Как найти критерий гурвица

Предыдущие лекции по теории автоматического управления можно посмотреть здесь:

1. Введение в теорию автоматического управления.2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3, 2.3 — 2.8, 2.9 — 2.13.

3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ. 3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ. 3.2. Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья. 3.3. Апериодическое звено 1–го порядка инерционное звено. На примере входной камеры ядерного реактора. 3.4. Апериодическое звено 2-го порядка. 3.5. Колебательное звено. 3.6. Инерционно-дифференцирующее звено. 3.7. Форсирующее звено.  3.8. Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением). 3.9. Изодромное звено (изодром). 3.10 Минимально-фазовые и не минимально-фазовые звенья. 3.11 Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности.

4. Структурные преобразования систем автоматического регулирования.

5. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР).

6.1. Понятие об устойчивости САР. Теоремы Ляпунова.

В теории «Управления техническими системами» общепринято понятие качество управления, состоящее из трех основных составляющих:

• устойчивость САР (или запасы устойчивости);

• точность САР;

• качество переходного процесса.

 Необходимо заметить, что если не обеспечена устойчивость замкнутой САР, то говорить о точности и, тем более, о качестве переходного процесса — бессмысленно.

      Поэтому понятие «устойчивость» — важнейшее понятие для САР.

      Приведем «механическую» аналогию понятия «устойчивость» 

В положении а) при отклонении шарика от нижнего положения он обязательно вернется в свое устойчивое положение (низ «воронки»).

В положении б) малейшее отклонение шара от состояния равновесия приведет к «скатыванию» его вниз; т.е. шар не вернется сам назад на вершине «горки».

В положении в) при воздействии на шар он начнет перемещаться в горизонтальном направлении и, если нет трения, то шар будет двигаться с постоянной скоростью.

 Если реальная замкнутая САР имеет свойства, аналогичные а), то она «хорошая», если б) – «совсем плохая».   Нужно так проектировать САР, чтобы ее свойства были похожи на а), т.е. если какое-то возмущающее воздействие отклонит систему от равновесия, то система управления обязана вернуть техническую систему в состояние равновесия.

Ранее мы водили передаточную функуию для по возмущающему воздействию для замкнутой САР (см. формулу 5.4 в предыдущей лекции). Уравнения динамики замкнутой САР, описываемую в переменных «вход-выход»:

Решения для такого уравнения будет являтся суммой двух функций:, где — собственное решение, при и вынужденное решение вызванное воздействием.

Решим характеристическое уравнение (подробнее смотри здесь…)

 Решая уравнение (6.1.2), которое является типичным степенным уравнением, каким-либо способом (в том числе и с помощью стандартных подпрограмм на компьютере) находим корни характеристического уравнения , тогда собственное решение примет вид:

В зависимости от значения возможно несколько вариантов вида функуции. На рисунке 6.1.2 представлены варинаты поведения функции вида в случае когда является реальными числом или комплексным числом .

Анализ вышеприведенных рисунков показывает, что система может вернуться в исходное состояние, если все составляющие  при  будут стремиться к нулю.  А для этого показатель степени должен быть отрицательным.  Поэтому условием устойчивости является отрицательное значение реальной части корней т.е. необходимо чтобы корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости.  

Если корни комплексные, то процесс колебательный, если корни реальные, то процес аперодический (затухающий). Причем ось ординат  соответствует границам устойчивости (апериодической или колебательной). Таким образом, вопрос об устойчивости или неустойчивости замкнутой (и разомкнутой) САР определяется по расположению корней соответствующего характеристического уравнения.

Для не замкнутой САР вместо устойчивость определяется корнями характеристического уравнения знаменателя передаточной функции в предыдущей лекции мы выводили формулу рассчета передаточной фунции замкунутой САР, по предаточной функции разомкнутоф САР:

 Таким образом, вопрос об устойчивости или неустойчивости замкнутой и разомкнутой САР определяется по расположению корней соответствующего характеристического уравнения.

Если все корни характеристического уравнения лежат (расположены) в левой полуплоскости – линейная (или линеаризованная) САР устойчива.

 Необходимо заметить, что коэффициенты уравнения совпадают с коэффициентами многочлена (полинома)   следовательно     полюса замкнутой САР тождественно совпадают с корнями характеристического уравнения     , где  — корни характеристического уравнения; — полюса перредаточной функции.

