Как найти критическую массу - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

In nuclear engineering, a critical mass is the smallest amount of fissile material needed for a sustained nuclear chain reaction. The critical mass of a fissionable material depends upon its nuclear properties (specifically, its nuclear fission cross-section), density, shape, enrichment, purity, temperature, and surroundings. The concept is important in nuclear weapon design.

Explanation of criticality[edit]

When a nuclear chain reaction in a mass of fissile material is self-sustaining, the mass is said to be in a critical state in which there is no increase or decrease in power, temperature, or neutron population.

A numerical measure of a critical mass is dependent on the effective neutron multiplication factor k, the average number of neutrons released per fission event that go on to cause another fission event rather than being absorbed or leaving the material. When k = 1, the mass is critical, and the chain reaction is self-sustaining.

A subcritical mass is a mass of fissile material that does not have the ability to sustain a fission chain reaction. A population of neutrons introduced to a subcritical assembly will exponentially decrease. In this case, k < 1. A steady rate of spontaneous fissions causes a proportionally steady level of neutron activity. The constant of proportionality increases as k increases.

A supercritical mass is one which, once fission has started, will proceed at an increasing rate. The material may settle into equilibrium (i.e. become critical again) at an elevated temperature/power level or destroy itself. In the case of supercriticality, k > 1.

Due to spontaneous fission a supercritical mass will undergo a chain reaction. For example, a spherical critical mass of pure uranium-235 (²³⁵U) with a mass of about 52 kilograms (115 lb) would experience around 15 spontaneous fission events per second.^{[citation needed]} The probability that one such event will cause a chain reaction depends on how much the mass exceeds the critical mass. If there is uranium-238 (²³⁸U) present, the rate of spontaneous fission will be much higher. Fission can also be initiated by neutrons produced by cosmic rays.

Changing the point of criticality[edit]

The mass where criticality occurs may be changed by modifying certain attributes such as fuel, shape, temperature, density and the installation of a neutron-reflective substance. These attributes have complex interactions and interdependencies. These examples only outline the simplest ideal cases:

Varying the amount of fuel[edit]

It is possible for a fuel assembly to be critical at near zero power. If the perfect quantity of fuel were added to a slightly subcritical mass to create an «exactly critical mass», fission would be self-sustaining for only one neutron generation (fuel consumption then makes the assembly subcritical again).

Similarly, if the perfect quantity of fuel were added to a slightly subcritical mass, to create a barely supercritical mass, the temperature of the assembly would increase to an initial maximum (for example: 1 K above the ambient temperature) and then decrease back to the ambient temperature after a period of time, because fuel consumed during fission brings the assembly back to subcriticality once again.

Changing the shape[edit]

A mass may be exactly critical without being a perfect homogeneous sphere. More closely refining the shape toward a perfect sphere will make the mass supercritical. Conversely changing the shape to a less perfect sphere will decrease its reactivity and make it subcritical.

Changing the temperature[edit]

A mass may be exactly critical at a particular temperature. Fission and absorption cross-sections increase as the relative neutron velocity decreases. As fuel temperature increases, neutrons of a given energy appear faster and thus fission/absorption is less likely. This is not unrelated to Doppler broadening of the ²³⁸U resonances but is common to all fuels/absorbers/configurations. Neglecting the very important resonances, the total neutron cross-section of every material exhibits an inverse relationship with relative neutron velocity. Hot fuel is always less reactive than cold fuel (over/under moderation in LWR is a different topic). Thermal expansion associated with temperature increase also contributes a negative coefficient of reactivity since fuel atoms are moving farther apart. A mass that is exactly critical at room temperature would be sub-critical in an environment anywhere above room temperature due to thermal expansion alone.

Varying the density of the mass[edit]

The higher the density, the lower the critical mass. The density of a material at a constant temperature can be changed by varying the pressure or tension or by changing crystal structure (see allotropes of plutonium). An ideal mass will become subcritical if allowed to expand or conversely the same mass will become supercritical if compressed. Changing the temperature may also change the density; however, the effect on critical mass is then complicated by temperature effects (see «Changing the temperature») and by whether the material expands or contracts with increased temperature. Assuming the material expands with temperature (enriched uranium-235 at room temperature for example), at an exactly critical state, it will become subcritical if warmed to lower density or become supercritical if cooled to higher density. Such a material is said to have a negative temperature coefficient of reactivity to indicate that its reactivity decreases when its temperature increases. Using such a material as fuel means fission decreases as the fuel temperature increases.

Use of a neutron reflector[edit]

Surrounding a spherical critical mass with a neutron reflector further reduces the mass needed for criticality. A common material for a neutron reflector is beryllium metal. This reduces the number of neutrons which escape the fissile material, resulting in increased reactivity.

Use of a tamper[edit]

In a bomb, a dense shell of material surrounding the fissile core will contain, via inertia, the expanding fissioning material, which increases the efficiency. This is known as a tamper. A tamper also tends to act as a neutron reflector. Because a bomb relies on fast neutrons (not ones moderated by reflection with light elements, as in a reactor), the neutrons reflected by a tamper are slowed by their collisions with the tamper nuclei, and because it takes time for the reflected neutrons to return to the fissile core, they take rather longer to be absorbed by a fissile nucleus. But they do contribute to the reaction, and can decrease the critical mass by a factor of four.^[1] Also, if the tamper is (e.g. depleted) uranium, it can fission due to the high energy neutrons generated by the primary explosion. This can greatly increase yield, especially if even more neutrons are generated by fusing hydrogen isotopes, in a so-called boosted configuration.

Critical size[edit]

The critical size is the minimum size of a nuclear reactor core or nuclear weapon that can be made for a specific geometrical arrangement and material composition. The critical size must at least include enough fissionable material to reach critical mass. If the size of the reactor core is less than a certain minimum, too many fission neutrons escape through its surface and the chain reaction is not sustained.

Critical mass of a bare sphere[edit]

Top: A sphere of fissile material is too small to allow the chain reaction to become self-sustaining as neutrons generated by fissions can too easily escape.

Middle: By increasing the mass of the sphere to a critical mass, the reaction can become self-sustaining.

Bottom: Surrounding the original sphere with a neutron reflector increases the efficiency of the reactions and also allows the reaction to become self-sustaining.

The shape with minimal critical mass and the smallest physical dimensions is a sphere. Bare-sphere critical masses at normal density of some actinides are listed in the following table. Most information on bare sphere masses is considered classified, since it is critical to nuclear weapons design, but some documents have been declassified.^[2]

Nuclide	Half-life (y)	Critical mass (kg)	Diameter (cm)	Ref
uranium-233	159,200	15	11	^[3]
uranium-235	703,800,000	52	17	^[3]
neptunium-236	154,000	7	8.7	^[4]
neptunium-237	2,144,000	60	18	^[5]^[6]
plutonium-238	87.7	9.04–10.07	9.5–9.9	^[7]
plutonium-239	24,110	10	9.9	^[3]^[7]
plutonium-240	6561	40	15	^[3]
plutonium-241	14.3	12	10.5	^[8]
plutonium-242	375,000	75–100	19–21	^[8]
americium-241	432.2	55–77	20–23	^[9]
americium-242m	141	9–14	11–13	^[9]
americium-243	7370	180–280	30–35	^[9]
curium-243	29.1	7.34–10	10–11	^[10]
curium-244	18.1	13.5–30	12.4–16	^[10]
curium-245	8500	9.41–12.3	11–12	^[10]
curium-246	4760	39–70.1	18–21	^[10]
curium-247	15,600,000	6.94–7.06	9.9	^[10]
berkelium-247	1380	75.7	11.8-12.2	^[11]
berkelium-249	0.9	192	16.1-16.6	^[11]
californium-249	351	6	9	^[4]
californium-251	900	5.46	8.5	^[4]
californium-252	2.6	2.73	6.9	^[12]
einsteinium-254	0.755	9.89	7.1	^[11]

The critical mass for lower-grade uranium depends strongly on the grade: with 20% ²³⁵U it is over 400 kg; with 15% ²³⁵U, it is well over 600 kg.

The critical mass is inversely proportional to the square of the density. If the density is 1% more and the mass 2% less, then the volume is 3% less and the diameter 1% less. The probability for a neutron per cm travelled to hit a nucleus is proportional to the density. It follows that 1% greater density means that the distance travelled before leaving the system is 1% less. This is something that must be taken into consideration when attempting more precise estimates of critical masses of plutonium isotopes than the approximate values given above, because plutonium metal has a large number of different crystal phases which can have widely varying densities.

Note that not all neutrons contribute to the chain reaction. Some escape and others undergo radiative capture.

Let q denote the probability that a given neutron induces fission in a nucleus. Consider only prompt neutrons, and let ν denote the number of prompt neutrons generated in a nuclear fission. For example, ν ≈ 2.5 for uranium-235. Then, criticality occurs when ν·q = 1. The dependence of this upon geometry, mass, and density appears through the factor q.

Given a total interaction cross section σ (typically measured in barns), the mean free path of a prompt neutron is $ell ^{{-1}}=nsigma$ where n is the nuclear number density. Most interactions are scattering events, so that a given neutron obeys a random walk until it either escapes from the medium or causes a fission reaction. So long as other loss mechanisms are not significant, then, the radius of a spherical critical mass is rather roughly given by the product of the mean free path ell and the square root of one plus the number of scattering events per fission event (call this s), since the net distance travelled in a random walk is proportional to the square root of the number of steps:

$R_{c}simeq ell {sqrt {s}}simeq {frac {{sqrt {s}}}{nsigma }}$

Note again, however, that this is only a rough estimate.

