Как найти квадрат расстояния в многограннике

В данной статье хочу рассказать вам об определённом типе задач по стереометрии, одну из которых, возможно, предстоит решить именно вам на ЕГЭ по математике. Это задачи на решение составных многогранников:

Обычно требуется найти расстояние (или квадрат расстояния) между двумя точками; какой-либо угол, либо значение одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла.

Для решения  необходимо знать совсем не много теории: теорему Пифагора; определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике; значения углов тригонометрических функций.

Рассмотрим задачи:

Найдите расстояние между вершинами А и С₂  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Результат умножьте на  корень из шести  и запишите ответ.

Соединим точки  А и С₂   и рассмотрим  прямоугольный треугольник АА₂С₂:

По теореме Пифагора:

Ответ: 6

Найдите угол САD₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Соединим точки C, А, D₂:

Рассмотрим треугольник CАD₂:  AC = CD₂ = AD₂, так как являются диагоналями квадратов со сторонами равными 8. Следовательно, треугольник CАD₂ – равносторонний, то есть все его  углы равны 60°.

Таким образом, угол CАD₂ = 60°.

Ответ: 60

Найдите квадрат расстояния между вершинами В₂ и D₃ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Соединим точки B₂, B₃ и D₃. Рассмотрим прямоугольный треугольник B₂B₃D₃:

По теореме Пифагора:

Ответ: 12

Найдите тангенс угла АBB₃ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Соединим точки В и B₃, из точки B₃ опустим перпендикуляр на ребро АВ, точку пересечения обозначим как К. Рассмотрим прямоугольный треугольник КВB₃:

Ответ: 2

Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Соединим точки В  и C₂, а так же C₂  и С:

Рассмотрим прямоугольный треугольник СВС₂.  По теореме Пифагора:

Ответ: 46

245376. Найдите квадрат расстояния между вершинами В₂ и D₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Посмотреть решение

245380. Найдите тангенс угла AВB₃ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Посмотреть решение

245382. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Посмотреть решение

При решении подобных заданий главное – это «увидеть» треугольник, в который входит искомый элемент (отрезок, угол) и построить этот треугольник.  А далее уже использовать указанную в начале статьи теорию.

Есть ещё задачи с параллелепипедами:

245359   245360   245361   245362   245363

Процесс решения в них сводится к решению прямоугольного треугольника: нужно найти расстояние между вершинами (квадрат расстояния), либо заданный угол.

Мы продолжим рассматривать задачи по стереометрии? не пропустите! На этом всё. Как видите, ничего сложного. Успеха вам!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

22 января 2014

Еще одна задача B13, которая наглядно демонстрирует, насколько просто и удобно решать стереометрию с помощью метода обхода точек.

Задача B13. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и B2 многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

В этом видео я специально разобрал два различных маршрута, при которых возникают отрицательные смещения (причем по разным осям). Однако, как можно убедиться, расстояние между точками и ответ во всех случаях получится один и тот же.

Смотрите также:

1. Что такое обход точек
2. Метод коэффициентов, часть 1
3. Сложные выражения с дробями. Порядок действий
4. Периодические десятичные дроби
5. Задача B5: площадь закрашенного сектора
6. Особенности решения текстовых задач

Дан многогранник с прямыми двугранными углами, на рисунке указаны вершины D и C2. Необходимо найти квадрат расстояния между ними.

Для решения задачи потребуется использовать формулу для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве. Эта формула выглядит следующим образом:

d2 = (x2 — x1)2 + (y2 — y1)2 + (z2 — z1)2

где d2 — квадрат расстояния между точками, x1, y1, z1 — координаты первой точки, x2, y2, z2 — координаты второй точки.

Чтобы применить эту формулу к нашей задаче, необходимо определить координаты вершин D и C2. Для этого можно использовать данные на рисунке или предположить, что многогранник имеет правильную геометрию. В этом случае, можно определить координаты вершин исходя из формул для правильных многогранников.

Поскольку формула для расстояния использует квадраты разностей координат, то нет необходимости извлекать квадратный корень из полученного выражения, чтобы найти искомое расстояние. Можно просто взять квадрат выражения, полученного по формуле.

Таким образом, решение задачи сводится к следующим шагам:

1. Определить координаты вершин D и C2.

2. Подставить координаты в формулу для расстояния между точками и вычислить квадрат расстояния.

3. Представить ответ в нужном формате.

На практике, для решения подобных задач чаще всего используются специализированные программы для вычислений или графические системы компьютера, которые позволяют визуализировать многогранник и проводить необходимые измерения.

07
Сен 2013

Категория: 02 Стереометрия

02. Составные многогранники. Углы и расстояния

2013-09-07
2022-09-11

Автор: egeMax |

Нет комментариев