Как найти кратное число 5 класс математика

Математика

5 класс

Урок № 44

Наименьшее общее кратное (НОК)

Перечень рассматриваемых вопросов:

– делители числа;

– кратные числа;

– признаки делимости;

– разложение на простые множители;

– НОК.

Тезаурус

Кратное число – это число, делящееся на данное целое число без остатка.

Простое число – это такое натуральное число, которое больше 1 и делится только на 1 и само на себя.

Составные числа – это непростые натуральные числа, большие 1.

Взаимно простые числа – это числа, которые не имеют общих простых делителей

Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел m и n – это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Ранее мы узнали, что такое кратное, ввели понятие делителя, научились находить наибольший общий делитель, а можно ли каким-либо способом найти общее кратное нескольких чисел? Оказывается, можно, этим сегодня мы и будем заниматься. Но находить не просто общее кратное нескольких чисел, а их наименьшее общее кратное – НОК.

Итак, для начала вспомним, что называется кратным. Это число, делящееся на данное натуральное число без остатка.

Теперь найдём, например, общие кратные чисел 12 и 15. Для этого выпишем все кратные чисел 12 и 15.

12 – его кратные 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, …

15 – его кратные 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, …

Из представленных чисел общие кратные – это числа 60 и 120. Меньшее из них – 60. Это и есть наименьшее общее кратное чисел.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел m и n – это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка.

Для нахождения наименьшего общего кратного двух чисел можно использовать несколько способов. Один из них мы рассмотрели на примере нахождения НОК 12 и 15. Этот способ заключается в том, что выписываются все кратные двух чисел и затем находится наименьший общий из них.

Узнаем ещё одно правило нахождения НОК.

Во-первых, разложим числа на простые множители. Далее подчеркнём одинаковые множители этих чисел. Затем перемножим общие множители одного из чисел и добавим произведение всех остальных множителей от каждого числа. Это и будет НОК заданных чисел.

Найдём НОК (15; 16). Разложим числа на простые множители:

Видно, что из всех множителей общий лишь единица, значит, это взаимно простые числа.

НОК взаимно простых чисел – это произведение всех их множителей или произведение этих чисел.

В данном случае НОК равен 240.

Т. е. НОК любых двух простых чисел или двух соседних натуральных чисел будет равен произведению этих чисел.

Найдём НОК (10; 100). Разложим числа на простые множители:

Выделим общие делители у этих чисел, это 2 и 5.

Умножим их, а результат умножим ещё на оставшиеся простые множители от чисел 100 и 10.

НОК (10; 100) = 2 · 5 · 2 · 5 = 100

Обратите внимание на то, что 100 делится нацело на 10, и НОК тоже равен 100. Поэтому можно сделать вывод: если одно из двух чисел делится нацело на другое, то НОК этих чисел равен большему из них.

Некоторые задачи можно решить при помощи НОК проще, чем каким-либо другим способом. Например, рассмотрим такую задачу.

Девочка решила купить несколько плиток шоколада по 38 руб. , но у неё только 5-рублёвые монеты, а в магазине нет сдачи. Какое наименьшее количество плиток шоколада она сможет купить?

Решение: чтобы решить эту задачу, нужно найти НОК (5;38).

Разложим числа на множители:

Мы видим, что НОК (5; 38) = 5 · 38 = 190 – это будет сумма покупки за шоколад.

Теперь найдём, сколько девочка купит плиток.

Для этого сумму покупки разделим на стоимость одной плитки шоколада.

190 : 38 руб. = 5 – наименьшее количество плиток шоколада, которые сможет купить девочка.

Ответ: 5 плиток.

Тренировочные задания

№ 1. Какую цифру нужно подставить в число НОК (7; 2_) вместо пропуска, чтобы получить НОК = 21?

Варианты ответов: 1; 2; 3.

Решение: для решения этой задачи, надо разложить на множители оба числа, при этом вместо пропуска нужно подставить по порядку все цифры. А далее найти подходящий НОК этих чисел, равный 21.

Из всех разложений на множители под НОК (7; 2_) = 21 подходит только число 21.

НОК (7; 21) =21

НОК (7; 22) =154

НОК (7; 23) =161

Ответ: искомая цифра – 1.

№ 2. Какой наименьшей длины должен быть рулон ткани, чтобы от него без остатка можно было отрезать куски по 3 м и 7 м?

