Как найти квадрат числа алгебра 8 класс


Download Article


Download Article

Need to find the square of a number? Finding a number’s square is as simple as multiplying it by itself. To square fractions, find the squares of both the numerator and denominator. Then reduce or simplify the result. Keep reading for helpful tips and examples!

  1. Image titled Write Playful Banter Step 10

    1

    Learn how to do basic multiplication. When you square a number, you simply multiply the number by itself so it’s important to know how to multiply. To make it easier to square commonly used single digits, try to memorize basic times tables.[1]

    • For example, learn how to multiply single digit times tables.

  2. Image titled Find the Square of a Number Step 2

    2

    Multiply the single digit number by itself. Write down the number you want to square. Remember that when you’re squaring a number, you multiply it by the same number, not 2.[2]

    • For example, 5^{{2}} is not 5 x 2 = 10. Instead, it’s 5 x 5 = 25.

    Advertisement

  3. Image titled Find the Square of a Number Step 3

    3

    Recognize other terms for squaring a number. If you read word problems asking you to square a number, keep in mind that they may also ask you to raise the number to the 2 power or factor. This is just another way of asking you to square the number.[3]

    • You may also see a problem written as 6^2. This is another way of asking you to square 6.

  4. Image titled Find the Square of a Number Step 4

    4

    Distinguish between squaring and finding the square root. It’s easy to get these terms mixed up, but remember that finding the square root of a number is the opposite of squaring a number. Finding the square root means that you’re looking for the number that can be multiplied by itself to get the number in the square.[4]

    5. Advertisement

  1. Image titled Find the Square of a Number Step 5

    1

    Write the problem out. To find the square of a number with more than 1 digit, it will help if you rewrite the problem as a double digit multiplication problem. Start by writing the same number on top of itself.[5]

    • For example, to do 24^{{2}}, write 24 x 24.

  2. Image titled Find the Square of a Number Step 6

    2

    Multiply the number on the bottom ones place by the 1 directly above it. Write a line below the numbers and place the result below the ones space.[6]

    • For example, with 24 x 24, multiply the 4 by 4 to get 16. Write a 6 below the ones space and carry the 1 above the top tens number.

  3. Image titled Find the Square of a Number Step 7

    3

    Multiply the bottom ones place by the top tens number. Take the same number on the bottom and multiply it by the top tens number. Remember to add the number you carried and write the result below the line.[7]

    • For example, with 24 x 24, multiply 4 by 2 and add the 1 you carried. The result below the line should be 96.

  4. Image titled Find the Square of a Number Step 8

    4

    Put a 0 under the result and multiply the bottom tens number by the top ones. The 0 will act as a placeholder. Write the result of multiplying the bottom tens number by the top ones number next to the 0.[8]

    • For the 24 x 24 example, multiply 2 by 4. You should now see 80 below the 96.

  5. Image titled Find the Square of a Number Step 9

    5

    Multiply the bottom tens number by the top tens number. If you carried any numbers, remember to add them to your result. Write the result below the line.[9]

    • To finish multiplying 24 by 24, multiply the 2 by 2 to get 4. The result on this line should be 480.

  6. Image titled Find the Square of a Number Step 10

    6

    Add the 2 results to get your answer. If you multiplied a number with 3 or more digits, you’ll have more lines to add together. Write the answer from your results to show the square of the number.

    • Add 96 + 480 to get the answer for 24 x 24. 24^{{2}} = 576.

    7. Advertisement

  1. Image titled Find the Square of a Number Step 11

    1

    Square the numerator. Multiply the top number of the fraction by itself to find its square. Write the result and place the fraction line below it.[10]

    • For example, with (8/2)2, you’d multiply 8 by 8 to get a numerator of 64.

  2. Image titled Find the Square of a Number Step 12

    2

    Square the denominator. Multiply the bottom number of the fraction by itself. Write the result of this square below the fraction line.[11]

    • So for (8/2)2, multiply 2 by 2 to get a denominator of 4.

  3. Image titled Find the Square of a Number Step 13

    3

    Simplify the result. While you could leave the fraction large or improper, most directions will tell you to simplify or reduce the result. If you have an improper fraction, turn it into a mixed number.[12]

    • For example, (8/2)2 = (64/4) can be simplified to 16 because 4 goes into 64 16 times.

    4. Advertisement

Add New Question

  • Question

    How do I calculate the square root?