Напомним, полюсом передаточной функции называется значение её аргумента, при котором знаменатель функции обращается в ноль.

Используя приблизительно такие же рассуждения сходимости степенных функций Ляпуновым были сформулированы 3 теоремы об устойчивости линейных САР: 

1. Если все корни характеристического уравнения или полюса передаточной функции САР расположены в левой полуплоскости, то линеаризованная САР обязательно вернется в исходное состояние при снятии внешнего воздействия, выведшего эту САР из состояния равновесия. Следовательно САР – устойчива.

2. Если хотя бы один полюс (или корень характеристического уравнения) передаточной функции САР расположен в правой полуплоскости (при всех остальных в левой полуплоскости), линейная (линеаризованная) САР никогда не вернется в исходное (равновесное) состояние при снятии внешнего воздействия, которое вывело данную САР из исходного состояния равновесия.   Следовательно САР – неустойчива.

3. Если хотя бы один из полюсов передаточной функции САР (корней   характеристического уравнения) находится на мнимой оси (при всех остальных в левой полуплоскости) об устойчивости линеаризованной САР ничего сказать нельзя, т.к. учет нелинейных (отброшенных) членов в динамике САР может дать любой результат (устойчива или неустойчива).

Резюмируя вышесказанное, отметим, что:

 Наиболее простым способом определения устойчива или неустойчива САР (как замкнутая, так и разомкнутая) является решение уравнения для замкнутой САР (или  для разомкнутой САР) или решение характеристического уравнения или– для разомкнутой САР).

Если САР задана в переменных состояния, то вопрос об устойчивости САР определяется матрицей А – собственной матрицей:

Если собственные числа матрицы А лежат в левой полуплоскости – САР устойчива; если хотя бы одно собственное число лежит в правой полуплоскости – линейная САР неустойчива.

Собственные числа (согласно разделу «Линейная алгебра») находятся из уравнения:

где: — матрица размера ; — единичная матрица

Это означает, что уравнение принимает:

решая, находим 

Фактически уравнения (6.1.6) и (6.1.7) – характеристические уравнения САР. Поэтому, если САР задана в переменных состояния, то характеристический полином при задании САР в переменных «вход-выход» может быть определен как:

Чисто математически задача определения устойчивости сводится к решению степенного уравнения  или к проблеме нахождения собственных чисел матрицы А.

6.2. Необходимые условия устойчивости линейных и линеаризованных САР.

Наиболее просто необходимое условие устойчивости линейных (линеаризованных) САР формулируется для систем, записанных в переменных «вход-выход», причем оно применяется в одинаковой «редакции» как для замкнутых, так и для разомкнутых САР.   Это условие доказывается с использованием характеристического полинома D(s) – для замкнутых САР, или L(s) – для разомкнутых САР. Сделаем вывод на основании D(s)  

Разложим многочлен D(s) на элементарные линейные сомножители :

где: — полюса передаточной функции замкнутой САР.

Предположим, что и что все полюса расположены в левой полуплоскости:   

где: — действительный полюс; —  — комплексно-сопряженные полюса.

Подставим значения в выражение 6.2.1 заметим, что если перемножать любые две скобки в выражении 6.2.1, которые содержат комплексно сопряженные скобки например мы получим выражение типа: .

В первой скобке мы получим выражение: Таким образом мы получаем только полжительные коэффициенты полинома Таким образом можно сформулировать необходимое условие устойчивости линейных САР:

Необходимым условием устойчивости линейных САР является положительность всех коэффициентов в полиноме  — для замкнутых САР, или в – для разомкнутых САР.

Для систем 1-го и 2-го порядка необходимое условие является и достаточным.

Но для систем, имеющих порядок , выполнение необходимого условия невсегда является достаточным.

Тем не менее, необходимое условие «очень удобно», т.е. если хотя бы один коэффициент в D(s) отрицателен, то однозначно – САР неустойчива.

Если необходимое условие выполнено , то если порядок матрицы больше 2 необходимо либо вычислить корни характеристического уравнения (полюса передаточной функции), либо используя какой-либо из критериев устойчивости сделать соответствующий вывод об устойчивости САР.  

6.3. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. 