Решение: чтобы решить эту задачу, нужно найти НОК заданных чисел, он и будет являться искомым ответом, т. е. наименьшей длиной рулона ткани.

НОД (3; 7) = 7 · 3 = 21 м

Ответ: 21 м.

Для того, чтобы находить общий знаменатель
при
сложении
и
вычитании дробей с разными
знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).

Кратное числу «a» — это число, которое
само делится на число «a» без остатка.

Числа кратные 8
(то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка):
это числа 16, 24, 32 …

Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …

Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей
этого же числа. Делителей —
конечное количество.

Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело.

Как найти НОК

НОК можно найти и записать двумя способами.

Первый способ нахождения НОК

Данный способ обычно применяется для небольших чисел.

1. Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое
   для обоих чисел.
2. Кратное числа «a»
   обозначаем большой буквой «К».

   К (a) = {…, …}

Пример. Найти НОК 6 и 8.

К (6) = {12, 18, 24, 30, …}

К (8) = {8, 16, 24, 32, …}

НОК (6, = 24

Второй способ нахождения НОК

Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.

1. Разложить данные числа на простые множители.
   Подробнее правила разложения на
   простые множители вы можете прочитать в теме
   как найти наибольший общий делитель (НОД).
   
2. Выписать в строчку множители, входящие в разложение
   самого большого из чисел, а под ним —
   разложение остальных чисел.

   Запомните!
   

   Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.

   60 = 2 · 2 · 3 · 5

   24 = 2 · 2 · 2 · 3

3. Подчеркнуть в разложении
   меньшего числа (меньших чисел) множители,
   которые не вошли в разложение бóльшего числа
   (в нашем примере это 2) и добавить эти множители в разложение бóльшего числа.
   
   НОК (24, 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2
4. Полученное произведение записать в ответ.
   
   Ответ: НОК (24, 60) = 120

Оформить нахождение наименьшего общего кратного (НОК) можно также следующим образом. Найдём НОК (12, 16, 24).

24 = 2 · 2 · 2 · 3

16 = 2 · 2 · 2 · 2

12 = 2 · 2 · 3

Как видим из разложения чисел, все множители 12 вошли в
разложение 24
(самого бóльшего из чисел), поэтому в НОК добавляем только одну 2 из
разложения числа 16.

НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48

Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48

Особые случаи нахождения НОК

1. Если одно из чисел делится нацело на другие, то наименьшее общее кратное этих чисел равно этому числу.

   Например, НОК (60, 15) = 60

2. Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее
   кратное равно произведению этих чисел.

   Пример.

   НОК (8, 9) = 72

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Наименьшее общее кратное

• Общее кратное
• Наименьшее общее кратное
• Как найти НОК
  • С помощью разложения на простые множители
  • Нахождение НОК через НОД
• Калькулятор НОК

Общее кратное

Число может быть кратно не одному, а сразу нескольким числам, такое число называется общим кратным данных чисел.

Общее кратное чисел — это любое число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел.

Найти общее кратное нескольких натуральных чисел достаточно легко, можно просто перемножить данные числа, полученное произведение и будет их общим кратным.

Для любого количества натуральных чисел существует бесконечно много кратных.

Пример. Для чисел  12  и  20  кратными будут числа:  60,  120,  180,  240  и т. д. Все они являются общими кратными для чисел  12  и  20.

Наименьшее общее кратное

Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел — это самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.

Пример. Наименьшим общим кратным чисел  3,  4  и  9  является число  36,  никакое другое число меньше  36  не делится одновременно на  3,  4  и  9  без остатка.

Наименьшее общее кратное записывается так:

НОК (a, b, …) = x.

Числа в круглых скобках могут быть указаны в любом порядке.

Как найти НОК

Рассмотрим два способа нахождения наименьшего общего кратного: с помощью разложения чисел на простые множители и нахождение НОК через НОД.

С помощью разложения на простые множители

Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо разложить эти числа на простые множители, затем взять из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножить эти множители между собой.

Так как взаимно простые числа не имеют одинаковых простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

Таким же образом надо поступать, когда нужно найти наименьшее общее кратное простых чисел.

Если большее из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и будет наименьшим общим кратным данных чисел.

Нахождение НОК через НОД

НОК двух натуральных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их НОД.