In terms of the total mass M, the nuclear mass m, the density ρ, and a fudge factor f which takes into account geometrical and other effects, criticality corresponds to

$1={frac {fsigma }{m{sqrt {s}}}}rho ^{{2/3}}M^{{1/3}}$

which clearly recovers the aforementioned result that critical mass depends inversely on the square of the density.

Alternatively, one may restate this more succinctly in terms of the areal density of mass, Σ:

$1={frac {f'sigma }{m{sqrt {s}}}}Sigma$

where the factor f has been rewritten as f’ to account for the fact that the two values may differ depending upon geometrical effects and how one defines Σ. For example, for a bare solid sphere of ²³⁹Pu criticality is at 320 kg/m², regardless of density, and for ²³⁵U at 550 kg/m².
In any case, criticality then depends upon a typical neutron «seeing» an amount of nuclei around it such that the areal density of nuclei exceeds a certain threshold.

This is applied in implosion-type nuclear weapons where a spherical mass of fissile material that is substantially less than a critical mass is made supercritical by very rapidly increasing ρ (and thus Σ as well) (see below). Indeed, sophisticated nuclear weapons programs can make a functional device from less material than more primitive weapons programs require.

Aside from the math, there is a simple physical analog that helps explain this result. Consider diesel fumes belched from an exhaust pipe. Initially the fumes appear black, then gradually you are able to see through them without any trouble. This is not because the total scattering cross section of all the soot particles has changed, but because the soot has dispersed. If we consider a transparent cube of length L on a side, filled with soot, then the optical depth of this medium is inversely proportional to the square of L, and therefore proportional to the areal density of soot particles: we can make it easier to see through the imaginary cube just by making the cube larger.

Several uncertainties contribute to the determination of a precise value for critical masses, including (1) detailed knowledge of fission cross sections, (2) calculation of geometric effects. This latter problem provided significant motivation for the development of the Monte Carlo method in computational physics by Nicholas Metropolis and Stanislaw Ulam. In fact, even for a homogeneous solid sphere, the exact calculation is by no means trivial. Finally, note that the calculation can also be performed by assuming a continuum approximation for the neutron transport. This reduces it to a diffusion problem. However, as the typical linear dimensions are not significantly larger than the mean free path, such an approximation is only marginally applicable.

Finally, note that for some idealized geometries, the critical mass might formally be infinite, and other parameters are used to describe criticality. For example, consider an infinite sheet of fissionable material. For any finite thickness, this corresponds to an infinite mass. However, criticality is only achieved once the thickness of this slab exceeds a critical value.

Criticality in nuclear weapon design[edit]

If two pieces of subcritical material are not brought together fast enough, nuclear predetonation (fizzle) can occur, whereby a very small explosion will blow the bulk of the material apart.

Until detonation is desired, a nuclear weapon must be kept subcritical. In the case of a uranium gun-type bomb, this can be achieved by keeping the fuel in a number of separate pieces, each below the critical size either because they are too small or unfavorably shaped. To produce detonation, the pieces of uranium are brought together rapidly. In Little Boy, this was achieved by firing a piece of uranium (a ‘doughnut’) down a gun barrel onto another piece (a ‘spike’). This design is referred to as a gun-type fission weapon.

A theoretical 100% pure ²³⁹Pu weapon could also be constructed as a gun-type weapon, like the Manhattan Project’s proposed Thin Man design. In reality, this is impractical because even «weapons grade» ²³⁹Pu is contaminated with a small amount of ²⁴⁰Pu, which has a strong propensity toward spontaneous fission. Because of this, a reasonably sized gun-type weapon would suffer nuclear reaction (predetonation) before the masses of plutonium would be in a position for a full-fledged explosion to occur.

Instead, the plutonium is present as a subcritical sphere (or other shape), which may or may not be hollow. Detonation is produced by exploding a shaped charge surrounding the sphere, increasing the density (and collapsing the cavity, if present) to produce a prompt critical configuration. This is known as an implosion type weapon.

Prompt criticality[edit]

The event of fission must release, on the average, more than one free neutron of the desired energy level in order to sustain a chain reaction, and each must find other nuclei and cause them to fission. Most of the neutrons released from a fission event come immediately from that event, but a fraction of them come later, when the fission products decay, which may be on the average from microseconds to minutes later. This is fortunate for atomic power generation, for without this delay «going critical» would be an immediately catastrophic event, as it is in a nuclear bomb where upwards of 80 generations of chain reaction occur in less than a microsecond, far too fast for a human, or even a machine, to react. Physicists recognize two points in the gradual increase of neutron flux which are significant: critical, where the chain reaction becomes self-sustaining thanks to the contributions of both kinds of neutron generation,^[13] and prompt critical, where the immediate «prompt» neutrons alone will sustain the reaction without need for the decay neutrons. Nuclear power plants operate between these two points of reactivity, while above the prompt critical point is the domain of nuclear weapons and some nuclear power accidents, such as the Chernobyl disaster.

References[edit]

^ Serber, Robert, The Los Alamos Primer: The First Lectures on How to Build an Atomic Bomb, (University of California Press, 1992) ISBN 0-520-07576-5 Original 1943 «LA-1», declassified in 1965, plus commentary and historical introduction
^ Reevaluated Critical Specifications of Some Los Alamos Fast-Neutron Systems
^ ^a ^b ^c ^d Nuclear Weapons Design & Materials, The Nuclear Threat Initiative website.^{[dead link]}^{[unreliable source?]}
^ ^a ^b ^c Final Report, Evaluation of nuclear criticality safety data and limits for actinides in transport, Republic of France, Institut de Radioprotection et de Sûreté Nucléaire, Département de Prévention et d’étude des Accidents.
^ Chapter 5, Troubles tomorrow? Separated Neptunium 237 and Americium, Challenges of Fissile Material Control (1999), isis-online.org
^
P. Weiss (26 October 2002). «Neptunium Nukes? Little-studied metal goes critical». Science News. 162 (17): 259. doi:10.2307/4014034. Archived from the original on 15 December 2012. Retrieved 7 November 2013.
^ ^a ^b Updated Critical Mass Estimates for Plutonium-238, U.S. Department of Energy: Office of Scientific & Technical Information
^ ^a ^b Amory B. Lovins, Nuclear weapons and power-reactor plutonium, Nature, Vol. 283, No. 5750, pp. 817–823, February 28, 1980
^ ^a ^b ^c Dias, Hemanth; Tancock, Nigel; Clayton, Angela (2003). «Critical Mass Calculations for ²⁴¹Am, ^242mAm and ²⁴³Am» (PDF). Challenges in the Pursuit of Global Nuclear Criticality Safety. Proceedings of the Seventh International Conference on Nuclear Criticality Safety. Vol. II. Tokai, Ibaraki, Japan: Japan Atomic Energy Research Institute. pp. 618–623.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Okuno, Hiroshi; Kawasaki, Hiromitsu (2002). «Critical and Subcritical Mass Calculations of Curium-243 to -247 Based on JENDL-3.2 for Revision of ANSI/ANS-8.15». Journal of Nuclear Science and Technology. 39 (10): 1072–1085. doi:10.1080/18811248.2002.9715296.
^ ^a ^b ^c Institut de Radioprotection et de Sûreté Nucléaire: «Evaluation of nuclear criticality safety. data and limits for actinides in transport», p. 16
^ Carey Sublette, Nuclear Weapons Frequently Asked Questions: Section 6.0 Nuclear Materials February 20, 1999
^ Rhodes, Richard (1 August 1995). Dark Sun: The Making of the Hydrogen Bomb. Simon & Schuster. ISBN 978-0-68-480400-2. LCCN 95011070. OCLC 456652278. OL 7720934M. Wikidata Q105755363 – via Internet Archive.In the description of the Soviet equivalent of the CP1 startup at the University of Chicago in 1942, the long waits for those tardy neutrons is described in detail

Источник

Я начал лекцию. Начал рассказывать о «бомбе». Спустя несколько минут Оппи [так коллеги иногда называли Роберта Оппенгеймера] послал ко мне Джона Мэнли [John Henry Manley, американский физик, участник Манхэттенского проекта], который попросил больше не использовать это слово. «Слишком много работяг вокруг» — сказал тогда Мэнли. Они беспокоились о безопасности. Вместо этого я должен был использовать слово «штучка» [англ. gadget]. В Праймере [так называли учебник для новоприбывших в Лос-Аламос ученых и инженеров] Кондон [Edward Condon, американский физик, участник Манхэттенского проекта] писал по-всякому. Однако в Лос-Аламосе с тех пор бомбу, которую мы строили, мы называли «штучкой».

Воспоминания Роберта Сербера из книги «Лос Аламосский Праймер» (The Los Alamos Primer)

В задаче Энергетика «Штучки» был качественно рассмотрен процесс ядерного расщепления и оценена его энергетика. Также было выведено необходимое условие для протекания цепной реакции в уране. Ключевую роль в процессе цепной реакции играют нейтроны, которые одновременно провоцируют расщепление ядер урана и производятся в результате этого процесса, поддерживая ее течение. Если в среднем число произведенных в результате расщепления нейтронов меньше 1, то реакция быстро затухает (в этом — сходство с развитием эпидемии, см. задачу Пик эпидемии).

