Как найти квадратный синус угла - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Синус в квадрате

Синус (sin) — это тригонометрическая функция, геометрически представляющая отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

sin 2 (x)=sin(x)*sin(x)

Значение синуса находится в диапазоне от -1 до +1.

Смотрите также калькулятор вычисления синуса угла.

Быстро выполнить эту простейшую математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор вычисления квадрата синуса (синуса в квадрате). С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете вычислить квадрат синуса любого угла.

Косинус в квадрате и синус в квадрате

Разбираемся с простыми понятиями: синус и косинус и вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате.

Синус и косинус изучаются в тригонометрии (науке о треугольниках с прямым углом).

Поэтому для начала вспомним основные понятия прямоугольного треугольника:

Гипотенуза — сторона, которая всегда лежит напротив прямого угла (угла в 90 градусов). Гипотенуза — это самая длинная сторона треугольника с прямым углом.

Оставшиеся две стороны в прямоугольном треугольнике называются катетами.

Также следует помнить, что три угла в треугольнике всегда имеют сумму в 180°.

Теперь переходим к косинусу и синусу угла альфа (∠α) (так можно назвать любой непрямой угол в треугольнике или использовать в качестве обозначение икс — «x», что не меняет сути).

Синус угла альфа (sin ∠α) — это отношение противолежащего катета (сторона, лежащая напротив соответствующего угла) к гипотенузе. Если смотреть по рисунку, то sin ∠ABC = AC / BC

Косинус угла альфа (cos ∠α) — отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе. Если снова смотреть по рисунку выше, то cos ∠ABC = AB / BC

И просто для напоминания: косинус и синус никогда не будут больше единицы, так как любой катит короче гипотенузы (а гипотенуза — это самая длинная сторона любого треугольника, ведь самая длинная сторона расположена напротив самого большого угла в треугольнике).

Косинус в квадрате, синус в квадрате

Теперь переходим к основным тригонометрическим формулам: вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате.

Для их вычисления следует запомнить основное тригонометрическое тождество:

sin 2 α + cos 2 α = 1 (синус квадрат плюс косинус квадрат одного угла всегда равняются единице).

Из тригонометрического тождества делаем выводы о синусе:

sin 2 α = 1 — cos 2 α

или более сложный вариант формулы: синус квадрат альфа равен единице минус косинус двойного угла альфа и всё это делить на два.

sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

Из тригонометрического тождества делаем выводы о косинусе:

cos 2 α = 1 — sin 2 α

или более сложный вариант формулы: косинус квадрат альфа равен единице плюс косинус двойного угла альфа и также делим всё на два.

cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2

Эти две более сложные формулы синуса в квадрате и косинуса в квадрате называют еще «понижение степени для квадратов тригонометрических функций». Т.е. была вторая степень, понизили до первой и вычисления стали удобнее.

Добавить интересную новость

Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников

user->isGuest) »]) . ‘ или ‘ . Html::a(‘зарегистрируйтесь’, [‘/user/registration/register’], [‘class’ => »]) . ‘ , чтобы получать деньги $$$ за каждый набранный балл!’); > else user->identity->profile->first_name) || !empty(Yii::$app->user->identity->profile->surname))user->identity->profile->first_name . ‘ ‘ . Yii::$app->user->identity->profile->surname; > else echo ‘Получайте деньги за каждый набранный балл!’; > ?>—>

Формулы двойного угла в тригонометрии

Формулы двойного угла служат для выражения синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов угла со значением 2 α , используя тригонометрические функции угла α . Данная статья познакомит со всеми формулами двойного угла с доказательствами. Будут рассмотрены примеры применения формул. В заключительной части будут показаны формулы тройного, четверного углов.

Список формул двойного угла

Для преобразования формул двойного угла следует помнить о том, что углы в тригонометрии имеют вид n α записи, где n является натуральным числом, значение выражение записывается без скобок. Таким образом, считается, что запись sin n α имеет то же значение, что и sin ( n α ) . При обозначении sin n α имеем аналогичную запись ( sin α ) n . Использование записи применимо для всех тригонометрических функций со степенями n .

