Как найти квадрат одночлена

Одночлены — это любое число, переменная, любая степень, а также произведение чисел, переменных и степеней, с которыми можно совершать разные математические действия. Примеры одночленов: 9, 5², x, 5a; 3ab² ;  −6²aa²b³. 

Приведение одночлена к стандартному виду

Приведение одночлена к стандартному виду заключается в умножении однотипных множителей, входящих в этот одночлен. То есть числа нужно перемножать с числами, переменные с переменными, степени со степенями. В результате этих действий получается упрощённый одночлен, который тождественно равен предыдущему. Важно: в одночлене степени можно перемножать только в том случае, если они имеют одинаковые основания.

Рассмотрим следующий одночлен:  3a²5a³b²
 — числа 3 и 5 перемножим и получим число 15,
— степени a² и a³ имеют одинаковое основание a,  поэтому мы можем записать результат a⁵,
— степень b² остаётся без изменений.
Получили результат: 3a²5a³b² = 15a⁵b²

Для того, чтобы далее рассматривать одночлены и действия с ними, вспомним тему «Степень с натуральным показателем«

где: a — основание степени; n — показатель степени.

Коэффициент одночлена

• Числовой сомножитель (в примере 15) называют коэффициентом одночлена. Приводя одночлен к стандартному виду, коэффициент нужно записывать в первую очередь, и только потом переменные и степени.
• Если коэффициент в одночлене отсутствует, то говорят, что коэффициент равен единице.
  Например, для одночлена ab коэффициентом является 1, поскольку ab это произведение единицы и ab: abc = 1×ab.
• Если перед одночленом стоит знак минуса, то коэффициент равен минус единице. Например, для одночлена —ab коэффициентом является -1, поскольку ab это произведение -1 и ab.

Степень одночлена

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных входящих в этот одночлен.  Показатель числового множителя при этом не считается.
Если одночлен не содержит переменных или степеней, а состоит из числа, то говорят, что степень такого одночлена равна нулю.  

Примеры:

• Степенью одночлена 15a⁵b² является 7: переменная a имеет степень 5, а переменная b — 2. Отсюда 5 + 2 = 7. Показатель числового сомножителя 15 считать не нужно, поскольку нас интересуют только показатели переменных.
• Степенью одночлена 7ab² является 3:  переменная a имеет показатель 1, а переменная b — 2. 
• Степень одночлена 11 равна нулю, так как это число.

Не следует путать степень одночлена и степень числа:

• Степень числа это произведение из нескольких одинаковых множителей.
• Степень одночлена это сумма показателей всех переменных входящих в этот одночлен.

Сложение и вычитание одночленов

Чтобы сложить (вычесть) одночлены, нужно сложить (вычесть) их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Чтобы складывать и вычитать одночлены, они должны иметь одинаковую буквенную часть. Коэффициенты могут быть любыми. Сложение и вычитание одночленов это по сути представляет собой приведение подобных слагаемых.

Пример 1. Сложить одночлены 6a²b и 2a²b:
сложим коэффициенты 6 и 2, а буквенную часть 6a²b оставим без изменений.
Получим: 6a²b + 2a²b = 8a²b

Пример 2. Вычесть из одночлена 5a²b³ одночлен 2a²b³
Решение: 5a²b³ − 2a²b³ = 5a²b³ −2a²b³ = 3a²b³

Умножение одночленов

Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их числовые и буквенные части.

Пример 3. Перемножить одночлены 5x и 8y
Перемножим числовые и буквенные части по отдельности: 5x × 8y = (5 ×  × (x × y) = 40xy

Пример 4. Перемножить одночлены 5x²y³ и 7x³y²c
Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. В процессе умножения будем применять правило перемножения степеней с одинаковыми основаниями. Перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:
5x²y³ × 7x³y²c = (5 × 7) × (x²x³) × (y³y²) × c = 35x⁵y⁵c

Пример 5. Перемножить одночлены −5a²bc и 2a²b⁴
−5a²bc × 2a²b⁴ = (−5 × 2) × (a²a²) × (bb⁴) × c = −10a⁴b⁵c

Деление одночленов

Для того, чтобы разделит один многочлен на другой, нужно коэффициент первого одночлена разделить на коэффициент второго одночлена, а буквенную часть первого одночлена разделить на буквенную часть второго одночлена. При этом используется правило деления степеней.

Пример 6. Разделить одночлен 8a²b² на одночлен 4ab. 
Разделим коэффициент делимого на коэффициент делителя, получим 8 : 4 = 2.
Теперь делим буквенную часть:
— в делимом содержится a², в делителе — просто a. Делим a² на a, получаем a, поскольку a² : a = a^2 − 1 = a. 
— в делимом содержится b², в делителе — просто b. Делим b² на b, получаем b, поскольку b² : b = b^2 − 1 = b. Значит, при делении одночлена 8a²b² на одночлен 4ab получается одночлен 2ab.

