Как найти кратность в статистике

Получили многоугольник или полигон распределения данных. Собственно, polygon  и переводится как «многоугольник».

Чтобы представить большой объём информации в графическом виде, можно использовать гистограммы или столбчатые диаграммы.

4. Числовые характеристики данных измерения.

У любого из нас имеются не только данные о рождении, но и ряд иных свойств и качеств.

Такие измерения имеют свои числовые характеристики.

Рядом данных называют результаты измерения, перечисленные в порядке их получения. Каждый из результатов называется вариантой измерения.
Например, результаты написания контрольной работы по математике для класса из 20 человек можно представить в виде следующего ряда данных: 3, 4, 4, 5, 3, 4, 3, 3, 3, 5, 5, 4, 5, 4, 5, 3, 3, 3, 4, 3. Эту же информацию можно представить в
виде таблицы:

Кратность варианты — количество её повторений в ряду данных. В нашем ряду оценка «3» появилась 9 раз, поэтому её кратность равна 9.
Понятно, что таблица распределения отображает данные более наглядно и компактно.
Числовые характеристики данных
Объём измерения — количество всех данных этого измерения. Одна из наиболее важных характеристик варианты — это её частота. Частота варианты показывает долю этой
варианты в ряду распределения. Она вычисляется по формуле:

частота =кратность варианты/объём измерения

В нашем примере частота варианты «4» равна .
Это означает, что оценка 4 составляет 0,3 всех полученных оценок.
Размах измерения — разность между максимальной и минимальной вариантами этого измерения. В нашем примере максимальная варианта равна 5, минимальная — 3, значит, размах равен .
Мода измерения — варианта, которая в измерении встретилась чаще других. В приведённом выше примере чаще всех встретилась оценка 3, значит, она и будет модой этого распределения.
Медиана распределения — это центральное число в упорядоченном ряду данных, если в ряду нечётное количество чисел, или полусумма двух центральных, если в ряду чётное количество чисел.
Например, для ряда распределения 1, 2, 3, 6, 9, объём измерения которого равен 5, медианой распределения будет третье число этого ряда, то есть 3.
Для ряда распределения 7, 3, 2, 1 с объёмом измерения, равным 4, медианой будет полусумма двух центральных чисел данного ряда, то есть число, равное .
Для нахождения медианы распределения необходимо
1. Упорядочить ряд распределения по возрастанию или по убыванию: .
2. Если объём измерения нечётный, то есть , то получим следующую ситуацию:

В этом случае медианой является число .
3. Если объём измерения чётный, то есть , то имеем

В этом случае медианой является число — .
Среднее ряда (среднее арифметическое) — сумма всех чисел ряда, делённая на их количество. Если имеется таблица распределения, то можно
1) умножить каждую варианту на её кратность;
2) просуммировать полученные значения;
3) разделить результат на объём измерения. Например, для ряда распределения 2, 4, б, 8, у которого объём измерения равен 4, среднее значение равно
Задача 1. Даны результаты измерения веса школьников 9 класса: 55, 53, 56, 48, 45, 56, 49, 52, 53, 49, 50, 56, 45, 52, 56, 45, 45, 48, 55, 52, 43, 48, 52, 49, 50, 45, 48, 45, 50, 53.
а) Постройте таблицу распределения данных.
б) Найдите объём измерения.
в) Найдите размах ряда.
г) Найдите частоту появления каждого веса в указанном ряду.
д) Найдите медиану, моду и среднее указанного ряда.
Решение.
а) Наименьшее число в ряду — 43, оно встречается в ряду один раз, значит, его кратность равна 1. Следующее по величине — число 45, оно встречается шесть раз, значит, его кратность равна 6. Далее 48, оно встречалось 4 раза, значит, его кратность равна 4.
Продолжая аналогично, заполним таблицу:

б) Найти объём измерения можем несколькими способами.
1- й способ.
Посчитаем количество чисел в ряду, получим 30.
2- й способ.
Сложим кратности всех вариант:
Ответ: 30.
в) Наибольшее значение в ряду 56, наименьшее — 43, значит, размах равен
Ответ: 13.
г) Для каждой варианты делим её кратность на объём измерения (на 30), результаты пишем в таблицу.

д) В данном ряду 30 чисел, значит, медиана равна полусумме 15-го и 16-го чисел в упорядоченном ряду.