Ниже приведены формулы двойного угла:

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α , cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α , cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 — t g 2 α c t g 2 α — c t g 2 α — 1 2 · c t g α

Отметим, что данные формулы sin и cos применимы с любым значением угла α . Формула тангенса двойного угла справедлива при любом значении α , где t g 2 α имеет смысл, то есть α ≠ π 4 + π 2 · z , z является любым целым числом. Котангенс двойного угла существует при любом α , где c t g 2 α определен на α ≠ π 2 · z .

Косинус двойного угла имеет тройную запись двойного угла. Все они являются применимыми.

Доказательство формул двойного угла

Доказательство формул берет начало из формул сложения. Применим формулы синуса суммы:

sin ( α + β ) = sin α · cos β + cos α · sin β и косинуса суммы cos ( α + β ) = cos α · cos β — sin α · sin β . Предположим, что β = α , тогда получим, что

sin ( α + α ) = sin α · cos α + cos α · sin α = 2 · sin α · cos α и cos ( α + α ) = cos α · cos α — sin α · sin α = cos 2 α — sin 2 α

Таким образом доказываются формулы синуса и косинуса двойного угла sin 2 α = 2 · sin α · cos α и cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α .

Остальные формулы cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 приводят к виду cos 2 α = cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α , при замене 1 на сумму квадратов по основному тождеству sin 2 α + cos 2 α = 1 . Получаем, что sin 2 α + cos 2 α = 1 . Так 1 — 2 · sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α — 2 · sin 2 α = cos 2 α — sin 2 α и 2 · cos 2 α — 1 = 2 · cos 2 α — ( sin 2 α + cos 2 α ) = cos 2 α — sin 2 α .

Для доказательства формул двойного угла тангенса и котангенса применим равенства t g 2 α = sin 2 α cos 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α . После преобразования получим, что t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α — sin 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α — sin 2 α 2 · sin α · cos α . Разделим выражение на cos 2 α , где cos 2 α ≠ 0 с любым значением α , когда t g α определен. Другое выражение поделим на sin 2 α , где sin 2 α ≠ 0 с любыми значениями α , когда c t g 2 α имеет смысл. Чтобы доказать формулу двойного угла для тангенса и котангенса, подставим и получим:

t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α — sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α cos 2 α — sin 2 α cos 2 α = 2 · sin 2 α cos 2 α 1 — sin 2 α cos 2 α = 2 · t g α 1 — t g 2 α c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α — sin 2 α 2 · sin α · cos = cos 2 α — sin 2 α sin 2 α 2 · sin α · cos α sin 2 α = cos 2 α sin 2 α — 1 2 · cos α sin α = c t g 2 α — 1 2 · c t g α

Примеры использования формул двойного угла

Данный пункт показывает несколько примеров решения с формулами двойного угла. Конкретные примеры помогут глубже понять изучаемый материал. Чтобы убедиться в справедливости формул 2 α для α = 30 ° , применим значения тригонометрических функций для этих углов. Если α = 30 ° , тогда 2 α = 60 ° . Проверим значения sin 60 ° = 2 · sin 30 ° · cos 30 ° , cos 60 ° = cos 2 30 ° — sin 2 30 ° .

Подставив значения, получим t g 60 ° = 2 · t g 30 ° 1 — t g 2 30 ° и c t g 60 ° = c t g 2 30 ° — 1 2 · c t g 30 ° . .

Известно, что sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 и

sin 60 ° = 3 2 , cos 60 ° = 1 2 , t g 60 ° = 3 , c t g 60 ° = 3 3 , тогда отсюда видим, что

2 · sin 30 ° · cos 30 ° = 2 · 1 2 · 3 2 = 3 2 , cos 2 30 ° — sin 2 30 ° = ( 3 2 ) 2 — ( 1 2 ) 2 = 1 2 , 2 · t g 30 ° 1 — t g 2 30 ° = 2 · 3 2 1 — ( 3 3 ) = 3

и c t g 2 30 ° — 1 2 · c t g 30 ° = ( 3 ) 2 — 1 2 · 3 = 3 3

Проведя вычисления, можно сделать вывод, что справедливость для α = 30 ° подтверждена.