Как отмечалось выше, устойчивость любой САР можно определить, вычислив значение всех полюсов (или корней соответствующего характеристического уравнения). Однако далеко не все способны без компьютера (калькулятора) решить степенное уравнение выше квадратного (кубическое и т.д.). 

Критерий Гурвица, являющийся частным случаем критерия Раусса, позволяет не решая уравнений типа или сделать вывод об устойчивости САР на основании «несложных» вычислений с использованием коэффициентов характеристического полинома.

Представим полином в измененном виде:

Данное выражение полинома позволяет соcтавить матрицу Гурвица, для этого:

1. по главной диагонале по главной диагонали слева направо выставляются коэффициенты характеристического уравнения от до ;

2. от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3. на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше ставатся нули:

Составив эту матрицу можно сфомулировать критерий:

Для того, чтобы замкнутая САР (или разомкнутая) была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все n главных определителей Гурвицевой матрицы Г.

Если все определители больше нуля, то линейная САР устойчива.

Если все определители больше нуля и то САР находится на апереодической границе устойчивости.

Если все определители, кроме больше нуля, а опеределитель и Р , то САР находится на колебательного границы устойчивости.

Пример 1

Определить, устойчива или нет следующая система САР:

Найдем главную передаточную функцию замкнутой САР:

Все коэффициенты полинома — положительные:

А значит САР может быть устойчива. Составим матрицу Гурвица, и найдем ее определители:

Все определители матрицы Гурвица больше нуля, следовательно САР устойчива.

Пример 2

Используя критерий Гурвица, выполнить анализ устойчивости следующей САР:

Общая передаточная функция разомкнутой системы САР:

Корни знаменателя передаточной функцийй размкнутой САР:

Поскольку разомкнутая САР находится на границе устойчивости.

Передаточная функция замкнутой САР:

Выражения для матрицы Гурвица:

Главные определители матрицы Гурвица:

Очевидно из формулы для определиттеля следует что для устойчивости САР необходимо чтобы

В случае когда постоянные времени положительны условие устойчивости можно вычислить получить из выражения для второго определителя:

Полученный результат свидетельствует, что если , то для того, чтобы САР была устойчивой, необходимо, чтобы выполнит следующие условия:

Усложним задачу: предположим, что в системе САР изображенной на рис. 6.3.2 возможно варьировать (изменять) коэффициент усиления и постоянную времени, например, В этом случае область устойчивости может быть отображена в виде фигуры в координатах

Система неравенств такая же, что и выше, для определителей матрицы Гурвица:

Примеры из видео можно взять здесь..

Продолжение темы устойчивости:

6.4 Частотный критерий устойчивости Михайлова.

6.5. Частотный критерий Найквиста

6.6. Понятие об областях устойчивости

Определение устойчивости по критерию Гурвица

Для
устойчивости системы необходимо и
достаточно, чтобы все миноры определителя
Гурвица были положительны.
По
коэффициентам характеристического
уравнения составляется определитель
Гурвица.

Для
этого по главной диагонали делителя
выписываются все коэффициенты
характеристического уравнения, начиная
со второго (т.е. а₁,
а₂,
а₃,
… ,а_n
), затем вверх записываются коэффициенты
с возрастающим индексом, а вниз — с
убывающим индексом.

Например,
для третьего коэффициента в главной
диагонали а₃
вверх
записываются а₄,
а₅
(индекс возрастает), а вниз — а₂,
а₁,
а₀.
На остальные оставшиеся места вписываются
нули.

Для
проверки правильности заполнения
определителя Гурвица необхо­димо
учесть, что по строкам чередуются
коэффициенты с нечётными и чёт­ными
индексами. Так первая строка — нечётные
а₁
а₃
а₅
а₇…,
вторая строка — четные а₀а₂
а₄
а₆
и т.д.

Покажем
вычисление миноров в определителе
Гурвица для системы 6-го порядка.

Последний
определитель обычно не рассчитывается.
В данном случае
.
Если выполняется первое необходимое
условие устойчивости (все а>0), то при>0всегда
положителен.

Пусть
необходимо определить устойчивость
системы пятого порядка. Тогда а₆=0
>0

неравенства принимают вид:

Если
необходимо определить устойчивость
системы четвертого порядка, то
неравенства принимают вид:

Для
устойчивости системы третьего порядка
достаточно

.

Для
систем седьмого порядка определение
устойчивости по Гурвицу обычно не делают
из-за громоздкости расчетов.

