Время на прочтение
3 мин
Количество просмотров 114K
Вдохновленный этой статьей, решил поделиться с вами способом быстрого возведения в квадрат. Возведение в квадрат более редкая операция, нежели умножение чисел, но под нее существуют довольно интересные правила.
*квадраты до сотни
Для того, чтобы бездумно не возводить в квадрат по формуле все числа, нужно максимально упростить себе задачу следующими правилами.
Правило 1 (отсекает 10 чисел)
Для чисел, оканчивающихся на 0.
Если число заканчивается на 0, умножить его не сложнее, чем однозначное число. Стоит лишь дописать пару нулей.
70 * 70 = 4900.
В таблице отмечены красным.
Правило 2 (отсекает 10 чисел)
Для чисел, оканчивающихся на 5.
Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно умножить первую цифру (x) на (x+1) и дописать к результату “25”.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
В таблице отмечены зеленым.
Правило 3 (отсекает 8 чисел)
Для чисел от 40 до 50.
XX * XX = 1500 + 100 * вторую цифру + (10 - вторая цифра)^2
Достаточно трудно, верно? Давайте разберем пример:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
В таблице отмечены светло-оранжевым.
Правило 4 (отсекает 8 чисел)
Для чисел от 50 до 60.
XX * XX = 2500 + 100 * вторую цифру + (вторая цифра)^2
Тоже достаточно трудно для восприятия. Давайте разберем пример:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
В таблице отмечены темно-оранжевым.
Правило 5 (отсекает 8 чисел)
Для чисел от 90 до 100.
XX * XX = 8000+ 200 * вторую цифру + (10 - вторая цифра)^2
Похоже на правило 3, но с другими коэффициентами. Давайте разберем пример:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
В таблице отмечены темно-темно-оранжевым.
Правило №6 (отсекает 32 числа)
Необходимо запомнить квадраты чисел до 40. Звучит дико и трудно, но на самом деле до 20 большинство людей знают квадраты. 25, 30, 35 и 40 поддаются формулам. И остается лишь 16 пар чисел. Их уже можно запомнить при помощи мнемоники (о которой я также хочу рассказать позднее) или любыми другими способами. Как таблицу умножения 
В таблице отмечены синим.
Вы можете запомнить все правила, а можете запомнить выборочно, в любом случае все числа от 1 до 100 подчиняются двум формулам. Правила же помогут, не используя эти формулы, быстрее посчитать больше 70% вариантов. Вот эти две формулы:
Формулы (осталось 24 числа)
Для чисел от 25 до 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
Например:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369
Для чисел от 50 до 100
XX * XX = 200(XX - 50) + (100 - XX)^2
Например:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489
Конечно не стоит забывать про обычную формулу разложения квадрата суммы (частный случай бинома Ньютона):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.
UPDATE
Произведения чисел, близких к 100, и, в частности, их квадраты, также можно вычислять по принципу «недостатков до 100»:
Словами: из первого числа вычитаем «недостаток» второго до сотни и приписываем двузначное произведение «недостатков».
Для квадратов, соответственно, еще проще.
92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464
(от sielover)
Возведение в квадрат, возможно, не самая полезная в хозяйстве вещь. Не сразу вспомнишь случай, когда может понадобиться квадрат числа. Но умение быстро оперировать числами, применять подходящие правила под каждое из чисел отлично развивает память и «вычислительные способности» вашего мозга.
Кстати, думаю, все читатели хабры знают, что 64^2 = 4096, а 32^2 = 1024.
Многие квадраты чисел запоминаются на ассоциативном уровне. Например, я легко запомнил 88^2 = 7744, из-за одинаковых чисел. У каждого наверняка найдутся свои особенности.
Две уникальные формулы я впервые нашел в книге «13 steps to mentalism», которая мало связана с математикой. Дело в том, что раньше (возможно, и сейчас) уникальные вычислительные способности были одним из номеров в сценической магии: фокусник рассказывал байку о том, как он получил сверхспособности и в доказательство этого моментально возводит числа до сотни в квадрат. В книге так же указаны способы возведения в куб, способы вычитания корней и кубических корней.
Если тема быстрого счета интересна — буду писать еще.
Замечания об ошибках и правки прошу писать в лс, заранее спасибо.
|
Как можно легко возводить в квадрат следующие числа: 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75?