Основное использование тригонометрических формул двойного угла – это преобразования тригонометрических выражений. Рассмотрим пример применения двойного угла, года имеем угол, отличный от 2 α . В примере допускается применение формулы двойного угла 3 π 5 . Тогда его необходимо преобразовать, в результате чего получим α = 3 π 5 : 2 = 3 π 10 . Отсюда следует, что формула двойного угла для косинуса будет иметь вид cos 3 π 5 = cos 2 3 π 10 — sin 2 3 π 10 .

Представить sin 2 α 3 через тригонометрические функции, при α 6 .

Заметим, что из условия имеем 2 α 3 = 4 · α 6 . Тогда использовав 2 раза формулу двойного угла, выразим sin 2 α 3 через тригонометрические функции угла α 6 . Применяя формулу двойного угла, получим sin 2 α 3 = 2 · sin α 3 · cos α 3 . После чего к функциям sin α 3 и cos α 3 применим формулы двойного угла: sin 2 α 2 = 2 · sin α 3 · cos α 3 = 2 · ( 2 · sin α 5 · cos α 6 ) · ( cos 2 α 6 — sin α 6 ) = = 4 · sin α 6 · cos 3 α 6 — 4 · sin 3 α 6 · cos α 6

Ответ: sin 2 α 3 = 4 · sin α 6 · cos 3 α 6 — 4 · sin 3 α 6 · cos α 6 .

Формулы тройного, четверного и т.д. угла

Таким же образом выводятся формулы тройного, четверного и т.д. углов. Формулы тройного угла можно вывести из формул сложения двойного угла.

sin 3 α = sin ( 2 α + α ) = sin 2 α · cos α + cos 2 α · sin α = 2 · sin α · cos α · cos α + ( cos 2 α — sin 2 α ) · sin α = = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α

При замене cos 2 α на 1 — sin 2 α из формулы sin 3 α = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α , она будет иметь вид sin 3 α = 3 · sin α — 4 · sin 3 α .

Так же приводится формула косинуса тройного угла:

cos 3 α = cos ( 2 α + α ) = cos 2 α · cos α — sin 2 α · sin α = = ( cos 2 α — sin 2 α ) · cos α — 2 · sin α · cos α · sin α = cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α

При замене sin 2 α на 1 — cos 2 α получим формулу вида cos 3 α = — 3 · cos α + 4 · cos 3 α .

При помощи полученных формул преобразуем формулу тройного угла для тангенса и котангенса тройного угла:

t g 3 α = sin 3 α cos 3 α = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α cos 3 α cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α cos 3 α = = 3 · sin α cos α — sin 3 α cos 3 α 1 — 3 · sin 2 α cos 2 α = 3 · t g α — t g 3 α 1 — 3 · t g 2 α ; c t g 3 α = cos 3 α sin 3 α = cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α = cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α sin 3 α 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α sin 3 α = = cos 3 α sin 3 α — 3 · cos α sin α 3 · cos 2 α sin 2 α — 1 = c t g 3 α — 3 · c t g α 3 · c t g 2 α — 1

Чтобы выводить формулы четвертой степени, имеет смысл представить 4 α как 2 · 2 α , тогда имеет место использование формулы двойного угла два раза. Для выводы формулы 5 степени, представляем 5 α в виде 3 α + 2 α , что позволит применить формулы тройного и двойного углов для ее преобразования. Таким же образом делаются преобразования разных степеней тригонометрических функций. Их применение достаточно редкое в тригонометрии.

Источник

Уравнения разложения тригонометрических функций:квадрат синус альфа, косинус альфа, тангенс альфа, котангенс альфа.

Формулы преобразования функций двойного угла (2α) в выражение через одинарный угол (α)

sin(2α)- через sin и cos:

sin(2α)- через tg и ctg:

cos(2α)- через sin и cos:

cos(2α)- через tg и ctg:

tg(2α) и сtg(2α):

Формулы преобразования функций (синус, косинус, тангенс, котангенс), тройного угла (3α) в выражение через одинарный угол (α):

Тригонометрические формулы преобразования разности аргументов

sin(α)=OA

cos(α)=OC

tg(α)=DE

ctg(α)=MK

R=OB=1

Значения функций для некоторых углов, α

В таблице показаны формулы приведения для тригонометрических функций (sin, cos, tg, ctg).