Правило в общем виде:

НОК (m, n) = m · n : НОД (m, n)

Чтобы найти НОК трёх или более чисел используется следующий порядок действий:

1. Находят НОК любых двух из данных чисел.
2. Затем находят наименьшее общее кратное найденного НОК и третьего числа и т. д.
3. Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.

Калькулятор НОК

Данный калькулятор поможет вам найти наименьшее общее кратное чисел. Просто введите числа через пробел или запятую и нажмите кнопку Вычислить НОК.

Перед изучением дробей в школьной программе 5 класса по математике изучают тему наименьшего общего кратного, или сокращенно НОК. В рамках наших статей мы даем не только определение и правила нахождения подобных вещей, но и обязательно на практических примерах показываем где это можно применить.

Итак, давайте начнем с понятия. Что такое НОК? Наименьшее общее кратное чисел X и Y равно наименьшему целому числу, на которое делится без остатка эти самые X и Y.

• Найдите наименьшее общее кратное чисел перед операцией сложения или вычитания дробей
• Правило нахождения НОК
• Задача с применением НОК

Найдите наименьшее общее кратное чисел перед операцией сложения или вычитания дробей

Материал вычисления НОК в курсе школьной программы 5 класса не просто так дается перед изучением дробей. Дело в том, что таких операциях с дробями как сложение или вычитание необходимо каждое дробное число привести в общему знаменателю.

Для простоты усвоения материала начнем определять НОК для пары целых натуральных чисел в пределах таблицы умножения. К примеру, есть два числа 6 и 16. Если действовать методом подбора, то можно легко найти наименьшее число, на которое делятся 6 и 16. Это число будет равняться 48. Однако, такой метод подбора касается только простых чисел. А что если необходимо найти НОК для чисел за рамками таблицы умножения. Оказывается в таких случаях есть методика нахождения.

Правило нахождения НОК

Правило нахождения наименьшего общего кратного ряда чисел можно представить в виде следующего алгоритма:

1. Раскладываем каждое число на простые множители.
2. Далее из каждого ряда разложенных чисел выписываем числа, которые имеют общие значения.
3. Из тех чисел, которые присутствуют в каждом разложенном ряде выписываем лишь те, которые имеют наибольшую степень.
4. Производим умножение чисел в соответствующих степенях.

В качестве примера вычисления НОК по данному правилу возьмем два числа 14 и 16.

16 = 2 x 2 x 4 = 2² x 4
20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5

НОК = 2² x 4  x 5 = 80

Ну и традиционно перейдем к практическому применению нахождения НОК.

Задача с применением НОК

Из Автовокзала в Севастополе одновременно отходят два автобуса по разным маршрутам. Первой автобус Мерседес путь в Краснодар и обратно проедет за 16 часов, а второй автобус Икарус в Анапу и обратно проедет маршрут за 20 часов. Время на остановки в пунктах отправления и прибытия одинаковое и уже включено в условные 16 и 20 часов. Условия их следование непрерывное.

Решение. Выезжая из Севастополя два автобуса следуют по разным маршрутам и вернуться в точку отправления в разное время. Когда автобус Икарус вернется из Анапы, автобус Мерседес уже второй раз выйдет из Севастополя и будет снова в пути. Эти автобусы с какой-то периодичностью во времени встретятся снова в Севастополе. И для того, чтобы узнать через какой время они встретятся необходимо найти наименьшее общее кратное. Воспользовавшись правилом вычисления НОК, приведенным выше, мы получаем время их встречи через 80 часов.

Вот мы снова убедились, что подобное правило имеет право на практическое применение в жизни. Если у вас есть свои практические задачи на нахождения НОК, то вы их можете оставить в комментариях и мы их включим обязательно в публикацию.

НОК и НОД

Рассмотрим выражение:

(45:9)

Можем сказать, что 45 – делимое, а 9 – делитель данного выражения.

Мы знаем, что 45 делится нацело на число 9. В таком случае, если мы захотим описать, чем эти числа являются друг другу, то мы скажем, что

9 – делитель числа 45

45 – кратно числу 9

Иногда при решении задач нужно находить общие кратные или общие делители двух чисел.

Наименьший делитель двух чисел – всегда единица. Такой делитель нет смысла искать, поэтому ищут наибольший общий делитель.

