Как найти куб одночлена

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

На главную страницу
На главную страницу

на главную

Возведение в степень одночлена

Поддержать сайтспасибо

Запомните!
!

При возведении в степень одночлена в степень возводится числовой коэффициент и
каждый буквенный множитель.

Рассмотрим пример возведения в куб одночлена: (2a2x)3

Вначале возведем в степень отдельно числовой коэффициент и каждый буквенный множитель.
(2a2x)3 = 23(a2)3 x3

При возведении в степень буквенных множителей используем правило
возведения степень в степень.

Напоминаем, что при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.


23(a2)3 x3 =
23 a2 · 3 x3 = 8a6x3

Запишем итоговое решение.

(2a2x)3 = 23(a2)3 x3 =

23a2 · 3x3 = 8a6x3

Примеры возведения в степень одночленов

  1. (3а)3 = 33a3 = 27a3
  2. (−2b)2 = (−2)2b2 = 4b2

  3. ( x2m4)3 =

    ()3 (x2)3 (m4)3 =

    x2 · 3 m4 · 3 =

    x6m12
    (в данном примере используем правило
    возведения в степень дроби)

  4. (−ab2)2 = (−1)2a2 b2 · 2
    = 1a2 b4 = a2 b4
  5. (−3px)3 =
    (−3)3 p3 x3 =
    −27p3 x3


Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:


Алгоритм умножения одночленов

  1. Определить коэффициент результирующего одночлена: перемножить все коэффициенты умножаемых одночленов.
  2. Используя свойства степеней и перемножая, найти общую степень для каждой из переменных.

В результате умножения одночленов получается одночлен.

Например: $ (frac{2}{3} a^2 b) cdot (3ab^5 )$

Шаг 1. Коэффициент многочлена $ frac{2}{3} cdot 3 = 2 $

Шаг 2. Степени переменных: $ a^{2+1} = a^3, b^{1+5} = b^6 $

Получаем: $(frac{2}{3} a^2 b) cdot (3ab^5 ) = frac{2}{3} cdot 3cdot a^{2+1} cdot b^{1+5} = 2a^3 b^6$

Алгоритм возведения одночлена в степень

Возвести в степень каждый множитель одночлена и перемножить полученные результаты.

В результате возведения одночлена в степень получается одночлен.

Например: $ (frac{2}{3} a^2 b^5)^3 $

Степень каждого сомножителя: $ left(-frac{2}{5}right)^3 = frac{2^3}{5^3} = frac{8}{125}, (a^2 )^3 = a^6,(b^5 )^3 = b^15 $

Получаем: $ (frac{2}{3} a^2 b^5)^3 = left(-frac{2}{5}right)^3 cdot (a^2 )^3 cdot (b^5 )^3 = frac{8}{125} a^6 b^{15} $

Примеры

Пример 1. Выполните умножение одночленов:

а) $ (-3a^2 xy^5 )cdot( frac{1}{9} ax^4 y^2 ) = -3 cdot frac{1}{9} cdot a^{2+1} cdot x^{1+4} cdot y^{5+2} = -frac{1}{3} a^3 x^5 y^7 $

б) $ (7az)cdot(- frac{1}{4} a^2 xy) cdot (16xz^4 ) = -7cdot frac{1}{4} cdot 16 cdot a^{1+2}cdot x^{1+1}cdot z^{1+4} = -28a^3 x^2 z^5 $

Пример 2. Найдите куб одночленов:

а) $ (3a^5 by^2 )^3 = 3^3cdot(a^5 )^3cdot b^3cdot(y^2 )^3 = 27a^{15} b^3 y^6 $

б) $ left(-frac{1}{2}xy^2 z^7right)^3 = left(-frac{1}{2}right)^3cdot x^3cdot(y^2 )^3cdot(z^7 )^3 = -frac{1}{8} x^3 y^6 z^{21} $

Пример 3. Упростите выражение:

а) $ 3x^5 cdot left(frac{1}{24}x^2 y^3right)^2 cdot (-64y)=- frac{3cdot64}{24} cdot x^{5+4} cdot y^{6+1} = -frac{3cdot8^2}{3cdot8} x^9 y^7 = -8x^9 y^7 $

б) $ (-2ab)^3cdot underbrace{0,125}_{=1/8text{}} a^2 c = -2^3cdot frac{1}{8} cdot a^{3+2} b^3 c = -a^5 b^3 c $

