Как найти куб комплексного числа - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В данной публикации мы рассмотрим, как комплексное число можно возвести в степень (в т.ч. с помощью формулы Муавра). Теоретический материал сопровождается примерами для лучшего понимания.

Возводим комплексное число в степень
- Квадрат числа
- N-ая степень

Возводим комплексное число в степень

Для начала вспомним, что комплексное число имеет общий вид: z = a + bi (алгебраическая форма).

Теперь можем переходить, непосредственно, к решению поставленной задачи.

Квадрат числа

Мы можем представить степень в виде произведения одинаковых множителей, а затем найти их произведение (при этом помним, что i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Пример 1:
z = 3 + 5i
z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Также можно воспользоваться формулой сокращенного умножения, а именно квадратом суммы:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Примечание: Таким же образом, если потребуется, можно получить формулы для квадрата разности, куба суммы/разности и т.д.

N-ая степень

Возвести комплексное число z в натуральную степень n гораздо проще, если оно представлено в тригонометрической форме.

Напомним, в общем виде запись числа выглядит так: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Для возведения в степень можно воспользоваться формулой Муавра (так названа в честь английского математика Абрахама де Муавра):

zⁿ = |z|ⁿ ⋅ (cos (nφ) + i ⋅ sin (nφ))

Формула получена путем перемножения комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме (перемножаются модули, а аргументы складываются).

Пример 2
Возведем комплексное число z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) в восьмую степень.

Решение
z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos (8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin (8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).

Источник

Правила возведения в степень комплексного числа

Содержание:

Возведение комплексного числа в степень
Возведение в степень в показательной и тригонометрической форме, формула Муавра
Примеры решения задач

Возведение комплексного числа в степень

С началом учебы школьникам предстоит, помимо других предметов, осваивать принципы, закономерности, положения и теории математики. Как правило, новую тему начинают с повторения изученного материала, а именно, рассуждают о числах. В начальных классах учащимся передавали знания о натуральных числах. Затем предмет усложнялся, а школьники узнавали о других числовых множествах. Представим их на общей схеме:

возведение

Источник: dzen.ru

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Рассмотрим участок, закрашенный синим цветом. Здесь расположены комплексные числа. Разобраться в этом понятии можно путем решения простого уравнения:

(х^{2} + 1 = 0)

Попробуем определить, чему равны корни записанного выражения. В результате получим следующее равенство:

(х^{2} = -1)

Заметим, что при выполнении данного равенства неизвестное нужно возвести во вторую степень и получить при этом отрицательное число. По причине наличия подобных уравнений и необходимости в их решении были введены комплексные числа.

На уроках алгебры ученикам приходится решать множество заданий на разные операции с числами. В большинстве задач и тестов их требуется умножить, поделить или представить в виде какой-либо степени. Реализовывать подобные операции допустимо без учета формата рассматриваемых чисел. В том случае, когда определенное число записано как алгебраическое, то представить его в некой степени, равной n, удобно путем вычисления произведения n идентичных множителей.

Если имеется пара комплексных чисел, к примеру, (z_{1} =a_{1} +b_{1} i и z_{2} =a_{2} +b_{2} i), то для получения в итоге их произведения аналогично комплексного числа нужно учитывать алгебраические законы и условие, что (i^{2} =-1).

Итог умножения пары чисел, являющихся комплексными, например, (z_{1} =r_{1} cdot (cos varphi _{1} +isin varphi _{1} )) и (z_{2} =r_{2} cdot (cos varphi _{2} +isin varphi _{2} )), представляет собой комплексное число, полученное по итогам следующих вычислений: (z_{1} cdot z_{2} =r_{1} cdot r_{2} cdot cos (varphi _{1} +varphi _{2} )+isin (varphi _{1} +varphi _{2} ))

Примечание 1

Интерес представляет история введения в обиход комплексного числа. Изначально мысль о том, что требуется использовать такие числа, зародилась в процессе формализованного поиска ответов на уравнения с неизвестными в третьей степени. При этом в выражении Кардано образовывалось число со знаком минуса, заключенное под знак квадратного корня. Огромное значение для изучения комплексных чисел имеют труды Эйлера, Декарта и Гаусса. К примеру, известный научный деятель в области математики, Эйлер обозначил мнимую единицу за i. Непосредственно понятие комплексного числа было зафиксировано в 1831 году. Автором научного термина является Гаусс.

Возведение в степень в показательной и тригонометрической форме, формула Муавра

В процессе работы с комплексными числами, а именно, их умножении, можно упростить себе задачу, если трансформировать множители в показательную или тригонометрическую форму. В том случае, когда комплексное число имеет вид алгебраического, целесообразно переписать его по-другому, например, выбрать для записи любой из вышеуказанных форматов.

Возвести комплексное число, записанное в показательном виде, в какую-нибудь степень можно с помощью данного соотношения:

Формула 1

(z^k = (re^{ivarphi})^k = r^k e^{ikvarphi}, k in Z)

Если число, являясь комплексным, представлено в тригонометрической форме, то его возводят в степень с помощью следующего выражения:

Формула 2

(z^k = r^k (cos kvarphi + isin kvarphi), k in N)

Формула 3

Формула Муавра гласит, что степень с порядком (n (nin Z_{+})) для некого комплексного числа (z=rcdot (cos varphi +isin varphi )), определяется как комплексное число, равное: (z^{n} =r^{n} cdot (cos nvarphi +isin nvarphi ).)

В действительности формулу Муавра несложно получить путем последовательных преобразований. К примеру, можно самостоятельно умножить рассматриваемое комплексное число (z=rcdot (cos varphi +isin varphi )) на идентичное комплексное число в течение такого количества раз, которое равно n.

Исходя из закономерности Муавра, допустимо сделать вывод о том, что при возведении какого-то комплексного числа в целую степень со знаком плюс, требуется модуль этого числа возвести в заданную степень, а аргумент, принадлежащий рассматриваемому комплексному числу, умножить на степенной показатель.

Не все задания можно решить одним простым действием. Встречаются задачи, где показателем степени, в которую возводят комплексное число, является большим числом. Тогда не нужно тратить время и силы на бесконечные операции умножения этого числа на само себя. Целесообразно упростить решение путем поэтапного выполнения следующего алгоритма:

записать алгебраическое комплексное число в тригонометрическом формате;
выполнить возведение в степень полученного числа, руководствуясь соотношением Муавра;
если это потребуется, выполнить обратное действие и записать полученный результат в алгебраической форме.

Примечание 2

Комплексные числа, а также функции с ними, характеризуются особыми возможностями. С помощью специальных свойств таких чисел можно значительно упростить и повысить качество решений математических, физических и технических задач. К примеру, таким способом обрабатывают сигналы, находят ответы к задачам по теории управления, колебательных движений, электрическом магнетизме. При составлении карт и в гидродинамической предметной области активно применяют трансформации комплексной плоскости. Система, состоящая из комплексных чисел, лежит в основе квантовой механики. Эти знания позволяют сформировать понимание современного физического мира.

Исходя из полученной информации, можно с легкостью решать примеры на представлении комплексных чисел в той или иной степени. При этом не нужно множество раз умножать такое число само на себя. Достаточно внимательно изучить предложенное выражение и применить полученные знания на практике. С другой стороны, имеется несколько способов возведения в степень разных чисел. В качестве примера можно привести бинарное возведение в степень. В таком случае в процессе вычислений используют специальную формулу, сокращающую количество раз, в течение которых требуется выполнить умножение числа само на себя.

Примеры решения задач

В процессе решения примеров с комплексными числами, которые требуется представить в виде той или иной степени, необходимо руководствоваться стандартным алгоритмом действий. Начинать расчеты следует с определения вида уравнения. Поняв, какие действия нужно выполнить, можно вспомнить полезную формулу. Далее остается лишь применить закономерность, либо преобразовать выражение в подходящий формат. Не следует забывать о таком важном условии, как область допустимых значений. Подобная проверка позволит исключить посторонние корни.