ПРИМЕР
1. Определить устойчивость САУ по критерию
Гурвица по следующему характеристическому
уравнению:

.

Решение.
1. Все коэффициенты характеристического
уравнения положительные. Значит
необходимое условие устойчивости
выполняется.

2.
Составляется определитель Гурвица

Определяют
значения миноров согласно неравенствам:

Ответ.
Все миноры определителя Гурвица
положительны, значит вещественная часть
корней характеристического уравнения
отрицательна и, согласно теореме
Ляпунова, САУ устойчива.

Критерий устойчивости Рауса

Для
устойчивости систем необходимо и
достаточно, чтобы все коэффициенты
первого столбца таблицы Рауса были
положительны.

Таблица
Рауса составляется по правилам:

а)
в первой строке таблицы Рауса записываются
соответственно коэффициенты а_0,а_2,а₄
….;

б)
во второй строке таблицы Рауса записываются
соответственно коэффициенты а_1,а_3,а₅
….;

в)
коэффициенты третьей строки таблицы
Рауса вычисляются по формулам:

г)
коэффициенты четвертой строки таблицы
Рауса определяются по формулам:

д)
коэффициенты n-й
строки таблицы Рауса вычисляются по
формулам

где
i
– номер столбца; j
– номер строки.

ПРИМЕР
2. Определить устойчивость САУ по критерию
Рауса по характеристическому уравнению
примера 1.

Решение.
1. Вычисляют третью строку таблицы Рауса:

2.
Определяют четвертую строку:

3.
Вычисляют пятую строку:

4.
Определяют шестую строку:

По
результатам расчета составляют таблицу
Рауса.

Таблица
1

Таблица
Рауса

№ строки	R	1 столбец	2 столбец	3 столбец
1 2
3 4 5 6

Ответ:
коэффициенты первого столбца положительны.
Система устойчивая.

Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова
(геометрический критерий устойчивости)

Пусть имеем линейное дифференциальное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами:

Нулевое решение уравнения (1) асимптотически устойчиво, если все корни характеристического уравнения

имеют отрицательные вещественные части.

Критерий Рауса—Гурвица. Для того чтобы все корни уравнения (2) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные диагональные миноры матрицы Гурвица

Матрица Гурвица составляется так. По главной диагонали выписываются коэффициенты многочлена (2), начиная с и оканчивая . Столбцы состоят поочередно из коэффициентов только с нечетными или только с четными индексами, причем в число последних включается коэффициент . Все остальные элементы матрицы, отвечающие коэффициентам с индексами, большими или меньшими , полагаются равными нулю. Главные диагональные миноры матрицы Гурвица имеют вид

Таким образом, условие Гурвица гласит: для устойчивости решения уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения

Так как , то условие может быть заменено требованием .

---

Пример 1. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение

Здесь . Выписываем диагональные миноры Гурвица

Итак, . Следовательно, тривиальное решение уравнения (5) асимптотически устойчиво.

Вычисление можно, например, организовать так. Составляем сначала старший минор Гурвица . По нему легко выписываются все младшие миноры . Затем начинаем вычислять последовательно и т.д. Если встретился отрицательный минор, решение неустойчиво и дальнейший подсчет не нужен.

---

Геометрический критерий устойчивости (критерий Михайлова)

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными вещественными коэффициентами

Его характеристическое уравнение

Критерий Михайлова позволяет решить вопрос о расположении корней характеристического уравнения (2) на комплексной плоскости и, следовательно, решить вопрос об устойчивости нулевого решения уравнения (1). Полагая , получаем

где

Величину при заданном значении параметра можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости с началом в начале координат.

При изменении в интервале конец этого вектора опишет некоторую кривую — так называемую кривую Михайлова (рис. 45). Так как функция четная, то кривая Михайлова симметрична относительно оси и поэтому достаточно строить часть кривой, отвечающую изменению параметра от до .

Если многочлен степени имеет корней с положительной вещественной частью и корней с отрицательной, то угол поворота вектора при изменении от до равен .

Ясно, что для устойчивости решения уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы .

Критерий Михайлова. Для устойчивости нулевого решения уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы

1) вектор при изменении от до совершил поворот на угол , т.е. сделал оборотов против часовой стрелки;

2) годограф при изменении от до не проходил через начало .