Если переменная есть только в одном многочлене:

Если в делителе окажется переменная, которой нет в делимом, то  деление невозможно.

Например, одночлен 6xy² нельзя разделить на одночлен 3xyz, так как в делителе 3xyz содержится переменная z, которая не содержится в делимом 6xy².

Но в некоторых дробях, если невозможно выполнить деление, бывает возможным выполнить сокращение. Делается это с целью упростить выражение.

*сокращение дроби это деление числителя и знаменателя на одно и то же число.
Так, в примере нельзя разделить одночлен 6xy² на одночлен 3xyz. Но можно сократить эту дробь на одночлен 3xy.

Если в делимом содержится переменная, которая не содержится в делителе, то деление будет возможным. В этом случае переменная, которая отсутствовала в делителе, будет перенесена в частное без изменений.

Например, при делении одночлена 4x²y²z на 2xy, получается 2xyz. 

Если одна из степеней, входящая в делимое, имеет показатель меньший, чем показатель той же степени из делителя, то деление одночлена на одночлен также невозможно.

Например, разделить одночлен 2x на одночлен x² нельзя, поскольку степень x, входящая в делимое, имеет показатель 1, тогда как степень x², входящая в делитель, имеет показатель 2. Мы не сможем найти частное, которое при перемножении с делителем x² даст в результате делимое 2x.

Возведение одночлена в степень

При возведении степень одночлена каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются: (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ 

Пример 7. Возвести одночлен xy во вторую степень.
Чтобы возвести одночлен xy во вторую степень, нужно возвести во вторую степень каждый множитель этого одночлена: (xy)² = x²y²

Пример 8. Возвести одночлен −a²bc³ в пятую степень.
В данном примере коэффициентом одночлена является −1. Этот коэффициент тоже нужно возвести в пятую степень: 
(−a²bc³)⁵ = (−1)⁵ × (a²)⁵ × b⁵ × (c³)⁵ = −1a¹⁰b⁵c¹⁵ = −a¹⁰b⁵c¹⁵
Когда коэффициент равен −1, то саму единицу не записывают. Записывают только минус и потом остальные множители одночлена.

Пример 9. Представить одночлен 121a⁶ в виде одночлена, возведённого в квадрат.
— число 121 получается, если число 11 возвести в квадрат — это первый множитель.
— степень a⁶ получается, если возвести в квадрат степень a³ — это второй множитель.
Таким образом, если произведение 11a³ возвести во вторую степень, то получится  121a⁶
(11a³)² = 11² × (a³)² = 121a⁶

Разложение одночлена на множители

Поскольку одночлен является произведением чисел, переменных и степеней, то он может быть разложен на множители, из которых состоит.

Пример 10. Разложить одночлен 3a³b² на множители
Данный одночлен можно разложить на множители:
3a³b² = 3×a×a×a× b×b =  3×a×a×a×b² = 3×a³×b×b

Что такое одночлены в математике? Зачем они нужны? Мы рассмотрим с вами определение одночлена, стандартный вид одночлена и дадим определение степени одночлена.

Определение

Одночлен – это выражение, которой представляет собой произведение числа, переменной или переменных и степеней переменных. Например, , , , – примеры одночленов.

Выражения или – не являются одночленами, так как представляют сумму и частное, а не произведение.

Стандартный вид одночлена

Стандартный вид одночлена – это произведение числа и переменных в различной степени. Согласно этому число можно считать одночленом, так как оно может быть представлено в виде произведения числа на переменную в нулевой степени: . Например, – одночлен стандартного вида.

Примеры стандартного вида одночлена:

,  , , , , .

Степень одночлена

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней переменных. Например, одночлен – это одночлен второй степени, а – одночлен седьмой степени.

Степень одночлена – равна единица, а степень одночлена   – нулю.

Подобные одночлены

Подобными одночленами называют одночлены, которые отличаются только числовым коэффициентом, а также те одночлены, которые равны между собой.

Примеры подобных одночленов: и , и , и .

Приведение к одночлену стандартного вида

Задание 1

Приведите к одночлену стандартного вида произведение .

Решение: перемножим сначала числа , теперь переменные x , теперь переменные : .

Стандартный вид многочлена:

Ответ: .

Задание 2

Приведите к одночлену стандартного вида выражение .

Решение: Перемножим числовые коэффициенты выражения , затем перемножим степени переменной x . Получим стандартный вид одночлена:

Ответ: .

Задание 3

Приведите сумму подобных одночленов к одночлену стандартного вида:

Решение: Просто сложим все одночлены, ориентируясь на числовую часть: , а переменные просто припишем, получаем стандартный вид одночлена: .

Ответ:

Возведите одночлен в степень

Задание 1

Возведите одночлен в квадрат.