Задача 1

Дано комплексное число, которое требуется возвести во вторую степень: (z = sqrt{2}e^{frac{pi}{2}i})

Решение

Воспользуемся уже известной формулой, чтобы представить во второй степени модуль и экспоненту. Запишем поэтапные вычисления согласно стандартному алгоритму и получим искомое значение:

(z^2 = (sqrt{2}e^{frac{pi}{2}i})^2 = 2e^{pi i})

Ответ: (z^2 = 2e^{pi i})

Задача 2

Требуется выполнить возведение комплексного числа z в степень, равную трем, при условии, что комплексное число записано в таком виде: (z = 1+sqrt{3}i)

Решение

Заметим, что формат записи данного числа алгебраический. Исходя из полученных знаний, стоит сначала перевести z в тригонометрическую форму. Таким образом, вычисления получится значительно упростить. Определим, чему равен модуль заданного числа:

(|z| = sqrt{a^2+b^2} = sqrt{1^2 + (sqrt{3})^2} =sqrt{4}=2)

Далее можно приступить к поиску аргумента:

(varphi = frac{b}{a} = arctg frac{sqrt{3}}{1} = frac{pi}{3} )

В итоге получается следующая тригонометрическая запись рассматриваемого комплексного числа:

(z = 2(cos frac{pi}{3} + isin frac{pi}{3}))

Если действовать согласно стандартному алгоритму, то на втором этапе нужно вычислить представленное комплексное число в третьей степени:

(z^3 = 2^3(cos (3 cdot frac{pi}{3})+isin (3 cdot frac{pi}{3})) = 8 (cos pi + isin pi))

В конце расчетов стоит выполнить обратный перевод числа в алгебраический формат. В результате получим:

(z^3 = 8 (-1 + i cdot 0) = -8)

Ответ: (z^3 = -8)

Задача 3

Нужно применить полученные из курса теории знания и возвести комплексное число z в степень n с учетом следующих условий: (z=1+2cdot i n=2..4)

Решение

Вспомним, как умножают комплексные числа, если они записаны в алгебраическом формате. Руководствуясь основным определением, стандартной формулой и подставив исходные данные, получим следующие результаты вычислений:

(z^{2} =(1+2cdot i)cdot (1+2cdot i)=-3+4i)

(z^{3} =z^{2} cdot (1+2cdot i)=-3+4i-6i-8=-11-2i)

(z^{4} =z^{3} cdot (1+2cdot i)=-11-2i-22i+4=-7-24i)

Ответ: (-3+4i , -11-2i, -7-24i.)

Источник

Возводить в натуральную степень $n$, если она
достаточно велика, комплексные числа проще всего в
тригонометрической форме, то есть если число
$z=a+b i$ задано в
алгебраической форме, то
его изначально надо записать в тригонометрической.

Пусть число $z=|z|(cos phi+i sin phi)$, тогда умножая его само на себя
$n$ раз (что эквивалентно тому, что мы его
возводим в степень $n$), получим:

$z^{n}=(|z|(cos phi+i sin phi))^{n}=|z|^{n}(cos n phi+i sin n phi)$

Таким образом, модуль степени комплексного числа равен той же степени модуля основания, а
аргумент равен аргументу основания, умноженному на показатель степени.

Если $|z|=1$, то получаем, что

$z^{n}=(cos phi+i sin phi)^{n}=cos n phi+i sin n phi$

Данная формула называется формулой Муавра (Абрахам де Муавр (1667 — 1754) — английский математик).

Пример

Задание. Найти
$z^{20}$, если
$z=frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2} i$

Решение. Вначале запишем заданное
комплексное число в тригонометрической форме, для этого
вычислим его модуль и аргумент:

$|z|=left|frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2} iright|=sqrt{left(frac{1}{2}right)^{2}+left(frac{sqrt{3}}{2}right)^{2}}=sqrt{frac{1}{4}+frac{3}{4}}=sqrt{frac{4}{4}}=1$

$arg z=arg left(frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2} iright)=operatorname{arctg} frac{frac{sqrt{3}}{2}}{frac{1}{2}}=operatorname{arctg} sqrt{3}=frac{pi}{3}$

Тогда

$z=1 cdotleft(cos frac{pi}{3}+i sin frac{pi}{3}right)=cos frac{pi}{3}+i sin frac{pi}{3}$

А отсюда, согласно формуле, имеем:

$z^{20}=left(cos frac{pi}{3}+i sin frac{pi}{3}right)^{20}=cos left(20 cdot frac{pi}{3}right)+i sin left(20 cdot frac{pi}{3}right)=$

$=cos frac{20 pi}{3}+i sin frac{20 pi}{3}=cos frac{21 pi-pi}{3}+i sin frac{21 pi-pi}{3}=$

$=cos left(7 pi-frac{pi}{3}right)+i sin left(7 pi-frac{pi}{3}right)= cos left(pi-frac{pi}{3}right)+i sin left(pi-frac{pi}{3}right)=$

$=-cos frac{pi}{3}+i sin frac{pi}{3}=-frac{1}{2}+i cdot frac{sqrt{3}}{2}=-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2} i$

Ответ. $z^{20}=-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2} i$

Читать дальше: извлечения корня из комплексного числа.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Источник

Возведение комплексных чисел в степень

Начнем
со всем любимого квадрата.

Пример
9

Возвести
в квадрат комплексное число

Здесь
можно пойти двумя путями, первый способ
это переписать степень как произведение
множителей
и
перемножить числа по правилу умножения
многочленов.

Второй
способ состоит в применение известной
школьной формулы сокращенного
умножения
:

Для
комплексного числа легко вывести свою
формулу сокращенного умножения:

.
Аналогичную формулу можно вывести для
квадрата разности, а также для куба
сумма и куба разности. Но эти формулы
более актуальны длязадач
комплексного анализа,
поэтому на данном уроке я воздержусь
от подробных выкладок.

Что
делать, если комплексное число нужно
возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую
степень? Ясно, что в алгебраической
форме проделать такой трюк практически
невозможно, действительно, подумайте,
как вы будете решать пример вроде
?

И
здесь на помощь приходит тригонометрическая
форма комплексного числа и, так
называемая, формула
Муавра:
Если комплексное число представлено в
тригонометрической форме
,
то при его возведении в натуральную
степень
справедлива
формула:

Просто
до безобразия.

Пример
10

Дано
комплексное число
,
найти
.

Что
нужно сделать? Сначала нужно представить
данной число в тригонометрической
форме. Внимательные читатели заметили,
что в Примере 8 мы это уже сделали:

Тогда,
по формуле Муавра:

Упаси
боже, не нужно считать на калькуляторе
,
а вот угол в большинстве случае следует
упростить. Как упростить? Образно
говоря, нужно избавиться от лишних
оборотов. Один оборот составляет
радиан
или 360 градусов. Смотрим сколько у нас
оборотов в аргументе
:
оборотов,
в данном случае можно убавить один
оборот:
.
Надеюсь всем понятно, что
и
–
это один и тот же угол.

Таким
образом, окончательный ответ запишется
так:

Любители
стандартов везде и во всём могут
переписать ответ в виде:

(т.е.
убавить еще один оборот и получить
значение аргумента в стандартном виде).

Хотя
–
ни в коем случае не ошибка.

Пример
11

Дано
комплексное число
,
найти
.
Полученный аргумент (угол) упростить,
результат представить в алгебраической
форме.

Это
пример для самостоятельного решения,
полное решение и ответ в конце урока.

Отдельная
разновидность задачи возведения в
степень – это возведение в степень
чисто мнимых чисел.

Пример
12

Возвести
в степень комплексные числа
,
,

Здесь
тоже всё просто, главное, помнить
знаменитое равенство.

Если
мнимая единица возводится в четную
степень, то техника решения такова:

Если
мнимая единица возводится в нечетную
степень, то «отщипываем» одно «и»,
получая четную степень:

Если
есть минус (или любой действительный
коэффициент), то его необходимо
предварительно отделить:

Пример
13

Возвести
в степень комплексные числа
,

Это
пример для самостоятельного решения.

Извлечение корней из комплексных чисел

Наконец-то.
Меня всю дорогу подмывало привести этот
маленький примерчик:

Нельзя
извлечь корень? Если речь идет о
действительных числах, то действительно
нельзя. В комплексных числах извлечь
корень – можно! А точнее, два корня:

Действительно
ли найденные корни являются решением
уравнения
?
Выполним проверку:

Что
и требовалось проверить.

Часто
используется сокращенная запись, оба
корня записывают в одну строчку под
«одной гребёнкой»:
.

Такие
корни также называют сопряженными
комплексными корнями.

Как
извлекать квадратные корни из отрицательных
чисел, думаю, всем понятно:
,
,
,
,
и
т.д. Во всех случаях получается двасопряженных
комплексных корня.

Пример
14

Решить
квадратное уравнение

Вычислим
дискриминант:

Дискриминант
отрицателен, и в действительных числах
уравнение решения не имеет. Но корень
можно извлечь в комплексных числах!

По
известным школьным формулам получаем
два корня:

–
сопряженные комплексные корни

Таким
образом, уравнение
имеет
два сопряженных комплексных корня:
,

Теперь
вы сможете решить любое квадратное
уравнение!

И
вообще, любое уравнение с многочленом
«энной» степени
имеет
ровно
корней,
часть из которых может быть комплексными.

Простой
пример для самостоятельного решения:

Пример
15

Найти
корни уравнения
и
разложить квадратный двучлен на
множители.

Разложение
на множители осуществляется опять же
по стандартной школьной формуле.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

← Некоторые часто используемые формулы | Краткие сведения о комплексных числах

Комплексные числа — это расширение поля действительных чисел. Обозначается . Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле, то есть многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней. Это основная теорема алгебры.

Формально, комплексное число — это упорядоченная пара вещественных чисел с введёнными на них операциями сложения и умножения вида:

${displaystyle (x_{1},;y_{1})+(x_{2},;y_{2})=(x_{1}+x_{2},;y_{1}+y_{2}),}$

(Д2.1)

${displaystyle (x_{1},;y_{1})cdot (x_{2},;y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},;x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})}$

(Д2.2)

и операцией приравнивания

${displaystyle (x_{1},;y_{1})=(x_{2},;y_{2})Leftrightarrow (x_{1}=x_{2}land y_{1}=y_{2}).}$

(Д2.3)

Историческая справка[править]

Термин «комплексное число» впервые использовал французский математик Л. Карно (1753—1823) в 1803 году, но широкое употребление ему придал К. Ф. Гаусс (1777—1855) в 1831 году.

Впервые же мнимые величины, скорее всего, нашли отражение в известном труде Дж. Кардано (1501—1576) «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545), но он счёл их непригодными для использования в математической практике. Применение мнимых величин для решения кубических уравнений нашли в работах Р. Бомбелли (ок. 1526—1572). Он также разработал базовые правила действий с ними.

Хотя выражения вида , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» ещё в XVI—XVII веках, но всё же для многих крупных ученых XVII века их алгебраическая и геометрическая сущность была не ясна. Долгое время было неясно, можно ли, проводя математические операции над комплексными числами, получить числа какого-то нового типа. Так задача о выражении корней -ой степени была решена только в начале XVIII века в работах А. де Муавра (1667—1754) и Р. Котса (1682—1716).

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе К. Весселя (1745—1818), но зачатки этого представления были сделаны ещё в 1685 году Дж. Валлисом (1616—1703). Современное геометрическое представление, так называемую диаграмму Аргана, предложил в опубликованной в 1806 года работе Ж. Р. Арган (1768—1822), независимо повторивший выводы Весселя.

Символ был предложен Л. Эйлером в 1777 году. Это первая буква слова лат. imaginarius — мнимый. Он также распространил области значения всех стандартных функций на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. Чуть ранее, в 1747 году, к этому же выводу пришёл и Ж. Л. Д’Аламбер (1717—1783), но его доказательство было не безукоризненным. Первое строгое доказательство этого факта было дано Гауссом в 1799 году в его докторской диссертации. В последствие Гаусс даже предложил 4 различных доказательства основной теоремы алгебры.

Непротиворечивая модель комплексных чисел была создана в 1837 году У. Р. Гамильтоном (1806—1865). В рамках неё комплексные числа рассматривались как упорядоченные пары действительных чисел. Он же в 1843 году предложил и обобщение комплексных чисел — кватернионы, получив тем самым гиперкомплексные числа. Позже были получены ещё несколько видов гиперкомплексных чисел, например, числа Кэли.

Алгебраическая форма комплексного числа[править]

Арифметическая модель комплексных чисел как пар действительных чисел, предложенная У. Р. Гамильтоном, хотя и непротиворечива, но не удобна в вычислениях, поэтому для манипуляций с ними используют различные их представления.

В рамках гамильтоновского определения действительные числа имеют вид . Эта пара обозначается также просто . В частности, . Пара имеет особый статус и называется мнимой единицей. Она обозначается как .

Рассмотрим следующее выражение:

${displaystyle i^{2}=icdot i=(0,;1)cdot (0,;1).}$

(Д2.4)

Применяя формулу (Д2.2), получаем:

${displaystyle i^{2}=(0-1,;0+0)=(-1,;0)=-1.}$

(Д2.5)

Следовательно, число можно определить также как . Так как и сделал Л. Эйлер, но это не вполне корректно, так как арифметический квадратный корень определяется только для неотрицательных чисел. Есть другой путь определения мнимой единицы: мнимой единицей называется решение уравнения

${displaystyle x^{2}=-1,}$

(Д2.6)

однако и он не безупречен, так как этому уравнению удовлетворяет не только , но . Это легко проверить, подставив в уравнение (Д2.6) и вычислив по формуле (Д2.2). Кроме того, наличие двух корней у уравнения (Д2.6) необходимо следует из основной теоремы алгебры. Здесь имеет смысл говорить о так называемых сопряжённых комплексных числах. С формальной точки зрения, совершенно безразлично, какую пару принимать за определение мнимой единицы — условились, что мнимая единица имеет вид , а пара является сопряжённой к ней.

Исходя из модели Гамильтона, выведем алгебраическую форму комплексного числа, для этого рассмотрим комплексное число . Сделаем в нём следующее преобразование:

(Д2.7)

На основании формулы (Д2.1) можно написать, что

{displaystyle (x,;y)=(x+0,;0+y)=(x,;0)+(0,;y).}

(Д2.8)

Во втором слагаемом сделаем ещё одно преобразование:

{displaystyle (x,;y)=(x,;0)+(0,;y)=(x,;0)+(ycdot 0-0cdot 0,;ycdot 1+0cdot 0).}

(Д2.9)

Воспользовавшись формулой (Д2.2), будем иметь:

{displaystyle (x,;y)=(x,;0)+(ycdot 0-0cdot 0,;ycdot 1+0cdot 0)=(x,;0)+(y,;0)cdot (0,;1).}

(Д2.10)

Теперь, если заменить получившиеся упорядоченные пары их значениями, придём к следующему выражению:

(Д2.11)

Это и есть алгебраическая форма комплексного числа.
Если в формуле (Д2.11) положить x=0 , то выражение

(Д2.12)

будет называться чисто мнимым числом, или просто мнимым числом.

Условно комплексное число обозначают одной буквой, чаще всего , то есть .

Первую проекцию^[1] комплексного числа называют действительной (вещественной) частью числа и обозначают (от лат. realis — действительный). Вторая проекция комплексного числа называется мнимой частью числа и обозначается (от лат. imaginarius — мнимый). В иностранной литературе действительную и мнимую части часто обозначают, используя заглавные готические буквы, соответственно и .

В терминах алгебраической формы можно переформулировать определение равенства комплексных чисел (Д2.3):

${displaystyle x_{1}+y_{1}i=x_{2}+y_{2}iLeftrightarrow (x_{1}=x_{2}land y_{1}=y_{2})}$

(Д2.13)

или, если применить условные обозначения:

${displaystyle z_{1}=z_{2}Leftrightarrow (mathrm {Re} ,z_{1}=mathrm {Re} ,z_{2}land mathrm {Im} ,z_{1}=mathrm {Im} ,z_{2}).}$

(Д2.14)

В частности, комплексное число равно нулю, когда его действительная и мнимая части равны нулю:

{displaystyle x+yi=0Leftrightarrow (x=0land y=0)}

или

{displaystyle z=0Leftrightarrow (mathrm {Re} ,z=0land mathrm {Im} ,z=0).}

(Д2.15)

Аналогичным путём можно получить алгебраическую форму для комплексно сопряжённого числа: . Подробнее, см. ниже.

Арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме[править]

Алгебраическая форма очень удобна для выполнения арифметических действий, так как в рамках её комплексные числа можно рассматривать как линейные двучлены, роль в которых играет с дополнительным равенством ${displaystyle i^{2}=-1}$ .

Сложение двух комплексных чисел ${displaystyle z_{1}=x_{1}+y_{1}i}$ и ${displaystyle z_{2}=x_{2}+y_{2}i}$ выполняется по следующему правилу:

${displaystyle z_{1}+z_{2}=(x_{1}+y_{1}i)+(x_{2}+y_{2}i)=(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})i.}$

(Д2.16)

Оно непосредственно следует из формулы (Д2.1).