Как видно из такой записи чисел, от 43 до 49 — 14 чисел, значит, 15-ое и 16-ое числа равны 50, и значит, медиана равна
Мода — то значение, которое встречается чаще всех, то есть то, у которого больше кратность. Из таблицы распределения находим, что наибольшую кратность имеет число 45, значит, мода равна 45.
Для нахождения среднего необходимо найти сумму всех чисел ряда и разделить ее на количество этих чисел. Сумму можно найти просто складывая подряд все числа ряда. А можно поступить иначе: каждую варианту умножить на её кратность и сложить полученные результаты. Имеем:
.
Осталось разделить полученную сумму на количество всех чисел: .
Ответ: медиана: 50; мода: 45; среднее: 50,1.
Задача 2. Пятерых учеников попросили подсчитать, сколько времени (в минутах) они тратят на дорогу от дома до школы. Получили следующие результаты: 5,15,10,15,20.
1) На сколько среднее значение этого ряда меньше его размаха?
2) На сколько мода этого ряда больше медианы?
3) Найдите процентную частоту значения 10.
Решение.
1) Среднее ряда: , размах: . Искомое значение равно .
Ответ: 2.
2) Найдём медиану. Расположим числа в порядке возрастания: 5, 10, 15, 15, 20. Медианой этого набора будет третье число в упорядоченном ряду, то есть 15.
В данном ряду число 15 встретилось 2 раза, остальные — по одному разу. Мода ряда равна 15. Мода и медиана этого ряда равны, значит, ответ 0.
Ответ: 0.
3) Кратность значения 10 равна 1, объём измерения равен 5 (всего 5 чисел). Частота значения 10 равна , процентная частота равна .
Ответ: 20.
Задача 3. Имеется 4 группы породистых котов. Для некоторого соревнования отбирают котов с длиной шерсти не менее 8 см.
Известно следующее:
1) в первой группе наибольшая длина шерсти равна 10 см;
2) во второй группе средняя длина шерсти равна 8 см;
3) в третьей группе мода длины шерсти равна 8 см;
4) в четвёртой группе медиана длины шерсти равна 9 см.
В какой из групп хотя бы половина котов гарантированно подходит по длине шерсти?
Решение.
1) Из того, что наибольшая длина шерсти равна 10 см, не следует никакой другой информации, то есть ничего не можем сказать про остальных котов этой группы.
2) Рассмотрим для примера группу котов с длиной шерсти 7 см, 7 см и 10 см. Среднее равно , но в этой группе нет половины котов, удовлетворяющих требованиям.
3) Рассмотрим для примера группу котов с шерстью длиной 8 см, 8 см, 7 см, б см, 5 см. Мода равна 8, но опять же нет половины котов, удовлетворяющих требованиям.
4) Если медиана равна 9 см, то есть половина котов с шерстью меньшей или равной длины и половина — с большей или равной длины. Значит, в этой группе найдётся половина котов с шерстью длиной не менее 8 см.
Ответ: 4.
Задача 4. По статистике автозавода из 1000 машин в среднем 20 бракованных. Сколько бракованных машин следует ожидать, если завод собирается выпустить 300 500 машин?
Решение.
Если из 1000 машин 20 бракованных, то частота появления бракованной машины равна . То есть доля бракованных машин будет равна 0,02, тогда из 300 500 машин будет бракованных.
Ответ: 6010.

Ознакомление со статистикой и ее необходимостью

Статистика имеет дело с огромными массивами исходной информации. Как, например, определить среднюю продолжительность жизни мужчин или женщин по стране? Нужны миллионы первоначальных замеров. Но большие размеры исходных данных не наглядны и не удобны для анализа. Их нужно предварительно обработать, представить в удобном виде, для дальнейшего анализа и дальнейшей обработки.

Ознакомление с представлением данных в табличном виде

Пусть первоначальные замеры – это время на дорогу от дома до спецшколы у пятидесяти ее учеников. Данные опросов округлили до десяти минут и получили исходную таблицу данных: 50 чисел.

И что видно из этой таблицы? Много учеников живет далеко от школы? Даже на такой вопрос ответ неясен. Действительно, необходима предварительная обработка информации, ее дизайн. Обработка начинается с группировки информации. Информация группируется в пределах 10–180 минут, так как менее 10 минут никто из учеников не заявил, более 3 часов в один конец никто не ездит. Вывод: при измерении могли получиться следующие числа в минутах.

Получили так называемый общий ряд данных – это возможные результаты измерений. Среди общего числа, в нашем примере встретились числа: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 80, 90, 100, 120. Не встретились числа: 70, 110, 170.

Определение: варианта измерения – это один из результатов этого измерения. Фактически, числа, встретившиеся в нашем примере, и есть варианта измерений.

Если варианты перечислить по порядку и без повторений, то получим ряд данных измерения.