в) $ left(1frac{2}{3}bz^7right)^5 cdot left(-frac{3}{5}azright)^4 = left(frac{5}{3}right)^5 cdot left(-frac{3}{5}right)^4 cdot a^4 b^5 z^{5cdot7+4} = frac{5}{3} a^4 b^5 z^{39} $

г) $ (-0,5m^2 n^5 )^2 cdot 12mn^3 = left(-frac{1}{2}right)^2 cdot 12 cdot m^{4+1} cdot n^{10+3} = 3m^5 n^{13} $

Пример 4*. При каком значении n верно равенство:

а) $ left(frac{1}{6}xyright)^n cdot 72x = 2x^3 y^2 $

Запишем уравнения для коэффициентов и степеней переменных слева и справа:

$$ {left{ begin{array}{c} left(frac{1}{6}right)^n cdot 72 = 2 \ x^{n+1} = x^3 \ y^n = y^2 end{array} right.} $$

Получаем n = 2. Проверяем:

$$ left(frac{1}{6}xyright)^2 cdot 72x = left(frac{1}{6}right)^2 cdot 72 cdot x^{2+1} cdot y^2 = 2x^3 y^2 $$

Ответ: n=2

б) $ (-1 frac{1}{3} a^2 b)^n cdot 0,75b^3 = 1 frac{1}{3} a^4 b^5 $

Запишем уравнения для коэффициентов и степеней переменных слева и справа:

$$ {left{ begin{array}{c} left(-1frac{1}{3}right)^n cdot 0,75 = 1frac{1}{3} \ a^{2n} = a^4 \ b^{n+3} = b^5 end{array} right.} $$

Получаем n = 2. Проверяем:

$$ left(-1frac{1}{3}a^2bright)^2 cdot 0,75b^3 = left(-frac{4}{3}right)^2 cdot left(frac{3}{4}right) cdot a^4 cdot b^{2+3} = frac{4}{3}a^4b^5 = 1frac{1}{3}a^4b^5 $$

Ответ: n = 2

Содержание:

Одночлены

Степень с натуральным показателем

Напомним, что произведение двух или трех одинаковых множителей, каждый из которых равен Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Квадрат числа 5 называют еще второй степенью этого числа, а куб — третьей степенью.

Соответственно произведение Одночлены - определение и вычисление с примерами решения обозначают Одночлены - определение и вычисление с примерами решения и называют четвертой степенью числа Одночлены - определение и вычисление с примерами решения. В выражении Одночлены - определение и вычисление с примерами решения число Одночлены - определение и вычисление с примерами решения называют основанием степени, число Одночлены - определение и вычисление с примерами решенияпоказателем степени, а все выражение Одночлены - определение и вычисление с примерами решения называют степенью.

Определение:

Степенью числа Одночлены - определение и вычисление с примерами решения с натуральным показателем Одночлены - определение и вычисление с примерами решения, большим 1, называют произведение Одночлены - определение и вычисление с примерами решения множителей, каждый из которых равен Одночлены - определение и вычисление с примерами решения. Степенью числа Одночлены - определение и вычисление с примерами решения с показателем 1 называют само число Одночлены - определение и вычисление с примерами решения.

Степень с основанием Одночлены - определение и вычисление с примерами решения и показателем Одночлены - определение и вычисление с примерами решения записывают так: Одночлены - определение и вычисление с примерами решения, читают: «Одночлены - определение и вычисление с примерами решения в степени Одночлены - определение и вычисление с примерами решения», или «Одночлены - определение и вычисление с примерами решения-ая степень числа Одночлены - определение и вычисление с примерами решения».

Итак, по определению

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Выясним знак степени с натуральным показателем.

  1. Одночлены - определение и вычисление с примерами решения тогда Одночлены - определение и вычисление с примерами решения — любая натуральная степень числа 0 равна 0.
  2. Одночлены - определение и вычисление с примерами решения, тогда Одночлены - определение и вычисление с примерами решения — любая натуральная степень положительного числа есть положительное число.
  3. Одночлены - определение и вычисление с примерами решения тогда Одночлены - определение и вычисление с примерами решения . Степень отрицательного числа с четным показателем является положительным числом, поскольку произведение четного количества отрицательных чисел положительно. Степень отрицательного числа с нечетным показателем является отрицательным числом, поскольку произведение нечетного количества отрицательных чисел отрицательно.

