолютно черному телу, то с учетом А(ω,T) = 1 получим

	r(ω,T) = f(ω,T) ,	(9.19)
откуда видно,	что универсальная функция f(ω,T) – это
испускательная	способность абсолютно черного тела.

140