Как найти куб двузначного числа

Объяснение этого «фокуса» (или как там его назвать?) еще в самом начале 20 века дал Советский Я́ков Иси́дорович Перельма́н — российский и советский математик, физик и мировед, журналист и педагог, популяризатор точных наук, основоположник жанра занимательной науки. Правда не скажу в какой-именно книге я об этом прочитал. Оказывается на эту тему он начал издавать книги ещё в 1913 году («Занимательная физика) и занимался этим всю жизнь до гибели в блокадном Ленинграде. По данным Всесоюзной книжной палаты, с 1918 по 1973 год его книги только в СССР издавались 449 раз; их общий тираж составил более 13 миллионов экземпляров.

Так вот секрет заключается вот в чём.

При возведении любого числа в «куб», последняя цифра этого куба определяется только последней цифрой исходного двузначного числа. Вот смотрите: 1^3=1, 2^3=8, 3^3=27, 4^3=64, 5^3=125, 6^3=216, 7^3=343, 8^3==515, 9^3=729. Итак если двузначное число заканчивается на 1, 4, 5, 6, 9, то его куб заканчивается на ту же цифру, и только 2 и 3 (и их дополнения до десятки, т.е. 8 и 7) меняются местами. (А для пятых степеней последние цифры вообще совпадают). Теперь, разделим исходное число на 10, соответственно куб на 1000, т.е. рассмотрим первую цифру двузначного и первые 3 цифры куба. Нужно выбрать такое однозначное число, чтобы его куб не превышал первые 3 цифры «куба». А запомнить кубы первой десятки чисел — не проблема. Итак, то число будет первой цифрой исходного числа, а насчёт второй мы уже выяснили.

Например: а^3=110592. Последняя цифра куба — 2, значит в исходном числе последняя цифра — 8. Смотрим первую тройку цифр куба — 110. Вспоминаем таблицу кубов: 4^3=64<110, 5^3=125>110. Значит первая цифра исходного числа 4, а само число а=48.

Ещё пример: а^3=438976. вторая цифра исходного числа 6, а первая цифра 7, так как 7^3=343>438, а 8^3=512>438. Значит а=76.

Всего-то нужно запомнить таблицу кубов чисел от 1 до 10. А это совсем нетрудно.

P.S. Вчера я был в «бане» и не мог сразу ответить.

Возведение двузначных чисел в куб | Теория

Возведение в уме двузначного числа X в куб (третью степень) удобно производить по формуле: Х³=(X+Y)X(X-Y)X+XY²*, где Y — число, на которое нужно уменьшить или увеличить число X, чтобы получить округлённое до десятков (заканчивающееся на 0) число.

Задача: 13³

Решение:

Круглое число получается при вычитании 3 из 13. Поэтому за Y принимаем число 3.
(X+Y) = 13 + 3 = 16
(X-Y) = 13 — 3 = 10
Подставляем полученные числа в формулу:

13³ = 16 x 13 x 10 + 13 x 3²

Умножение 16 на 13 удобно выполнить с помощью факторизации числа 16.

16 x 13 x 10 = 13 x 4 x 4 x 10 = 52 x 4 x 10 = 208 x 10 = 2080

13 x 3³ = 13 x 9 = 117

2080 + 117 = 2197

Задача: 45³

Решение:

453 = 50 x 45 x 40 + 45 x 5²

50 x 45 x 40 = 45 x 40 x 50 = 1800 x 50 = 90000

45 x 5² = 45 x 5 x 5 = 225 x 5 = 1125

90000 + 1125 = 91125

Задача: 69³

Решение:

69³ = 70 x 69 x 68 + 69 x 1²

Так как числа 69 и 68 близки к круглому числу 70, то их удобно перемножить с помощью формулы (C-a)(C-b) = (C-a-b)C+ab, где “C” – близкое к двум перемножаемым числам круглое число, а “а” и “b” – это разницы между круглым числом и перемножаемыми числами (см. урок 10).

 68 x 69 = (70 – 2) x (70 – 1) = (70 – 2 – 1) x 70 + 2 x 1 = 67 x 70 + 2 x 1 = 4690 + 2 = 4692

4692 x 70 = 4692 x 70 = 328440 (см. урок 13)

69 x 1² = 69 x 1 = 69

328440 + 69 = 328509

Задача: 92³

Решение:

92³ = 94 x 92 x 90 + 92 x 2²

Так как числа 94 и 92 близки к круглому числу 90, то их можно перемножить с помощью формулы (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab, где “C” – близкое к двум перемножаемым числам круглое число, а “а” и “b” – это разницы между перемножаемыми числами и круглым числом (см. урок 10).

 94 x 92 = (90 + 4) x (90 + 2) = (90 + 4 + 2) x 90 + 4 x 2 = 96 x 90 + 4 x 2 = 8640 + 8 = 8648

8648 x 90 = 778320 (см. урок 13)

92 x 2² = 92 x 4 = 368

778320 + 368 = 778688

Задача: 96³

Решение:

96³ = 100 x 96 x 92 + 96 x 4²

Перемножить 96 и 92 можно следующими способами (в порядке снижения сложности):

1) Обычное перемножение слева направо: 96 x 92 = 96 x 90 + 96 x 2 = 8640 + 192 = 8832

2) Метод вычитания: 92 x (100 – 4) = 9200 – 368 = 8832

3) С использованием факторизации: 92 x 6 x 4 x 4 = 552 x 4 x 4 = 2208 x 4 = 8832

4) Вычисление по формуле (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab: 96 x 92 = (90 + 6) x (90 + 2) = (90 + 6 + 2) x 90 + 6 x 2 = 98 x 90 + 6 x 2 = 8820 + 12 = 8832

5) Вычисление по формуле (C-a)(C-b) = (C-a-b)C+ab: 96 x 92 = (100 – 4) x (100 – = (100 – 4 – x 100 + 4 x 8 = 88 x 100 + 4 x 8 = 8800 + 32 = 8832

8832 x 100 = 883200

Операцию 4² x 96 также можно выполнить несколькими методами, включая:

1) С использованием факторизации: 4² x 96 = 96 x 4 x 4 = 384 x 4 = 1536

2) Метод вычитания: 4² x 96 = 16 x (100 – 4) = 1600 – 64 = 1536

883200 + 1536 = 884736

* Формула получена путём умножения формулы для квадрата числа X (из урока 11) на число X: X³=X²X=((X+Y)(X-Y)+Y²)X=(X+Y)X(X-Y)+XY²

METHOD:

The rest of the procedure is the same as followed in squaring a number by the column method.

Examples on the method for finding the cube of a two-digit number:

2. Find the value of (71)³ by the short-cut method.

● Cube and Cube Roots

Cube

To Find if the Given Number is a Perfect Cube

Cube Root

Method for Finding the Cube of a Two-Digit Number

Table of Cube Roots

● Cube and Cube Roots — Worksheets

Worksheet on Cube

Worksheet on Cube and Cube Root

Worksheet on Cube Root