Как найти квадрат синуса угла

Синус в квадрате

Синус (sin) — это тригонометрическая функция, геометрически представляющая отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

sin 2 (x)=sin(x)*sin(x)

Значение синуса находится в диапазоне от -1 до +1.

Смотрите также калькулятор вычисления синуса угла.

Быстро выполнить эту простейшую математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор вычисления квадрата синуса (синуса в квадрате). С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете вычислить квадрат синуса любого угла.

Косинус в квадрате и синус в квадрате

Разбираемся с простыми понятиями: синус и косинус и вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате.

Синус и косинус изучаются в тригонометрии (науке о треугольниках с прямым углом).

Поэтому для начала вспомним основные понятия прямоугольного треугольника:

Гипотенуза — сторона, которая всегда лежит напротив прямого угла (угла в 90 градусов). Гипотенуза — это самая длинная сторона треугольника с прямым углом.

Оставшиеся две стороны в прямоугольном треугольнике называются катетами.

Также следует помнить, что три угла в треугольнике всегда имеют сумму в 180°.

Теперь переходим к косинусу и синусу угла альфа (∠α) (так можно назвать любой непрямой угол в треугольнике или использовать в качестве обозначение икс — «x», что не меняет сути).

Синус угла альфа (sin ∠α) — это отношение противолежащего катета (сторона, лежащая напротив соответствующего угла) к гипотенузе. Если смотреть по рисунку, то sin ∠ABC = AC / BC

Косинус угла альфа (cos ∠α) — отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе. Если снова смотреть по рисунку выше, то cos ∠ABC = AB / BC

И просто для напоминания: косинус и синус никогда не будут больше единицы, так как любой катит короче гипотенузы (а гипотенуза — это самая длинная сторона любого треугольника, ведь самая длинная сторона расположена напротив самого большого угла в треугольнике).

Косинус в квадрате, синус в квадрате

Теперь переходим к основным тригонометрическим формулам: вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате.

Для их вычисления следует запомнить основное тригонометрическое тождество:

sin 2 α + cos 2 α = 1 (синус квадрат плюс косинус квадрат одного угла всегда равняются единице).

Из тригонометрического тождества делаем выводы о синусе:

sin 2 α = 1 — cos 2 α

или более сложный вариант формулы: синус квадрат альфа равен единице минус косинус двойного угла альфа и всё это делить на два.

sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​Из тригонометрического тождества делаем выводы о косинусе:

cos 2 α = 1 — sin 2 α

или более сложный вариант формулы: косинус квадрат альфа равен единице плюс косинус двойного угла альфа и также делим всё на два.

cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2

Эти две более сложные формулы синуса в квадрате и косинуса в квадрате называют еще «понижение степени для квадратов тригонометрических функций». Т.е. была вторая степень, понизили до первой и вычисления стали удобнее.

Добавить интересную новость

Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников

user->isGuest) »]) . ‘ или ‘ . Html::a(‘зарегистрируйтесь’, [‘/user/registration/register’], [‘class’ => »]) . ‘ , чтобы получать деньги $$$ за каждый набранный балл!’); > else user->identity->profile->first_name) || !empty(Yii::$app->user->identity->profile->surname))user->identity->profile->first_name . ‘ ‘ . Yii::$app->user->identity->profile->surname; > else echo ‘Получайте деньги за каждый набранный балл!’; > ?>—>

Формулы двойного угла в тригонометрии

Формулы двойного угла служат для выражения синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов угла со значением 2 α , используя тригонометрические функции угла α . Данная статья познакомит со всеми формулами двойного угла с доказательствами. Будут рассмотрены примеры применения формул. В заключительной части будут показаны формулы тройного, четверного углов.

Список формул двойного угла

Для преобразования формул двойного угла следует помнить о том, что углы в тригонометрии имеют вид n α записи, где n является натуральным числом, значение выражение записывается без скобок. Таким образом, считается, что запись sin n α имеет то же значение, что и sin ( n α ) . При обозначении sin n α имеем аналогичную запись ( sin α ) n . Использование записи применимо для всех тригонометрических функций со степенями n .

Ниже приведены формулы двойного угла:

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α , cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α , cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 — t g 2 α c t g 2 α — c t g 2 α — 1 2 · c t g α

Отметим, что данные формулы sin и cos применимы с любым значением угла α . Формула тангенса двойного угла справедлива при любом значении α , где t g 2 α имеет смысл, то есть α ≠ π 4 + π 2 · z , z является любым целым числом. Котангенс двойного угла существует при любом α , где c t g 2 α определен на α ≠ π 2 · z .

Косинус двойного угла имеет тройную запись двойного угла. Все они являются применимыми.

Доказательство формул двойного угла

Доказательство формул берет начало из формул сложения. Применим формулы синуса суммы:

sin ( α + β ) = sin α · cos β + cos α · sin β и косинуса суммы cos ( α + β ) = cos α · cos β — sin α · sin β . Предположим, что β = α , тогда получим, что

sin ( α + α ) = sin α · cos α + cos α · sin α = 2 · sin α · cos α и cos ( α + α ) = cos α · cos α — sin α · sin α = cos 2 α — sin 2 α

Таким образом доказываются формулы синуса и косинуса двойного угла sin 2 α = 2 · sin α · cos α и cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α .

Остальные формулы cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 приводят к виду cos 2 α = cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α , при замене 1 на сумму квадратов по основному тождеству sin 2 α + cos 2 α = 1 . Получаем, что sin 2 α + cos 2 α = 1 . Так 1 — 2 · sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α — 2 · sin 2 α = cos 2 α — sin 2 α и 2 · cos 2 α — 1 = 2 · cos 2 α — ( sin 2 α + cos 2 α ) = cos 2 α — sin 2 α .

Для доказательства формул двойного угла тангенса и котангенса применим равенства t g 2 α = sin 2 α cos 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α . После преобразования получим, что t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α — sin 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α — sin 2 α 2 · sin α · cos α . Разделим выражение на cos 2 α , где cos 2 α ≠ 0 с любым значением α , когда t g α определен. Другое выражение поделим на sin 2 α , где sin 2 α ≠ 0 с любыми значениями α , когда c t g 2 α имеет смысл. Чтобы доказать формулу двойного угла для тангенса и котангенса, подставим и получим:

t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α — sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α cos 2 α — sin 2 α cos 2 α = 2 · sin 2 α cos 2 α 1 — sin 2 α cos 2 α = 2 · t g α 1 — t g 2 α c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α — sin 2 α 2 · sin α · cos = cos 2 α — sin 2 α sin 2 α 2 · sin α · cos α sin 2 α = cos 2 α sin 2 α — 1 2 · cos α sin α = c t g 2 α — 1 2 · c t g α

Примеры использования формул двойного угла

Данный пункт показывает несколько примеров решения с формулами двойного угла. Конкретные примеры помогут глубже понять изучаемый материал. Чтобы убедиться в справедливости формул 2 α для α = 30 ° , применим значения тригонометрических функций для этих углов. Если α = 30 ° , тогда 2 α = 60 ° . Проверим значения sin 60 ° = 2 · sin 30 ° · cos 30 ° , cos 60 ° = cos 2 30 ° — sin 2 30 ° .

Подставив значения, получим t g 60 ° = 2 · t g 30 ° 1 — t g 2 30 ° и c t g 60 ° = c t g 2 30 ° — 1 2 · c t g 30 ° . .

Известно, что sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 и

sin 60 ° = 3 2 , cos 60 ° = 1 2 , t g 60 ° = 3 , c t g 60 ° = 3 3 , тогда отсюда видим, что

2 · sin 30 ° · cos 30 ° = 2 · 1 2 · 3 2 = 3 2 , cos 2 30 ° — sin 2 30 ° = ( 3 2 ) 2 — ( 1 2 ) 2 = 1 2 , 2 · t g 30 ° 1 — t g 2 30 ° = 2 · 3 2 1 — ( 3 3 ) = 3

и c t g 2 30 ° — 1 2 · c t g 30 ° = ( 3 ) 2 — 1 2 · 3 = 3 3

Проведя вычисления, можно сделать вывод, что справедливость для α = 30 ° подтверждена.

Основное использование тригонометрических формул двойного угла – это преобразования тригонометрических выражений. Рассмотрим пример применения двойного угла, года имеем угол, отличный от 2 α . В примере допускается применение формулы двойного угла 3 π 5 . Тогда его необходимо преобразовать, в результате чего получим α = 3 π 5 : 2 = 3 π 10 . Отсюда следует, что формула двойного угла для косинуса будет иметь вид cos 3 π 5 = cos 2 3 π 10 — sin 2 3 π 10 .

Представить sin 2 α 3 через тригонометрические функции, при α 6 .

Заметим, что из условия имеем 2 α 3 = 4 · α 6 . Тогда использовав 2 раза формулу двойного угла, выразим sin 2 α 3 через тригонометрические функции угла α 6 . Применяя формулу двойного угла, получим sin 2 α 3 = 2 · sin α 3 · cos α 3 . После чего к функциям sin α 3 и cos α 3 применим формулы двойного угла: sin 2 α 2 = 2 · sin α 3 · cos α 3 = 2 · ( 2 · sin α 5 · cos α 6 ) · ( cos 2 α 6 — sin α 6 ) = = 4 · sin α 6 · cos 3 α 6 — 4 · sin 3 α 6 · cos α 6

Ответ: sin 2 α 3 = 4 · sin α 6 · cos 3 α 6 — 4 · sin 3 α 6 · cos α 6 .

Формулы тройного, четверного и т.д. угла

Таким же образом выводятся формулы тройного, четверного и т.д. углов. Формулы тройного угла можно вывести из формул сложения двойного угла.

sin 3 α = sin ( 2 α + α ) = sin 2 α · cos α + cos 2 α · sin α = 2 · sin α · cos α · cos α + ( cos 2 α — sin 2 α ) · sin α = = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α

При замене cos 2 α на 1 — sin 2 α из формулы sin 3 α = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α , она будет иметь вид sin 3 α = 3 · sin α — 4 · sin 3 α .

Так же приводится формула косинуса тройного угла:

cos 3 α = cos ( 2 α + α ) = cos 2 α · cos α — sin 2 α · sin α = = ( cos 2 α — sin 2 α ) · cos α — 2 · sin α · cos α · sin α = cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α

При замене sin 2 α на 1 — cos 2 α получим формулу вида cos 3 α = — 3 · cos α + 4 · cos 3 α .

При помощи полученных формул преобразуем формулу тройного угла для тангенса и котангенса тройного угла:

t g 3 α = sin 3 α cos 3 α = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α cos 3 α cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α cos 3 α = = 3 · sin α cos α — sin 3 α cos 3 α 1 — 3 · sin 2 α cos 2 α = 3 · t g α — t g 3 α 1 — 3 · t g 2 α ; c t g 3 α = cos 3 α sin 3 α = cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α = cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α sin 3 α 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α sin 3 α = = cos 3 α sin 3 α — 3 · cos α sin α 3 · cos 2 α sin 2 α — 1 = c t g 3 α — 3 · c t g α 3 · c t g 2 α — 1

Чтобы выводить формулы четвертой степени, имеет смысл представить 4 α как 2 · 2 α , тогда имеет место использование формулы двойного угла два раза. Для выводы формулы 5 степени, представляем 5 α в виде 3 α + 2 α , что позволит применить формулы тройного и двойного углов для ее преобразования. Таким же образом делаются преобразования разных степеней тригонометрических функций. Их применение достаточно редкое в тригонометрии.

Квадрат синуса, косинуса, тангенса, котангенса (альфа)

Основные тригонометрические формулы

Содержание

Связи между тригонометрическими функциями одного угла

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов

Тригонометрические функции двойного угла

Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

Выражение тангенса угла через синус и косинус двойного угла

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Тригонометрические функции тройного угла

Связи между тригонометрическими функциями одного угла

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов

Тригонометрические функции двойного угла

Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

Выражение тангенса через синус и косинус двойного угла

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Тригонометрические функции тройного угла

        Итак, в прошлый раз мы с вами успешно познакомились с тригонометрическими функциями — синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом. И чётко уяснили себе следующее:

        1. Синус, косинус, тангенс и котангенс — это просто какие-то безразмерные числа. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике. Для каждого конкретного угла — свои.

        2. Тригонометрические функции крепко-накрепко связаны с углом. Знаем угол — знаем и все его тригонометрические функции. И наоборот.

        Если не уяснили эти простые вещи, то добро пожаловать по ссылочке, пока не поздно. А мы продолжаем.

        То, что между этой великолепной четвёркой существует тесная связь, не вызывает никаких сомнений. Всякая связь в математике задаётся, чаще всего, формулами. В тригонометрии формул — огромное количество. Это и формулы приведения, и формулы сложения, двойного угла, понижения степени и многие-многие другие.

        В этом же уроке мы рассмотрим лишь самые главные из них. Они так и называются — основными тригонометрическими формулами. Их всего шесть.

        Вот они:

        Здесь «альфа» — какой-то угол.

        Эти шесть формул — краеугольный камень всей тригонометрии. То, чего не знать нельзя. Если вы не знаете, чему равен, скажем, косинус тройного угла — не проблема. Никто вас не осудит. Но если вы не знаете, что sin²x+cos²x = 1, то будьте готовы получить заслуженную двойку. Вот так вот.

        Сразу предупреждаю, что три последних формулы (4-6) очень часто выпадают из памяти. Почему-то… Можно, конечно, легко вывести эти формулы из первых трёх, но в тревожной боевой обстановке ЕГЭ, когда на карту поставлена ваша дальнейшая судьба… сами понимаете.) Но не переживайте, совсем скоро я вам покажу простой и наглядный способ вывести все эти формулы просто и безошибочно!

        Из этих формул сразу видно, что они неразрывно связывают между собой синус, косинус, тангенс и котангенс одного и того же угла. Именно эти формулы нам позволяют находить все тригонометрические функции одного и того же угла, если известна хотя бы одна из них. Причём (важно!) не находя сам угол! Такие задания очень популярны как сами по себе, так и могут быть промежуточным этапом в более серьёзных заданиях. В тригонометрических уравнениях, к примеру. И особенно в высшей математике, в тех же пределах, интегралах, дифференциальных уравнениях и прочих крутых темах.

        Кстати говоря, хочу обратить ваше внимание на один частый ляп в неправильном написании тригонометрических функций в степенях — в квадрате, в кубе и так далее.

        Например, выражение квадрат синуса (или синус в квадрате) в тригонометрии пишется вот так:

        sin²x

        Двойка (т.е. степень) в этом случае пишется между углом и названием функции. Эта запись как раз и говорит нам о том, что в квадрат возводится именно сама функция (т.е. в нашем случае — синус).

        А вот запись

        sin x²

        будет говорить уже о том, что в квадрат возводится, не синус угла, а только сам угол! Почувствуйте разницу, что называется.)

        Во избежание путаницы, ещё раз (и навсегда!) всё то же самое, но со скобочками:

        sin²x = (sin x)²

       sin x² = sin(x²)

        Конечно, заниматься возведением углов в квадрат мы в школьной тригонометрии вряд ли будем. За ненадобностью.) Зато возведением функций в квадрат — постоянно. Так что привыкаем, не путаемся и пишем правильно.

        Ну что, посмотрим на вывод основных формул? Чтобы всё встало на свои места. Зачем и почему? Да потому, что любая формула запоминается гораздо проще, если есть возможность её «пощупать» в реале, а не механически зазубривать и бездумно принимать на веру, как само собой разумеющееся.) Тем более что это не просто, а очень просто!

Вывод и смысл основных тригонометрических формул.

        Первым делом, я снова нарисую наш старый добрый прямоугольный треугольник. Не обязательно по линеечке, по клеточкам, а просто схематично. От руки.

        Как-то вот так:

        

        Что нам понадобится ещё для дальнейшей работы?

        1. Теорема Пифагора:

        a² + b² = c²

        2. Определения тригонометрических функций:

        sin α = a/c

        cos α = b/c

        tg α = a/b

        ctg α = b/a

        3. Тождественные преобразования уравнений.

        Всё. Вот и все инструменты.

        А вот теперь начинается самое весёлое. Сейчас я беру нашу горячо любимую теорему Пифагора a² + b² = c² и… начинаю всячески над ней издеваться, подвергая её всевозможным пыткам.) Результатами пыток станут целых три формулы из нашего списка!

        Итак, пытка №1. Берём теорему Пифагора

        a² + b² = c²

        и делим обе части на квадрат гипотенузы. На с². А чего? Имеем полное право! Любая формула — это тоже уравнение! И к любой формуле применимы все те же тождественные преобразования (перенос вправо/влево, умножение/деление), которые мы проделываем для «обычных» уравнений с иксом.

        Что получим:

        

        А вот теперь соображаем, уже из тригонометрии, что же такое a/c? Правильно, синус альфа! Противолежащий катет (a) к гипотенузе (c). А b/c? Косинус альфа! А дробь с²/с²  — это… это… единичка! Как и любое число, делённое само на себя, да. Элементарно, Ватсон!)

        Так у нас с вами рождается на свет формула №1:

        Эта формула — самая популярная во всей тригонометрии! По-другому её ещё называют основным тригонометрическим тождеством.

        Она же, но записанная слегка по-другому (в зависимости от того, что именно надо выразить):

        sin²α = 1 — cos²α

        cos²α = 1 — sin²α

        Эти две модификации формулы №1 весьма и весьма часто применяются в примерах по тригонометрии! Именно они позволяют легко перевращать синусы в косинусы (и наоборот). Имеет смысл запомнить.

        А теперь продолжаем мучить теорему Пифагора дальше.) А что если в этот раз поделить обе части не на c², а, скажем, на b²? Ну разве b² чем-то хуже?!

        Давайте поделим и посмотрим:

        

        

        И снова соображаем из тригонометрии (и нашего рисунка), что же такое a/b. Верно, тангенс альфа! А c/b? Так сразу и не скажешь… Стоп! Но ведь что такое b/c — это же нам ясно! Это косинус альфа! У нас же в формуле стоит тот же косинус, только перевёрнутый вверх ногами — c/b. Значит, справа в скобках у нас стоит величина, обратная косинусу: 1/cos α.

        Итого имеем следующее:

        

        Переписываем в привычном виде и рождаем формулу №5:

        А если поделить всё на a²? Верно! Получится шестая формула!

        Попробуйте получить самостоятельно, очень полезно.)

        Вторая, третья и четвёртая формулы выводятся совсем элементарно, исходя только из определения тригонометрических функций и элементарных действий с дробями. Теорема Пифагора здесь не нужна.

        Что, например, у нас получится, если мы просто поделим синус на косинус?

        Делим и получаем:

        

        И все дела.) С котангенсом — аналогично.

        А если перемножить тангенс и котангенс? Ну-ка, ну-ка…

        

        Вот и вся премудрость. Убедились, насколько всё просто?)

Решение простейших заданий по тригонометрии.

        Теория теорией, но нам ведь опыт наращивать надо, верно? Так что пора приступать к задачкам. Всё как всегда — от совсем простых и безобидных до вполне себе серьёзных.

        Ну что, приступим?

        1. Вычислить значение tg x, если ctg x = 1,25.

        Здесь, ясное дело, надо искать формулу, связывающую тангенс и котангенс. Это четвёртая формула. Самое главное — сообразить, что вместо «альфа» можно писать любую другую букву. Лишь бы везде одна и та же была. Для нашего задания будет:

        tg x · ctg x = 1

        Можно прямо в эту формулу подставить значение ctg x = 1,25:

        tg x · 1,25 = 1

        Осталось лишь решить это простенькое уравнение. Да-да. Ещё раз подчёркиваю, что любая формула, любое соотношение, соединённое знаком равенства («=»), — это всегда уравнение! А там, где уравнение, там автоматически и тождественные преобразования уравнений, да…

        Наше соотношение — это тоже уравнение. Где роль неизвестного играет tg x. Прошу заметить, не икс, а именно весь тангенс целиком! Вас же не смущает уравнение, скажем, y·1,25 = 1? Что вы обычно делаете в таких случаях? Правильно, делите обе части на 1,25, чтобы слева остался чистый игрек. Вот и здесь тоже делим обе части на 1,25, добиваясь слева чистого тангенса.

        Делим и получаем:

        tg x = 0,8

        И все дела. Это и есть верный ответ.

        Можно поступить иначе. Сначала выразить из общей формулы тангенс:

        tg x = 1/ctg x

        А уже теперь подставить вместо ctg x его значение 1,25. Получим то же самое. И так и эдак можно. Разницы — никакой. Но… если осознать смысл этой формулы поглубже, то можно получить очень простой и очень полезный практический приём.

        Запоминаем:

        Если единицу разделить на котангенс, то получим тангенс. И наоборот, единица, делённая на тангенс, даёт котангенс. Эти две функции взаимно обратны!

        Что? Не знаете, как разделить единичку на число? Ну, это вопрос не к тригонометрии. Вопрос к шестому классу, к дробям… Как разделить? Да просто перевернуть это самое число и все дела!

        Например:

        — если tg x = 3/4, то ctg x = 4/3;

        — если ctg x = 2, то tg x = 1/2;

        — если tg x = 0,7 = 7/10, то ctg x = 10/7;

        — если ctg x = 0,25 = 1/4, то tg x = 4.

        И так далее и тому подобное. В общем, вы поняли…)

        Продолжаем развлекаться?)

        Например, классика жанра:

        2. Известно, что β — острый угол в прямоугольном треугольнике.

        Найти sinβ, если cosβ = 0,6.

        Ищем формулу, связывающую синус и косинус. Это самая первая формула:

        sin²β+cos²β = 1

        Подставляем в неё известную нам величину 0,6 вместо косинуса:

        sin²β+0,6² = 1

        И считаем, как обычно:

        sin²β+0,36 = 1

        sin²β = 1 — 0,36

        sin²β = 0,64

        Вот, практически, и всё. У нас есть квадрат синуса. А нужен сам синус. Для этого осталось всего лишь извлечь корень и — ответ готов! Корень из 0,64 будет 0,8.

        sinβ = 0,8

        Задачка почти элементарная. Но словечко «почти» я здесь употребил не случайно. Почему? Дело всё в том, что ответ -0,8 тоже вполне себе подходит: (-0,8)² тоже будет 0,64.

        Два разных ответа получается. А нужен один. Второй — неправильный. Что делать? Да всё как обычно! Внимательно прочитать задание! Там зачем-то сказано: «… если β — острый угол…» А лишних слов в заданиях, как правило, не бывает, да… Именно эти слова — и есть дополнительная информация к решению.

        Что такое острый угол? Это угол меньше 90 градусов. А у таких углов все тригонометрические функции (в том числе и синус, да…) всегда положительные. То есть, отрицательный ответ мы здесь просто отбрасываем. Имеем полное право.

        Ответ: sinβ = 0,8

        Собственно, на данном этапе нам такие тонкости особо не нужны. Пока… Ибо сейчас мы работаем только с прямоугольными треугольниками, где углы могут быть только острые. И не знаем, счастливые, что бывают и отрицательные углы, и углы в 1000 градусов… И у всех этих жутких углов тоже есть свои тригонометрические функции! С плюсом и с минусом. Всё от конкретного угла зависит.

        А вот старшеклассникам без учёта знака — никак. К сожалению… Но не будем бежать впереди паровоза. Всему своё время.)

        Решаем следующую задачку. Покруче.

        Определить косинус острого угла β в прямоугольном треугольнике, если ctgβ = 4/3.

        На первый взгляд, всё просто. Но попробуем найти в нашем списке формулу, связывающую котангенс и косинус. Ищем и… Вы правы! Такой формулы нету.) Надо как-то выкручиваться…

        Можно работать с шестой формулой:

        

        Подставим в эту формулу значение котангенса и преобразуем:

        

        Выразим из этой пропорции (т.е. тоже уравнения!) квадрат синуса:

        sin²β = 9/25

        Итак, квадрат синуса у нас есть. Теперь его легко можно превратить в квадрат косинуса по первой формуле:

        cos²β = 1 — sin²β

        

        Извлекаем корень и определяем сам косинус:

        

        Читаем ещё раз задание и вспоминаем, что у острого угла все тригонометрические функции всегда положительны. Отбрасываем отрицательное значение и получаем окончательный ответ:

        cosβ = 4/5

        Это был один способ. Можно решать и по-другому, через пятую формулу:

        

        Для этого нам надо:

        1) Превратить котангенс в тангенс по формуле №4;

        2) Подставить значение тангенса в формулу;

        3) Преобразовать выражение и выразить из него квадрат косинуса;

        4) Извлечь корень и получить два значения косинуса;

        5) Сообразить (из условия задания), что в прямоугольном треугольнике все тригонометрические функции всегда положительны. Отбросить отрицательный ответ и получить косинус.

        Как видим, хрен редьки не слаще, да.) Но это ещё не всё. Для такого решения надо ещё вспомнить эти формулы! А если забыли? Собственно, в этом-то и кроется главная проблема в их применении. Да ещё и куча вычислений… В общем, не подарок…

        Без паники! Для таких задачек есть очень простой и, главное, наглядный способ решения! Геометрический.) Читаем, вникаем и запоминаем.

        Итак, нам дано: ctgβ = 4/3.

        Нарисуем этот котангенс!

        Да-да! Схематично. Как? Очень просто! Берём черновик и рисуем любой прямоугольный треугольник. Кривовато, от руки, даже не соблюдая пропорций. У нас не ИЗО и не черчение с вами.) Выбираем любой острый угол и обозначаем его «бета».

        Вот так:

        

        Вспоминаем теперь, что котангенс — это отношение прилежащего катета к противолежащему. И ставим на соответствующих катетах их длины. Какие? А какие в нашем котангенсе записаны! 4 и 3. Противолежащий катет a = 3, а прилежащий b = 4.

        Кстати, прошу заметить, что реальные размеры треугольника нас совершенно не интересуют! Мы говорим сами себе: «Допустим, прилежащий к углу катет будет 4, а противолежащий — 3″. Тогда котангенс нашего угла β будет как раз 4/3, как и в задании.

        

        Чего ещё нам не хватает для полного счастья? Гипотенузы нам не хватает! Не беда: Пифагор ещё никого не подводил.)

        Считаем:

        c² = a² + b²

        c² = 4² + 3² = 25

        c = 5

        Итак, гипотенуза равна пяти. Подписываем на картинке.)

        А теперь считаем косинус прямо по заклинанию: отношение прилежащего катета к гипотенузе.

        cosβ = b/c = 4/5

        Всё! Быстро, правда?) Вот такой красивый графический способ-лайт. Безо всяких формул.) Ну… почти. Ведь теорему Пифагора всяко надо знать, да.)

        Следующее задание.

        Упростите выражение:

        

        Что, внушает? В таких замороченных примерах необходимо понимать, что синусы и косинусы никоим образом не отменяют всей остальной математики. И подчиняются тем же самым общим правилам, что и обычные числа и буквы в алгебре! А именно — разложение на множители, формулы сокращённого умножения, раскрытие скобок, приведение подобных, сокращение дробей и т.п.

        Вас же никак не смущает дробь

        

        правда ведь? Хотя кого-то она, возможно, тоже смущает, да…

        Естественно, к основным правилам алгебры добавляется ещё и специфика самой тригонометрии, от этого никуда не денешься. Собственно, с этой целью и разбираем соответствующий пример, да.)

        Начнём с числителя нашей здоровенной дроби. Забудем на минутку про тригонометрию и прикинем, что там можно сделать, основываясь на обычных правилах алгебры. Да хотя бы вынести один синус за скобки! Верно, давайте вынесем:

        sin³x·cos x + sin x·cos³x = sin x (sin²x·cos x+cos³x)

        Ой, ещё и косинус вынести можно!

        sin x (sin²x·cos x+cos³x) = sin x·cos x (sin²x+cos²x)

        Вот так. Самые грамотные вообще сразу целиком вынесут произведение sin x·cos x за скобку. Знания и наблюдательность иногда очень помогают. Если они есть.)

        А вот теперь и тригонометрия в дело вступает! Что у нас в скобочках? Да! В скобочках у нас — чистая формула №1. Или основное тригонометрическое тождество:

        sin²x+cos²x = 1

        От умножения на единичку выражение не меняется. Значит, числитель нашей дроби будет не что иное, как просто sin x·cos x.

        Всё. Числитель упростили до упора. Работаем со знаменателем:

        (1–sin x)(1+sin x)

        А здесь что? Разность ква… Точно! Разность квадратов! Такая родная и знакомая формула:

        (a—b)(a+b) = a² — b²

        Под буквой «a» здесь скрывается единичка, а под буквой «b» — выражение sin x. Ну и что? Важно понимать, что под буквами в алгебраических выражениях может скрываться всё что угодно! И числа, и синусы, и логарифмы, и степени — любые сложные выражения! Алгебре все выражения по плечу. Иначе она не была бы алгеброй, да…)

        Вот и срабатываем прямо по формуле разности квадратов:

        (1–sin x)(1+sin x) = 1² — (sin x)² = 1 — sin²x

        А вот теперь соображаем, уже из тригонометрии, что

        1 — sin²x = cos²x

        Вставляем упрощённые числитель и знаменатель в нашу дробь, сокращаем что сокращается и получаем:

        

        Казалось бы, всё. В рамках алгебры 7-го класса такая дробь дальнейшему упрощению уже не поддаётся, но алгебра в этом примере и так постаралась на славу. Зато в рамках тригонометрии эта дробь вполне себе упрощается! Что же такое синус поделить на косинус? Тангенс, конечно же! Чистая формула №2.

        

        Вот теперь всё. Значит, окончательный результат упрощения вот такой:

        

        Эффект потрясающий, правда?

        Запоминаем:

        В тригонометрии очень популярны задания, где надо использовать алгебру 7-го класса. А именно — разложение на множители, формулы сокращённого умножения, раскрытие скобок, приведение подобных, сокращение дробей и т.п. Проверяем замороченные примеры на алгебру 7-го класса!

        Ещё из той же оперы:

        Докажите тождество:

        

        Напоминаю, что страшная фраза «доказать тождество» всего лишь означает, что надо упростить обе части предлагаемого равенства (или какую-то одну, более сложную) и убедиться, что слева и справа стоит одно и то же выражение.

        Вот и пробуем добраться до одинакового выражения! Начинаем с левой части. Превращаем тангенс в отношение синуса к косинусу по второй формуле:

        

        Выражение в скобках превращаем в квадрат косинуса по первой формуле:

        

        Подставляем, сокращаем косинусы и получаем:

        

        Ну вот. Левая часть упрощена по максимуму. С правой частью аналогично — формулы №1 и №3 нам в помощь:

        

        Вот и всё! Слева и справа мы получили совершенно одинаковые выражения! А именно — sinα·cosα. Что и требовалось доказать.)

        Итак, самое главное.

        Чётко уясняем: тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) одного угла неразрывно связаны между собой основными тригонометрическими формулами. Если нам известна хотя бы одна из функций — значит, можно (при наличии необходимой дополнительной информации) вычислить и все остальные!

        А теперь порешаем, как обычно.

        Простенькие задачки:

        1. Косинус острого угла равен 7/25. Найдите синус этого угла.

        2.  Известно, что β — угол в прямоугольном треугольнике. Найти tgβ, если sinβ = 15/17.

        3. Найдите косинус острого угла A, если известно, что ctg A = 2,4.

        Покруче:

        4. Найдите значение выражения 4cos²13° — 4 + 4sin²13°.

        5. Упростите выражение и найдите его значение, если sinβ = 1:

        

        И совсем круто:

        6. Известно, что tg y = 3. Найдите значение выражения:

        

        Что, страшно? Мы такого не решали? Да, не решали. Но и самим поразмышлять тоже иногда полезно, да.) Подсказка: основное свойство дроби вам в помощь! Ну и формула №2 для тангенса, само собой.)

        Ответы (в традиционном беспорядке):

        

Как разложить квадрат синуса, косинуса и тангенса?

Последнее редактирование ответа: 23.05.2012

• 
  Оставить отзыв

  Оставить отзыв

  Вы можете написать свои замечания к ответу, предложения об улучшении или просто поблагодарить автора. Комментарий, после проверки, увидят автор и редактор ответа. Будьте, пожалуйста, вежливыми. Спасибо!

  Если Вы хотите получить уведомление об
  исправлении ответа укажите свой e-mail:

  Неправильный формат адреса электронной почты