Как найти куб скобки

Формула куба суммы

Возведем в куб сумму (a+b):

$$ (a+b)^3 = (a+b) (a+b)^2 = (a+b)(a^2+2ab+b^2 ) = $$

$$ = a(a^2+2ab+b^2 )+b(a^2+2ab+b^2 ) = a^3+2a^2 b+ab^2+a^2 b+2ab^2+b^3 = $$

$$ = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 $$

Мы получили формулу куба суммы двух выражений:

$$(a+b)^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3$$

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, плюс куб второго выражения.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

$$(2x+3y)^3 = (2x)^3+3cdot(2x)^2cdot3y+3cdot2xcdot(3y)^2+(3y)^3 =$$

$$ = 8x^3+36x^2 y+54xy^2+27y^3 $$

Формула куба разности

Возведем в куб разность (a-b):

$$ (a-b)^3 = (a-b) (a-b)^2 = (a-b)(a^2-2ab+b^2 ) = $$

$$ = a(a^2-2ab+b^2 )-b(a^2-2ab+b^2 ) = a^3-2a^2 b+ab^2-a^2 b+2ab^2-b^3 = $$

$$= a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3$$

Мы получили формулу куба разности двух выражений:

$$ (a-b)^3 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 $$

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, минус куб второго выражения.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

$$(5k-11p)^3 = (5k)^3-3cdot(5k)^2cdot11p+3cdot5kcdot(11p)^2-(11p)^3 =$$

$$= 125k^3-825k^2 p+1815kp^2-1331p^3$$

Примеры

Пример 1. Представьте в виде многочлена

а) $ (x+5)^3 = x^3+3cdot x^2cdot5+3cdot xcdot5^2+5^3 = x^3+15x^2+75x+125$

б) $ (9-z)^3 = 9^3-3cdot9^2cdot z+3cdot9cdot z^2-z^3 = 729-243+27z^2-z^3 $

в) $(5b-3c)^3 = (5b)^3-3cdot(5b)^2cdot3c+3cdot5bcdot(3c)^2-(3c)^3 =$

$= 125b^3-225b^2 c+135bc^2-27c^3$

г) $(2mk+1)^3 = (2mk)^3+3cdot(2mk)^2cdot1+3cdot2mkcdot1^2+1^3 =$

$ = 8m^3 k^3+12m^2 k^2+6mk+1 $

Пример 2. Упростите выражение:

а) $(a+2)^3-(a-2)^3 = a^3+3a^2cdot2+3acdot2^2+2^3-(a^3-3a^2cdot2+3acdot2^2-2^3 )= $

$= 2cdot6a^2-2cdot8 = 12a^2-16 $

б) $(x-3y)^3+9xy(x-3y) = x^3-3x^2cdot3y+3xcdot(3y)^2-27y^3+9x^2 y-27xy^2 =$

$ = x^3-27y^3$

в) $(x+y)^3-x(x-y)^2 = x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x(x^2-2xy+y^2 ) =$

$= x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x^3+2x^2 y-xy^2 = -x^2 y+2xy^2+y^3$

г) $3m(k+3m)^2-(k+3m)^3 = 3m(k^2+6km+9m^2 )-$

$-(k^3+3k^2cdot3m+3kcdot(3m)^2+(3m)^3 ) = 3k^2 m+18km^2+27m^3- $

$-k^3-9k^2 m-27km^2-27m^3 = -6k^2 m-9km^2-k^3 $

Пример 3. Найдите значение выражения:

a) $a^3-b^3-3ab(a-b)$ при a = -7 и b = -17

$a^3-b^3-3ab(a-b) = a^3-b^3-3a^2 b+3ab^2 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 =$

$ = (a-b)^3 $

Подставляем: $(-7-(-17) )^3 = 10^3 = 1000$

б) $3ab(a+b)+a^3+b^3$ при a = -3 и b = 13

$ 3ab(a+b)+a^3+b^3 = 3a^2 b+3ab^2+a^3+b^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 = $

$ = (a+b)^3$

Подставляем: $(-3+13)^3 = 10^3 = 1000$

Пример 4. Решите уравнение:

а) $(3x+1)^3 = 27x^2 (x+1)$

$(3x)^3+3cdot(3x)^2+3cdot3x+1 = 27x^3+27x^2$

$27x^3+27x^2+9x+1 = 27x^3+27x^2$

9x+1 = 0

9x = -1

x=- $frac{1}{9}$

б) $(1-4x)^3+48x^2 (1 frac{1}{3} x-1) = 0$

$1-3cdot4x+3cdot(4x)^2-(4x)^3+48cdot frac{4}{3} x^3-48x^2 = 0 $

$1-12x+48x^2-64x^3+64x^3-48x^2 = 0$

1-12x = 0

12x = 1

$x = frac{1}{12}$

Пример 5*. Дайте геометрическое объяснение формуле куба суммы (аналогично квадрату суммы – см. §21 данного справочника, но для кубов в пространстве).

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются
формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо
«a» и «b» в формулах могут стоять как числа, так и любые другие
алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Примеры:

• 15² − 2² = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
• 9a² − 4b²с² = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить
квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 112².

• Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
  
  
  112 = 100 + 1
• Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
  
  112² = (100 + 12)²
• Воспользуемся формулой квадрата суммы:
  
  112² = (100 + 12)² = 100² +
  2 · 100 · 12 + 12² = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

• (8a + с)² = 64a² + 16ac + c²

Предостережение!

(a + b)² не
равно (a² + b²)

Квадрат разности

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a − b)² = (b − a)²

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b)² =
a² −2ab + b² = b² − 2ab + a² = (b − a)²

Куб суммы

Как запомнить куб суммы

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

• Выучите, что в начале идёт «a³».
• Два многочлена посередине имеют коэффициенты
  3.
• Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1.
  (a⁰ = 1, b⁰ = 1). Легко заметить, что в формуле
  идёт понижение
  степени «a» и увеличение степени
  «b». В этом можно убедиться:
  
  (a + b)³ =
  a³b⁰ +
  3a²b¹ + 3a¹b² +
  b³a⁰ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Предостережение!

(a + b)³
не равно a³ + b³

Куб разности

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и
«−».
Перед первым членом «a³ »
стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем).
Значит, перед следующим членом будет
стоять «−», затем опять «+» и т.д.

(a − b)³ =
+ a³ −
3a²b
+ 3ab² −
b³
=
a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

• Первая скобка — сумма двух чисел.
• Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
  (a²− ab + b²)
  
  Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

Примеры:

• a² + 2a + 1 = (a + 1)²
• (aс − 4b)(ac + 4b) = a²c² − 16b²

Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе
«Шпаргалки».

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

Куб суммы

формулы сокращенного умножения

Данная формула показывает правила раскрытия скобок.
Куб суммы двух величин равен сумме
куба первой, утроенного произведения квадрата первой на вторую,
утроенного произведения первой на квадрат второй и куба второй.

[(a+b)^3=a^3+3ba^2+3ab^2+b^3]

(a,b — величины куба суммы)

Вычислить, найти куб суммы по формуле (1).

нажмите кнопку для расчета

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:

( displaystyle {{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}})

Название «Формулы сокращенного умножения» совсем не случайно, потому что эти формулы позволяют сократить время на умножение. Вот смотри…

Возьмем самую простую первую формулу квадрата суммы ( {{left( a+b right)}^{2}}) — и попробуем возвести сумму в скобках в квадрат, то есть, умножить ( left( a+b right)) само на себя:

Приведи подобные слагаемые и ты получишь формулу сокращенного умножения квадрат суммы:

Таким образом выводятся все формулы сокращенного умножения.

Ты можешь выводить их каждый раз самостоятельно, а можешь не тратить на это время и быстро посчитать необходимый пример, зная конечное значение формул.

Конечно, квадрат суммы посчитать вручную не так сложно, но что ты скажешь насчет куба суммы или куба разности?

Куб суммы означает, что необходимо ( left( a+b right)) само умножить на себя три раза:

И это мы расписали перемножение только первой скобки, а тоже самое необходимо сделать со второй и с третьей… Согласись, запутаться очень легко, а, как правило, от того, как ты посчитаешь это простое действие, зависит ответ всего примера.

Таким образом, формулы сокращенного умножения позволяют сократить трудоемкое перемножение членов друг на друга и получить быстрый результат.

Как выводится формула для квадрата суммы, мы описали ранее. Попробуем произвести аналогичные действия с квадратом разности.

Соберем формулу из вида ( {{a}^{2}}pm 2ab+{{b}^{2}}) в вид ( {{left( apm b right)}^{2}})

Подведем небольшой итог и запишем формулы квадрата суммы и разности в одну строку:

( {{left( apm b right)}^{2}}={{a}^{2}}pm 2ab+{{b}^{2}})

Теперь потренируемся «собирать» формулу из разложенного вида ( {{a}^{2}}pm 2ab+{{b}^{2}}) в вид ( {{left( apm b right)}^{2}}). Данный навык понадобится нам в дальнейшем при преобразовании больших выражений.

Допустим, у нас есть следующее выражение:

( 16+24b+9{{b}^{2}}).

Мы знаем, что квадрат суммы (или разности) – это квадрат одного числа ( +) квадрат другого числа и ( pm ) удвоенное произведение этих чисел.

В данной задаче легко увидеть квадрат одного числа – это ( 9{{b}^{2}}). Соответственно, одно из чисел, входящих в скобку ( {{left( apm b right)}^{2}}) , — это квадратный корень из ( 9{{b}^{2}}), то есть

( {{left( 3b right)}^{2}}=9{{b}^{2}})

Так как во втором слагаемом есть ( b), значит, это удвоенное произведение одного и другого числа, соответственно:

( 24b=2cdot 3bcdot x), где ( displaystyle x) – второе число, входящее в нашу скобку.

( x=frac{24b}{6b}=4). Второе число, входящее в скобку, равно ( displaystyle 4).

Проверим. ( displaystyle 16) должно быть равно ( {{4}^{2}}). Действительно, так и есть, значит, мы нашли оба числа, присутствующие в скобках: ( 4) и ( 3b). Осталось определить знак, который стоит между ними. Как ты думаешь, что за знак там будет?

Правильно! Так как мы прибавляем удвоенное произведение, то между числами будет стоять знак сложения. Теперь запиши преобразованное выражение. Справился? У тебя должно получиться следующее:

( 16+24b+9{{b}^{2}}={{left( 4+3b right)}^{2}})

Заметь: перемена мест слагаемых не сказывается на результате (неважно, сложение или вычитание стоит между ( a) и ( b)).

( 16+24b+9{{b}^{2}}={{left( 4+3b right)}^{2}}={{left( 3b+4 right)}^{2}})

Совершенно необязательно, чтобы слагаемые в преобразуемом выражении стояли так, как написано в формуле.

Посмотри на это выражение: ( 12b+9+4{{b}^{2}}). Попробуй преобразовать его самостоятельно. Получилось?

( 12b+9+4{{b}^{2}}=2cdot 3cdot 2b+{{3}^{2}}+{{left( 2b right)}^{2}}={{left( 2b+3 right)}^{2}})

Доказательство формул сокращенного умножения

Задание. Раскрыть скобки $(2 x y-1)^{3}$

Решение. Решение проведем в два этапа, первый — возведем в куб по определению, то есть
умножим выражение $2 x y-1$ два раза на себя; второй — используя формулу сокращенного умножения «куб разности».

1. По определению:

$(2 x y-1)^{3}=(2 x y-1)(2 x y-1)^{2}=(2 x y-1)left(4 x^{2} y^{2}-4 x y+1right)=$

$=8 x^{3} y^{3}-8 x^{2} y^{2}+2 x y-4 x^{2} y^{2}+4 x y-1=8 x^{3} y^{3}-12 x^{2} y^{2}+6 x y-1$

2. Используя формулу сокращенного умножения:

$(2 x y-1)^{3}=(2 x y)^{3}-3 cdot(2 x y)^{2} cdot 1+3 cdot 2 x y cdot 1^{2}-1^{3}=8 x^{3} y^{3}-12 x^{2} y^{2}+6 x y-1$

Как видно, использование формулы сокращенного умножения упростило решение на
несколько шагов и скоратило вероятность ошибки.