    Donagan

  • Question

    √5 is the square of what number?

    Donagan

    √5 is the square of plus-or-minus the fourth root of 5.

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

  • Remember that if you square a negative number, the answer will be positive because the 2 negatives cancel each other out.

  • To square a number using a calculator, enter the number x the number. For example, for 4^{{2}}, enter 4 x 4 to get 16.

Advertisement

About This Article

Article SummaryX

To find the square of a number, multiply the number by itself. For example, if you’re trying to find the square of 5, you would multiply 5 by 5 and get 25, which is the square. To learn how to square fractions, scroll down!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 120,875 times.

Did this article help you?

Источник

Главная > Алгебра 8 класс Макарычев > Квадратный корень и квадрат числа

Квадратный корень и квадрат числа — видеоурок

На этом видео уроке по алгебре для 8 класса объясняется что такое квадрат числа или как возвести число во вторую степень — квадрат; как извлечь квадратный корень или корень второй степени из положительного числа.

Источник

Таблица квадратов

Мы составили таблицу квадратов натуральных чисел до 10 и двузначных чисел, которой удобно пользоваться: благодаря ей не нужно в уме возводить число во вторую степень. Достаточно распечатать таблицу и найти в ней подходящее значение

Таблица квадратов от 1 до 100. Фото: shutterstock.com

Квадратом числа называют произведение на самого себя один раз или возведение во вторую степень. В школе это действие проходят в 5 классе. Например, чтобы вычислить квадрат числа 5, нужно умножить его на 5: в итоге получится 25. С натуральными числами до 10 вычисления довольно просты, а посчитать квадрат двузначного числа в уме уже сложнее. Поэтому для удобства можно пользоваться таблицами: это облегчает вычисления.

Таблица квадратов натуральных чисел

Натуральные числа — те числа, которые мы используем при счете или при перечислении вещей, объектов. К натуральным относятся только полные и неотрицательные числа. В математике их много: поэтому мы сделали таблицу квадратов натуральных чисел от 1 до 10.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n² 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

Таблица квадратов двузначных чисел

Чтобы вычислить квадрат двузначного числа, умножить число на самого себя. В результате получается уже четырехзначное число. Если при вычислении квадратов чисел до 10 достаточно вспомнить таблицу умножения, то посчитать квадрат двузначного числа в уме уже сложнее. Проще всего для таких вычислений использовать таблицу.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 362
2 200 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3 300 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801

Таблица квадратов до 100

В таблице мы собрали квадраты чисел от 1 до 100: она пригодится как школьникам, так и студентам. Вы можете распечатать таблицу или пользоваться ей онлайн.

1²=1 11²=121 21²=441 31²=961 41²=1681
2²=4 12²=144 22²=484 32²=1024 42²=1764
3²=9 13²=169 23²=529 33²=1089 43²=1849
4²=16 14²=196 24²=576 34²=1156 44²=1936
5²=25 15²=225 25²=625 35²=1225 45²=2025
6²=36 16²=256 26²=676 36²=1296 46²=2116
7²=49 17²=289 27²=729 37²=1369 47²=2209
8²=64 18²=324 28²=784 38²=1444 48²=2304
9²=81 19²=361 29²=841 39²=1521 49²=2401
10²=100 20²=400 30²=900 40²=1600 50²=2500
51²=2601 61²=3721 71²=5041 81²=6561 91²=8281
52²=2704 62²=3844 72²=5184 82²=6724 92²=8464
53²=2809 63²=3969 73²=5329 83²=6889 93²=8649
54²=2916 64²=4096 74²=5476 84²=7056 94²=8836
55²=3025 65²=4225 75²=5625 85²=7225 95²=9025
56²=3136 66²=4356 76²=5776 86²=7396 96²=9216
57²=3249 67²=4489 77²=5929 87²=7569 97²=9409
58²=3364 68²=4624 78²=6084 88²=7744 98²=9604
59²=3481 69²=4761 79²=6241 89²=7921 99²=9801
60²=3600 70²=4900 80²=6400 90²=8100 100²=10000

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Александр Мельников, преподаватель информатики и математики онлайн-школы «Коалиция», эксперт ЕГЭ и ОГЭ, сертифицированный преподаватель проекта «Математическая вертикаль».

Как пользоваться таблицей квадратов?