Однако в той задаче цепная реакция проходила в идеализированных условиях: мы считали, что любой произведенный в результате расщепления нейтрон рано или поздно захватывается ядром и участвует в расщеплении. Если бы эта простая модель соответствовала действительности, то любая масса достаточно обогащенного урана моментально бы взрывалась. Согласитесь, толку от этого немного, ведь смысл бомбы в том, чтобы энергия освобождалась в нужном месте и в некоторый заранее запланированный момент времени.

К счастью для создателей первой атомной бомбы, эта простая модель действительно не работает: если взять, скажем, урановый шар диаметром в 2 см, на 60% состоящий из урана-235, то никакой цепной реакции не произойдет, несмотря на то, что среднее число вторичных нейтронов от одного распада ядра урана превосходит 1. Дело в том, что большая часть вторичных нейтронов имеет большие энергии (порядка МэВ и больше), и из-за малого сечения рассеяния в среднем они должны пролететь несколько сантиметров, прежде чем провзаимодействуют с ядром урана (это расстояние называется длиной свободного пробега). Однако, если размеры куска урана сравнимы с длиной свободного пробега, то большая часть нейтронов покидает его, так и не провзаимодействовав ни с чем. Таким образом, если объем (или масса) урана слишком мала, то цепной реакции не будет. Если же она слишком большая, то детонация произойдет сразу. Значит, есть золотая середина — ее и называют критической массой.

Если это осознать, то задача осуществления детонации становится достаточно простой: нужно взять субкритическую массу ядерного топлива (будь то обогащенный уран или плутоний) и в нужный момент довести ее до критического состояния. Пути два: можно либо соединить два субкритических куска в один суперкритический (это так называемый пушечный тип детонации), либо взять субкритическую сферу и сжать ее со всех сторон до критического состояния (имплозивный тип). Однако в обоих случаях нужно достаточно точно знать критическую массу (или радиус) вещества, чтобы правильно рассчитать вспомогательные заряды: если изначальное количество ядерного топлива окажется близким к критическому, то высока опасность преждевременного срабатывания, если же вспомогательные заряды окажутся очень слабыми, то бомба может попросту не сработать.

Задача

Манхэттенский проект состоял из огромного количества слаженно работающих групп и отделов: экспериментальных и теоретических, промышленных, инженерных и военных. Представьте, что вы работаете в теоретической группе, и вам нужно приготовить доклад для инженерного отдела, о том, какова критическая масса для двух типов топлива — обогащенного урана и плутония. Из докладов экспериментальной группы вам известны следующие данные:

	атомов в одном кубическом сантиметре	площадь сечения захвата с расщеплением	площадь сечения рассеяния	число вторичных нейтронов на деление
Уран-235	4,794·10²²	1,235·10⁻²⁴ см²	4,566·10⁻²⁴ см²	2,637
Плутоний-239	3,93·10²²	1,8·10⁻²⁴ см²	4,394·10⁻²⁴ см²	3,172

Найдите критическую массу и радиус для сферических кусков урана и плутония. Помните, что с этими числами будут работать инженеры и что если ваши расчеты не точны, то им следует знать, насколько по вашим оценкам могут отличаться реальные значения от расчетных. Уран можно считать хорошо обогащенным, то есть примесями урана-238 можно пренебречь.

Подсказка 1

Для простейшей оценки можно предположить, что количество произведенных нейтронов в критическом объеме ядерного топлива в точности равно количеству покидающих этот объем нейтронов. Подумайте, какие предположения сделаны в этой оценке, и насколько они могут оказаться неверны.

Подсказка 2

Какую роль в этом процессе играют упругие рассеяния? Насколько сильно они могут изменить ответ? Какие еще эффекты мы не учли, которые могут значительно изменить ответ?

Решение

Сперва сделаем простую оценку. Во-первых, предположим, что концентрация нейтронов в сферическом объеме радиоактивного вещества примерно однородна (что на самом деле не совсем верно) и равна (n_0). Также предположим, что каждый нейтрон в среднем участвует в расщеплении один раз за время (tau_f), стимулируя рождение дополнительных (k) нейтронов. Тогда за единицу времени в шаре радиусом (R) будет произведено столько нейтронов:

[P_n=left(frac{4}{3}pi R^3right)n_0frac{k-1}{tau_f},]

где множитель (k-1) появился из-за того, что каждый нейтрон при стимуляции расщепления производит (k) других, но при этом сам «исчезает».

С другой стороны, если считать, что средняя скорость нейтронов равна (v) и что движутся они строго радиально (что, опять же, очень неточное допущение), то в среднем шар радиусом (R) в единицу времени будет покидать следующее количество нейтронов:

[Q_n = 4pi R^2 v n_0.]

Приравняв эти два выражения, найдем радиус критической сферы:

[R_c=frac{3}{k-1}tau_f v.]

Давайте сперва упростим это выражение и перепишем его в терминах тех данных, которые нам предоставили экспериментаторы. Произведение (tau_f v) — это, по сути, среднее расстояние, которое пролетает нейтрон до участия в расщеплении, то есть это ровно длина свободного пробега; обозначим ее (lambda_f). Как эта величина связана с сечением взаимодействия? Сечение (sigma) — это, если упростить, эффективный «размер» нейтрона, пролетающего по прямой линии сквозь однородное «облако» точечных ядер урана. Если какое-то точечное ядро попадается на пути нейтрона (то есть находится внутри условной трубы площади (sigma), окружающей его траекторию) — происходит взаимодействие. Можно легко убедиться, что для сечения (sigma_f) и концентрации ядер (n) — длина свободного пробега (среднее расстояние, которое пролетит нейтрон) равна (lambda_f = 1/(sigma_f n)). Из этих простых соображений получим:

[R_c = frac{3}{k-1}frac{1}{sigma_f n}.]

Для урана получим примерно (R_capprox 31) см, а для плутония — (R_capprox 19) см. Но эти расчеты сильно переоценивают критическую массу: если бы инженеры пользовались ими для создания атомной бомбы, то она бы сдетонировала преждевременно.

Что в нашей модели не так? Во-первых, мы неявно предполагали, что длина свободного пробега нейтронов много меньше радиуса куска ядерного топлива. Иными словами, мы предполагали, что произвольный нейтрон в произвольной точке сферы имеет одинаковый шанс провзаимодействовать за единицу времени. Давайте проверим, так ли это. Если посчитать (lambda_f) для урана и плутония, получим, соответственно, (approx 16) см и (approx 14) см. То есть на самом деле нейтроны, рожденные ближе к границе, имеют гораздо меньший шанс провзаимодействовать с ядрами до того, как покинут шар. Таким образом, в более сложной модели нужно разделить шар на две области: внешнюю, откуда нейтроны покидают его, не успевая взаимодействовать, и внутреннюю — где нейтроны имеют шанс провзаимодействовать.

Еще грубое приближение, которым мы пользовались, — это тот факт, что нейтроны никак не рассеиваются и летят примерно радиально до взаимодействия. Если обратить внимание на значения площадей сечения рассеяния, то можно увидеть, что нейтроны в среднем в 3–4 раза чаще рассеиваются, чем участвуют в расщеплении! Это означает, что траектории нейтронов от расщепления и до расщепления находятся не на прямой линии, и длину свободного пробега нельзя брать равной (lambda_f), так как «свободного пробега» как такового нет.

Эту проблему легко исправить. Пусть в среднем нейтрон за время от одного расщепления до другого рассеивается (eta) раз. Так как после рассеяния направление его движения произвольно, чтобы найти полное смещение, которое в среднем пролетает нейтрон, нужно сложить квадраты расстояний от рассеяния к рассеянию: (d^2 = lambda_s^2 + lambda_s^2 + … + lambda_s^2) (где слагаемых всего (eta)). Таким образом, в среднем от расщепления к расщеплению нейтрон смещается на расстояние (d = lambda_s sqrt{eta}) (с этим выражением мы также встречались в задаче про блуждание фотона в недрах звезд).Чему равно (eta)? Это тоже достаточно легко понять: за время (tau_f = lambda_f / v) нейтрон рассеется (eta = tau_f / tau_s) раз, где (tau_s = lambda_s / v) (время между рассеяниями). Поэтому (eta = lambda_f / lambda_s).

Скорости нейтронов направлены произвольно, а не только радиально наружу, как мы предполагали. Это значит, что смещение(d) нейтрона между двумя захватами состоит из трех независимых компонент: (d^2 = delta r^2 + delta p^2 + delta q^2), где (delta r) — радиальное смещение, а (delta p) и (delta q) — смещения в двух перпендикулярных направлениях. Так как (delta r), (delta p), (delta q) независимы и равны (ведь с точки зрения нейтрона нет выделенного направления), получим: (delta r = d / sqrt{3}).

Суммируем полученные формулы: за время (tau) между двумя событиями захвата нейтроны в среднем в радиальном направлении пролетают расстояние (delta r = d/sqrt{3} = lambda_f / sqrt{3eta}). Таким образом можно построить более сложную модель. Теперь у нас шар состоит из двух частей; нейтроны во внешней области толщиной (delta r) не успевают захватываться, прежде чем вылететь из шара, тогда как нейтроны из внутренней области радиусом (R- delta r) успевают поучаствовать в процессе. Число произведенных нейтронов будет тогда определяться лишь внутренней областью:

[P_n=left(frac{4}{3}pi(R-delta r)^3right)n_0frac{k-1}{tau_f},]

тогда как поток из сферы будет определяться просто количеством частиц во внешней области толщиной (delta r):

[Q_n = frac{1}{2}frac{4}{3}pi left(R^3-(R-delta r)^3right) n_0frac{1}{tau_f},]

где 1/2 взялась из-за того, что примерно половина нейтронов будет вылетать наружу, а другая половина будет лететь обратно внутрь. Приравняв выражения и решив уравнение относительно (R) (получится кубическое уравнение, у которого лишь один действительный корень), найдем:

[R_c = delta r frac{(2k-1)^{1/3}}{(2k-1)^{1/3}-1}.]

Подставив соответствующие числа для урана и плутония, найдем, что их критические радиусы равны (approx 13) см и (approx 12 )см, соответственно. Эти значения ближе к реальности, но все еще далеки от инженерной точности. Проблема в том, что мы предположили, что концентрация нейтронов в шаре примерно постоянна. На самом деле это совершенно не так: ближе к границе концентрация нейтронов в 2–3 раза меньше. Из-за этого наша оценка, опять же, преувеличивает критический радиус.

Чтобы точно определить величину этого завышения концентрации нейтронов, нужно решать уравнение диффузии. Проделав это, можно получить, что во внешнем слое концентрация нейтронов будет в среднем в (alpha) раз меньше, чем во внутреннем (величина (alpha) зависит от сечений рассеяния и расщепления и концентрации ядер). Для урана (alpha approx 3), для плутония (alpha approx 2{,}5). Тогда выражение для критического радиуса будет выглядеть следующим образом:

[R_c = delta rfrac{left(2alpha(k-1)+1right)^{1/3}}{left(2alpha(k-1)+1right)^{1/3}- 1}.]

И для урана, и для плутония это выражение дает (R_capprox 9{,}3) см, что примерно в 2–3 раза меньше нашей первоначальной грубой оценки. Более точное численное решение показывает, что реальное значение для урана (R_capprox 8{,}5) см, а для плутония — (R_capprox 6{,}2) см.

Послесловие

Американский проект по созданию атомной бомбы был первым (пусть и закончившимся весьма печальными последствиями) научным проектом такого большого масштаба, что для решения практической задачи в крайне сжатые сроки потребовалось объединить усилия ученых из совершенно разных областей — от вычислительной математики до квантовой физики. Результатом после нескольких лет напряженной работы стали два конкурирующих дизайна ядерной бомбы — имплозивный с ураново-плутониевым топливом («Толстяк») и пушечный с чисто урановым топливом («Малыш»).

«Малыш», который изначально должен был иметь плутоний в качестве топлива (тогда эту бомбу еще называли «тощим человеком», англ. «thin man»), имел достаточно простой принцип: два субкритических цилиндра из урана, один из которых имел полость по размеру второго, сводились друг к другу взрывом, образуя цилиндр критического размера (рис. 1). Проблема с плутониевым топливом в этом дизайне была в том, что для правильного срабатывания требовался чистый от примесей плутоний. Примеси в плутонии тормозили нейтроны, искусственно увеличивая их сечение, и была опасность, что цилиндры сработают внештатно до запланированного взрыва. От плутониевого топлива пришлось отказаться в пользу высокообогащенного урана. В остальном, однако, этот дизайн был настолько прост, что его было решено пустить в дело без испытаний.

Пока «Малыш» плыл на тихоокеанский остров Тиниан на борту тяжелого крейсера «Индианаполис» (он находится в 2500 км к юго-востоку от берегов Японии; во время Второй мировой войны на Тиниане располагалась авиабаза, с которой стартовали самолеты, сбросившие атомные бомбы на Хиросиму и Нагасаки), в штате Нью-Мексико проводилось первое испытание «Толстяка», дизайн которого был куда сложнее.

«Толстяк» работал по имплозивному принципу: плутониевая сфера субкритического объема массой 6 кг была со всех сторон окружена сдавливалась со всех сторон давлением взрывной волны, достигая критической плотности. В самом центре плутониевого шара находился специально спроектированный инициатор нейтронов под кодовым названием «еж» (англ. urchin, рис. 2). Задачей «ежа» был запуск цепной реакции в правильный момент, когда взрывная волна доходила до самого центра плутония, таким образом обеспечивая детонацию большей части топлива за очень короткий промежуток времени. «Еж» был сделан из полония, излучающего альфа-частицы, окруженного рифленой бериллиевой оболочкой. Когда взрывная волна долетала до самого центра, бериллиевая оболочка сжималась, перемешиваясь с полонием, и от взаимодействия с альфа-частицами полония начинала излучать свободные нейтроны, которые должны были сработать как инициаторы цепной реакции в плутонии.

Главным отличием плутониевого заряда в этом дизайне от упрощенной модели, которую мы рассматривали в задаче, является наличие внешнего уранового слоя — «тампера» (рис. 2). У этого слоя было два назначения. Во-первых, он не давал плутониевому ядру преждевременно разлететься в процессе цепной реакции. Из-за этого реальные расчёты критической сферы в обязательном порядке учитывали наличие уранового тампера (см. например, книгу The Physics of the Manhattan Project). Во-вторых, часть нейтронов захватывалась в этом слое и рассеивалась обратно, таким образом повышая эффективность топлива. Примерно 30% мощности взрыва генерировалось именно в этой урановой оболочке.

Гораздо более интересным было решение проблемы создания самой взрывной волны. По сферической оболочке вокруг взрывчатки было расположено 32 детонатора (показаны на рис. 2 желтым). Проблема в том, что взрывная волна, которая бы распространялась по взрывчатке, состоявшей из смеси тротила, баратола и других химических соединений, была выпуклой. Если бы взрыв распространялся по однородной взрывчатке, то мы бы имели 32 выпуклые взрывные волны в различных фазах. Однако, если сделать взрывчатку неоднородной, а именно варьировать ее состав таким образом, чтобы скорость распространения взрывной волны была неоднородной (как показано на рис. 2), то можно подобно линзе сфокусировать взрывную волну, сделав один сферически сходящийся фронт!

Имплозивный дизайн позже использовался и американскими (схема Теллера — Улама) и советскими (Сахаров, Курчатов и др.) физиками для создания водородной бомбы. Здесь уже вместо обычной имплозии применялся принцип радиационной имплозии, где вместо взрывной волны использовалось излучение, генерируемое обычным ядерным зарядом. То есть классическая ядерная боеголовка использовалась в качестве детонатора для инициации термоядерной реакции водородного топлива.

Источник

Для безопасной работы с ядерноопасными делящимися веществами параметры оборудования должны быть меньше критических. В качестве нормативных параметров ядерной безопасности используют: количество, концентрацию и объем ядерноопасного делящегося материала; диаметр оборудования, имеющего цилиндрическую форму; толщину плоского слоя для оборудования, имеющего форму пластины. Нормативный параметр устанавливают исходя из допустимого параметра, который меньше критического и не должен быть превышен при эксплуатации оборудования. При этом необходимо, чтобы характеристики, влияющие на критические параметры, находились в строго определенных пределах. Используются следующие допустимые параметры: количество Мдоп, объем Vдоп, диаметр Dдоп, толщина слоя tдоп.

Используя зависимость критических параметров от концентрации ядерноопасного делящегося нуклида, определяют такое значение критического параметра, ниже которого при любой концентрации СЦРД невозможна. Например, для растворов солей плутония и обогащенного урана критические масса, объем, диаметр бесконечного цилиндра, толщина бесконечного плоского слоя имеют минимум в области оптимального замедления. Для смесей металлического обогащенного урана с водой критическая масса, как и для растворов, имеет ярко выраженный минимум в области оптимального замедления, а критические объем, диаметр бесконечного цилиндра, толщина бесконечного плоского слоя при высоком обогащении (>35 % ) имеют минимальные значения при отсутствии замедлителя (rн/r5=0); для обогащения ниже 35% критические параметры смеси имеют минимум при оптимальном замедлении. Очевидно, что параметры, установленные исходя из минимальных критических параметров, обеспечивают безопасность во всем интервале изменения концентрации. Эти параметры называются безопасными, они меньше минимальных критических параметров. Используются следующие безопасные параметры: количество, концентрация, объем, диаметр, толщина слоя.

При обеспечении ядерной безопасности системы по допустимому параметру обязательно ограничивается концентрация делящегося нуклида (иногда количество замедлителя), в то же время при использовании безопасного параметра никаких ограничений на концентрацию (или по количеству замедлителя) не накладывается.

Будет или не будет развиваться цепная реакция, зависит от результата соревнования четырёх процессов:

(1)Вылет нейтронов из урана,

(2)захват нейтронов ураном без деления,

(3)захват нейтронов примесями.

(4)захват нейтронов ураном с делением.

Если потеря нейтронов в первых трех процессах меньше количества нейтронов, освобождаемых в четвёртом, то цепная реакция происходит; в противном случае она невозможна. Очевидно, что если из первых трёх процессов весьма вероятен, то избыток нейтронов, освобождаемых при делении, не сможет обеспечить продолжение реакции. Например, в том случае, когда вероятность процесса (2) (захват ураном без деления) намного больше вероятности захвата с делением, цепная реакция невозможна. Дополнительную трудность вносит изотопный природного урана: он состоит из трех изотопов: 234U, 235U и 238U, вклады которых 0,006, 0,7 и 99,3% соответственно. Важно, что вероятности процессов (2) и (4) различны для разных изотопов и по-разному зависят от энергии нейтронов.