Если варианта встретилась в измерении  раз, то число  называется кратностью этой варианты. Например: кратность варианты 60 минут равна восьми, а варианты 120 равна единице.

В таблице представлены варианты для всех десятков минут из нашего примера.

Варианта и ее кратность – основа табличного представления информации.

В данной таблице представлены в верхнем ряду все варианты – все измерения, которые случились, и их кратности, в нижнем ряду. Для краткости измерения представлены в десятках минут.

Теперь становится ясно, что одна пятая всех учеников, а именно 10 учеников из 50, едет в школу 50 минут. Сумма кратностей – это объем измерений. Через объем кратность варианты переводится в частоту варианты: .

Кратность варианты может быть представлена через частоту варианты или в процентах: .

На основании этих формул получим следующую таблицу измерений.

Верхний ряд данной таблицы содержит все варианты, далее идет ряд с кратностями каждой варианты, после этого – частота и в завершении – частота в процентах. Заметим, что сумма всех частот равна единице, а сумма частот в процентах равна сотне. Из таблицы предельно ясно, что 20% учеников добираются до школы 50 минут.

На данном этапе информация сгруппирована и составлена таблица распределения данных – теперь информация приобрела наглядность. Теперь разберемся с графическим представлением информации.

Построение графиков по основным данным

Отдельные точки графика сведены в таблицу, по оси абсцисс будут располагаться варианты, а по оси ординат – кратность.

Соединим отдельные точки и получим многоугольник, или полигон распределения данных ( – варианты,  – кратность) (рис. 1).

Рис. 1. Полигон распределения вариант по кратности

Также информацию можно выкладывать и в других измерениях: например, частота в процентах (рис. 2).

Рис. 2. График распределения вариант по частоте, выраженной в процентах

Группировка данных

На данном этапе исходная информация была сгруппирована, были составлены таблицы распределения данных, а затем переведены в графики распределения данных. Характер информации прояснился, стал более наглядным и удобным, но подобные действия с информацией даже при небольшом объеме данных очень трудоемки. Поэтому на практике используются методы приближенной группировки данных, в частности, варианты измерения заменяются промежутком.

Приведем пример группировки информации с теми же данными:

Все 50 человек разделили на три группы:

1) Живут близко (10 – 30 минут).

2) Живут недалеко (40 – 60 минут).

3) Живут далеко (более 60 минут).

Получается, вместо десяти стало три варианты:

1) Близко (10 – 30 минут).

2) Недалеко (40 – 60 минут).

3) Далеко (80 – 120 минут).

Теперь проще получить таблицу распределенных новых, укрупненных данных.

При укрупнении неизбежно теряются некоторые детали. Например: теперь неизвестно, сколько человек тратит на дорогу ровно 60 минут. Однако получено более ясное и удобное представление информации. Например, всю информацию теперь легко представить на следующей диаграмме (рис. 3).

Рис. 3. Диаграмма распределения сгруппированных данных

На диаграмме ясно изображено, что 50% живут недалеко, 16% – далеко и 34% – близко. Это паспорт измерений: здесь выявлены основные характеристики исходной информации.

В результате неудобная объемная информация из начальной таблицы была преобразована в более удобный, табличный и графический вид. Изначально трудозатраты были весьма велики, так как вариантой здесь выступало конкретное число. Чтобы снизить трудозатраты, исходную информацию укрупнили, после этого вариантой стало не число, а числовой промежуток. Всю информацию теперь удобно было представить в виде круговой диаграммы, которую легко анализировать.

Напомним формулу успешного управления академика Трапезникова: «Знают – могут – хотят – успевают». Знают – важное звено. Откуда знают? Из предварительного сбора и обработки информации.

Теперь приведем ответ для нашего примера: администрация школы, проанализировав эту информацию, может принять решения по следующим вопросам:

• Вводить или не вводить занятия в субботу, ведь 16% учеников живут далеко?
• Целесообразно ли организовать ночлег для учеников, которые живут далеко?
• Кому и в каких объемах возместить затраты на дорогу до школы и обратно?

Числовые характеристики исходных данных

На этом простом примере видна огромная роль информации и ее предварительной обработки. Была произведена предварительная обработка информации в удобный вид, на очереди выявление числовых характеристик массива исходных данных.

1) Размах измерения – важнейшая из характеристик, разность между максимальной и минимальной вариантами. В нашем примере: 120 – 10 = 110 минут.

2) Мода измерения – варианта измерения, которая в измерении встретилась чаще других, то есть у которой наибольшая кратность. Моду легко получить из таблиц или графика распределения. В нашем примере: 50 минут, так как ее кратность (10) наибольшая.