Таблица квадратов — это таблица, содержащая квадраты чисел. Квадрат числа — это результат умножения какого-либо числа на самого себя, то есть число, возведенное во вторую степень.

В таблице пересечение цифр слева в столбце и сверху в строке дает квадрат искомого числа. Например, нужно найти квадрат числа 15. В столбце слева берем первую цифру данного числа «1». В самой верхней строке берем вторую цифру данного числа «5». На пересечении данных цифр получаем квадрат числа 15, то есть 225.

Таблицу квадратов также можно использовать для извлечения квадратного корня — обратной операции возведения в квадрат. Например, √225=15.

Как быстро выучить таблицу квадратов?

Если мы говорим о сдаче ОГЭ и ЕГЭ базового уровня по математике, то учить таблицу квадратов необязательно, так как она будет в справочном материале. А вот для ЕГЭ по профильной математике это делать нужно: справочные материалы не предоставляются. Пригодится таблица квадратов и позже, при обучении в вузе. Вот несколько советов, как это сделать.

1. Если число заканчивается на 0, его легко возвести в квадрат — необходимо только дописать пару нулей: 60 х 60 = 3600.

2. Если число заканчивается на 5, то следует умножить первую цифру (x) на (x+1) и дописать к полученному числу «25». 65 х 65 = 6 х 7 = 42 приписываем 25 и получаем 4225.

3. Можно воспользоваться формулой (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Как мы уже выяснили, возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 0, очень просто. Следовательно, а — это число, которое делится на 10, а b — остаток от деления на 10. Приведем пример. Возведем в квадрат 32. 32 можно представить как 30 (число делится на 10) и 2 (остаток от деления на 10): (30+2)2 = 302 + 2 х 30 х 2 + 22 = 900 + 120 + 4 =1024.

Для начала нужно выучить таблицу квадратов первого десятка, так как она используется чаще всего: 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361. И важно запомнить, что не бывает квадратов, последняя цифра в которых 2, 3, 7, 8. Также часто используются квадраты таких чисел как 21, 24, 25, 26: они встречаются чаще других.

Выучить данные значения квадратов можно довольно быстро: попробуйте просто ежедневно выписывать значения в тетрадь.

Как извлечь корень числа без таблицы квадратов?

Число необходимо разложить на простые множители, например 1225 = 5 х 5 х 7 х 7 = 5272. Значит, √1225 = √(5272) = 5 х 7 = 35. Благодаря разложению на множители можно извлечь корень из многозначного числа, выходящего за рамки таблицы квадратов.

Источник

Как найти квадрат числа

Учитель на уроке диктует математическое выражение для того, чтобы учащиеся записали его в тетрадь: «Три в квадрате минус пять…» Один ученик не успевая, просит: «Подождите, не говорите слишком быстро, я еще квадрат не нарисовал». Так вот, дабы не рисовать квадраты и кубы на математике, нужно знать, что квадратом числа является его вторая степень, то есть когда число умножается на себя два раза. Вычислять квадраты учат в еще школе: дважды два – четыре, пятью пять – двадцать пять.

Как найти квадрат числа

Вам понадобится

  • — таблицы умножения;
  • — таблица квадратов двузначных чисел;
  • — калькулятор.

Инструкция

Чтобы найти квадрат любого числа достаточно только это число умножить на себя. Пример 1. 6*6 =36; 4*4 = 16; 7*7 = 49. Произведение чисел до 10, состоящих из одной цифры, размещено в таблице, знакомой всем еще с начальной школы: таблицы умножения. В ней по диагонали можно увидеть квадраты чисел: 1*1=1, 2*2=4, 3*3=9,4*4=16,5*5=25,6*6=36,7*7=49,8*8=64,9*9=81.

Вторая степень двузначных чисел (например, числа 16, 79, 54) определяется тем же способом: умножением числа на себя. Пример2. 20*20=400; 25*25=625; 40*40=1600. Существует специальная таблица квадратов двузначных чисел, размещенная в учебнике по алгебре для седьмого класса. В ней легко найти квадрат любого числа. Для этого разбейте число, возводимое в квадрат на десятки и единицы. Найдите пересечение строки-десятков и столбца-единиц по указанной таблице — ячейка на пересечении и будет содержать квадрат данного числа.