Отсюда следует, что для устойчивости решения уравнения (1) необходимо, чтобы все корни уравнений были вещественными и перемежающимися друг с другом, т.е. между любыми двумя корнями одного уравнения должен находиться корень другого уравнения.

---

Пример 1. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения

Решение. Составляем характеристический многочлен

Далее,

Построим кривую (рис.46)

Угол поворота радиуса-вектора . Отсюда и так как , то , т.е. все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости. Значит, тривиальное решение асимптотически устойчиво.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Формулировка, преимущества и недостатки критерия Гурвица

Наряду с критерием Рауса, критерий Гурвица представляет семейство алгебраических критериев устойчивости системы. Его главное достоинство — принципиальная простота, а главный недостаток заключается в том, что существует необходимость выполнения операции вычисления определителя, связанной с многочисленными вычислительными тонкостями. Данный метод определения устойчивости связан с коэффициентами характеристического уравнения. Предположим, что:

$W(s) = Y(s)/U(s) $- передаточная функция.

U(s) — характеристическое уравнение рассматриваемой системы.

Теперь представим характеристический полином U(s) в следующем виде:

где, s — комплексный аргумент.

Затем строится определитель Гурвица из коэффициентов характеристического уравнения системы по следующему алгоритму:

1. По правой диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения системы.
2. От каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя таким образом, чтобы индексы убывали сверху вниз.
3. На место коэффициентов, у которых индекс меньше нуля или больше n, ставятся нули.

Размерность таблицы Гурвица определяется максимальной степенью s в характеристическом уравнении.

« Устойчивость систем: критерий Гурвица» 👇

Тогда, в соответствии с критерием Гурвица для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо, чтобы все n главных диагональных миноров определителя Гурвица были положительными, при условии, что a0 > 0. Если проанализировать условия критерия Гурвица, то заметна его избыточность. Количество неравенств может быть уменьшено в два раза, для чего используется теорема Льенара-Шипара.

Еще один недостаток критерия Гурвица — его малая наглядность. А достоинство заключается в том, что он удобен для реализации на электронно-вычислительной машине. Он часто используется для определения влияния одного из параметров системы автоматического управления на уровень ее устойчивости. Например, равенство главного определителя нулю говорит о том, что система находится на границе устойчивости. Параметры автоматической системы управления определяют значения коэффициентов динамического уравнения, таким образом изменение любого параметра системы влияет на значение определителя.

Решение задачи при помощи критерия Гурвица

Допустим задана автоматическая система управления, структурная схема которой изображена на рисунке ниже.

Сначала необходимо получить для нее передаточные функции и определить соотношение параметров, которые обеспечивают ее устойчивость. По задающему воздействию передаточная функция разомкнутой системы будет иметь следующий вид:

По возмущающему воздействию передаточная функция разомкнутой системы будет выглядеть следующим образом:

Передаточная функция разомкнутой цепи выглядит следующим образом:

Допустим:

$К = К1К2Кос$ — коэффициент передачи разомкнутой цепи.

Тогда:

По задающему воздействию передаточная функция замкнутой системы выглядит следующим образом:

По возмущающему воздействию передаточная функция замкнутой системы имеет следующий вид:

Характеристический полином автоматической системы управления, то есть знаменатель любой из передаточных функций замкнутой системы, выглядит следующим образом:

Где:

• $а0=1+Кр$
• $а1 = Т1+Т2+Тос$
• $а2 = Т1(Т2+Тос)+Т2Тос$
• $а3 = Т1Т2Тос$

Видно, что характеристический полином замкнутой системы автоматического управления равняется сумме числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой цепи. Так как все коэффициенты характеристического полинома больше нуля, то в соответствии с условием устойчивости все сводится к следующему неравенству:

Полученное неравенство показывает, что устойчивость системы автоматического управления в конце нарушится в случае неограниченного увеличения коэффициента передачи при любых положительных значениях постоянных времени. Предельная величина значения коэффициента передачи, при котором автоматическая система управления теряет устойчивость называется граничным, а для рассматриваемого примера рассчитывается следующим образом:

Критерий устойчивости Гурвица

Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени и в 1877 году — полностью.

Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный в 1895 году математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.

Ниже критерий Гурвица приводится без доказательства.

Для характеристического уравнения (6.9) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую п строк и п столбцов:

Эта таблица составляется следующим образом.

. Каждая строка дополняется коэффициентами

с нарастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше п, на месте его пишется нуль.

должны быть больше

нуля все п определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов.

Определители Гурвица составяются по следующему правилу (см. (6.11)):

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний следующим образом:

т. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.

Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и второе — границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости).

Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков.

порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица дает

т. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.

порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица требует

Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

3. У р а в н е н и е третьего поря д к а

Для этого уравнения получаем условия

4. Уравнение четвертого порядка

На основании критерия Гурвица можно получить, что для уравнения четвертого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия

пятого поря д к а

Для уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, должны выполняться еще два условия:

Как видно, уже для уравнения пятой степени условия устойчивости но критерию Гурвица получаются достаточно громоздкими. Поэтому использование этого критерия практически ограничивается уравнениями четвертого порядка.

Существенным недостатком критерия Гурвица является также то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива система автоматического управления. При этом в случае неустойчивости системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными в инженерной практике.

Для иллюстрации применения критерия Гурвица рассмотрим пример на определение устойчивости дистанционной следящей системы. Принципиальная и структурная схемы изображены на рис. 6.4. В качестве чувствительного элемента использованы два сельсина (СД и СП), включенные по трансформаторной схеме. Передаточная функция сельсинов равна коэффициенту передачи схемы:

— электромеханическая постоянная времени двигателя совместно с оконечным каскадом усилителя. Передаточная функция редуктора (Р) равна его коэффициенту передачи, определяемому передаточным отношением:

Так как цепь управления состоит из включенных последовательно звеньев, то передаточная функция разомкнутой цепи будет равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

— общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.

получаем

В данном случае характеристическое уравнение имеет третий порядок. Нетрудно видеть, что условие положительности всех коэффициентов выполняется всегда, если выполнено условие К> О, что будет при правильном согласовании направления вращения двигателя со знаком рассогласования.

накладываемое на коэффициенты характеристического уравнения, сводится при подстановке значений коэффициентов

, к неравенству

которое и является условием устойчивости рассматриваемой системы.

Из этого неравенства, в частности, можно заметить, что увеличение каждой постоянной времени сказывается отрицательно на устойчивости системы, так как при

этом снижается предельное значение общего коэффициента усиления к, при котором система еще остается устойчивой.

измеряется датчиком угла (нотенциометрическим, индукционным или др.), установленным на гиростабилизированной платформе. Передаточная функция датчика

Для формирования алгоритма управления дополнительно устанавливается датчик угловой скорости (ДУС). Напряжение на его выходе пропорционально производной от отклонения. Передаточная функция ДУС в идеальном случае

суммируются:

и производной от отклонения (см. § 2.2). Передаточная функция усилительно-преобразовательного устройства

Его передаточная функция

где 8 — угол отклонения управляющих органов ракеты.

» Передаточная функция управляемого объекта (ракеты) по управляющему воздействию в простейшем случае может быть, например, такой:

Передаточная функция объекта по возмущению

Корни характеристического уравнения объекта

свидетельствует о том, что сам объект

неустойчив, или, как говорят, статически неустойчив. Он ведет себя подобно шару на рис. 6.1, б. Иными словами, при малейшем отклонении, вызванном, например, возмущающим воздействием, стартующая вертикально ракета без системы автоматического управления опрокидывается.

Передаточная «функция разомкнутой системы равна произведению передаточных функций, входящих в контур отточки размыкания до точки размыкания (см. рис. 6.5):

в указанный контур не входит.

т. е. разомкнутая система неустойчива.

Характеристическое уравнение замкнутой системы можно получить, приравняв нулю сумму полиномов числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы:

Таким образом, необходимыми и достаточными условиями устойчивости замкнутой системы будут:

Первое из них при выполнении двух других всегда выполняется. Следует обратить внимание па то, что если бы управление осуществлялось только по отклонению

т. е. являлась бы структурно неустойчивой.

— на колебательной границе,

IV. 2. 2. Критерий устойчивости Гурвица

Наиболее распространенная в технической практике форма алгебраического критерия устойчивости известна под названием критерия Гурвица (1895). Этот критерий может быть применен для определения устойчивости как разомкнутых, так и замкнутых САР в зависимости от того, характеристическое уравнение какой из вышеназванных САР принято для исследования.