Умножаешь первую цифру числа на эту же цифру +1. К полученному числу дописываешь 25. Пример: 35*35=? 3 (первая цифра числа) * (3+1) (эта же цифра +1) = 3*4 = 12 Дописываем 25 Получается 35*35=1225 автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Знаете ответ? |
Смотрите также: Почему была выбрана такая неудобная форма записи возведения в степень? В системах криптографии для генерации ключа часто используют операцию (см)? Возведение комплексных чисел в произвольную степень — правила? Как число 10 возвести в минус первую степень, вторую, четвёртую? Сколько будет 6 в 3 степени? Сколько будет 9 в минус 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 степени? Как доказать что 0,5 в нулевой степени равно 1? Как объяснить парадокс что n^0 = 1 при любом n? Сколько будет 3 в степени 1/2 и 3 в степени минус 1/2? Что такое возведение числа в куб? |
Книга является продолжением методики, использованной в книге «Таблица умножения за 3 дня». Методики, в которой результат получается методом лёгких вычислений без «зубрёжки» (аналогично тому, как получается результат умножения на 10, путём приписывания цифры 0 к умножаемому). Вычисления доступны ученикам 3-го класса (знают таблицу умножения и умеют делать арифметические действия).
Оглавление
Метод формул
Формула квадратов чисел от 11 до 19
Данная формула применима для вычисления квадратов, как частного случая умножения чисел от 11 до 19, когда оба числа одинаковые.
Детям младших классов (3—5 класс) формулу объясняю как методику.
Обозначим цифры единиц чисел из интервала [11, 19] как Х и У. Тот факт, что число десятков равно 1, учтём в формуле как 1 в нужном разряде. Нижним подчёркиванием (вместо математического верхнего) покажем, что умножаются числа 1Х и 1У. Тогда вся формула будет иметь вид:
1Х*1У= (1Х+У) *10+Х*У= (1У+Х) *10+Х*У
Формула умножения, чисел из отрезка [11, 19]
Словами можно объяснить так:
Приумножении чисел из промежутка [11, 19] нужно поступить таким образом. К первому числу надо добавить единицы второго числа (можно наоборот ко второму числу прибавить единицы первого числа). Полученный результат умножить на 10 (приписать справа 0) и прибавить произведение единиц первого и второго числа.
Так как данная книга о квадратах чисел, то применим данную формулу к частным случаям (когда Х=У):
112=11*11= (11+1) *10+1*1=120+1=121;
122=140+22=144;
132=160+32=169;
142=180+42=196;
152=200+52=225;
162=220+62=256;
172=240+72=289;
182=260+64=324;
192=280+81=361;
Необходимо добиться навыка подсчета таких чисел, как в последних двух примерах (18 и 19), когда многие промежуточные выкладки сведены к сумме двух слагаемых. Вполне можно добиться навыка простого запоминания этих квадратов. Подробнее о технике запоминания будет изложено в другом разделе книги, касающегося мнемотехники.
Доказательство.
Доказать справедливость формулы подсчёта таких чисел можно алгебраическими методами.
Перепишем числа 1Х и 1У как 10+Х и 10+У, где Х и У это единицы первого и второго числа.
Тогда (10+Х) * (10+У) =100+10Х+10У+Х*У= (10+Х+У) *10+Х*У.
Выражение в скобках (10+Х+У) это сумма первого числа 10+Х с единицами У второго числа или сумма второго числа 10+У с единицами Х первого числа. Далее полученный результат умножается на 10 и суммируется с произведением единиц первого и второго чисел. Данное правило и было описано словесно в этой главе.
Формула квадратов для чисел, оканчивающихся на 5
Эта формула распространяется и на другие случаи умножения двузначных чисел с одинаковым числом десятков и когда сумма единиц равна 10. Один из частных случаев этой формулы применяется для вычисления квадратных корней для чисел, оканчивающихся на 5.
В этой главе приведу частный случай этой формулы. О самой формуле напишу более подробно в другой моей книге.
Формула вычисления квадратов, для чисел, оканчивающихся на 5:
Х52=Х* (Х+1) *100+52=Х* (Х+1) 25
Квадраты чисел, оканчивающихся на 5
По сути, если число заканчивается на 5, то нужно число десятков увеличить на 1 и перемножить эти числа, в конце полученного результата дописать 25.
Примеры
1) 152=1* (1+1) *100+52=200+25=225;
2) 252=2* (2+1) *100+52=600+25=625;
3) 752=7*8*100+52=5600+25=5625;
4) 952=9000+25;
5) 1152=11*12*100+25=13225
На практике никакого умножения на 100 не производится. На самом деле сначала пишут результат умножения числа десятков на следующее за ним число и к нему приписывается 25:
852=7225.
Доказательство.
Представим число оканчивающееся на 5 как 10*Х+5, где Х-любое число из натурального ряда (5 пример показывает, что число может быть любым, а не только однозначным).
Тогда
Х52= (10Х+5) * (10Х+5) =100Х2+50Х+50Х+5*5=100Х2+100Х+25=100Х* (Х+1) +25=Х* (Х+1) *100+25=Х* (Х+1) 25
Формула квадратов чисел от 25 до 50
Многие вычислители (ментальные счётчики, фокусники-математики) используют следующую формулу для вычисления чисел из отрезка [25;50].
Конец ознакомительного фрагмента.
