Как найти куб суммы в алгебре

Формула куба суммы

Возведем в куб сумму (a+b):

$$ (a+b)^3 = (a+b) (a+b)^2 = (a+b)(a^2+2ab+b^2 ) = $$

$$ = a(a^2+2ab+b^2 )+b(a^2+2ab+b^2 ) = a^3+2a^2 b+ab^2+a^2 b+2ab^2+b^3 = $$

$$ = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 $$

Мы получили формулу куба суммы двух выражений:

$$(a+b)^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3$$

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, плюс куб второго выражения.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

$$(2x+3y)^3 = (2x)^3+3cdot(2x)^2cdot3y+3cdot2xcdot(3y)^2+(3y)^3 =$$

$$ = 8x^3+36x^2 y+54xy^2+27y^3 $$

Формула куба разности

Возведем в куб разность (a-b):

$$ (a-b)^3 = (a-b) (a-b)^2 = (a-b)(a^2-2ab+b^2 ) = $$

$$ = a(a^2-2ab+b^2 )-b(a^2-2ab+b^2 ) = a^3-2a^2 b+ab^2-a^2 b+2ab^2-b^3 = $$

$$= a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3$$

Мы получили формулу куба разности двух выражений:

$$ (a-b)^3 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 $$

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, минус куб второго выражения.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

$$(5k-11p)^3 = (5k)^3-3cdot(5k)^2cdot11p+3cdot5kcdot(11p)^2-(11p)^3 =$$

$$= 125k^3-825k^2 p+1815kp^2-1331p^3$$

Примеры

Пример 1. Представьте в виде многочлена

а) $ (x+5)^3 = x^3+3cdot x^2cdot5+3cdot xcdot5^2+5^3 = x^3+15x^2+75x+125$

б) $ (9-z)^3 = 9^3-3cdot9^2cdot z+3cdot9cdot z^2-z^3 = 729-243+27z^2-z^3 $

в) $(5b-3c)^3 = (5b)^3-3cdot(5b)^2cdot3c+3cdot5bcdot(3c)^2-(3c)^3 =$

$= 125b^3-225b^2 c+135bc^2-27c^3$

г) $(2mk+1)^3 = (2mk)^3+3cdot(2mk)^2cdot1+3cdot2mkcdot1^2+1^3 =$

$ = 8m^3 k^3+12m^2 k^2+6mk+1 $

Пример 2. Упростите выражение:

а) $(a+2)^3-(a-2)^3 = a^3+3a^2cdot2+3acdot2^2+2^3-(a^3-3a^2cdot2+3acdot2^2-2^3 )= $

$= 2cdot6a^2-2cdot8 = 12a^2-16 $

б) $(x-3y)^3+9xy(x-3y) = x^3-3x^2cdot3y+3xcdot(3y)^2-27y^3+9x^2 y-27xy^2 =$

$ = x^3-27y^3$

в) $(x+y)^3-x(x-y)^2 = x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x(x^2-2xy+y^2 ) =$

$= x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x^3+2x^2 y-xy^2 = -x^2 y+2xy^2+y^3$

г) $3m(k+3m)^2-(k+3m)^3 = 3m(k^2+6km+9m^2 )-$

$-(k^3+3k^2cdot3m+3kcdot(3m)^2+(3m)^3 ) = 3k^2 m+18km^2+27m^3- $

$-k^3-9k^2 m-27km^2-27m^3 = -6k^2 m-9km^2-k^3 $

Пример 3. Найдите значение выражения:

a) $a^3-b^3-3ab(a-b)$ при a = -7 и b = -17

$a^3-b^3-3ab(a-b) = a^3-b^3-3a^2 b+3ab^2 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 =$

$ = (a-b)^3 $

Подставляем: $(-7-(-17) )^3 = 10^3 = 1000$

б) $3ab(a+b)+a^3+b^3$ при a = -3 и b = 13

$ 3ab(a+b)+a^3+b^3 = 3a^2 b+3ab^2+a^3+b^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 = $

$ = (a+b)^3$

Подставляем: $(-3+13)^3 = 10^3 = 1000$

Пример 4. Решите уравнение:

а) $(3x+1)^3 = 27x^2 (x+1)$

$(3x)^3+3cdot(3x)^2+3cdot3x+1 = 27x^3+27x^2$

$27x^3+27x^2+9x+1 = 27x^3+27x^2$

9x+1 = 0

9x = -1

x=- $frac{1}{9}$

б) $(1-4x)^3+48x^2 (1 frac{1}{3} x-1) = 0$

$1-3cdot4x+3cdot(4x)^2-(4x)^3+48cdot frac{4}{3} x^3-48x^2 = 0 $

$1-12x+48x^2-64x^3+64x^3-48x^2 = 0$

1-12x = 0

12x = 1

$x = frac{1}{12}$

Пример 5*. Дайте геометрическое объяснение формуле куба суммы (аналогично квадрату суммы – см. §21 данного справочника, но для кубов в пространстве).