Для оценки конкуренции различных процессов с точки зрения развития в веществе цепного процесса деления ядер вводится понятие «критическая масса».

Критическая масса – минимальная масса делящегося вещества, обеспечивающая протекание самоподдерживающейся ядерной цепной реакции деления. Критическая масса тем меньше, чем меньше период полураспада деления и чем выше обогащение рабочего элемента делящимся изотопом.

Критическая масса — минимальное количество делящегося вещества, необходимое для начала самоподдерживающейся цепной реакции деления. Коэффициент размножения нейтронов в таком количестве вещества равен единице.

Критическая масса — масса делящегося вещества реактора, находящегося в критическом состоянии.

Критические размеры ядерного реактора — наименьшие размеры активной зоны реактора, при которых ещё может осуществляться самоподдерживающаяся реакция деления ядерного горючего. Обычно под критическим размером принимают критический объём активной зоны.

Критический объём ядерного реактора — объём активной зоны реактора в критическом состоянии.

Относительное количество нейтронов, которые вылетают из урана, может быть уменьшено изменением размеров и формы. В сфере поверхностные эффекты пропорциональны квадрату, а объемные — кубу радиуса. Вылет нейтронов из урана является поверхностным эффектом, зависящим от величины поверхности; захват с делением происходит во всем объеме, занимаемом материалом, и поэтому является

объемным эффектом. Чем больше количество урана, тем меньше вероятность того, что вылет нейтронов из объема урана будет преобладать над захватами с делением и препятствовать цепной реакции. Потеря нейтронов на захваты без деления является объемным эффектом, подобно освобождению нейтронов при захвате с делением, так что увеличение размеров не изменяет их относительной важности.

Критические размеры устройства, содержащего уран, можно определить как размеры, при которых количество освобождаемых при делении нейтронов в точности равно их потере вследствие вылета и захватов, не сопровождающихся делением. Другими словами, если размеры меньше критических, то, по определению, цепная реакция не может развиться.

Критическую массу могут образовывать только нечётные изотопы. Лишь 235U встречается в природе, а 239Pu и 233U — искусственные, они образуются в ядерном реакторе (в результате захвата нейтронов ядрами 238U

и232Th с двумя последующими β — распадами).

Вприродном уране цепная реакция деления не может развиться ни при каком количестве урана, однако, в таких изотопах, как 235U и 239Pu цепной процесс достигается сравнительно легко. При наличии замедлителя нейтронов, цепная реакция идёт и в природном уране.

Необходимым условием для осуществления цепной реакции является наличие достаточно большого количества делящегося вещества, так как в образцах малых размеров большинство нейтронов пролетает сквозь образец, не попав ни в одно ядро. Цепная реакция ядерного взрыва возникает при достижении

делящимся веществом некоторой критической массы.

Пусть имеется кусок вещества, способного к делению, например, 235U, в который попадает нейтрон. Этот нейтрон либо вызовет деление, либо бесполезно поглотится веществом, либо, продиффундировав, выйдет через наружную поверхность. Важно, что будет на следующем этапе – уменьшится или уменьшится число нейтронов в среднем, т.е. ослабнет или разовьется цепная реакция, т.е. будет ли система в подкритическом или в надкритическом (взрывном) состоянии. Так как вылет нейтронов регулируется размером (для шара – радиусом), то возникает понятие критического размера (и массы). Для развития взрыва размер должен быть больше критического.

Критический размер делящейся системы можно оценить, если известна длина пробега нейтронов в делящемся материале.

Нейтрон, летая по веществу, изредка сталкивается с ядром, он как бы видит его поперечное сечение. Размер поперечного сечения ядра σ=10-24 см2 (барн). Если N — число ядер в кубическом сантиметре, то комбинация L=1/Nσ дает среднюю длину пробега нейтрона по отношению к ядерной реакции. Длина пробега нейтрона – единственная размерная величина, которая может послужить отправной точкой оценки критразмера. В любой физической теории используются методы подобия, которые, в свою очередь, строятся из безразмерных комбинаций размерных величин, характеристик системы и вещества. Таким безразмерным

числом является отношение радиуса куска делящегося материала к длине пробега в нем нейтронов. Если принять, что безразмерное число порядка единицы, а длина пробега при типичном значении N=1023, L= 10 см

(для σ=1) (обычно σ обычно намного выше 1, так что критическая масса меньше нашей оценки). Критическая масса зависит от сечения реакции деления конкретного нуклида. Так, для создания атомной бомбы необходимо примерно 3 кг плутония или 8 кг 235U (при имплозивной схеме и в случае чистого 235U) При стволовой схеме атомной бомбы требуется примерно 50 кг оружейного урана (При плотности урана 1,895·104 кг/м3 радиус шара такой массы равен примерно 8,5 см, что на удивление хорошо совпадает с нашей оценкой

R=L=10 см).

Выведем теперь более строгую формулу для расчета критического размера куска делящегося материала.

Как известно, при распаде ядра урана образуется несколько свободных нейтронов. Часть из них покидает образец, а часть поглощается другими ядрами, вызывая их деление. Цепная реакция возникает, если число нейтронов в образце начинает лавинообразно расти. Для определения критической массы можно использовать уравнение диффузии нейтронов:

∂C	= D C + βC	(2)
∂t

где С — концентрация нейтронов, β>0 – константа скорости реакции размножения нейтронов (аналогично постоянной радиоактивного распада имеет размерность 1/сек, D -коэффициент диффузии нейтронов,

оператор зависит от геометрии системы, например, для пластины =	∂2C
	2
	∂x

Пусть образец имеет форму шара радиусом R. Тогда нам надо найти решение уравнения (1), удовлетворяющее краевому условию: C(R,t)=0.

Сделаем замену C = νe β t , тогда

∂C

∂ν

βt

(3)

βe

ν = D

νe

+ βνe

∂t

Получили классическое уравнение теплопроводности:

∂ν

= D ν

(4)

∂t

Решение этого уравнения хорошо известно

π 2n2

−

∞

ν(r,t)=

sin πn re

(5)

∑

значит

π 2n

∞

β −

C(r,t)=

(6)

∑

sin πn re

r n =1

Цепная реакция пойдёт при условии (то есть

C(r,t)

t→∞ → ∞ ), что хотя бы при одном n коэффициент в

показателе степени положителен.

Если β − π 2n2 D > 0,

то β>π2n2 D и критический радиус сферы:

R = πn

Если π

≥ R , то ни при каком n не будет растущей экспоненты

Если π

< R , то хотя бы при одном n мы получим растущую экспоненту.

Ограничимся первым членом ряда, n=1:

R = π

(7)

Критическая масса:

M = ρV = ρ

(8)

Минимальное значение радиуса шара, при котором возникает цепная реакция называется

критическим радиусом, а масса соответствующего шара — критической массой.

Подставив значение для R, получим формулу для расчета критической массы:

M кр = ρπ 4 4 D 2 (9) 3 β

Величина критической массы зависит от формы образца, коэффициента размножения нейтронов и коэффициента диффузии нейтронов. Их определение является сложной экспериментальной задачей, поэтому полученная формула используется для определения указанных коэффициентов, а проведенные выкладки являются доказательством существования критической массы.

Роль размеров образца очевидна: с уменьшением размеров процент нейтронов, вылетающих через ее поверхность, увеличивается, так что при малых (ниже критических!) размерах образца цепная реакция становится невозможной даже при благоприятном соотношении между процессами поглощения и образования нейтронов.

Для высокообогащенного урана значение критической массы составляет около 52 кг, для оружейного плутония — 11 кг. В нормативных документах по охране ядерных материалов от хищения указываются критические массы: 5 кг 235U или 2 кг плутония (для имплозивной схемы атомной бомбы). Для пушечной схемы критические массы намного больше. На базе этих значений строится интенсивность защиты делящихся веществ от нападения террористов.

Замечание. Критическая масса системы из металлического урана 93,5% обогащения (93,5% 235U; 6,5% 238U) равна 52 кг без отражателя и 8,9 кг, когда система окружена отражателем нейтронов из оксида бериллия. Критическая масса водного раствора урана – примерно 5 кг.

Величина критической массы зависит от свойств вещества (таких, как сечения деления и радиационного захвата), от плотности, количества примесей, формы изделия, а также от окружения. Например, наличие отражателей нейтронов может сильно уменьшить критическую массу. Для конкретного делящегося вещества количество материала, которое составляет критическую массу, может изменяться в широком диапазоне и зависит от плотности, характеристик (вид материала и толщина) отражателя, а также от природы и процентного содержания любых присутствующих инертных разбавителей (таких как кислород в оксиде урана, 238U в частично обогащенном 235U или химические примеси).

В целях сравнения, привёдем критические массы шаров без отражателя для нескольких видов материалов с некоторой стандартной плотностью.

Для сравнения приведем следующие примеры критических масс: 10 кг 239Pu, металл в альфа-фазе

(плотность 19,86 г/см3); 52 кг 94%-го 235U (6% 238U), металл (плотность 18,72 г/см3); 110 кг UO2 (94% 235U)

при плотности в кристаллическом виде 11 г/см3; 35 кг PuO2 (94% 239Pu) при плотности в кристаллическом

виде 11,4 г/см3. Наименьшей критической массой обладают растворы солей чистых делящихся нуклидов в воде с водяным отражателем нейтронов. Для 235U Критическая масса равна 0,8 кг, для 239Pu — 0,5 кг, для 251Cf —

10 г.

Критическая масса M связана с критической длиной l: М lx, где x зависит от формы образца и лежит в пределах от 2 до 3. Зависимость от формы связана с утечкой нейтронов через поверхность: чем больше поверхность, тем больше критическая масса. Образец с минимальной критической массой имеет форму шара. Табл. 5. Основные оценочные характеристики чистых изотопов способных к ядерному делению

		Период					Нейтроны
	Получение	Критическая	Плотность	Температура	Тепловыделение	спонтанного
Изотоп	полураспада
(источник)	масса	г/см³	плавления °С	Вт/кг	деления
		T1/2					105(кг·сек)
231Pa	Реактор	32760 лет	750±180 кг	15,37	1572
232U	Реактор на	68,9 лет		19,04	1134	8097
быстрых
	нейтронах
233U	Реактор	159200 лет	15 кг	19,04	1134
235U	Природный	7,038×108 лет	45 кг	19,04	1134
	уран
236U	Реактор	2,3416×107 лет ? кг	19,04	1134
237Np	Реактор	2,14×107 лет	57 кг	20,25	637	0,022	0
236Pu	Реактор	2,9 лет	6-8 кг	19,84	639,7	18500	349
238Pu	Реактор	87,7 лет	9,6-9,8 кг	19,84	639,7	568	26,6
239Pu	Реактор	24100 лет	8 кг	19,84	639,7	1,92
240Pu	Реактор	6500 лет	36,9 кг	19,84	639,7	7,1	9,1
241Pu	Реактор	14,4 лет	13 кг	19,84	639,7	3,2	0
242Pu	Реактор	380000 лет	83,4 кг	19,84	639,7	0,113	16,9
241Am	Реактор	432 года	60 кг	13,67	1180	114	0,012
242mAm	Реактор	152 года	3,78 кг	13,67	1180
243mAm	Реактор	141 год	9,1 кг	13,67	1180	3,84	1,49
243Am	Реактор	7400 лет	208,8 кг	13,67	1180	6,4	0,03
243Cm	Реактор	28,5 лет	8,6 кг	13,51	1340	1900	0
244Cm	Реактор	18,1 лет	27 кг	13,51	1340	2830	1,11
245Cm	Реактор	8500 лет	9,2 кг	13,51	1340	5,7	0
246Cm	Реактор	4730 лет	39-70,1 кг	13,51	1340
247Cm	Реактор	1,56×107 лет	6,94-7,06 кг	13,51	1340
248Cm	Реактор	340000 лет		13,51	1340
249Cf	Реактор	351 год	5,9 кг	15,1
250Cf	Реактор	13,08 лет		15,1
251Cf	Реактор	898 лет	1,94 кг	15,1
252Cf	Реактор	2,638 года	2,73 кг	15,1

Остановимся несколько подробнее на критических параметрах изотопов некоторых элементов. Начнём с урана.

Как уже неоднократно упоминалось, 235U (кларк 0,72%) имеет особо важное значение, поскольку делится под действием тепловых нейтронов (σf=583 барн), выделяя при этом «тепловой нергетический эквивалент» 2×107 кВт×ч/к. Поскольку помимо α -распада 235U ещё и спонтанно делится (Т1/2=3,5×1017 лет), то в массе урана всегда присутствуют нейтроны, а значит возможно создание условий для возникновения самоподдерживающейся цепной реакции деления. Для металлического урана с обогащением 93,5 % критическая масса равна: 51 кг без отражателя; 8,9 кг с отражателем из оксида бериллия; 21,8 кг с полным водяным отражателем. Критические параметры гомогенных смесей урана и его соединений приведены в

Табл. 6.

Критические параметры изотопов плутония: 239Pu: Мкр= 9,6 кг, 241Pu: Мкр=6,2 кг, 238Pu: Мкр= от 12 до 7,45 кг. Наибольший интерес представляют смеси изотопов: 238Pu, 239Pu, 240Pu, 241Pu. Большое удельное энерговыделение 238Pu приводит к окислению металла в воздухе, поэтому наиболее вероятно его использование в виде оксидов. При получении 238Pu сопутствующим изотопом является 239Pu. Соотношение этих изотопов в смеси определяет как значение критических параметров, так и их зависимость при изменении содержания замедлителя. Различные оценки критической массы для голой металлической сферы из 238Pu дают значения от 12 до 7,45 кг по сравнению с критической массой для 239Pu, равной 9,6 кг. Так как ядро 239Pu содержит нечетное число нейтронов, то критическая масса при добавлении в систему воды будет уменьшаться. Критическая масса 238Pu при добавлении воды увеличивается. Для смеси этих изотопов суммарный эффект добавления воды зависит от соотношения изотопов. При массовом содержании 239Pu, равном 37% или меньше, критическая масса смеси изотопов 239Pu и 238Pu не уменьшается при добавлении в систему воды. В этом случае допустимое количество диоксидов 239Pu—238Pu составляет 8 кг. При других

соотношениях диоксидов 238Pu и 239Pu минимальное значение критической массы изменяется от 500 г для чистого 239Pu до 24,6 кг для чистого 238Pu.

Табл. 6. Зависимость критической массы и критического объёма урана от обогащения по 235U.

Примечание. I — гомогенная смесь металлического урана и воды; II — гомогенная смесь диоксида урана и воды; III — раствор уранилфторида в воде; IV — раствор уранилнитрата в воде. * Данные, полученные с помощью графической интерполяции.

Другим изотопом с нечетным числом нейтронов является 241Pu. Минимальное значение критической массы для 241Pu достигается в водных растворах при концентрации 30 г/л и составляет 232 кг. При получении 241Pu из облученного горючего ему всегда сопутствует 240Pu, который по содержанию не превосходит его. При равном отношении нуклидов в смеси изотопов минимальная критическая масса 241Pu превышает критическую массу 239Pu. Следовательно, по отношению к минимальной критической массе изотоп 241Pu при

оценке ядерной безопасности можно заменить 239Pu, если в смеси изотопов находятся равные количества

241Pu и 240Pu.

Табл. 7. Минимальные критические параметры урана с обогащением 100% по 233U.

Рассмотрим теперь критические характеристики изотопов америция. Присутствие в смеси изотопов 241Am и 243Am увеличивает критическую массу 242mAm. Для водных растворов существует такое соотношение изотопов, при котором система всегда подкритична. При массовом содержании 242mAm в смеси 241Am и 242mAm менее 5% система остается подкритической вплоть до концентрации америция в растворах и механических смесях диоксида с водой, равной 2500 г/л. 243Am в смеси с 242mAm также увеличивает

критическую массу смеси, но в меньшей степени, так как сечение захвата тепловых нейтронов для 243Am на порядок ниже, чем у 241Am

Табл. 8. Критические параметры гомогенных плутониевых (239Pu+240Pu) сферических сборок.

Табл. 9. Зависимость критических массы и объема для соединений плутония* от изотопного состава плутония

* Основной нуклид 94239Pu.

Примечание. I — гомогенная смесь металлического плутония и воды; II — гомогенная смесь диоксида плутония и воды; IIIгомогенная смесь оксалата плутония и воды; IV — раствор нитрата плутония в воде.

Табл. 10. Зависимость минимальной критической массы 242mAm от его содержания в смеси 242mAm и 241Am (критическая масса рассчитана для AmO2+H2O в сферической геометрии с водяным отражателем):

Содержание 242mAm, %	Критическая масса 242mAm, г
100	17
20	40
10	160
8	420
6,25	>2000

В случае кюрия наибольший интерес представляет смесь 244Cm с 245Cm.

Табл. 11. Влияние содержания 244Cm на минимальную критическую массу 245Cm в смеси CmO2 + H2O в зависимости от массового содержания.

Содержание 245Cm, %	Критическая масса 245Cm, г
100	36
10	41
5	46
2,5	54
1,25	68

При малой массовой доле 245Cm нужно учитывать, что 244Cm также имеет конечную критическую массу в системах без замедлителей. Другие изотопы кюрия с нечетным числом нейтронов имеют минимальную критическую массу в несколько раз большую, чем 245Cm. В смеси СmО2 + Н2О изотоп 243Cm имеет минимальную критическую массу порядка 108 г, a 247Cm — порядка 1170 г. По отношению к

критической массе можно считать, что 1 г 245Cm эквивалентен 3 г 243Cm или 30 г 247Cm. Минимальная критическая масса 245Cm, г, в зависимости от содержания 245Cm в смеси изотопов 244Cm и 245Cm для СmО2 +

Н2О достаточно хорошо описывается формулой

Мкр = 35,5 +	0,5	,	(10)
ξ +0,003

где ξ — массовая доля 245Cm в смеси изотопов кюрия.

Критическая масса зависит от сечения реакции деления. При создании оружия, всяческими ухищрениями можно уменьшить требуемую для взрыва критическую массу. Так, для создания атомной бомбы необходимо 8 кг урана-235 (при имплозивной схеме и в случае чистого урана-235; при использовании же 90% урана-235 и при стволовой схеме атомной бомбы требуется не менее 45 кг оружейного урана). Критическую массу можно существенно уменьшить, окружив образец делящегося вещества слоем материала, отражающего нейтроны, например, бериллия или природного урана. Отражатель возвращает значительную часть нейтронов, вылетающих через поверхность образца. Например, если использовать отражатель толщиной в 5 см, изготовленный из таких материалов, как уран, железо, графит, критическая масса составит половину от критической массы «голого шара». Более толстые отражатели уменьшают критическую массу. Особенно эффективен бериллий, обеспечивающий критическую массу в 1/3 от стандартной критической массы. Система на тепловых нейтронах имеет самый большой критический объем и минимальную критическую массу.

Важную роль играет степень обогащения по делящемуся нуклиду. Природный уран с содержанием 235U 0,7% не может быть использован для изготовления атомного оружия, поскольку остальной уран (238U) интенсивно поглощает нейтроны, препятствуя развитию цепного процесса. Поэтому изотопы ураны необходимо разделить, что представляет собой сложную и трудоёмкую задачу. Разделение приходится вести до степеней обогащения по 235U выше 95%. Попутно необходимо избавляться от примесей элементов с высоким сечением захвата нейтронов.

Замечание. При приготовлении оружейного урана, не просто избавляются от ненужных примесей, а замещают их на другие примеси, способствующие цепному процессу, например, вводят элементы – размножители нейтронов.

Уровень обогащения урана оказывает существенное влияние на величину критической массы. Например, критическая масса урана с обогащением 235U 50% составляет 160 кг (в 3 раза больше массы 94%- го урана), а критическая масса 20%-го урана составляет 800 кг (то есть в ~15 раз больше, чем критическая масса 94%-го урана). Аналогичные коэффициенты зависимости от уровня обогащения применимы и к оксиду урана.

Критическая масса обратно пропорциональна квадрату плотности материала, Мк~1/ρ2,. Так, критическая масса металлического плутония в дельта-фазе (плотность 15,6 г/см3) составляет 16 кг. Это обстоятельство учитывается при конструировании компактной атомной бомбы. Поскольку вероятность захвата нейтронов пропорциональна концентрации ядер, увеличение плотности образца, например, в результате его сжатия, способно привести к возникновению в образце критического состояния. В ядерных взрывных устройствах масса делящегося вещества, находящаяся в безопасном подкритическом состоянии переводится во взрывное сверхкритическое с помощью направленного взрыва, подвергающего заряд сильной степени сжатия.

Источник

Увеличить/уменьшить масштаб

Скопировать текст страницы

(работает в Chrome 42+,
Microsoft Internet Explorer и Mozilla FireFox
c установленным Adobe Flash Player)

Текущие страницы выделены рамкой.

Содержание

Обращаясь к сайту «История Росатома — Электронная библиотека»,
я соглашаюсь с условиями использования представленных там материалов.

Правила сайта (далее – Правила)

Общие положения
1. Настоящие правила определяют порядок и условия использования материалов, размещенных на сайте www.biblioatom.ru (далее именуется Сайт), а также правила использования материалов Сайтом и порядок
  взаимодействия с Администрацией Сайта.
2. Любые материалы, размещенные на Сайте, являются объектами интеллектуальной собственности (объектами авторского права или смежных прав, а также прав на средства индивидуализации). Права Администрации
  Сайта на указанные материалы охраняются законодательством о правах на результаты интеллектуальной деятельности.
3. Использование материалов, размещенных на Сайте, допускается только с письменного согласия Администрации Сайта или иного правообладателя, прямо указанного на конкретном материале, размещенном на
  Сайте, или в непосредственной близости от указанного материала.
4. Права на использование и разрешение использования материалов, размещенных на Сайте, принадлежащих иным правообладателям, нежели Администрация Сайта, допускается с разрешения таких правообладателей
  или в соответствии с условиями, установленными такими правообладателями. Никакое из положений настоящих Правил не дает прав третьим лицам на использование материалов правообладателей, прямо указанных на
  конкретном материале, размещенном на Сайте, или в непосредственной близости от указанного материала.
5. Настоящие Правила распространяют свое действие на следующих пользователей: информационные агентства, электронные и печатные средства массовой информации, любые физические и юридические лица, а также
  индивидуальные предприниматели (далее — «Пользователи»).
Использование материалов. Виды использования
1. Под использованием материалов Сайта понимается воспроизведение, распространение, публичный показ, сообщение в эфир, сообщение по кабелю, перевод, переработка, доведение до всеобщего сведения и иные
  способы использования, предусмотренные действующим законодательством Российской Федерации.
2. Использование материалов Сайта без получения разрешения от Администрации Сайта не допустимо.
3. Внесение каких-либо изменений и/или дополнений в материалы Сайта запрещено.
4. Использование материалов Сайта осуществляется на основании договоров с Администрацией Сайта, заключенных в письменной форме, или на основании письменного разрешения, выданного Администрацией Сайта.
5. Запрещается любое использование (бездоговорное/без разрешения) фото-, графических, видео-, аудио- и иных материалов, размещенных на Сайте, принадлежащих Администрации Сайта и иным правообладателям
  (третьим лицам).
6. Стоимость использования каждого конкретного материала или выдача разрешения на его использование согласуется Пользователем и Администрацией Сайта в каждом конкретном случае.
7. В случае необходимости использования материалов Сайта, права на которые принадлежат третьим лицам (иным правообладателям, нежели Администрация Сайта, о чем прямо указано на таких материалах либо в
  непосредственной близости от них), Пользователи обязаны обращаться к правообладателям таких материалов для получения разрешения на использование материалов.
Обязанности Пользователей при использовании материалов Сайта
1. 3.1. При использовании материалов Сайта в любых целях при наличии разрешения Администрации Сайта, ссылка на Сайт обязательна и осуществляется в следующем виде:
  1. в печатных изданиях или в иных формах на материальных носителях Пользователи обязаны в каждом случае использования материалов указать источник – электронная библиотека «История Росатома»
    (www.biblioatom.ru)
  2. в интернете или иных формах использования в электронном виде не на материальных носителях, Пользователи в каждом случае использования материалов обязаны разместить гиперссылку на Сайт —
    электронная
    библиотека «История Росатома» (www.biblioatom.ru), гиперссылка должна являться активной и прямой, при нажатии на которую Пользователь переходит на конкретную страницу Сайта, с которой заимствован
    материал.
  3. Ссылка на источник или гиперссылка, указанные в пп. 3.1.1 и 3.1.2. настоящих Правил, должны быть помещены Пользователем в начале используемого текстового материала, а также непосредственно
    под используемым аудио-, видео-, фотоматериалом, графическим материалом Администрации Сайта.
2. Размеры шрифта ссылки на источник или гиперссылки не должны быть меньше размера шрифта текста, в котором используются материалы Сайта, либо размера шрифта текста Пользователя, сопровождающего аудио-,
  видео-, фотоматериалы и графические материалы Сайта, а также цвет ссылки должен быть идентичен цветам ссылок на Сайте и должен быть видимым Пользователю.
3. Использование материалов с Сайта, полученных из вторичных источников (от иных правообладателей, нежели Администрация Сайта, о чем прямо указано на таких материалах либо в непосредственной близости от
  них), возможно только со ссылкой на эти источники и, в случае необходимости, установленной такими источниками (правообладателями), — с их разрешения.
4. Не допускается переработка оригинального материала (произведения), взятого с Сайта, в том числе сокращение материала, иная его переработка, в том числе приводящая к искажению его смысла.
Права на материалы третьих лиц, урегулирование претензий
1. Материалы, права на которые принадлежат третьим лицам, размещенные на Сайте, размещены либо с разрешения правообладателя, полученного Администрацией Сайта, либо, в случае, если таковое использование
  прямо не запрещено правообладателем, в соответствии с Законодательством РФ в информационных целях с обязательным указанием имени автора, материал которого используется, и источника заимствования.
2. В случае, если в обозначении авторства материалов в соответствии с п. 4.1. настоящих Правил содержится ошибка, или в случае использования материала с предполагаемым или реальным нарушением прав
  третьих лиц, или в иных спорных случаях использования объектов интеллектуальной собственности, размещенных на Сайте, в том числе в случае, когда права третьего лица тем или иным образом нарушаются с
  использованием Сайта, применяется следующая схема урегулирования претензий третьих лиц к Администрации Сайта:
  1. в адрес Администрации Сайта по электронной почте на адрес info@biblioatom.ru направляется претензия, содержащая информацию об объекте интеллектуальной собственности, права на который
    принадлежат
    заявителю и который используется незаконно посредством Сайта или с нарушением правил использования, или иным образом права заявителя как обладателя исключительного права на объект интеллектуальной
    собственности, размещенный на Сайте, нарушены посредством Сайта, с приложением документов, подтверждающих правомочия заявителя, данные о правообладателе и копия доверенности на действия от лица
    правообладателя, если лицо, направляющее претензию, не является руководителем компании правообладателя или непосредственно физическим лицом — правообладателем. В претензии также указывается адрес
    страницы
    Сайта, которая содержит данные, нарушающие права, и излагается полное описание сути нарушения прав;
  2. Администрация Сайта обязуется рассмотреть надлежаще оформленную претензию в срок не менее 5 (пяти) рабочих дней с даты ее получения по электронной почте. Администрация Сайта обязуется
    уведомить
    заявителя о результатах рассмотрения его заявления (претензии) посредством отправки письма по электронной почте на адрес, указанный заявителем, а также направить ответ в письменном виде на адрес,
    указанный заявителем (в случае неуказания такового адреса отправки, обязательство по предоставлению письменного ответа на претензию с Администрации Сайта снимается). В том числе, Администрация
    Сайта
    вправе запросить дополнительные документы, свидетельства, данные, подтверждающие законность предъявляемой претензии. В случае признания претензии правомерной, Администрация Сайта примет все
    возможные
    меры, необходимые для прекращения нарушения прав заявителя и урегулирования претензии;
  3. Администрация Сайта в любом случае предпринимает все возможные меры к скорейшему удовлетворению обоснованных претензий третьих лиц и стремиться к максимально скорому урегулированию всех
    спорных
    вопросов.
Прочие условия
1. Администрация Сайта оставляет за собой право изменять настоящие Правила в одностороннем порядке в любое время без уведомления Пользователей. Любые изменения будут размещены на Сайте. Изменения
  вступают в силу с момента их опубликования на Сайте.
2. По всем вопросам использования материалов Сайта Пользователи могут обращаться к Администрации Сайта по следующим координатам: info@biblioatom.ru
3. Во всем, что не урегулировано настоящими Правилами в отношении вопросов использования материалов на Сайте, стороны руководствуются положениями Законодательства РФ.

Источник

С момента окончания самой страшной в истории человечества войны прошло чуть более двух месяцев. И вот 16 июля 1945 года американскими военными была испытана первая ядерная бомба, а спустя еще месяц в атомном пекле гибнут тысячи жителей японских городов. С тех пор ядерное оружие, так же как и средства доставки его к целям, непрерывно совершенствовалось на протяжении более полувека.

Военным хотелось получить в свое распоряжение как сверхмощные боеприпасы, одним ударом сметающие с карты целые города и страны, так и сверхмалые, умещающиеся в портфель. Такое устройство вывело бы диверсионную войну на небывалый доселе уровень. Как с первым, так и со вторым возникли непреодолимые трудности. Виной всему, так называемая, критическая масса. Однако, обо всем по порядку.

Такое взрывоопасное ядро

Чтобы разобраться в порядке работы ядерных устройств и понять, что называется критической массой, вернемся ненадолго за парту. Из школьного курса физики мы помним простое правило: одноименные заряды отталкиваются. Там же, в средней школе ученикам рассказывают о строении атомного ядра, состоящего из нейтронов, нейтральных частиц и протонов, заряженных положительно. Но как такое возможно? Положительно заряженные частицы расположены так близко друг к другу, силы отталкивания должны быть колоссальными.

Науке до конца не известна природа внутриядерных сил, удерживающих вместе протоны, хотя свойства этих сил изучены достаточно хорошо. Силы действуют только на очень близком расстоянии. Но стоит хотя бы чуть-чуть разделить протоны в пространстве, как силы отталкивания начинают превалировать, и ядро разлетается на куски. А мощность такого разлета воистину колоссальна. Известно, что силы взрослого мужчины не хватило бы для удержания протонов всего лишь одного единственного ядра атома свинца.

Чего испугался Резерфорд

Ядра большинства элементов таблицы Менделеева стабильны. Однако с ростом атомного числа эта стабильность все уменьшается. Дело в размере ядер. Представим себе ядро атома урана, состоящее из 238 нуклидов, из которых 92 – протоны. Да, протоны находятся в тесном контакте друг с другом, и внутриядерные силы надежно цементируют всю конструкцию. Но сила отталкивания протонов, находящихся на противоположных концах ядра становится заметной.

Что проделывал Резерфорд? Он производил бомбардировку атомов нейтронами (электрон не пройдет через электронную оболочку атома, а положительно заряженный протон не сможет приблизиться к ядру из-за сил отталкивания). Нейтрон, попадая в ядро атома, вызывал его деление. В стороны разлетались две отдельные половинки и два-три свободных нейтрона.

Этот распад, в силу громадных скоростей разлетающихся частиц, сопровождался выбросом громадной энергии. Ходил слух, что Резерфорд даже хотел скрыть свое открытие, испугавшись его возможных последствий для человечества, но это, скорее всего, не более чем сказки.

Так при чем тут масса и почему она критическая

Ну и что? Как можно облучить потоком протонов достаточное количество радиоактивного металла, чтобы получить мощный взрыв? И что такое критическая масса? Все дело в тех нескольких свободных электронах, которые вылетают из «разбомбленного» атомного ядра, они в свою очередь так же, столкнувшись с другими ядрами, вызовут их деление. Начнется так называемая цепная ядерная реакция. Однако запустить ее будет чрезвычайно сложно.

Уточним масштаб. Если за ядро атома принять яблоко на нашем столе, то для того, чтобы представить себе ядро соседнего атома, такое же яблоко придется отнести и положить на стол даже не в соседней комнате, а… в соседнем доме. Нейтрон же будет размером с вишневую косточку.

Для того, чтобы выделившиеся нейтроны не улетали впустую за пределы слитка урана, а более 50 % из них находили бы себе цель в виде атомных ядер, этот слиток должен иметь соответствующие размеры. Вот что называется критической массой урана – масса, при которой более половины выделяющихся нейтронов сталкиваются с другими ядрами.

На деле это происходит в одно мгновение. Количество расщепленных ядер нарастает как лавина, их осколки устремляются во все стороны со скоростями сопоставимыми со скоростью света, вспарывая воздух, воду, любую другую среду. От их столкновений с молекулами окружающей среды область взрыва мгновенно нагревается до миллионов градусов, излучая жар, испепеляющий все в округе нескольких километров.

Резко нагретый воздух мгновенно увеличивается в размерах, создавая мощную ударную волну, которая сносит с фундаментов здания, переворачивает и крушит все на своем пути… такова картина атомного взрыва.

Как это выглядит на практике

Устройство атомной бомбы на удивление просто. Имеются два слитка урана (или другого радиоактивного металла), масса каждого из которых немного меньше критической. Один из слитков изготовлен в виде конуса, другой – шара с конусообразным отверстием. Как нетрудно догадаться, при совмещении обеих половинок получается шар, у которого достигается критическая масса. Это стандартная простейшая ядерная бомба. Соединяются две половинки при помощи обычного тротилового заряда (конус выстреливается в шар).

Но не стоит думать, что такое устройство сможет собрать «на коленке» любой желающий. Весь фокус заключается в том, что уран, чтобы бомба из него взорвалась, должен быть очень чистым, наличие примесей – практически ноль.

Почему не бывает атомной бомбы размером с пачку сигарет

Все по той же причине. Критическая масса самого распространенного изотопа урана 235 составляет около 45 кг. Взрыв такого количества ядерного топлива – это уже катастрофа. А изготовить взрывное устройство с меньшим количеством вещества невозможно – оно просто не сработает.

По той же причине не получилось и создать сверхмощные атомные заряды из урана или других радиоактивных металлов. Для того, чтобы бомба была очень мощной, ее делали из десятка слитков, которые при подрыве детонирующих зарядов устремлялись к центру, соединяясь как дольки апельсина.

Но что происходило на деле? Если по каким-то причинам два элемента встречались на тысячную долю секунды раньше остальных, критическая масса достигалась быстрее чем «подоспеют» остальные, взрыв происходил не той мощности, на которую рассчитывали конструкторы. Проблема сверхмощных ядерных боеприпасов была решена только с появлением термоядерного оружия. Но это чуть другая история.

А как же работает мирный атом

Атомная электростанция – по сути та же ядерная бомба. Только у этой «бомбы» ТВЭЛы (тепловыделяющие элементы), изготовленные из урана, находятся на некотором расстоянии друг от друга, что не мешает им обмениваться нейтронными «ударами».

ТВЭЛы изготавливаются в виде стержней, между которыми находятся регулирующие стержни, выполненные из материала, хорошо поглощающего нейтроны. Принцип работы прост:

регулирующие (поглощающие) стержни вводятся в пространство между стержнями урана – реакция замедляется или останавливается вовсе;
регулирующие стержни выводятся из зоны – радиоактивные элементы активно обмениваются нейтронами, ядерная реакция протекает интенсивнее.

Действительно, получается та же атомная бомба, в которой критическая масса достигается настолько плавно и регулируется так четко, что это не приводит к взрыву, а лишь к нагреву теплоносителя.

Хотя, к сожалению, как показывает практика, не всегда человеческий гений способен обуздать эту огромную и разрушительную энергию – энергию распада атомного ядра.

Источник

Explanation of criticality[edit]

Changing the point of criticality[edit]

Varying the amount of fuel[edit]

Changing the shape[edit]

Changing the temperature[edit]

Varying the density of the mass[edit]

Use of a neutron reflector[edit]

Use of a tamper[edit]

Critical size[edit]

Critical mass of a bare sphere[edit]

Criticality in nuclear weapon design[edit]

Prompt criticality[edit]

See also[edit]

References[edit]

Задача

Подсказка 1

Подсказка 2

Решение

Послесловие

Содержание

Такое взрывоопасное ядро

Чего испугался Резерфорд

Так при чем тут масса и почему она критическая

Как это выглядит на практике

Почему не бывает атомной бомбы размером с пачку сигарет

А как же работает мирный атом