Если под рукой нет таблицы, квадрат числа можно найти произведением числа на само себя, выполненное в столбик. Этим способом находится и квадрат числа, состоящего из любого количества цифр. Однако квадрат большого числа лучше вычислить с помощью калькулятора. Для этого умножьте на нем заданное число само на себя. Сначала наберите нужное число с помощью цифровой клавиатуры, затем нажмите кнопку «*». После этого еще раз наберите это же число и в заключении кнопку «=». Калькулятор представит на экране точный ответ квадрата числа.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Таблица квадратов натуральных чисел. Формулы сокращенного умножения

Как научиться считать быстро и без калькулятора? Ведь и на ЕГЭ, и на ОГЭ по математике пользоваться калькулятором вы не можете.

Первое, что вам поможет, — это знание таблицы квадратов натуральных чисел. Учите наизусть, как таблицу умножения!

Все мы изучали в средней школе формулы сокращенного умножения. Правда, тогда мы не вполне понимали, зачем нам это надо. Все эти квадраты суммы и разности квадратов… А нужны они для того, чтобы быстро считать. И когда на ЕГЭ по математике на решение варианта у вас всего 3 часа 55 минут, а успеть надо очень много, — эти формулы просто незаменимы.

Как применять эти формулы на практике?

Например,

73^{2}=left ( 70+3 right )^{2}=4900+420+9=5329;

63^{2}-62^{2}=left ( 63-62 right )left ( 63+62 right )=1cdot 125=125.
И более сложная ситуация. Она может вам встретиться в задании 7 Профильного ЕГЭ по математике, если вдруг придется считать площадь криволинейной под графиком функции как разность первообразных.

left ( left ( -9 right )^{3} +30cdot left ( -9 right )^{2}+302cdot left ( -9 right )-frac{15}{8}right )-left ( left ( -11 right )^{3}+30cdot left ( -11 right )^{2}+302cdot left ( -11 right )-frac{15}{8} right )=

=left ( -9 right )^{3}-left ( -11 right )^{3}-30cdot left ( left ( -9 right )^{2}-left ( -11 right )^{2} right )+302cdot left ( left ( -9 right )-left ( -11 right ) right )=

=left ( 11-9 right )left ( 11^{2}+11cdot 9+9^{2} right )-30cdot left ( 11-9 right )left ( 11+9 right )+302cdot 2=

=2cdot 301-30cdot 40+604=1206-1200=6

Правда, есть и более простое решение этой задачи. И в нем тоже используется одна из формул сокращенного умножения.

А вот и еще один полезный лайфхак:

Числа, оканчивающиеся на 5, в квадрат возводятся мгновенно.

Чтобы найти квадрат числа A5 (A – не обязательно цифра, любое натуральное число), умножаем A на A+1 и к результату приписываем 25.)

Например, 45^{2}=2025;
85^{2}=7225.

Разберем еще несколько примеров на формулы сокращенного умножения.

1. Вычислите: frac{341^3-218^3}{341^2+341cdot218+218^2}

Решение:
Применим формулу разности кубов для выражения в числителе.

frac{341^3-218^3}{341^2+341cdot218+218^2}=frac{(341-218)(341^2+341cdot218+218^2)}{341^2+341cdot218+218^2}=341-218=123.

Ответ: 123.

2. Вычислите 3cdotfrac{38^2-2cdot38+18^2}{38^22-22^2}

Решение:
Конечно, мы не будем отдельно вычислять значения выражений в числителе и знаменателе дроби.
Применим формулы сокращенного умножения. В числителе – квадрат разности. В знаменателе – разность квадратов.

3cdotfrac{38^2-2cdot38+18^2}{38^22-22^2}=frac{3cdot(38-18)^2}{(38-22)(38+22)}=frac{3cdot20^2}{16cdot60}=frac{5}{4}=1,25.

Ответ: 1,25.

Такие задания могут встретиться в первой части ЕГЭ по математике. А вычисления этого типа – в «экономической» задаче из второй части.

3. Найдите значение выражения frac{9a^2-6a+1}{1-3a+b-3ab}, если a = 47, b = 999.

Решение:
Числитель дроби является полным квадратом; 9a^2-6a+1=(3a-1)^2.

Знаменатель дроби преобразуем к виду:

1-3a+b-3ab=(1+b)-3a(1+b)=(1+b)(1-3a).

Получим: frac{9a^2-6a+1}{1-3a+b-3ab}=frac{(3a-1)^2}{(1+b)(1-3a)}=frac{(1-3a)^2}{(1+b)(1-3a)}=frac{1-3a}{1+b}

Если a = 47, b = 999, получаем: frac{1-141}{1+999}=-frac{140}{1000}=-0,14.

4. Найдите значение выражения: frac{y-sqrt{y}-6}{sqrt{y}-3}-sqrt{y}.

Решение:
Сделаем замену переменной: sqrt{y}=t. тогда y=t^2.

Запишем выражение в виде: frac{t^2-t-6}{t-3}-t.

Квадратный трехчлен t^2-t-6 имеет корни t=-2 и t=3, поэтому t^2-t-6=(t+2)(t-3),

frac{t^2-t-6}{t-3}-t=frac{(t+2)(t-3)}{t-3}-t=t+2-t=2.

Ответ: 2.

Рассмотрим задачи по теме: разложение на множители. Здесь мы тоже применяем формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы и квадрат разности, разность кубов, сумма кубов… Все это может пригодиться, например, при решении задач с параметрами, а также уравнений и неравенств на ЕГЭ по математике.

Разложите на множители:

5. (x+y)^2-(x-y)^2

Решение:

Применим формулу разности квадратов.

(x+y)^2-(x-y)^2=(x+y-(x-y))=(x+y+x-y)=(x+y-x+y)cdot2x=2ycdot2x=4xy.

6. 12m^5n+24m^4n+12m^3n

Каждое из слагаемых содержит m в целой степени. Вынесем за скобки m^3n.Также за скобки можно вынести 12. Получим:

12m^3n(m^2+2m+1)=12m^3n(m+1)^2.

Здесь мы применили формулу квадрата суммы.

7. 25a^4-4b^2-4b-1

Решение:

Представим выражение в виде: 25a^4-(4b^2+4b+1).

Выражение в скобках – это квадрат суммы. Получим: (5a^2)^2-(2b+1)^2.

Это разность квадратов. Применяем формулу:

(5a^2)^2-(2b+1)^2=(5a^2-2b-1)(5a^2+2b+1), разложили на множители.

8. ax^2-2ax-bx^2+2bx-b+a.

Такое выражение может встретиться в задаче с параметрами. Разложим его на множители:

ax^2-2ax-bx^2+2bx-b+a=(ax^2-bx^2)-(2ax-2bx)+(a-b)=x^2(a-b)-2x(a-b)+(a-b)=(a-b)(x^2-2x+1)=(a-b)(x-1)^2

9. 4x^2-20xy+25y^2-2x+5y.

Решение:
Первые три слагаемые образуют полный квадрат:

4x^2-20xy+25y^2=(2x)^2-2cdot2xcdot5y=(2x-5y)^2

Следовательно,

4x^2-20xy+25y^2-2x+5y=(2x-5y)^2-(2x-5y)=(2x-5y)(2x-5y-1).

10. x^2-9y^2+30yz-25z^2.

Решение. Последние три слагаемые после вынесения знака минус образуют полный квадрат:

9y^2-30yz+25z^2=(3y)^2-2cdot3ycdot5z+(5z)^2=(3y-5z)^2.

Тогда x^2-9y^2+30yz-25z^2=x^2-(3y-5z)^2

Воспользуемся формулой разности квадратов и получим:

Тогда x^2-(3y-5z)^2=(x+3y-5z)(x-(3y-5z))=(x+3y-5z)(x-3y+5z)

Ответ: (x+3y-5z)(x-3y+5z)

Формулы сокращенного умножения помогут также при решении уравнений.

11. Решите уравнение: (2x-1)(4x^2+2x+1)-4x(2x^2-3)=23

Решение: По формуле разности кубов, (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3.

Тогда

(2x-1)(4x^2+2x+1)=(2x-1)((2x)^2+2x+1^2)=(2x)^3-1^3=8x^3-1.

Подставив в наше уравнение, получим:

8x^3-1-4x(2x^2-3)=23

8x^3-1-8x^3+12x=23

12x=24

x=2

Ответ: 2

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Таблица квадратов натуральных чисел. Формулы сокращенного умножения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Like this post? Please share to your friends:
  • Когда знаешь зачем найдешь как
  • Одновременное зрение как исправить
  • Rdr 2 дятел как найти
  • Как найти удаленные вызовы в смартфоне
  • Как найти порно ролики россии