Алгебра

7 класс

Урок № 31

Куб суммы. Куб разности

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Формулы сокращённого умножения.
• Куб суммы. Куб разности.
• Разложение многочлена на множители.
• Тождественные преобразования.
• Вычисление значения числовых выражений.

Тезаурус:

Формулы сокращённого умножения.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a – b)² = a² – 2ab + b²

(a + b)(a – b) = a² – b²

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Применение:

• упрощение умножения многочленов;
• разложение многочлена на множители;
• вычисление значения числового выражения;
• тождественные преобразования.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Куб суммы.

Рассмотрим произведение:

(a + b)³ = (a + b)²(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b).

Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:

a³ + 2a²b + b²a + a²b + 2ab² + b ³= a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Итак, доказано равенство, которое называют «куб суммы»: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Читается так: «куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, плюс куб второго числа».

Куб разности.

Аналогично докажем формулу «куб разности».

Рассмотрим произведение:

(a – b)³ = (a – b)²(a – b) =(a² – 2ab + b²)(a – b)

Применив правило умножения многочленов, получим:

a³ – 2a²b + b²a – a²b + 2ab² – b³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Доказано равенство, которое называют «куб разности»:

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Читается так: «куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, минус куб второго числа».

Формулы суммы и разности кубов часто используют для упрощения выражений.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Задача 1.

Найдите куб двучлена:

(a + 3)³ = a³ + 3a² · 3 + 3a · 3² + 3³ = a³ + 9a² + 27a + 27.

(10 – a)³ =10³ – 3 · 10² a + 3 · 10 · a² – a³ = 1000 – 300a + 30a² – a³.

Задача 2.

Упростите: x³ + 3x(x + 4) – (x + 2)³

x³ + 3x² + 12x – (x³ + 6x² + 12x + =

x³ + 3x² + 12x – x³ – 6x² – 12x – 8 =

= -3x² – 8.

Ответ: -3x² – 8.

Задача 3.

Решите уравнение:

x³ + 9x² – (x + 3)³ = 0

x³ + 9x² – (x³ + 9x² + 27x + 27) = 0

x³ + 9x² – x³ – 9x² – 27x – 27 = 0

-27x = 27

Ответ: х = -1.

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются
формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо
«a» и «b» в формулах могут стоять как числа, так и любые другие
алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Примеры:

• 15² − 2² = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
• 9a² − 4b²с² = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить
квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 112².

• Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
  
  
  112 = 100 + 1
• Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
  
  112² = (100 + 12)²
• Воспользуемся формулой квадрата суммы:
  
  112² = (100 + 12)² = 100² +
  2 · 100 · 12 + 12² = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

• (8a + с)² = 64a² + 16ac + c²

Предостережение!

(a + b)² не
равно (a² + b²)

Квадрат разности

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a − b)² = (b − a)²

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b)² =
a² −2ab + b² = b² − 2ab + a² = (b − a)²

Куб суммы

Как запомнить куб суммы

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

• Выучите, что в начале идёт «a³».
• Два многочлена посередине имеют коэффициенты
  3.
• Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1.
  (a⁰ = 1, b⁰ = 1). Легко заметить, что в формуле
  идёт понижение
  степени «a» и увеличение степени
  «b». В этом можно убедиться:
  
  (a + b)³ =
  a³b⁰ +
  3a²b¹ + 3a¹b² +
  b³a⁰ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Предостережение!

(a + b)³
не равно a³ + b³

Куб разности

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и
«−».
Перед первым членом «a³ »
стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем).
Значит, перед следующим членом будет
стоять «−», затем опять «+» и т.д.

(a − b)³ =
+ a³ −
3a²b
+ 3ab² −
b³
=
a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

• Первая скобка — сумма двух чисел.
• Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
  (a²− ab + b²)
  
  Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

Примеры:

• a² + 2a + 1 = (a + 1)²
• (aс − 4b)(ac + 4b) = a²c² − 16b²

Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе
«Шпаргалки».

Ваши комментарии

Оставить комментарий: