Онлайн калькулятор поможет найти квадрат разности двух выражений, который равен квадрату первого, минус удвоенное произведение первого и второго, плюс квадрат второго.
Формула квадрата разности: (a — b)2 = a2 — 2ab + b2
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Смотрите также
При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются
формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.
Следует также помнить, что вместо
«a» и «b» в формулах могут стоять как числа, так и любые другие
алгебраические многочлены.
Разность квадратов
Запомните!
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
Примеры:
- 152 − 22 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
- 9a2 − 4b2с2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)
Квадрат суммы
Запомните!
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе
плюс квадрат второго числа.
(a + b)2 =
a2 + 2ab + b2
Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить
квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:
Найти 1122.
- Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
112 = 100 + 1 - Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
1122 = (100 + 12)2 - Воспользуемся формулой квадрата суммы:
1122 = (100 + 12)2 = 1002 +
2 · 100 · 12 + 122 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.
- (8a + с)2 = 64a2 + 16ac + c2
Предостережение!
(a + b)2 не
равно (a2 + b2)
Квадрат разности
Запомните!
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе
плюс квадрат второго числа.
(a − b)2 =
a2 − 2ab + b2
Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:
(a − b)2 = (b − a)2
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:
(a − b)2 =
a2 −2ab + b2 = b2 − 2ab + a2 = (b − a)2
Куб суммы
Запомните!
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа
на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
(a + b)3 =
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Как запомнить куб суммы
Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.
- Выучите, что в начале идёт «a3».
- Два многочлена посередине имеют коэффициенты
3. - Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1.
(a0 = 1, b0 = 1). Легко заметить, что в формуле
идёт понижение
степени «a» и увеличение степени
«b». В этом можно убедиться:
(a + b)3 =
a3b0 +
3a2b1 + 3a1b2 +
b3a0 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Предостережение!
(a + b)3
не равно a3 + b3
Куб разности
Запомните!
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное
произведение квадрата первого числа на второе
плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.
(a − b)3 =
a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и
«−».
Перед первым членом «a3 »
стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем).
Значит, перед следующим членом будет
стоять «−», затем опять «+» и т.д.
(a − b)3 =
+ a3 −
3a2b
+ 3ab2 −
b3
=
a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Сумма кубов
Не путать с кубом суммы!
Запомните!
Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.
a3 + b3 =
(a + b)(a2 − ab + b2)
Сумма кубов — это произведение двух скобок.
- Первая скобка — сумма двух чисел.
- Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
(a2− ab + b2)
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.
Разность кубов
Не путать с кубом разности!
Запомните!
Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.
a3 − b3 =
(a − b)(a2 + ab + b2)
Будьте внимательны при записи знаков.
Применение формул сокращенного умножения
Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.
Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.
Примеры:
- a2 + 2a + 1 = (a + 1)2
- (aс − 4b)(ac + 4b) = a2c2 − 16b2
Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе
«Шпаргалки».
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
15 ноября 2015 в 10:23
Кристина Костенко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Кристина Костенко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
(x+y+z)3=
0
Спасибо
Ответить
12 июня 2016 в 1:59
Ответ для Кристина Костенко
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Перемножить тупо лень?
0
Спасибо
Ответить
6 сентября 2015 в 19:02
Артур Хорішко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Артур Хорішко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
(3ч-4)в квадрате=0,25
0
Спасибо
Ответить
2 сентября 2016 в 15:41
Ответ для Артур Хорішко
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
полагаю, что имеется ввиду пример:
(3 · x ?4)2=0,25
Применим формулу «разность квадратов» и решим квадратное уравнение, найдя корни.
9 · x2 ? 2 · 3 · 4 · x + 16 = 0,25
9x2-24x+15,75=0
D=9
x1=1,5
x2=1
Произведем проверку подставив в исходное выражение каждый из получившихся корней:
1) (3 · 1,5 ?4)2=0,25
0,52=0,25
2) (3 ·
?4)2=0,25
-0,52=0,25
0
Спасибо
Ответить
Алгебра
7 класс
Урок № 27
Квадрат разности
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Квадрат числа.
- Квадрат разности двух чисел.
- Квадрат двучлена.
Тезаурус:
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого и второго чисел, плюс квадрат второго числа.
Основная литература:
- Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
Дополнительная литература:
- Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
- Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
- Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения:
Для того чтобы выяснить, как выглядит формула квадрата разности, выполним возведение в степень. Возвести выражение во вторую степень, значит умножить его само на себя. Выполнив необходимые действия, получим формулу квадрата разности.
Сформулируем правило: квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого и второго чисел, плюс квадрат второго числа.
Эта формула также используется для упрощения вычислений.
Девяносто восемь можно представить в виде разности сто минус два. И далее использовать формулу квадрата разности.
Такое разложение делает возведение в квадрат двузначного числа доступным для устного вычисления.
Представьте многочлен в виде квадрата разности:
Теперь, используя формулу, можем записать квадрат разности:
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида.
Первым действием всегда выполняется возведение в степень. Поэтому сначала разложим квадраты разностей по формуле. Затем выполняем умножение, внимательно определяя знак каждого произведения. Выполним приведение подобных слагаемых и получим многочлен стандартного вида.
Справа мы видим трехчлен, напоминающий нам разложение разности квадратов.
Рассмотрим слагаемые этого трёхчлена.
Но слева у нас сумма, а не разность, значит, одночлен 4у нужно взять со знаком минус. И одночлен b является квадратом одночлена a.
Разбор заданий тренировочного модуля.
1. Квадрат суммы и квадрат разности.
Решите уравнение:
Решение.
Выполним возведение в квадрат и умножение числа на разность:
Содержание:
- Определение
Определение
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого,
минус удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго.
1
$(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$
Данная формула показывает правила раскрытия скобок. Так как любое математическое равенство «читается» как справа налево,
так и слева направо, то верно и обратное равенство. Проверим равенство (1), для этого умножим двучлен
$a-b$ на
себя: $(a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-a b-b a+b^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$.
При использовании формулы квадрата разности надо учитывать, что $(b-a)^{2}=(-(a-b))^{2}=(a-b)^{2}$.
Пример
Задание. Раскрыть скобки $(5 x-6 y)^{2}$
Решение. Решение проведем в два этапа, первый — возведем в квадрат по определению,
то есть умножим выражение $5 x-6 y$ на себя;
второй — используем формулу сокращенного умножения «квадрат разности».
1. По определению:
$(5 x-6 y)^{2}=(5 x-6 y)(5 x-6 y)=5 x cdot 5 x-5 x cdot 6 y-6 y cdot 5 x+6 y cdot 6 y=$
$=25 x^{2}-30 x y-30 x y+36 y^{2}=25 x^{2}-60 x y+36 y^{2}$
2. Используя формулу сокращенного умножения:
$(5 x-6 y)^{2}=(5 x)^{2}-2 cdot 5 x cdot 6 y+(6 y)^{2}=25 x^{2}-60 x y+36 y^{2}$
Как видно, использование формулы сокращенного умножения привело к более быстрому решению.
Использование такой формулы уменьшит вероятность ошибки.
С помощью формулы квадрат разности можно сравнительно легко и быстро возводить в квадрат большие числа:
$89^{2}=(90-1)^{2}=90^{2}-2 cdot 90 cdot 1+1^{2}=8100-180+1=7921$
$88^{2}=(90-2)^{2}=90^{2}-2 cdot 90 cdot 2+2^{2}=8100-360+4=7744$
Читать следующую тему: формула «разность квадратов».
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения – квадрат разности. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.
- Формула квадрата разности
- Доказательство формулы
- Примеры задач
Формула квадрата разности
Квадрат разности a и b равняется квадрату уменьшаемого (a) минус удвоенное произведение уменьшаемого и вычитаемого (a и b) плюс квадрат вычитаемого (b).
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Данное выражение равносильно и в обратную сторону:
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Доказательство формулы
Так как возведение в квадрат – это умножение числа/выражения на само себя, давайте представим нашу формулу в виде перемножения двух одинаковых скобок:
(a-b)(a-b).
Остается согласно арифметическим правилам убрать скобки, тем самым, разложив произведение на множители:
(a-b)(a-b) = a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab + b2.
Примеры задач
Задание
Разложите на множители квадрат разности: (4x – 2y4)2.
Решение
Применив формулу сокращенного умножения получаем:
(4x – 2y4)2 = (4x)2 – 2 ⋅ 4x ⋅ 2y4 + (2y4)2 = 16x2 – 16xy4 + 4y8
Примечание:
Знание формулы, также, позволяет производить быстрые вычисления в уме:
- 772 = (80 – 3)2 = 802 – 2 ⋅ 80 ⋅ 3 + 32 = 6400 – 480 + 9 = 5929.
- 482 = (50 – 2)2 = 502 – 2 ⋅ 50 ⋅ 2 + 22 = 2500 – 200 + 4 = 2304.