Возводить числа в степень с натуральным показателем можно с помощью микрокалькулятора. Вычислить, например, значение Одночлены - определение и вычисление с примерами решения можно по схеме: Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

или по более удобной схеме:

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Получим значение степени: 1838,265625.

Возведение в степень — действие третьей ступени. Напомним, что если выражение без скобок содержит действия разных ступеней, то сначала выполняют действия высшей ступени, а потом — низшей. Так, чтобы найти значение выражения Одночлены - определение и вычисление с примерами решения, действия нужно выполнять в такой последовательности: 1) возведение в степень; 2) умножение; 3) вычитание.

Примеры выполнения заданий:

Пример №110

Вычислить Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Выполняя вычисления, можно:

а) записывать каждое действие в отдельности:

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

б) записывать вычисления в строчку:

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 496.

Свойства степени с натуральным показателем

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Рассмотрим произведения двух степеней с основанием Одночлены - определение и вычисление с примерами решения. Учитывая, что Одночлены - определение и вычисление с примерами решения, получим:

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, Одночлены - определение и вычисление с примерами решения В этих примерах произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, который равен сумме показателей степеней. Таким свойством обладает произведение любых степеней с одинаковыми основаниями.

Свойство 1. Для любого числа Одночлены - определение и вычисление с примерами решения и произвольных натуральных чисел Одночлены - определение и вычисление с примерами решения и Одночлены - определение и вычисление с примерами решения справедливо равенство Одночлены - определение и вычисление с примерами решения Доказательство. Учитывая определение степени, получаем:

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Из свойства 1, которое еще называют основным свойством степени, следует правило умножения степеней:

Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить.

Например:

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Правило умножения степеней распространяется на произведение трех и более степеней. Например:

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Рассмотрим равенство Одночлены - определение и вычисление с примерами решения, где Одночлены - определение и вычисление с примерами решения Из этого равенства по определению частного имеем: Одночлены - определение и вычисление с примерами решения Равенство Одночлены - определение и вычисление с примерами решения можно переписать так:

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

В этом примере частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, который равен разности показателя степени делимого и показателя степени делителя. Сформулируем и докажем соответствующее свойство в общем случае.

Свойство 2. Для любого числа Одночлены - определение и вычисление с примерами решения и произвольных натуральных чисел Одночлены - определение и вычисление с примерами решения и Одночлены - определение и вычисление с примерами решения, где Одночлены - определение и вычисление с примерами решения, справедливо равенство:

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. Поскольку Одночлены - определение и вычисление с примерами решения то есть Одночлены - определение и вычисление с примерами решения, то по определению частного имеем: Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Из доказанного свойства следует правило деления степеней:

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

Например: Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Возведение степени в степень

! Возведем степень Одночлены - определение и вычисление с примерами решения в куб:

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Итак, Одночлены - определение и вычисление с примерами решения Из примера видно: чтобы возвести квадрат числа в куб, нужно оставить то же основание и взять показатель, равный произведению показателей. Сформулируем и докажем соответствующее свойство в общем случае.

Свойство 3. Для любого числа Одночлены - определение и вычисление с примерами решения и произвольных натуральных чисел Одночлены - определение и вычисление с примерами решения и Одночлены - определение и вычисление с примерами решения справедливо равенство

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство.

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Из свойства 3 следует правило возведения степени в степень:

Чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней перемножить.

Например: Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Возведение произведения в степень

Возведем произведение Одночлены - определение и вычисление с примерами решения в куб:

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Итак, Одночлены - определение и вычисление с примерами решения . Из примера видно: чтобы возвести в куб произведение, нужно возвести в куб каждый множитель и результаты перемножить. Сформулируем и докажем соответствующее свойство в общем случае.

Свойство 4. Для любых чисел Одночлены - определение и вычисление с примерами решения и Одночлены - определение и вычисление с примерами решения и произвольного натурального числа Одночлены - определение и вычисление с примерами решения справедливо равенство

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство.

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Имеем такое правило:

Чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

Это правило распространяется на произведение трех и более множителей. Например:

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Примечание. Доказанные тождества Одночлены - определение и вычисление с примерами решения Одночлены - определение и вычисление с примерами решения Одночлены - определение и вычисление с примерами решения выражающие свойства степени, позволяют не только заменять выражения, которые стоят в их левых частях, выражениями, которые стоят в правых частях, но и наоборот:

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Примеры выполнения заданий:

Пример №111

Упростить выражение Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Пример №112

Вычислить:

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Пример №113

Представить Одночлены - определение и вычисление с примерами решения в виде степени с основанием Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Пример №114

Представить в виде степени произведение Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Одночлен и его стандартный вид

Рассмотрим две группы выражений:

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Какова особенность выражений первой группы? Чем они отличаются от выражений второй группы?

Выражения первой группы — это переменные, числа, их степени и произведения. Такие выражения называют одночленами. В общем виде одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней.

Выражения второй группы не являются одночленами, поскольку содержат действия сложения или вычитания.

Рассмотрим одночлен Одночлены - определение и вычисление с примерами решения Он содержит только один числовой множитель, который стоит на первом месте, и степени разных переменных. Такой одночлен называют одночленом стандартного вида.

Одночленом стандартного вида называют такой одночлен, который содержит только один числовой множитель, находящийся на первом месте, ч степени разных переменных.

Числовой множитель одночлена стандартного вида называют коэффициентом одночлена. Коэффициент одночлена Одночлены - определение и вычисление с примерами решения равен Одночлены - определение и вычисление с примерами решения Считают, что коэффициенты одночленов Одночлены - определение и вычисление с примерами решения и Одночлены - определение и вычисление с примерами решения соответственно равны 1 и -1, поскольку Одночлены - определение и вычисление с примерами решения и Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Одночлен Одночлены - определение и вычисление с примерами решения не является одночленом стандартного вида, поскольку содержит две степени с основанием Одночлены - определение и вычисление с примерами решения. Умножив Одночлены - определение и вычисление с примерами решения на Одночлены - определение и вычисление с примерами решения этот одночлен можно записать в виде одночлена стандартного вида: Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Умножение одночленов

Перемножим одночлены Одночлены - определение и вычисление с примерами решения Используя свойства умножения и свойства степени, получим:

-3а2Ь • 4aby = (-3 • 4) • (а2а) • (ЬЬг) = -12аъЬ

Итак, произведением одночленов -Ъа2Ь и 4аЬъ является одночлен -12а3Ь*. Вообще, произведением любых одночленов является одночлен.

Возведение одночлена в степень

Возведем одночлен -5а2Ь в куб. Используя свойства степени, получим:

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Итак, кубом одночлена Одночлены - определение и вычисление с примерами решения является одночлен Одночлены - определение и вычисление с примерами решения Вообще, натуральной степенью любого одночлена является одночлен.

Степень одночлена

В одночлене Одночлены - определение и вычисление с примерами решения сумма показателей степеней вcex переменных равна Одночлены - определение и вычисление с примерами решения Эту сумму называют степенью одночленa, говорят, что Одночлены - определение и вычисление с примерами решения — одночлен шестой степени.

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, которые в него входят. Если одночленом является число, отличное от нуля, то считают, что степень такого одночлена равна нулю.

Например: Одночлены - определение и вычисление с примерами решения — одночлен девятой степени; Одночлены - определение и вычисление с примерами решения — одночлен второй степени; Одночлены - определение и вычисление с примерами решения — одночлен первой степени; Одночлены - определение и вычисление с примерами решения — одночлен нулевой степени.

Примеры выполнения заданий:

Пример №115

Записать выражение в виде одночлена стандартного вида:

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Сокращенная запись: Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Сокращенная запись: Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Пример №116

Представить одночлен Одночлены - определение и вычисление с примерами решения в виде:

а) произведения двух одночленов стандартного вида;

б) произведения двух одночленов, одним из которых является Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

в) квадрата одночлена стандартного вида.

Решение:

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

Интересно знать

Понятие степени с натуральным показателем возникло в античные времена в связи с вычислением площадей и объемов. Толкование степеней Одночлены - определение и вычисление с примерами решения и Одночлены - определение и вычисление с примерами решения было геометрическим: Одночлены - определение и вычисление с примерами решения — это площадь квадрата со стороной Одночлены - определение и вычисление с примерами решения, Одночлены - определение и вычисление с примерами решения — объем куба с ребром Одночлены - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда и названия «квадрат» и «куб» для степеней Одночлены - определение и вычисление с примерами решения и Одночлены - определение и вычисление с примерами решения, которые используют и сейчас. К сожалению, такая геометрическая привязка в те времена стала тормозом для развития алгебры. Степени Одночлены - определение и вычисление с примерами решения («квадрато-квадрат»), Одночлены - определение и вычисление с примерами решения («кубо-квадрат») и т. д. остались как бы «вне закона», поскольку не имели соответствующей геометрической основы.

Только в XVII в. французский математик Рене Декарт (1596-1650) дал геометрическое толкование произведения любого числа множителей после чего и произведение Одночлены - определение и вычисление с примерами решения приняло «официальный статус».

Декарт же ввел и современное обозначение степени с натуральным показателем в виде Одночлены - определение и вычисление с примерами решения

  • Многочлены
  • Формулы сокращенного умножения
  • Разложение многочленов на множители
  • Системы линейных уравнений с двумя переменными
  • Делимость натуральных чисел
  • Выражения и уравнения 
  • Линейное уравнение с одной переменной
  • Целые выражения

Что такое одночлены в математике? Зачем они нужны? Мы рассмотрим с вами определение одночлена, стандартный вид одночлена и дадим определение степени одночлена.

Определение

Одночлен – это выражение, которой представляет собой произведение числа, переменной или переменных и степеней переменных. Например, 7by^3, -4z^3, 0,5m^3, (-5a^2) – примеры одночленов.

Выражения 2+x или 3/y – не являются одночленами, так как представляют сумму и частное, а не произведение.

Стандартный вид одночлена

Стандартный вид одночлена – это произведение числа и переменных в различной степени. Согласно этому число можно считать одночленом, так как оно может быть представлено в виде произведения числа на переменную в нулевой степени: 2=2 cdot y^0. Например, 3m – одночлен стандартного вида.

Примеры стандартного вида одночлена:

43xy^2, 7x^5, 5t^3, t, k^2.

Степень одночлена

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней переменных. Например, одночлен 4x^2 – это одночлен второй степени, а 4x^2y^3 – одночлен седьмой степени.

Степень одночлена 3t – равна единица, а степень одночлена 2  – нулю.

Подобные одночлены

Подобными одночленами называют одночлены, которые отличаются только числовым коэффициентом, а также те одночлены, которые равны между собой.

Примеры подобных одночленов: 3x и -7x, 2y^2x и 6y^2 x, 4y и 4y.

Приведение к одночлену стандартного вида

Задание 1

Приведите к одночлену стандартного вида произведение 4x^2 (5x^4 y^2) (6xy).

Решение: перемножим сначала числа 4 cdot 5 cdot 6 = 120, теперь переменные x x^2 cdot x^4 cdot x = x^{2+4+1}=x^7, теперь переменные y: y^2 cdot y=y^{2+1}=y^3.

Стандартный вид многочлена: 120x^7 y^3

Ответ: 120x^7 y^3.

Задание 2

Приведите к одночлену стандартного вида выражение 5x^2 cdot 4x^3.

Решение: Перемножим числовые коэффициенты выражения 5 cdot 4=20, затем перемножим степени переменной x x^2 cdot x^3=x^5. Получим стандартный вид одночлена: 20x^5

Ответ: 20x^5.

Задание 3

Приведите сумму подобных одночленов к одночлену стандартного вида: 3x^2-x^2+6x^2

Решение: Просто сложим все одночлены, ориентируясь на числовую часть: 3-1+6=8, а переменные просто припишем, получаем стандартный вид одночлена: 8x^2.

Ответ: 8x^2

Возведите одночлен в степень

Задание 1

Возведите одночлен 3x^3 y^2 в квадрат.

Решение: (3x^3 y^2)^2=9x^6 y^4.

Ответ: 9x^6 y^4

Задание 2

Возведите одночлен 2t^2 в куб.

Решение: (2t^2)^3=8t^6.

Ответ: 8t^6

Задание 3

Какова степень одночлена (3x^2 y^3)^2.

Решение:

Для того чтобы определить степень одночлена, нужно:

  • представить одночлен в стандартном виде,
  • сложить показатели степеней переменных одночлена.

Сначала надо представить одночлен в стандартном виде, для этого выполним возведение в степень: (3x^2 y^3)^2=9x^4 y^6, посчитаем сумму показателей степеней 4+6=10, получается степень одночлена 10.

Ответ: 10

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти фишку для птф
  • Как найти банк резюме
  • Как найти свой телефон в зале
  • Как составить лимит по кассе образец
  • Как найти корень в слове берегу