Решение: .

Ответ:

Задание 2

Возведите одночлен в куб.

Решение: .

Ответ:

Задание 3

Какова степень одночлена .

Решение:

Для того чтобы определить степень одночлена, нужно:

• представить одночлен в стандартном виде,
• сложить показатели степеней переменных одночлена.

Сначала надо представить одночлен в стандартном виде, для этого выполним возведение в степень: , посчитаем сумму показателей степеней , получается степень одночлена 10.

Ответ: 10

Определение одночлена

Одночлен – это алгебраическое выражение, которое является произведением чисел, переменных и их степеней.

Одночленами также считают все числа, любые переменные и их степени.

Например:

Например:

$x^2cdot23xy$ — одночлен нестандартного вида, с коэффициентом 23 и степенью 4 (x в кубе и y в первой степени);

$-frac{3}{15}a^3 b^2$ – одночлен стандартного вида, с коэффициентом $left(-frac{3}{15}right)$ и степенью 5 (a в кубе и b в квадрате);

9 — одночлен стандартного вида, с коэффициентом 9 и степенью 0;

a — одночлен стандартного вида, с коэффициентом 1 и степенью 1.

Число 0, а также одночлены, тождественно равные нулю (например, $0 cdot x^3, 0cdot mn$), называются нуль-одночленами. Считают, что нуль-одночлен степени не имеет. Одночлены с одинаковой буквенной частью (например, $2ab^3 c^2 и -frac{7}{5}ab^3 c^2$) называются подобными.

Приведение одночлена к стандартному виду

Любой одночлен можно преобразовать так, чтобы получился одночлен стандартного вида.

Если в одночлен в качестве множителей входят несколько переменных, их принято записывать по алфавиту. Но это не является обязательным.

Примеры

Пример 1. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида, найдите его коэффициент и степень:

а) $ frac{1}{2}x^5y^4c cdot (-5xy^2 c^3) = frac{1}{2} cdot (-5) cdot c^{1+3} cdot x^{5+1} cdot y^{4+2} = -2,5c^4 x^6 y^6 $

коэффициент (-2,5), степень 4+6+6 = 16

б) $ -(3m^4)^2 cdot (-m^3 kp)^3 = -3^2 cdot (-1)^3 cdot k^3 cdot m^{8+9} cdot p^3 = 9k^3 m^17 p^3 $

коэффициент 9, степень 3+17+3 = 23

в) $ (-2)^3 xy cdot 1,5(x^4 y)^2 = -8 cdot 1,5 cdot x^{1+8} cdot y^{1+2} = -12x^9 y^3 $

г) $ (8m^3 )^2 n^3 cdot frac{1}{(4mn)^3} = frac{8^2 m^6 n^3}{4^3 m^3 n^3} = frac{(2^3)^2}{(2^2)^3} cdot frac{m^6}{m^3} cdot frac{n^3}{n^3} = m^3$

коэффициент 1, степень 3

Пример 2. Запишите одночлен в стандартном виде и найдите его числовое значение:

а) $ frac{1}{2} xycdot frac{1}{4}x^2 при x = 2, y = 3 $

$ frac{1}{2}xy cdot frac{1}{4}x^2 = frac{1}{2} cdot frac{1}{4} cdot x^{1+2}cdot y = frac{1}{8} x^3 y $

Подставляем: $ frac{1}{8}cdot2^3cdot3 = 3 $

б) $ (-2a^2 b^3) cdot left(frac{0,5}{ab}right)^2 при a = 73,b = 3 $

$ (-2a^2 b^3) cdot left(frac{0,5}{ab}right)^2 = -2 cdot frac{1}{2}^2 cdot frac{a^2}{a^2} cdot frac{b^3}{b^2} = -frac{1}{2}b $

Подставляем: $ -frac{1}{2}cdot3 = -1,5 $

Пример 3. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:

а) $ 16x^4 y^2 z^6 = 4^2cdot(x^2 )^2cdot y^2cdot(z^3 )^2 = (4x^2 yz^3 )^2 $

б) $ frac{49}{64}x^{12} y^4 z^{16} = (frac{7}{8} x^6 y^2 z^8 )^2 $

Пример 4*. Известно, что $ 5a^2 b^3 = 7$. Найдите значение выражения $ -frac{4}{49} a^6 b^9 $

Выразим произведение переменных через число: $ a^2 b^3 = frac{7}{5} $

Преобразуем выражение:

$$ -frac{4}{49} a^6 b^9 = -frac{4}{49} left(underbrace{a^2 b^3}_{=7/5text{}}right)^3 = -frac{4}{7^2} cdot left(frac{7}{5}right)^3 = -frac{4}{5^3} cdot frac{7^3}{7^2} = -frac{28}{125} $$

Ответ: $ -frac{28}{125} $