Смотрите также
На олимпиаде Кенгуру и на Внешнем независимом тестировании запрещено пользоваться калькуляторами. Поэтому очень важно научиться тратить на вычисления как можно меньше времени, чтобы использовать его на обдумывание задач.
Умножение двузначного числа на 11
Чтобы двузначное число умножить на 11, сложите его первую и последнюю цифру. Если результат будет однозначным, впишите его между двумя цифрами первоначального числа, а если двузначным – прибавьте первую цифру результата к первой цифре первоначального числа, а вторую – впишите между цифрами.
Примеры:
45х11
Складываем 4+5=9. Поэтому результатом будет 495.
76х11
Складываем 7+6=13. Единицу прибавляем к семёрке, а тройку пишем в середину и получаем 836.
Математическое обоснование:
Пусть нужно двузначное число 10a+b. Умножить на 11. Результатом будет 110a+11b = 100a +10 (a+b) +b
Умножение и деление на 5 и 25
Чтобы число умножить число на 5, его нужно разделить на 2 и умножить на 10. Чтобы число разделить на 5, его нужно умножить на 2 и разделить на 10.
Аналогично, умножение/деление на 25 заменяется делением/умножением на 4 и умножением/делением на 100
Примеры:
36х5
Делим 36 на 2, получаем 18. Умножаем 18 на 10 и получаем 180.
3/5
Умножаем 3 на 2 и получаем 6. Делим 6 на 10 и получаем 0,6
45/25
Умножаем 45 на 4, получаем 180. Делим 180 на 100, получаем 1,8
84х25
Делим 84 на 4, получаем 21. Умножаем 21 на 100 и получаем 2100.
Математическое обоснование:
Поскольку 5=10/2, умножение/деление на 2 можно свести к более простым умножениям/делениям на 2 и 10.
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5
Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся пятёркой, нужно умножить число, полученное отбрасыванием последней пятёрки на следующее в натуральном ряду, и к результату приписать 25.
Примеры:
652
Умножаем 6 на 7, получаем 42. Приписываем 25, получаем 4225.
1152
Умножаем 11 на 12, получаем 132. Приписываем 25, получаем 13225.
Математическое обоснование:
Возведём в квадрат число 10n+5. (10n+5)2 = 100n2+100n+25 = 100n(n+1)+25, откуда и следует данное правило.
Возведение в квадрат числа, близкого к круглому
Целесообразно воспользоваться формулами квадрата суммы или разности.
Примеры:
192 = (20-1)2 = 400–40+1=361
422 = (40+2)2 = 1600+160+4 = 1764
Математическое обоснование:
Формула квадрата суммы: (a+b)2 = a2+2ab+b2
Формула квадрата разности: (a-b)2 = a2–2ab+b2
Вычитание из степени десятки
Для вычитания числа из степени десятки, нужно последнюю его цифру заменить дополнением до десяти, а остальные (включая первые виртуальные нули) – дополнениями до девяти.
Примеры:
1000-725 = (9-7)(9-2)(10-5) = 275
100000 – 1237 = 100000 – 01237 = (9-0)(9-1)(9-2)(9-3)(10-7) = 98763
Математическое обоснование:
Правило следует из алгоритма вычитания столбиком.
Прибавление числа, близкого к степени десятки
Вместо прибавления числа, состоящего из девяток и оканчивающегося на 9 (8, 7, 6 и т.д.), прибавьте следующую большую степень десятки и вычтите 1 (2, 3, 4 и.т.д)
Примеры:
125+999 = 1125-1 = 1124
6528+996 =7258-4=7254
Математическое обоснование:
Для k-значного числа 99…9 = 100..00 – 1
Упрощённые признаки делимости на 4 и 8
Обычно для проверки делимости на 4 применяется следующий признак: Если двуциферное окончание числа делится на 4, то и само число делится на 4.
Однако, использовав обобщённый признак делимости, заметим, что число 10 даёт остаток 2 при делении на 4. Поэтому переформулируем правило так: Если сумма последней цифры с удвоенной предпоследней делится на 4, то и само число делится на 4.
Аналогично для делимости на 8. Вместо проверки на делимость трёхциферного окончания, можно выполнять проверку суммы последней, удвоенной предпоследней и учетверённой третьей с конца цифры.
Примеры:
Число 1324
4+2*2=8 – делится на 4.
4+2*2+3*4=20 – не делится на 8
Число 6328
8+2*2=12 – делится на 4.
8+2*2+3*4=24 – делится на 8
Математическое обоснование:
Обобщённый признак делимости подробно рассмотрен в отдельной статье.
Чтобы возвести в квадрат двузначное число оканчивающееся на 5 надо: отбросить цифру5,оставщуюся цифру умножить на последующее за этой цифрой число,и к полученному результату дописать 25.
Примеры. 352= (3*4)25=1225 452=(4*5)25=2025
752=(7*8)25=5625
152=(1*2)25=225