Чтобы получить правило вычитания одного комплексного числа из другого, воспользуемся определением: разностью двух комплексных чисел ${displaystyle z_{1}}$ и ${displaystyle z_{2}}$ называется такое , что верно равенство:

${displaystyle z_{2}+z=z_{1}.}$

(Д2.17)

Если рассматривать с формальной точки зрения, то следует записать следующее выражение:

${displaystyle (x_{2},;y_{2})+(x,;y)=(x_{1},;y_{1}).}$

(Д2.18)

Теперь в левой части применим формулу суммы комплексных чисел:

${displaystyle (x_{2}+x,;y_{2}+y)=(x_{1},;y_{1}).}$

(Д2.19)

По определению сравнения двух комплексных пар будем иметь следующую систему:

${displaystyle {begin{cases}x_{2}+x=x_{1};\y_{2}+y=y_{1},end{cases}}}$

(Д2.20)

решением которой являются действительные числа ${displaystyle x=x_{1}-x_{2}}$ и ${displaystyle y=y_{1}-y_{2}}$ , то есть можно записать, что:

${displaystyle (x_{1},;y_{1})-(x_{2},;y_{2})=(x_{1}-x_{2},;y_{1}-y_{2}).}$

(Д2.21)

Если применять алгебраическую форму, то вычитание будет более наглядным:

${displaystyle z_{1}-z_{2}=(x_{1}+y_{1}i)-(x_{2}+y_{2}i)=(x_{1}-x_{2})+(y_{1}-y_{2})i.}$

(Д2.22)

Рассмотрим теперь произведение двух комплексных чисел ${displaystyle z_{1}}$ и ${displaystyle z_{2}}$ в алгебраической форме:

${displaystyle z_{1}cdot z_{2}=(x_{1}+y_{1}i)cdot (x_{2}+y_{2}i)=x_{1}x_{2}+x_{1}y_{2}i+x_{2}y_{1}i+y_{1}y_{2}i^{2}=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})i.}$

(Д2.23)

Деление комплексных чисел, как и деление действительных чисел, является обратной операцией по отношению к произведению. По определению, комплексное число , отличное от нуля, называется частным от деления комплексного числа ${displaystyle z_{1}}$ на комплексное число ${displaystyle z_{2}}$ , если выполняется равенство:

${displaystyle z_{2}cdot z=z_{1}.quad (zneq 0)}$

(Д2.24)

Найдём произведение в левой части:

${displaystyle (x_{2},;y_{2})cdot (x,;y)=(x_{1},;y_{1});}$

(Д2.25)

${displaystyle (xcdot x_{2}-ycdot y_{2},;xcdot y_{2}+x_{2}cdot y)=(x_{1},;y_{1}).}$

(Д2.26)

Сравнивая его с числом в правой части, будем иметь систему:

${displaystyle {begin{cases}xcdot x_{2}-ycdot y_{2}=x_{1};\xcdot y_{2}+x_{2}cdot y=y_{1}.end{cases}}}$

(Д2.27)

Решением будут служить числа:

${displaystyle {begin{cases}x={dfrac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}};\y={dfrac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}.end{cases}}}$

(Д2.28)

Следовательно, можно записать следующее правило:

${displaystyle {frac {(x_{1},;y_{1})}{(x_{2},;y_{2})}}=left({frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}},;{frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}right).}$

(Д2.29)

Выведем теперь правила деления комплексных чисел в алгебраической форме:

${displaystyle {frac {z_{1}}{z_{2}}}={frac {x_{1}+y_{1}i}{x_{2}+y_{2}i}}.}$

(Д2.30)

Домножим числитель и знаменатель дроби на комплексно сопряжённое знаменателя — ${displaystyle x_{2}-y_{2}i}$ (это возможно, так как по условию знаменатель не обращается в нуль, и соответственно, это справедливо для его комплексно сопряжённого):

${displaystyle {frac {x_{1}+y_{1}i}{x_{2}+y_{2}i}}={frac {(x_{1}+y_{1}i)(x_{2}-y_{2}i)}{(x_{2}+y_{2}i)(x_{2}-y_{2}i)}}.}$

(Д2.31)

В числителе раскроем скобки, а в знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов:

${displaystyle {frac {x_{1}+y_{1}i}{x_{2}+y_{2}i}}={frac {x_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}i+x_{2}y_{1}i-y_{1}y_{2}i^{2}}{x_{2}^{2}-(y_{2}i)^{2}}}.}$

(Д2.32)

После упрощений и почленного деления окончательно будем иметь:

${displaystyle {frac {x_{1}+y_{1}i}{x_{2}+y_{2}i}}={frac {x_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}i+x_{2}y_{1}i-y_{1}y_{2}i^{2}}{x_{2}^{2}-(y_{2}i)^{2}}}=left({frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}right)+left({frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}right)i.}$

(Д2.33)

В частности,

${displaystyle {frac {1}{x+yi}}={frac {1+0cdot i}{x+yi}}={frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+{frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}i}$

(Д2.34)

${displaystyle {frac {1}{i}}=-i.}$

(Д2.35)

Возведение в целую степень. Прежде чем рассматривать вопрос возведения в степень произвольного комплексного числа , рассмотрим какие результаты даёт возведение в степень мнимой единицы . По определению натуральной степенью $z^{n}$ называется -кратное произведение числа на самого себя:

${displaystyle z^{n}=underbrace {zcdot zcdot ldots cdot z} _{n};quad z^{0}=1.}$

(Д2.36)

Для последовательно будем иметь:

${displaystyle i^{0}=1,quad i^{1}=i,quad i^{2}=-1,quad i^{3}=-i,quad ldots }$

(Д2.37)

Продолжая умножение, можно получить следующее обобщение:

${displaystyle i^{4k}=1,quad i^{4k+1}=i,quad i^{4k+2}=-1,quad i^{4k+3}=-i,}$

(Д2.38)

где

При возведение в степень числа z=x+yi в натуральную степень воспользуемся формулой бинома Ньютона:

${displaystyle z^{n}=(x+yi)^{n}=x^{n}+{binom {1}{n}}x^{n-1}(yi)+{binom {2}{n}}x^{n-2}(yi)^{2}+ldots +(yi)^{n}.}$

(Д2.39)

Теперь, упрощая каждый моном по формулам (Д2.38) и группируя члены, содержащие и не содержащие , в итоге получим некое комплексное число . Таким образом, натуральная степень комплексного числа, у которого действительная часть отлична от нуля, также является комплексным числом. Степень чисто мнимого числа может быть и действительным числом.

Так как, по определению,

${displaystyle z^{-n}={frac {1}{z^{n}}},}$

(Д2.40)

то нужно сначала возвести в степень по формуле (Д2.39), а затем найти обратную величину по формуле (Д2.34).

Из выше сказанного следует, что при любом целом, отличном от нуля, показателе степени, для комплексного числа общего вида мы получаем другое комплексное число. Если возводить в целую степень чисто мнимое число, то в результате может получиться либо действительное, либо чисто мнимое число.

Вопрос извлечения корней из комплексных чисел мы рассмотрим на примере извлечения квадратного корня. В дальнейшем будет более подробно показано, что извлечение корня для комплексных чисел всегда осуществимо и многозначно.

Итак, по определению, квадратным корнем из комплексного числа z=x+yi называется такое комплексное число , что имеет место равенство ${displaystyle w^{2}=z}$ , то есть:

${displaystyle (u+vi)^{2}=x+yi}$

(Д2.41)

или, раскрывая скобки,

${displaystyle (u^{2}-v^{2})+2uvi=x+yi.}$

(Д2.42)

Сравнивая действительные и мнимые части комплексных чисел, приходим к системе уравнений:

${displaystyle {begin{cases}u^{2}-v^{2}=x;\2uv=y,end{cases}}}$

(Д2.43)

решая которую будем иметь:

${displaystyle u^{2}={frac {x+{sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{2}},quad v^{2}={frac {-x+{sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{2}}.}$

(Д2.44)

Выражения ${displaystyle pm x+{sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ неотрицательны при любых действительных и , следовательно, числа и всегда можно найти из (Д2.44); при этом они будут действительны. При извлечении арифметических корней в (Д2.44) необходимо учитывать знаки таким образом, чтобы выполнялось соотношение , которое задаёт два различных набора действительных чисел. Соответственно, извлечение корня из z=x+yi даёт два комплексных числа ${displaystyle w_{1}=u_{1}+v_{1}i}$ и ${displaystyle w_{2}=u_{2}+v_{2}i}$ .

Замечание. Из выражений (Д2.16) и (Д2.23) становится ясным, почему формулы (Д2.1) и (Д2.2) соответственно имеют такой вид. Возникает законный вопрос, почему нельзя в качестве определения сразу принять, что комплексным числом называется выражение вида , где ${displaystyle i^{2}=-1}$ , или , и действия над ним выполняются как над двучленами. К сожалению, этот путь ошибочен, так как в выражении имеются несколько неопределённых моментов: во-первых, как мы уже видели в начале главы, в рамках действительных чисел не возможно корректно определить мнимую единицу ; во-вторых, здесь присутствуют неопределённые ещё операции над мнимой единицей, то есть умножение её на действительное число и сложение этого результата с другим действительным числом. Если же выражение считать единым формальным выражением, где и — действительные числа, — некоторый символ, обладающий свойством ${displaystyle i^{2}=-1}$ , то и в этом случае построение модели комплексных чисел будет не полным, так как из этого определения невозможно будет вывести правила действий над комплексными числами и их свойства.

Основные законы действий над комплексными числами[править]

На комплексные числа распространяются все основные законы действия над действительными числами. Они легко выводятся из определения арифметических операций.

${displaystyle z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}.}$

(Д2.45)

${displaystyle z_{1}+(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3}.}$

(Д2.46)

${displaystyle z_{1}cdot z_{2}=z_{2}cdot z_{1}.}$

(Д2.47)

${displaystyle z_{1}cdot (z_{2}cdot z_{3})=(z_{1}cdot z_{2})cdot z_{3}.}$

(Д2.48)

${displaystyle z_{1}cdot (z_{2}+z_{3})=z_{1}cdot z_{2}+z_{1}cdot z_{3}.}$

(Д2.49)

${displaystyle z^{alpha }cdot z^{beta }=z^{alpha +beta }.}$

(Д2.50)

${displaystyle {frac {z^{alpha }}{z^{beta }}}=z^{alpha -beta }.quad (zneq 0)}$

(Д2.51)

${displaystyle (z^{alpha })^{beta }=z^{alpha cdot beta }.}$

(Д2.52)

${displaystyle (z_{1}cdot z_{2})^{alpha }=z_{1}^{alpha }cdot z_{2}^{alpha }.}$

(Д2.53)

${displaystyle left({frac {z_{1}}{z_{2}}}right)^{alpha }={frac {z_{1}^{alpha }}{z_{2}^{alpha }}}.quad (z_{2}neq 0)}$

(Д2.54)

${displaystyle z^{1}=z,quad z^{0}=1,quad z^{-1}={frac {1}{z}}.quad (zneq 0)}$

(Д2.55)

Здесь в общем случае . Формулы (Д2.50)—(Д2.54) легко доказываются из определения степени для натуральных показателей. На целые показатели они обобщаются с помощью формул (Д2.55). Свойства при рациональных показателях следуют из определения извлечения корня из комплексного числа. Возведение в действительную и комплексную степень требует введение дополнительных понятий, поэтому оставим этот факт пока без доказательства.

Замечание. Как будет показано ниже, при возведении в комплексную степень некоторые формулы (Д2.45)—(Д2.55) могут не выполняться в общем виде.

Комплексно сопряжённое число[править]

Как уже было сказано выше, выбор того, какая упорядоченная пара или будет принята за мнимую единицу, совершенно произволен. Условились, что комплексное число имеет алгебраическую форму , а комплексное число с алгебраической формой ( и в этих двух формулах одинаковы) называется комплексно сопряжённым и обозначается или ${displaystyle z^{*}}$ .

Переход к комплексно сопряжённому удобно рассматривать как унарную (одноместную) операцию, которая изменяет знак у мнимой части комплексного числа z=x+yi :

{displaystyle {bar {z}}colon (x,;y)to (x,;-y).}

(Д2.56)

Рассмотрим основные свойства комплексного сопряжения:

Свойство Д2.1. Комплексно сопряжённое от комплексно сопряжённого числа равно самому комплексному числу :

(Д2.57)

Это следует из определения операции.

Свойство Д2.2. Сопряжённое к действительному числу равно самому числу . В частности, .

Это следует из определения действительного числа в рамках модели комплексных чисел и определения комплексного сопряжения.

Свойство Д2.3. Комплексное сопряжение алгебраической суммы равно алгебраической сумме комплексно сопряжённых:

${displaystyle {overline {z_{1}pm z_{2}}}={bar {z}}_{1}pm {bar {z}}_{2}.}$

(Д2.58)

Доказательство формулы (Д2.58)

Вывод формулы прост. Если ${displaystyle z_{1}=x_{1}+y_{1}i}$ и ${displaystyle z_{2}=x_{2}+y_{2}i}$ , то их сумма равна:

${displaystyle z=z_{1}pm z_{2}=(x_{1}+y_{1}i)pm (x_{2}+y_{2}i)=(x_{1}pm x_{2})+(y_{1}pm y_{2})i.}$

(Д2.59)

Тогда комплексно сопряжённое равно

${displaystyle {bar {z}}=(x_{1}pm x_{2})-(y_{1}pm y_{2})i.}$

(Д2.60)

С другой стороны, если рассмотреть алгебраическую сумму комплексно сопряжённых ${displaystyle {bar {z}}_{1}=x_{1}-y_{1}i}$ и ${displaystyle {bar {z}}_{2}=x_{2}-y_{2}i}$ :

${displaystyle z'={bar {z}}_{1}pm {bar {z}}_{2}=(x_{1}-y_{1}i)pm (x_{2}-y_{2}i)=(x_{1}pm x_{2})+(-y_{1}pm (-y_{2}))i=(x_{1}pm x_{2})-(y_{1}pm y_{2})i.}$

(Д2.61)

Равенство доказывает истинность формулы (Д2.58).

Свойство Д2.4. Комплексное сопряжение произведения равно произведению комплексно сопряжённых:

${displaystyle {overline {z_{1}cdot z_{2}}}={bar {z}}_{1}cdot {bar {z}}_{2}.}$

(Д2.62)

Доказательство формулы (Д2.62)

Свойство Д2.5. Комплексное сопряжение частного равно частному комплексно сопряжённых:

${displaystyle {overline {z_{1}/z_{2}}}={bar {z}}_{1}/{bar {z}}_{2}.}$

(Д2.65)

Доказательство формулы (Д2.65)

Алгебраическая форма частного комплексных чисел согласно (Д2.33) имеет вид:

${displaystyle {frac {z_{1}}{z_{2}}}={frac {x_{1}+y_{1}i}{x_{2}+y_{2}i}}=left({frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}right)+left({frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}right)i,}$

(Д2.66)

следовательно, комплексно сопряжённое равно:

${displaystyle {overline {z_{1}/z_{2}}}=left({frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}right)-left({frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}right)i,}$

(Д2.67)

Частное комплексно сопряжённых:

${displaystyle {frac {{bar {z}}_{1}}{{bar {z}}_{2}}}={frac {x_{1}-y_{1}i}{x_{2}-y_{2}i}}={frac {(x_{1}-y_{1}i)(x_{2}+y_{2}i)}{(x_{2}-y_{2}i)(x_{2}+y_{2}i)}}={frac {x_{1}x_{2}+x_{1}y_{2}i-x_{2}y_{1}i-y_{1}y_{2}i^{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}=left({frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}right)-left({frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}right)i.}$

(Д2.68)

Что и требовалось доказать.

Свойство Д2.7. Вообще, комплексное сопряжение комплексного многочлена равно многочлену от комплексно сопряжённых:

{displaystyle {overline {P(z)}}=P({bar {z}}),}

(Д2.69)

где P(z) — многочлен от комплексного аргумента с комплексными коэффициентами.

Это непосредственно следует из свойств (Д2.3) и (Д2.4).

Свойство Д2.8. Сумма комплексного числа и его сопряжённого есть число действительное, разность — чисто мнимое:

{displaystyle z+{bar {z}}=(x+yi)+(x-yi)=2x;quad z-{bar {z}}=(x+yi)-(x-yi)=2yi.}

(Д2.70)

На основе этого свойства можно записать:

${displaystyle mathrm {Re} ,z={frac {z+{bar {z}}}{2}};quad mathrm {Im} ,z={frac {z-{bar {z}}}{2i}}.}$

(Д2.71)

Геометрическая интерпретация комплексного числа[править]

Рассмотрим декартову систему координат на плоскости (рисунок Д2.1), где по оси абсцисс отложена действительная часть комплексного числа, а по оси ординат — мнимая . Таким образом задаётся так называемая комплексная плоскость. Тогда любое комплексное число можно представить в виде точки на этой плоскости или же изобразить число как радиус-вектор к точке на ней. Это представляет собой диаграмму Аргана (см. «Историческая справка»).

Таким образом, нахождение сопряжённого значения геометрически является построением точки, симметричной исходной относительно оси абсцисс (рисунок Д2.2).

Модуль и аргумент комплексного числа[править]

В связи с векторной интерпретацией можно наглядно ввести понятия модуля и аргумента комплексного числа.

Модулем (абсолютной величиной, амплитудой) |z| комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (на рисунке Д2.1 обозначен буквой ).

По теореме Пифагора получаем, что

${displaystyle r=|z|={sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

(Д2.72)

или

${displaystyle |z|={sqrt {(mathrm {Re} ,z)^{2}+(mathrm {Im} ,z)^{2}}}.}$

(Д2.73)

Причём здесь используется арифметический корень. Непосредственно из (Д2.72) следует, что для вещественных |z| совпадает с абсолютной величиной этого числа.

Свойства модуля комплексного числа[править]

Свойство Д2.9. Из определения модуля следует, что , при этом , только когда .

Свойство Д2.10. Для модулей суммы и разности комплексных чисел справедливы следующие неравенства:

${displaystyle |z_{1}+z_{2}|leqslant |z_{1}|+|z_{2}|,}$

(Д2.74)

${displaystyle |z_{1}-z_{2}|leqslant |z_{1}|+|z_{2}|,}$

(Д2.75)

${displaystyle |z_{1}+z_{2}|geqslant |z_{1}|-|z_{2}|,}$

(Д2.76)

${displaystyle |z_{1}-z_{2}|geqslant |z_{1}|-|z_{2}|;}$

(Д2.77)

более того

${displaystyle |z_{1}+z_{2}|geqslant ||z_{1}|-|z_{2}||,}$

(Д2.78)

${displaystyle |z_{1}-z_{2}|geqslant ||z_{1}|-|z_{2}||.}$

(Д2.79)

Справедливы также обобщённые выражения:

${displaystyle |z_{1}+z_{2}+ldots +z_{n}|leqslant |z_{1}|+|z_{2}|+ldots +|z_{n}|,}$

(Д2.80)

${displaystyle |z_{1}+z_{2}+ldots +z_{n}|geqslant |z_{1}|-|z_{2}|-ldots -|z_{n}|.}$

(Д2.81)

В (Д2.74)—(Д2.81) равенство достигается только при ${displaystyle z_{1}=z_{2}=ldots }$ .

Доказательство свойства Д2.10 отложим до рассмотрения тригонометрической формы комплексного числа, в которой данные формулы легко доказываются.

Свойство Д2.11. Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей:

${displaystyle |z_{1}cdot z_{2}|=|z_{1}|cdot |z_{2}|.}$

(Д2.82)

Доказательство свойства Д2.11

Рассмотрим два выражения:

${displaystyle |z_{1}cdot z_{2}|=|(x_{1}+y_{1}i)cdot (x_{2}+y_{2}i)|=|(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})i|={sqrt {(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})^{2}+(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}}}}$

(Д2.83)

${displaystyle |z_{1}|cdot |z_{2}|=|x_{1}+y_{1}i|cdot |x_{2}+y_{2}i|={sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}cdot {sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}={sqrt {(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})}}.}$

(Д2.84)

В формуле (Д2.83) раскроим скобки в подкоренном выражении:

${displaystyle |z_{1}cdot z_{2}|={sqrt {x_{1}^{2}x_{2}^{2}-{underline {2x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}}}+y_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}+{underline {2x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}}}+x_{2}^{2}y_{1}^{2}}}=}$

${displaystyle ={sqrt {{underline {x_{1}^{2}x_{2}^{2}}}+{underline {underline {y_{1}^{2}y_{2}^{2}}}}+{underline {x_{1}^{2}y_{2}^{2}}}+{underline {underline {x_{2}^{2}y_{1}^{2}}}}}}={sqrt {x_{1}^{2}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})+y_{1}^{2}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})}}={sqrt {(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})}}.}$

(Д2.85)

Сравнивая (Д2.84) и (Д2.85), убеждаемся в выполнении свойства Д2.11. Что и требовалось доказать.

В частности, верно равенство , где , .

По индукции можно доказать более общее равенство:

${displaystyle |z_{1}cdot z_{2}cdot ldots cdot z_{n}|=|z_{1}|cdot |z_{2}|cdot ldots cdot |z_{n}|.}$

(Д2.86)

Откуда можно в частности получить:

${displaystyle |z^{n}|=|z|^{n},quad nin mathbb {N} .}$

(Д2.87)

Свойство Д2.12. Модуль отношения комплексных чисел равен отношению модулей:

${displaystyle left|{frac {z_{1}}{z_{2}}}right|={frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}qquad (z_{2}neq 0).}$

(Д2.88)

Доказательство свойства Д2.12

Аналогично предыдущему доказательству рассмотрим два выражения:

${displaystyle left|{frac {z_{1}}{z_{2}}}right|=left|{frac {x_{1}+y_{1}i}{x_{2}+y_{2}i}}right|=left|{frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}+{frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}iright|={sqrt {left({frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}right)^{2}+left({frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}right)^{2}}}}$

(Д2.89)

${displaystyle {frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}={frac {|x_{1}+y_{1}i|}{|x_{2}+y_{2}i|}}={frac {sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}{sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}}={sqrt {frac {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}}.}$

(Д2.90)

В формуле (Д2.89) в подкоренном выражении приведём к общему знаменателю, а потом раскроим скобки в числителе:

${displaystyle left|{frac {z_{1}}{z_{2}}}right|={sqrt {frac {x_{1}^{2}x_{2}^{2}+{underline {2x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}}}+y_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{1}^{2}-{underline {2x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}}}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}}{(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})^{2}}}}=}$

${displaystyle ={sqrt {frac {{underline {x_{1}^{2}x_{2}^{2}}}+{underline {underline {y_{1}^{2}y_{2}^{2}}}}+{underline {x_{1}^{2}y_{2}^{2}}}+{underline {underline {x_{2}^{2}y_{1}^{2}}}}}{(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})^{2}}}}={sqrt {frac {x_{1}^{2}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})+y_{1}^{2}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})}{(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})^{2}}}}={sqrt {frac {(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})}{(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})^{2}}}}={sqrt {frac {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}}.}$

(Д2.91)

Сравнивая (Д2.90) и (Д2.91), убеждаемся в выполнении свойства Д2.12. Что и требовалось доказать.

Свойство Д2.13. Для пары комплексных чисел ${displaystyle z_{1}}$ и ${displaystyle z_{2}}$ модуль их разности ${displaystyle |z_{1}-z_{2}|}$ равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.
Это станет ясно, если рассмотреть выражение ${displaystyle |z_{1}-z_{2}|}$ в алгебраической форме:

${displaystyle |z_{1}-z_{2}|=|(x_{1}-x_{2})+(y_{1}-y_{2})i|={sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}},}$

(Д2.92)

которое совпадает с формулой для расстояния между двумя точками (метрикой) на евклидовой плоскости.

Свойство Д2.14. Модули комплексного числа и его сопряжённого равны:

(Д2.93)

Это легко доказать:

${displaystyle |{bar {z}}|=|x-yi|={sqrt {x^{2}+(-y)^{2}}}={sqrt {x^{2}+y^{2}}}=|z|.}$

(Д2.94)

Под аргументом комплексного числа понимается угол (в радианах), который составляет радиус-вектор, соответствующий числу, с осью абсцисс (осью действительных значений); угол отсчитывается против часовой стрелки. На рисунке Д2.1 обозначается как .

Рисунок Д2.3. Неоднозначность определения аргумента комплексного числа.

Однако, из определения следует, что угол задаётся неоднозначно — с точностью до , где (рисунок Д2.3). В связи с этим вводится понятие главного значения аргумента — значение угла , которое принадлежит полуинтервалу :

{displaystyle mathrm {Arg} ,z={mathrm {arg} ,z+2pi kcolon kin mathbb {Z} }.}

(Д2.95)

Обычно, когда говорят об аргументе комплексной величины, имеют в виду именно главное значение.

Из определения тригонометрических функций можно получить, что аргумент комплексного числа равен, такому значению , что одновременно

${displaystyle sin varphi ={frac {mathrm {Im} ,z}{|z|}}={frac {y}{sqrt {x^{2}+y^{2}}}},quad cos varphi ={frac {mathrm {Re} ,z}{|z|}}={frac {x}{sqrt {x^{2}+y^{2}}}}.}$

(Д2.96)

Таким образом, для вычисления (главного значения) аргумента используется следующее выражение:

${displaystyle arg z=arg ,(x+yi)={begin{cases}mathrm {arctg} ,{dfrac {y}{x}},&x>0;\{dfrac {pi }{2}}-mathrm {arctg} ,{dfrac {x}{y}},&y>0;\-{dfrac {pi }{2}}-mathrm {arctg} ,{dfrac {x}{y}},&y<0;\pi +mathrm {arctg} ,{dfrac {y}{x}},&x<0,;ygeqslant 0;\-pi +mathrm {arctg} ,{dfrac {y}{x}},&x<0,;y<0\{text{undefined}},&x=0,;y=0.end{cases}}}$

(Д2.97)

Свойства аргумента комплексного числа[править]

Свойство Д2.15. Аргумент (в общем смысле) произведения комплексных чисел равен сумме аргументов этих чисел:

${displaystyle mathrm {Arg} ,(z_{1}cdot z_{2})=mathrm {Arg} ,z_{1}+mathrm {Arg} ,z_{2}.}$

(Д2.98)

Это свойство (и аналогичные) справедливо и для главных ююзначений, если привести к полуинтервалу .

Методом математической индукции можно также доказать, что

${displaystyle mathrm {Arg} ,(z_{1}cdot z_{2}cdot ldots cdot z_{n})=mathrm {Arg} ,z_{1}+mathrm {Arg} ,z_{2}+ldots +mathrm {Arg} ,z_{n}.}$

(Д2.99)

Эта формула приводит к такому выражению для натуральной степени комплексного числа:

${displaystyle mathrm {Arg} ,(z^{n})=n,mathrm {Arg} ,z,quad nin mathbb {N} .}$

(Д2.100)

Свойство Д2.16. Аргумент отношения комплексных чисел равен разности аргументов:

${displaystyle mathrm {Arg} left({frac {z_{1}}{z_{2}}}right)=mathrm {Arg} ,z_{1}-mathrm {Arg} ,z_{2}.}$

(Д2.101)

Здесь предполагает, что ${displaystyle z_{1}neq 0}$ и ${displaystyle z_{2}neq 0}$ , иначе значение аргумента не определено.

В частности, справедливо

${displaystyle arg {frac {1}{z}}=-arg z,quad (zneq 0).}$

(Д2.102)

Доказательства этих свойств удобнее вести с использованием показательной формы комплексного числа.

Свойство Д2.17. Аргумент комплексно сопряжённого числа равен противоположному значению аргумента комплексного числа:

(Д2.103)

Это свойство наглядно доказывается из рисунка Д2.2: так как операция комплексного сопряжения соответствует симметричному отражению, относительно оси абсцисс, то угол, который составляет радиус-вектор комплексно сопряжённого будет иметь противоположный знак (если свести его к стандартному полуинтервалу ).

Геометрическая интерпретация арифметических действий с комплексными числами[править]

Изображение комплексных чисел как радиус-векторов на комплексной плоскости позволяет наглядно выполнять основные арифметические операции над комплексными числами. Так сложение и вычитание двух комплексных чисел в геометрическом виде (рисунок Д2.4) сводится к сложению по правилу параллелограмма радиус-векторов этих чисел.

Рисунок Д2.4. Геометрическое представление сложения комплексных чисел.

Рисунок Д2.5. Геометрическое представление умножения комплексных чисел.

Рисунок Д2.6. Геометрическое представление деления комплексных чисел.

Результатом умножения двух комплексных чисел, согласно (Д2.82) и (Д2.98), является такой радиус-вектор (рисунок Д2.5), у которого модуль равен произведению модулей исходных комплексных чисел, а аргумент — сумме аргументов этих чисел. При делении двух комплексных чисел, согласно (Д2.88) и (Д2.101), нужно построить такой радиус-вектор (рисунок Д2.6), что модуль его будет равен отношению модулей, а аргумент — разности аргументов этих чисел. При этом предполагается, что используется главное значение аргумента результата.

Тригонометрическая форма комплексного числа[править]

Введённые выше модуль и аргумент позволяют записать комплексное число в тригонометрической форме. Для этого выразим из (Д2.96) действительную и мнимую части комплексного числа через тригонометрические функции:

{displaystyle mathrm {Re} ,z=rcos varphi ,quad mathrm {Im} ,z=rsin varphi ,}

(Д2.104)

где .

Тогда получим такое выражение:

{displaystyle z=x+yi=r(cos varphi +isin varphi ),}

(Д2.105)

которое называется тригонометрической формой комплексного числа.

Такое представление имеет любое комплексное число, кроме z=0 (из-за неопределенности ).

В таком представление можно просто доказать выражения, связанные с модулем комплексных чисел (см. свойство Д2.10).

Доказательство свойства Д2.10

Докажем формулу (Д2.74). Слева в этом неравенстве стоит такое выражение:

${displaystyle |z_{1}+z_{2}|=|r_{1}(cos varphi _{1}+isin varphi _{1})+r_{2}(cos varphi _{2}+isin varphi _{2})|=|r_{1}cos varphi _{1}+r_{2}cos varphi _{2}+i(r_{1}sin varphi _{1}+r_{2}sin varphi _{2})|=}$

${displaystyle ={sqrt {(r_{1}cos varphi _{1}+r_{2}cos varphi _{2})^{2}+(r_{1}sin varphi _{1}+r_{2}sin varphi _{2})^{2}}}={sqrt {{underline {r_{1}^{2}cos ^{2}varphi _{1}}}+{underline {underline {underline {2r_{1}r_{2}cos varphi _{1}cos varphi _{2}}}}}+{underline {underline {r_{2}^{2}cos ^{2}varphi _{2}}}}+{underline {r_{1}^{2}sin ^{2}varphi _{1}}}+{underline {underline {underline {2r_{1}r_{2}sin varphi _{1}sin varphi _{2}}}}}+{underline {underline {r_{2}^{2}sin ^{2}varphi _{2}}}}}}=}$

${displaystyle ={sqrt {r_{1}^{2}(cos ^{2}varphi _{1}+sin ^{2}varphi _{1})+2r_{1}r_{2}(cos varphi _{1}cos varphi _{2}+sin varphi _{1}sin varphi _{2})+r_{2}^{2}(cos ^{2}varphi _{2}+sin ^{2}varphi _{2})}}={sqrt {r_{1}^{2}+2r_{1}r_{2}cos(varphi _{1}-varphi _{2})+r_{2}^{2}}}.}$

(Д2.106)

Так как ${displaystyle cos(varphi _{1}-varphi _{2})leqslant 1}$ , то

${displaystyle |z_{1}+z_{2}|={sqrt {r_{1}^{2}+2r_{1}r_{2}cos(varphi _{1}-varphi _{2})+r_{2}^{2}}}leqslant {sqrt {r_{1}^{2}+2r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}}}={sqrt {(r_{1}+r_{2})^{2}}}=r_{1}+r_{2}.}$

(Д2.107)

Следует напомнить, что ${displaystyle r_{1}geqslant 0,;r_{2}geqslant 0}$ .

Теперь рассмотрим выражение, стоящее с правой стороны неравенства (Д2.74):

${displaystyle |z_{1}|+|z_{2}|=|r_{1}(cos varphi _{1}+isin varphi _{1})|+|r_{2}(cos varphi _{2}+isin varphi _{2})|={sqrt {r_{1}^{2}cos ^{2}varphi _{1}+r_{1}^{2}sin ^{2}varphi _{1}}},+,{sqrt {r_{2}^{2}cos ^{2}varphi _{2}+r_{2}^{2}sin ^{2}varphi _{2}}}=}$

${displaystyle ={sqrt {r_{1}^{2}(cos ^{2}varphi _{1}+sin ^{2}varphi _{1})}}+{sqrt {r_{2}^{2}(cos ^{2}varphi _{2}+sin ^{2}varphi _{2})}}={sqrt {r_{1}^{2}}}+{sqrt {r_{2}^{2}}}=r_{1}+r_{2}.}$

(Д2.108)

Сравнивая (Д2.107) и (Д2.108), убеждаемся в справедливости формулы (Д2.74). Что и требовалось доказать.
Из только что приведённого доказательства по индукции выводится и верность формулы (Д2.80).

Для доказательства неравенства (Д2.75) заменим в выражении (Д2.74) ${displaystyle z_{2}}$ на ${displaystyle -z_{2}}$ . Так как ${displaystyle |z_{2}|=|-z_{2}|}$ , а при доказательстве (Д2.74) используются квадраты величин, получаем, что конечное выражение не изменится. Этим убеждаемся в справедливости (Д2.75).

Чтобы доказать (Д2.76), рассмотрим такое равенство:

${displaystyle z_{1}=(z_{1}+z_{2})-z_{2}}$

(Д2.109)

и применим к нему неравенство (Д2.75). Получим

${displaystyle |z_{1}|leqslant |z_{1}+z_{2}|-|z_{2}|,}$

(Д2.110)

откуда получаем требуемое неравенство ${displaystyle |z_{1}+z_{2}|geqslant |z_{1}|-|z_{2}|}$ .

По аналогии с (Д2.75) доказывается и (Д2.77): заменив в (Д2.76) ${displaystyle z_{2}}$ на ${displaystyle -z_{2}}$ , получим требуемое неравенство.

Неравенство (Д2.78) следует из того факта, что в силу коммутативности сложения неравенство (Д2.76) можно записать двумя способами:

${displaystyle |z_{1}+z_{2}|geqslant |z_{1}|-|z_{2}|}$

(Д2.111)

${displaystyle |z_{2}+z_{1}|geqslant |z_{2}|-|z_{1}|.}$

(Д2.112)

Выбрав из двух значений (отличающихся знаком), стоящих в правой части, большее (что эквивалентно, в данном случае, нахождению абсолютного значения), придём к неравенству (Д2.78).

Доказательство неравенства (Д2.79) также основано на замене .

Доказательство обобщённого неравенства (Д2.81) основано на использовании обобщённого неравенств (Д2.80) и (Д2.75):

${displaystyle |z_{1}+z_{2}+ldots +z_{n}|geqslant |z_{1}|-|z_{2}+ldots +z_{n}|geqslant |z_{1}|-|z_{2}|-ldots -|z_{n}|.}$

(Д2.113)

Итак, мы доказали справедливость всех неравенств (Д2.74)—(Д2.81).

Свойство Д2.18. При вычислении целой степени комплексного числа справедлива формула Муавра:

${displaystyle z^{k}=r^{k}(cos kvarphi +isin kvarphi ),quad kin mathbb {Z} .}$

(Д2.114)

Доказательство свойства Д2.18

Формулу Муавра также можно применять для нахождения корней из комплексных чисел.

Свойство Д2.19. Операция извлечения корня -ой степени из комплексного числа даёт (возможно совпадающих) комплексных значений, которые в тригонометрической записи будут иметь вид:

${displaystyle {sqrt[{n}]{z}}=z^{1/n}=r^{1/n}left(cos {frac {varphi +2pi k}{n}}+isin {frac {varphi +2pi k}{n}}right),}$

(Д2.116)

где

Доказательство свойства Д2.19

По определению корнем -ой степени из комплексного числа (обозначаемый ) называется такое комплексное число , что:

${displaystyle zeta ^{n}=z.}$

(Д2.117)

На основании формулы Муавра равенство (Д2.117) можно записать как

${displaystyle rho ^{n}(cos ntheta +isin ntheta )=r(cos varphi +isin varphi ),}$

(Д2.118)

где rho и — модули комплексных чисел и соответственно, а и — главные значения их аргументов.
Сравнивая модули и аргументы (в общем смысле), получим следующие тождества:

${displaystyle rho ^{n}=r;}$

(Д2.119)

{displaystyle ntheta =varphi +2pi k.quad (kin mathbb {Z} )}

(Д2.120)

Так как модули являются положительными действительными числами, то из первого равенства следует, что

${displaystyle rho ={sqrt[{n}]{r}}=r^{1/n},}$

(Д2.121)

а из второго получим:

${displaystyle theta ={frac {varphi +2pi k}{n}}.quad (kin mathbb {Z} )}$

(Д2.122)

С учётом того, что нас интересует только главное значение , то можно ограничить полной системой вычетов по модулю , например, таким множеством значений

Таким образом, применение формулы Муавра для извлечения корня степени из комплексного числа даёт набор из (необязательно различных) комплексных чисел ${displaystyle {zeta _{n}}}$ .

Пример Д2.1. Рассмотрим извлечение кубического корня из единицы на множестве комплексных чисел (подробнее см. статью «Корни из единицы»):

Рисунок Д2.7. Геометрическое представление кубического корня из единицы.

Представим 1 в тригонометрической форме:

(Д2.123)

По формуле извлечения корня (Д2.116) получим:

${displaystyle {sqrt[{3}]{1}}={sqrt[{3}]{1}}cdot (cos {frac {0+2pi k}{3}}+isin {frac {0+2pi k}{3}})quad (k=0,;1,;2)}$

(Д2.123)

или

${displaystyle {sqrt[{3}]{1}}=cos {frac {2pi k}{3}}+isin {frac {2pi k}{3}}.quad (k=0,;1,;2)}$

(Д2.124)

Перейдя к алгебраической форме, имеем:

${displaystyle {sqrt[{3}]{1}}=left{1;;{frac {-1+i{sqrt {3}}}{2}};;{frac {-1-i{sqrt {3}}}{2}}right}.}$

(Д2.125)

Графически данный результат можно представить в виде равностороннего треугольника, вписанного в единичную окружность (рисунок Д2.7).

Таким образом, формула (Д2.116) позволяет найти все комплексные решения уравнения

${displaystyle x^{n}-1=0.}$

(Д2.126)

Показательная форма комплексного числа[править]

Применение формулы Эйлера для определения комплексной экспоненты

${displaystyle e^{ivarphi }=cos varphi +isin varphi ,}$

(Д2.127)

к тригонометрической форме комплексного числа

{displaystyle z=r(cos varphi +isin varphi )}

(Д2.128)

позволяет получить показательную форму комплексного числа:

${displaystyle z=r(cos varphi +isin varphi )=re^{ivarphi }.}$

(Д2.129)

Такая запись является более компактной по сравнению с тригонометрической, но является ей эквивалентной (при правильном использовании аргумента).

В показательной форме, например, удобно провести доказательства свойств Д2.15 и Д2.16.

Доказательство свойств Д2.15 и Д2.16

Чтобы доказать формулу (Д2.98) представим ${displaystyle z_{1}}$ и ${displaystyle z_{2}}$ в показательной форме:

${displaystyle z_{1}=r_{1}e^{ivarphi _{1}},quad z_{2}=r_{2}e^{ivarphi _{2}}.}$

(Д2.130)

Значит

${displaystyle z_{1}cdot z_{2}=r_{1}e^{ivarphi _{1}}cdot r_{2}e^{ivarphi _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(varphi _{1}+varphi _{2})},}$

(Д2.131)

тогда

${displaystyle mathrm {Arg} ,(z_{1}cdot z_{2})=mathrm {Arg} left(r_{1}r_{2}e^{i(varphi _{1}+varphi _{2})}right)=varphi _{1}+varphi _{2}=mathrm {Arg} ,z_{1}+mathrm {Arg} ,z_{2}.}$

(Д2.132)

Аналогично, можно показать справедливость выражения (Д2.101):

${displaystyle {frac {z_{1}}{z_{2}}}={frac {r_{1}e^{ivarphi _{1}}}{r_{2}e^{ivarphi _{2}}}}={frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(varphi _{1}-varphi _{2})},}$

(Д2.133)

а это означает, что

${displaystyle mathrm {Arg} left({frac {z_{1}}{z_{2}}}right)=varphi _{1}-varphi _{2}=mathrm {Arg} ,z_{1}-mathrm {Arg} ,z_{2}.}$

(Д2.134)

Что и требовалось доказать.

Показательная форма комплексного числа удобно позволяет определить показательную и логарифмическую функции комплексного аргумента.

Показательная и логарифмическая функция комплексного аргумента[править]

Показательную форму комплексного числа ${displaystyle z=re^{ivarphi }}$ можно переписать и так:

${displaystyle z=re^{ivarphi }=e^{ln r}e^{ivarphi }=e^{ln r+ivarphi },}$

(Д2.135)

поэтому формально логарифм комплексного числа можно определить как

${displaystyle ln z=ln(e^{ln r+ivarphi })=ln r+ivarphi .}$

(Д2.136)

Не стоит, однако, забывать, что не ограничивается главным значением аргумента, поэтому определённый выше логарифм является главным значением логарифмической функции комплексного аргумента:

{displaystyle mathrm {Ln} ,z=ln r+i(varphi +2pi k),quad (kin mathbb {Z} )}

(Д2.137)

которая является многозначной.

Переход от логарифма по основанию к логарифму по основанию ${displaystyle z_{2}}$ осуществляется по формуле

${displaystyle mathrm {Log} _{z_{2}},z_{1}={frac {mathrm {Ln} ,z_{1}}{mathrm {Ln} ,z_{2}}}.}$

(Д2.138)

Формулу (Д2.138), а также другие логарифмические тождества для комплексных чисел нужно применять только с учётом их многозначности, в противном случае, это может привести к ошибочному результату.

Экспоненту комплексного числа в алгебраической форме вычисляется по формуле:

${displaystyle e^{z}=e^{x+yi}=e^{x}(cos y+isin y)=e^{x}cos y+ie^{x}sin y.}$

(Д2.139)

Для вычисления показательной функции при любом основании служит следующая формула:

${displaystyle z_{1}^{z_{2}}=e^{z_{2},mathrm {Ln} ,z_{1}},}$

(Д2.140)

которую также следует применять, не забывая о многозначности.

Общие замечания[править]

Как уже говорилось выше, при распространении алгебраических тождеств, справедливых для действительных чисел и действительных функций от них, следует проявлять большую осторожность. Так, например, из равенства логарифмов неких выражений ещё не следует равенство самих этих выражений. Тоже самое относится и к вычислению корней из комплексных чисел. Это можно проиллюстрировать на примере следующих математических софизмов:

Пример Д2.2: Рассмотрим такое равенство:

${displaystyle ipi =ln(-1)=ln((-i)^{2})=2ln(-i)=2(-ipi /2)=-ipi ,}$

(Д2.141)

которое является явно неверным. Выражение (Д2.141) ошибочно, потому что в нём применяется формула логарифма степени ${displaystyle log _{a}(b^{p})=plog _{a}b}$ без учёта, того что она справедлива при рассмотрении всего бесконечного набора значений комплексного логарифма, а не только его главного значения.

Пример Д2.3: Другим известным софизмом является такой:

${displaystyle -1=i^{2}=({sqrt {-1}})^{2}={sqrt {-1}}cdot {sqrt {-1}}={sqrt {(-1)cdot (-1)}}={sqrt {1}}=1.}$

(Д2.142)

При доказательстве этого «тождества» не учтено, что не только ${displaystyle i^{2}=-1}$ , но и ${displaystyle (-i)^{2}=-1}$ , поэтому корень из минус единицы имеет два значения и (см. выше). Также следует заметить, что применение формулы требует выбора правильного главного значения аргумента.

Примечания[править]

↑ См. статью «Пара».

Источник