Ниже рассматриваемый критерий приводится без доказательства.

Для характеристического уравнения (IV. 1. 3) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую n строк и n столбцов (матрицу Гурвица)

(IV. 2. 1)

Эта таблица составляется следующим образом.

По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку от a₁ до a _n._.Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими слева направо индексами так, чтобы чередовались строки с нечётными и чётными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а так же если индекс его меньше нуля или больше n, на месте его пишется нуль. Можно заметить, что индексы в столбцах нарастают снизу вверх, поэтому нетрудно понять, что в правом крайнем столбце единственным элементом, отличном от 0, будет нижний элемент a_n .

Главные диагональные миноры или определители матрицы Гурвица

(IV. 2. 1) имеют вид

,

,

,

.

Формулировка критерия устойчивости Гурвица обычно дается в следующем виде:

Для устойчивости САР необходимо и достаточно, чтобы при a₀>0 все главные диагональные миноры матрицы Гурвица были бы больше нуля (i=1, 2, …n).

Условие нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравняв нулю последний минор при положительности всех остальных главных диагональных миноров. Это условие распадается на два условия: и . Первое условие свидетельствует о том, что характеристическое уравнение имеет один нулевой корень, это соответствует границе устойчивости апериодического типа, а второе говорит о наличии пары чисто мнимых корней и существовании колебательной границы устойчивости.

Если нас интересует граничное значение какого-то параметра (например, коэффициента усиления k_гр), при котором САР становится нейтральной, то его можно найти из выражения

. ( IV. 2. 2)

Для часто встречающихся на практике конкретных случаев условия устойчивости Гурвица имеют следующий вид.

Уравнение первого порядка.

Характеристическое уравнение САР в этом случае представляется следующим образом

.

Здесь матрица Гурвица совпадает с ее первым диагональным минором .

Следовательно, необходимым и достаточным условием устойчивости по Гурвицу является положительность коэффициентов a₀ и a₁.

Уравнение второго порядка.

Характеристическое уравнение здесь таково

,

поэтому матрица Гурвица имеет вид

.

Запишем необходимые и достаточные условия устойчивости Гурвица

.

Поскольку , то будет положительным только при и, значит, САР будет устойчива при положительности всех коэффициентов а₀, a₁ и a₂.

Как уже говорилось выше, для САР первого и второго порядков необходимые условия устойчивости Стодолы (т.е. положительность коэффициентов характеристических уравнений) является, как следует из критерия Гурвица, и достаточными.

Уравнение третьего порядка.

Для характеристического уравнения третьего порядка

матрица Гурвица имеет вид

.

Необходимые и достаточные условия устойчивости Гурвица таковы:

Поскольку по Гурвицу для устойчивости системы все миноры должны быть положительными, из последнего неравенства (если ) обязательно следует . Обратимся теперь ко второму главному диагональному минору . Так как мы установили, что , и , то в этом выражении второе слагаемое всегда положительное, а сам минор может быть положительным только при . Итак, для устойчивости САР третьего порядка мы получили необходимые условия, выражающиеся в положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Однако, этих условий недостаточно, т. к. из второго минора видно, что при положительности всех коэффициентов рассматриваемый минор будет положительным только тогда, когда первое слагаемое больше второго. Таким образом, в САР третьего порядка для устойчивости к необходимым условиям добавляется еще условие достаточности

. (IV. 2.3)

Уравнение четвертого порядка.

Для САР четвертого порядка уравнение (IV. 1.3) имеет вид

и тогда матрица Гурвица выглядит следующим образом

.

Выпишем, как обычно, условия устойчивости по Гурвицу

При всех положительных минорах последнее неравенство выполняется лишь при и тогда в предпоследнем неравенстве второе слагаемое положительно. При минор будет положительным только при . Отсюда следует, что будет положительным при , и , только при .

Итак, необходимые условия устойчивости , , , и мы установили. Сюда необходимо добавить достаточное условие

,

которое включает в себя требование

.

Применение критерия Гурвица для исследования устойчивости САР пятого и больших порядков нецелесообразно, т. к. приводит к громоздким вычисления по разрешению миноров, т.е. раскрытию определителей больших порядков. В таких случаях рекомендуется использовать частотные критерии.

Критерий Гурвица

Назначение сервиса . С помощью онлайн калькулятора выбирается оптимальная стратегия по критерию Гурвица. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word (см. Пример оформления).

Пример . Исходные данные:

8	4	6	20
7	7	7	7
6	12	8	10

Критерий Вальда.
По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.
a = max(min a_ij)
Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

Ai	П1	П2	П3	П4	min(aij)
A1	8	4	6	20	4
A2	7	7	7	7	7
A3	6	12	8	10	6

Выбираем из (4; 7; 6) максимальный элемент max=7
Вывод: выбираем стратегию N=2.
Критерий Севиджа.
Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:
a = min(max r_ij)
Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Находим матрицу рисков.
Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b_j = max(a_ij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.
r₁₁ = 8 — 8 = 0; r₂₁ = 8 — 7 = 1; r₃₁ = 8 — 6 = 2;
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.
r₁₂ = 12 — 4 = 8; r₂₂ = 12 — 7 = 5; r₃₂ = 12 — 12 = 0;
3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.
r₁₃ = 8 — 6 = 2; r₂₃ = 8 — 7 = 1; r₃₃ = 8 — 8 = 0;
4. Рассчитываем 4-й столбец матрицы рисков.
r₁₄ = 20 — 20 = 0; r₂₄ = 20 — 7 = 13; r₃₄ = 20 — 10 = 10

Ai	П1	П2	П3	П4
A1	0	8	2	0
A2	1	5	1	13
A3	2	0	0	10

Результаты вычислений оформим в виде таблицы.

Ai	П1	П2	П3	П4	max(aij)
A1	0	8	2	0	8
A2	1	5	1	13	13
A3	2	0	0	10	10

Выбираем из (8; 13; 10) минимальный элемент min=8
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Критерий Гурвица.
Критерий Гурвица является критерием пессимизма — оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:
max(s_i)
где s_i = y min(a_ij) + (1-y)max(a_ij)
При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).
Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.
Рассчитываем s_i.
s₁ = 0.5•4+(1-0.5)•20 = 12
s₂ = 0.5•7+(1-0.5)•7 = 7
s₃ = 0.5•6+(1-0.5)•12 = 9

Ai	П1	П2	П3	П4	min(aij)	max(aij)	y min(aij) + (1-y)max(aij)
A1	8	4	6	20	4	20	12
A2	7	7	7	7	7	7	7
A3	6	12	8	10	6	12	9

Выбираем из (12; 7; 9) максимальный элемент max=12
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Обобщенный критерий Гурвица.
Данный критерий является некоторым обобщением критериев крайнего пессимизма и крайнего оптимизма и также представляет собой частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей при следующем допущении:
λ₁=1-λ, λ2=λ3=…=λ_n-1=0, λ_n=λ, где 0 ≤ λ ≤ 1
Тогда показатель эффективности стратегии A_i по Гурвицу есть:
G_i=(1-λ)min a_ij + λmax a_ij
Оптимальной стратегией A_i0 считается стратегия с максимальным значением показателя эффективности.
Строим вспомогательную матрицу B, полученную путем упорядочивания показателей доходностей в каждой строке.
Подход пессимиста. λ выбирается из условия невозрастания среднего:

G₁ = 0.304 • 4+(1-0.304) • 20 = 15.143; G₂ = 0.304 • 7+(1-0.304) • 7 = 7; G₃ = 0.304 • 6+(1-0.304) • 12 = 10.179;
Подход оптимиста. λ выбирается из условия неубывания среднего:

G₁ = 0.696 • 4+(1-0.696) • 20 = 8.857; G₂ = 0.696 • 7+(1-0.696) • 7 = 7; G₃ = 0.696 • 6+(1-0.696) • 12 = 7.821

Ai	П1	П2	П3	П4	min(aij)	max(aij)	Подход пессимиста	Подход оптимиста
A1	4	6	8	20	4	20	15.14	8.86
A2	7	7	7	7	7	7	7	7
A3	6	8	10	12	6	12	10.18	7.82

Выбираем из (15.143; 7; 10.179) максимальный элемент max=15.14
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Оптимальные стратегии по обобщенному критерию Гурвица.
b = 17 + 21 + 25 + 39 = 102
Показатели эффективности по Гурвицу.
Подход пессимиста

Подход оптимиста

Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A₁.