3) Среднее (среднее арифметическое числового ряда). Средним арифметическим массива из  чисел  называют число . Отсюда ясно, что для нахождения среднего значения следует просуммировать все данные измерения и полученное число разделить на количество измерений. В нашем примере: варианта 1 встречалась 3 раза, 2 – 6 раз, 3 – 8 раз, 4 – 7 раз, 5 – 10 раз, 6 – 8 раз, 8 – 2 раза, 9 – 3 раза, 10 – 2 раза, 12 – 1 раз, значит, среднее значение вычисляется следующим образом:  (десятков минут)  (минут). Получается, в среднем, каждый ученик тратит на дорогу 48 минут.

Мы рассмотрели три числовые характеристики: размах, мода, среднее. В целом они все же дают некоторое представление о массиве исходных данных, это упрощенный паспорт исходных данных.

Итак, было выяснено:

1) Необходима предварительная обработка исходных данных – группировка, представление в виде таблиц, представление в виде графиков распределений.

2) Необходимо нахождение основных числовых характеристик исходного массива данных – размах измерений, мода, среднее.

Решение задач

Задача на понятие «общий ряд данных».

Выписать общий ряд данных следующего измерения: месяц рождения учеников данного класса.

Решение

Присвоим каждому месяцу порядковые номера, начиная с единицы: январь – 1, февраль – 2, март – 3, апрель – 4, май – 5, июнь – 6, июль – 7, август – 8, сентябрь – 9, октябрь – 10, ноябрь – 11, декабрь – 12.

Тогда получим ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Примечание: этот ряд содержит все возможные результаты измерения, но возможно нет родившихся в некоторых месяцах.

Задача на понятие «варианта измерения».

Назовите варианты измерения, если не оказалось родившихся в январе, феврале, мае, ноябре, декабре.

Решение

Присвоив каждому месяцу те же порядковые номера, получим: март – 3, апрель – 4, июнь – 6, июль – 7, август – 8, сентябрь – 9, октябрь – 10.

Ответ: 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10.

Задача на понятие «ряд данных измерения».

Определить ряд данных измерения: март, апрель, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь.

Решение

Присвоив каждому месяцу те же порядковые номера, получим: март – 3, апрель – 4, июнь – 6, июль – 7, август – 8, сентябрь – 9, октябрь – 10.

Ответ: 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10.

Задача на понятия «кратность варианты», «табличное представление информации».

Составьте таблицу распределения данных, если в июне и июле родилось по пять человек, а в марте, апреле, августе, сентябре, октябре родилось по два человека.

Решение

Присвоив каждому месяцу те же порядковые номера, получим: март – 3, апрель – 4, июнь – 6, июль – 7, август – 8, сентябрь – 9, октябрь – 10.

Ответом является таблица, где вариантами выступают номера месяцев.

Рассмотрим типовую задачу.

Даны оценки (от 0 до 10 баллов) 40 учеников на олимпиаде.

Выполнить предварительную обработку данных – выявить варианты измерения, составить ряд данных, составить таблицу и график распределения данных. Найти числовые характеристики исходных данных.

Решение

Ряд данных: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Объем данных: 40.

Соберем все варианты и их кратности в таблицу распределения данных, где вариантами выступают баллы учеников. 

Приведем пример получения табличных данных на примере варианты 2 балла.

Кратность равна 5, частота равна , частота в процентах равна .

Построим график распределения данных ( – варианты,  – частота) (рис. 4).

Рис. 4. График распределения вариант по частоте для типовой задачи

Вычисляем числовые характеристики:

1) Размах измерения: .

2) Мода: 6, так как оценка встретилась 11 раз, что является максимумом.

3) Средняя оценка на экзамене: .

Выводы

На данном уроке мы ознакомились с основными понятиями математической статистики и научились решать простые задачи по математической статистике.

Список рекомендованной литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. М.: Просвещение. 2004 г.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение. 2006 г.

Рекомендованное домашнее задание

1. Зачем нужна математическая статистика?
2. Что такое табличный вид данных?
3. Зачем нужны графики и диаграммы в статистике?
4. Выпишите общий ряд данных следующего измерения: годы проведения олимпиад XXI века (по текущий год).
5. Какой будет размах измерения (в годах) для олимпиад XXI века (по текущий год), если олимпиады проводились каждый год?

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Yaklass.ru (Источник).
2. Интернет-портал Mathematics-tests.com (Источник).
3. Интернет-портал Festival.1september.ru (Источник).