А кратных наоборот – бесконечно много, невозможно искать наибольшее из них, поэтому ищут, наименьшее общее кратное.

НОД:

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел – это наибольшее число, на которое каждое из этих чисел можно поделить без остатка.

Пример №1:

Рассмотрим числа 30 и 45.

1. Найдем все их существующие делители, т.е. числа, на которые каждое из них поделится нацело:

1. Мы видим, что у этих двух чисел есть несколько общих делителей. Наибольший из них – 15 – является самым большим. Это и есть НОД.

Значит и число 45 и число 30 можно нацело поделить на 15. Записывают это так:

(НОД (30;45) = 15)

Ответ: 15.

Пример №2:

Найдем (НОД (20;36):)

1. Выпишем все делители этих чисел.

Так же делители можно сразу записывать парой. Если 20 нацело делится на 2, то

(20 : 2 = 10)

Значит 10 – тоже делитель числа 20. Запишем делители 2 и 10 парой:

1. Выделим все общие делители и найдем наибольший из них. В данном случае

(НОД(20;35) = 4.)

Ответ: 4.

НОК:

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел – это наименьшее число, которое можно поделить на каждое из этих чисел без остатка.

Пример №3:

Найдем (НОК (10;12).)

1. Возьмем наименьшее число. В данном случае – 10.

Будем умножать его на натуральные числа по порядку, пока не получим число, кратное 12, то есть такое, на которое нацело поделится и 10, и 12. Оно и будет НОК этих двух чисел. Такой метод называется методом подбора.

(10 bullet 1 = 10; 10 НЕ кратно 12)

(10 bullet 2 = 20; 20 НЕ кратно 12)

(10 bullet 3 = 30; 30 НЕ кратно 12)

(10 bullet 4 = 40; 40 НЕ кратно 12)

(10 bullet 5 = 50; 50 НЕ кратно 12)

(10 bullet 6 = 60; 60 кратно 12)

1. Первое число, которое будет кратно обоим числам и является их наименьшим общим кратным.

Общих кратный, в отличии от делителей, бесконечно много, поэтому обычно выбирают наименьший их них.

Ответ: 60.

Также можно находить НОК через разложение на множители:

Пример №4:

Найдём (НОК (6;8):)

1. Разложим числа 6 и 8 на простейшие множители, т.е. представим каждое число как произведения простых чисел. Множители большего числа запишем сверху:

8: (1 bullet 2 bullet 2 bullet 2)

6: (1 bullet 2 bullet 3)

1. Видим, что множители 1 и 2 повторяются у обоих чисел, поэтому для меньшего числа их уберем. Останется:

1. Перемножим все оставшиеся числа. Их произведение и будет НОК:

(НОК (6; = 1 bullet 2 bullet 2 bullet 2 bullet 3 = 24)

Ответ: 24.

Пример №5:

Найдем (НОК (10;12)) разложением на множители:

1. Разложим оба числа на простые множители. Сверху запишем большее число:

12: 1, 2, 2, 3

10: 1, 2, 5

1. Для меньшего числа зачеркнем те множители, которые уже есть у большего числа:

1. Перемножим все оставшиеся числа:

(НОК (10; 12) = 1 bullet 2 bullet 2 bullet 3 bullet 5 = 60)

Наш ответ совпал с ответом, где мы использовали метод подбора.

Ответ: 60.

ВЗАИМОСВЯЗЬ НОК И НОД:

Произведение НОК и НОД некоторых чисел равно произведению самих этих чисел:

(НОК(a; b) bullet НОД(a; b) = a bullet b)

Докажем эту формулу на примере.

Пример №6:

Рассмотрим пару чисел 24 и 60.

1. Найдем их НОД:

(НОД (24;60) = 12)

1. Найдем их НОК:

(НОК (24; 60) = 1 bullet 2 bullet 2 bullet 2 bullet 3 bullet 5 = 120)

1. Рассмотрим поближе НОК. Чтобы его получить, мы переменожили все простые множители чисел 60 и 24 за исключением множителей 1, 2, 2, 3. Найдем отдельно их произведение:

(1 bullet 2 bullet 2 bullet 3 = 12)

Если перемножить все простые множители числе 60 и 24 мы получим просто их произведение, при этом оно будет состоять из НОК и числа 12, которое в свою очередь равно НОД: