Как найти критическое напряжение для круглого стержня

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Критическая сила. Критическое напряжение. Гибкость. Влияние способов закрепления

Наименьшая величина сжимающей силы, при которой первоначальная форма равновесия стержня – прямолинейная становится неустойчивой – искривленной, называется критической.

При исследовании устойчивости форм равновесия упругих систем первые шаги были сделаныЭйлером.

В упругой стадии деформирования стержня при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности, критическая сила вычисляется по формуле Эйлера:

гдеI_min – минимальный момент инерции сечения стержня (обусловлено тем, что изгиб стержня происходит в плоскости с наименьшей жесткостью), однако исключения могут быть только в случаях, когда условия закрепления концов стержня различны в разных плоскостях, ℓ — геометрическая длина стержня, μ – коэффициент приведенной длиныиликоэффициент приведения (зависит от способов закрепления концов стержня), Значения μприведены под соответствующей схемой закрепления стержней

Критическое напряжение вычисляется следующим образом

, где гибкость стержня ,

а радиус инерции сечения.

Введем понятие предельной гибкости.

Величинаλ_пред зависит только от вида материала:

Если у стали 3 Е=2∙10 11 Па, а σ_пц=200МПа, то предельная гибкость

Для дерева (сосна, ель) предельная гибкость λпред=70, для чугуна λпред=80

Таким образом, для стержней большой гибкости λ≥λ_пред критическая сила определяется по формуле Эйлера.

В упругопластической стадии деформирования стержня, когда значение гибкости находится в диапазоне λ₀≤λ≤λ_пр,(стержни средней гибкости) расчет проводится по эмпирическим формулам, например, можно использовать формулу Ясинского Ф.С. Значения введенных в нее параметров определены эмпирически для каждого материала.

σ_к=а-bλ, или F_кр=A(a—bλ)

где a и b – постоянные, определяемые экспериментальным путем (эмпирические коэффициенты).Так, для стали3 а=310МПа,b=1,14МПа.

При значениях гибкости стержня0≤λ≤λ₀ (стержни малой гибкости) потеря устойчивости не наблюдается.

Таким образом, пределы применимости формулы Эйлера — применяется только в зоне упругих деформаций.

Формула Эйлера и пределы ее применимости для стальных и деревянных стержней. Другие формулы для определения критической силы

Для шарнирно закрепленного, центрально-сжатого стержня постоянного сечения (рис.8.2). I Формула Эйлера имеет вид:

где Е — модуль продольной упругости материала стержня;

J_min — минимальный момент инерции поперечного сечения стержня.

Для стержней с другими видами закрепления формулу Эйлера записывают в виде:

где — приведенная длина стержня;

— коэффициент приведения длины.

Выражение «приведенная длина» означает, что в формуле Эйлера с помощью коэффициента все случаи закрепления концов стержня можно привести к основному, шарнирному закреплению.

Коэффициент приведения длины иногда можно оценить по числу полуволн n, по которым выпучится стержень, теряя устойчивость, а именно, можно принять

На рис. 8.2 показаны наиболее часто встречающиеся на практике случаи закрепления концов стержня и соответствующие им значения коэффициента

Формула Эйлера применима только о пределах выполнения закона Гука, когда критическое напряжение не превышает предел пропорциональности материала стержня, так как эта формула была введена с помощью зависимости

в свое время полученной на основании закона Гука.

Применимость формулы Эйлера можно определить, оценив гибкость стержня и сравнив эту гибкость с ее предельным значением. Гибкость стержня равна

— минимальный радиус инерции (геометрическая характеристика сечения);

— минимальный момент инерции площади сечения стержня.

Значение предельной гибкости получается из условия

Предельная гибкость равна

Так, для малоуглеродистой стали, если принять Е = 2×10 5 МПа,

Для повышения несущей способности конструкций в них стремятся использовать стержни возможно меньшей гибкости. Так что расчет реальных конструкций с гибкостью практически маловероятен. Будем считать верхней границей значений гибкости реальных стержней.

Следовательно, формула Эйлера для определения критического значения сжимающей силы в виде

применима в случае, если гибкость стержня находится в пределах

Для малоуглеродистой стали этот диапазон равен

Дата добавления: 2018-04-04 ; просмотров: 3122 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

15.5. Критическое напряжение. Гибкость стержня

Пределы применимости формулы Эйлера . Нормальное напря-

жение σ cr в поперечном сечении сжатого стержня, вызываемое критической силой, называется критическим напряжением . С учетом

где i x = J x A − радиус инерции поперечного сечения. Введем обозначение

где λ – гибкость стержня, безразмерная геометрическая характеристика, определяемая размерами стержня и способом его закрепления.

Окончательно формула для критического напряжения выглядит

При выводе формулы Эйлера была использована зависимость (15.2), полученная на основе закона Гука. Отсюда следует, что формула Эйлера справедлива лишь в пределах применимости закона Гука, т. е. при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стержня:

Отсюда значение гибкости, которое соответствует этому условию, составляет

Величину, стоящую в правой части этого неравенства, обозначим λ пред и назовем предельной гибкостью

Предельная гибкость зависит только от механических свойств материала и имеет постоянное значение. Так для стали марки ВСт3 при

15. Устойчивость сжатых стержней

E = 2,06 10 5 МПа и σ pr = 200–210 МПа по формуле (15.20) λ пред ≈ 100 ;

для древесины сосны и ели (при E = 10 МПа и σ pr = 20 МПа) λ пред = 70 . Тогда условие применимости формулы Эйлера имеет вид

т. е. формула Эйлера применима только к упругим стержням, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости для материала, из которого он изготовлен.

Стержни, для которых выполняется условие (15.21), называются стержнями большой гибкости.

15.6. Продольный изгиб за пределом пропорциональности. Формула Ясинского

Формула Эйлера применима при λ ≥ λ пред , т. е. только в случае упругих стержней. Для стержней с гибкостью меньше предельной λ пред , она дает завышенные значения критической силы. Поэтому ис-

пользование формулы Эйлера для стержней, теряющих устойчивость за пределом упругости, является недопустимым.

Теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности сложно, поэтому обычно пользуются эмпирическими формулами, полученными в результате обработки большого количества опытных данных.

Наиболее простой является линейная зависимость, предложенная в начале ХХ в. немецким ученым Л. Тетмаером и независимо от него профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинским:

где a и b – эмпирические коэффициенты, зависящие от материала стержня и имеющие размерность напряжения. Например, для стали марки ВСт3 их значения таковы: а = 310 МПа, b = 1,14 МПа.

Для чугуна пользуются параболической зависимостью

Соответствующая критическая сила по формуле Ясинского находится так:

Условие применимости формулы Ясинского . Формулой Ясин-

ского (15.22) можно пользоваться при условии, если значение σ cr , вычисленное по этой формуле, не превышает предела σ y текучести для пластичного материала и предел σ uc прочности при сжатии для хрупкого материала. Обозначим в формуле (15.22) через λ 0 значение гибкости, при котором σ cr = σ y для пластичного материала и σ cr = σ uc для хрупкого материала.

Тогда условие применимости формулы Ясинского можно записать в виде

Стержни, для которых выполняется условие (15.24), называются стержнями средней гибкости. Для стали марки ВСт3 с параметрами σ pr = 200 МПа, σ y = 240 МПа по формуле (15.22) получим λ 0 ≈ 60 .

Стержни, у которых λ 0 , называются стержнями малой гибкости. Они могут разрушиться не в результате потери устойчивости, а при центральном сжатии. Для них критическое напряжение считается постоянным: σ cr = σ y или σ cr = σ uc .

15.7. Диаграмма критических напряжений

В зависимости от гибкости сжатые стержни делятся на три категории:

1. Стержни большой гибкости (λ ≥ λ пред ), для которых расчет ведется по формуле Эйлера. В системе координат σ cr – λ зависимость

σ cr = π 2 2 E может быть представлена гиперболической кривой.

2. Стержни средней гибкости (λ 0 ≤ λ ≤ λ пред ) рассчитываются на устойчивость по эмпирической формуле Ясинского (15.22). Для них зависимость линейна:

15. Устойчивость сжатых стержней

3 . Стержни малой гибкости (λ 0 ) рассчитываются не на устойчивость, а на прочность. Для них значение σ cr постоянно (σ y или σ uc ).

На рис. 15.6 показана диаграмма зависимости критических напряжений от гибкости сжатого стержня для стали ВСт3, которая состоит из трех частей:

• гиперболы Эйлера АВ при λ ≥ 100;

• наклонной прямой Ясинского ВС при 60 ≤ λ • горизонтальной прямой CD при λ 0 100 стержень теряет устойчивость в упругой стадии. Для значений λ ВС ). Горизонтальная прямая CD соответствует напряжению, равному пределу текучести.

Применение формул Эйлера и Ясинского позволяет решать задачи устойчивости сжатых стержней на всем интервале значений гибкостей, которые встречаются в строительной практике.

Пример 15.1. Стальной стержень круглого трубчатого сечения D = 10 см и d = 7 см при длине = 3, 2 м имеет шарнирно закрепленные

концы (рис. 15.7). Вычислить величину допускаемого сжимающего усилия F , если требуемый коэффициент запаса устойчивости K = 3.

Материал стержня – сталь марки ВСт3 с пределом пропорциональности σ pr = 210 МПа и модулем упругости E = 2 10 5 МПа.

Решение . Величину допускаемой силы F найдем исходя из условия устойчивости F ≤ F K cr , предварительно вычислив критическую силу F cr ,

формулудлякоторойвыберемвзависимостиотгибкостистержня. Определяем геометрические характеристики поперечного сече-

А = π D 4 2 ( 1 −α 2 ) = π 10 4 2 ( 1 − 0,7 2 ) = 40 см 2 ,

• осевой момент инерции сечения относительно любой оси

J = π 64 D 4 ( 1 −α 4 ) = π 64 10 4 ( 1 − 0,7 4 ) = 373 см 4 ;

Источник

Критические силы при разных закреплениях сжатых стержней

Критические силы при разных закреплениях сжатых стержней

Схемы стержней и формы потери устойчивости
Коэффициент			0,7	0,5
Критическая сила FК

Если критическое напряжение превышает предел пропорциональности материала, то потеря устойчивости сопровождается появлением пластических деформаций и критическую силу вычисляют по формуле Ясинского

,

где – площадь поперечного сечения стержня; и – коэффициенты, зависящие от материала стержня; – гибкость стержня.

Для малоуглеродистой стали принимают = 310 МПа, = 1,14 МПа, для дерева = 29,3 МПа, = 0,194 МПа.

Для коротких массивных стержней с гибкостью < (30…40) потеря устойчивости практически не происходит, так как прежде возникают большие пластические деформации. В этом случае условно принимают, что критические напряжения равны пределу текучести материала.

Зависимость между критическими напряжениями и гибкостью стержня называется полным графиком критических напряжений (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Полный график критических напряжений

Пример 1. Найти критическую силу для стального стержня круглого поперечного сечения диаметром 5 см, жестко защемлённого нижним концом при свободном верхнем конце, для двух значений длины стержня – 30 см и 75 см. Модуль упругости Е = 2,1×10⁵ МПа, предел пропорциональности = 200 МПа.

Гибкость . Радиус инерции круга см, момент инерции см⁴.

Гибкость стержня при длине 30 см , поэтому используем формулу Ясинского

кН.

Гибкость стержня при длине 75 см , поэтому применяем формулу Эйлера

кН.

Данные для расчета сжатых стержней на устойчивость

P – сжимающая сила;

ℓ – длина стержня;

i – радиус инерции сечения;

μ – коэффициент приведения длины, зависящий от условий закрепления стержня;

λ – гибкость стержня.

Если стержень в разных плоскостях имеет различные радиусы инерции или различные условия закрепления, то в расчетах используется наибольшее значение гибкости.

Условие устойчивости можно представить в виде:

A – площадь сечения;

[σ] – основное допускаемое напряжение на сжатие;

φ – коэффициент снижения основного допускаемого напряжения (коэффициент продольного изгиба), зависящий от гибкости λ и материала стержня:

В строительстве для сталей коэффициент продольного изгиба φ задается в зависимости от гибкости λ и расчетного сопротивления Ry (СНиП II-23-81*):

Если для материала нет справочных значений φ, или необходимо определить реальный запас устойчивости, то используется условие устойчивости в виде:

nу — запас устойчивости;

Pкр — критическая сила;

[P] — допускаемое значение сжимающей силы;

σкр — критическое напряжение, которое для стержней малой гибкости равно пределу текучести σT, для стержней средней гибкости определяется по формуле Ясинского, для гибких стержней — по формуле Эйлера:

E – модуль упругости материала;

λ0 — максимальное значение гибкости, при котором допустимо не учитывать эффект потери устойчивости (достаточно простого расчета на сжатие);

λпр — минимальное значение гибкости, при котором применима формула Эйлера;

a, b — коэффициенты формулы Ясинского.

Для чугуна формула Ясинского имеет вид: σкр = a — bλ + cλ2.

Для стержней средней и малой гибкости критическое напряжение можно (если, например, для материала отсутствуют справочные данные для формулы Ясинского) определить по параболическому закону:

σпц — предел пропорциональности;

a — коэффициент, определяемый из условия сопряжения с кривой Эйлера.

Для хрупких материалов в формулы для определения критического напряжения вместо предела текучести σT подставляют предел прочности на сжатие σВ.