Источник

Косинус в квадрате и синус в квадрате

Разбираемся с простыми понятиями: синус и косинус и вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате.

Синус и косинус изучаются в тригонометрии (науке о треугольниках с прямым углом).

Поэтому для начала вспомним основные понятия прямоугольного треугольника:

Оставшиеся две стороны в прямоугольном треугольнике называются катетами.

Также следует помнить, что три угла в треугольнике всегда имеют сумму в 180°.

Косинус в квадрате, синус в квадрате

Для их вычисления следует запомнить основное тригонометрическое тождество:

sin 2 α + cos 2 α = 1 (синус квадрат плюс косинус квадрат одного угла всегда равняются единице).

Из тригонометрического тождества делаем выводы о синусе:

sin 2 α = 1 — cos 2 α

sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

Из тригонометрического тождества делаем выводы о косинусе:

cos 2 α = 1 — sin 2 α

cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2

Редактировать этот урок и/или добавить задание Добавить свой урок и/или задание

Добавить интересную новость

Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников

user->isGuest) < echo (Html::a(‘Войдите’, [‘/user/security/login’], [‘class’ =>»]) . ‘ или ‘ . Html::a(‘зарегистрируйтесь’, [‘/user/registration/register’], [‘class’ => »]) . ‘ , чтобы получать деньги $$$ за каждый набранный балл!’); > else < if(!empty(Yii::$app->user->identity->profile->first_name) || !empty(Yii::$app->user->identity->profile->surname))< $name = Yii::$app->user->identity->profile->first_name . ‘ ‘ . Yii::$app->user->identity->profile->surname; > else < $name = »; >echo ‘Получайте деньги за каждый набранный балл!’; > ?>—>

При правильном ответе Вы получите 8 баллов

Упростить выражение с квадратом косинуса:

Выберите всего один правильный ответ.

Добавление комментариев доступно только зарегистрированным пользователям

Lorem iorLorem ipsum dolor sit amet, sed do eiusmod tempbore et dolore maLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborgna aliquoLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempbore et dLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborlore m mollit anim id est laborum.

28.01.17 / 22:14, Иван Иванович Ответить +5

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetu sed do eiusmod qui officia deserunt mollit anim id est laborum.

28.01.17 / 22:14, Иван ИвановичОтветить -2

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing sed do eiusmod tempboLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod temLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborpborrum.

28.01.17 / 22:14, Иван Иванович Ответить +5

Тригонометрия простыми словами

Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».

Тригонометрические функции связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике:

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе;
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе;
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему;
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему.

Или в виде формул:

Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).

Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.

Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.

Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.

Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.

Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)

0°

30°

45°

60°

90°

sin

√3

–

ctg

–

√3

Принцип повтора знаков тригонометрических функций

Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.

В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.

Например, значения тригонометрических функций для углов 270° и -90° равны.

Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2 π r. Следовательно 360° в радианах равно 2 π , а 180° равно π радиан.

Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π .

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Таблица СИНУСОВ для углов от 0° до 360° градусов

СИНУС (SIN α) — это одна из прямых тригонометрических функций для углов, в прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к его единственной гипотенузе.

α (радианы)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	√3π/2	2π
α (градусы)	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
SIN α (СИНУС)	0	1/2	√ 2/2	√3 /2	1	0	-1	0

Малая таблица значений тригонометрических функций (в радианах и градусах)

Угол в градусах	Sin (Синус)
0°	0
1°	0.0175
2°	0.0349
3°	0.0523
4°	0.0698
5°	0.0872
6°	0.1045
7°	0.1219
8°	0.1392
9°	0.1564
10°	0.1736
11°	0.1908
12°	0.2079
13°	0.225
14°	0.2419
15°	0.2588
16°	0.2756
17°	0.2924
18°	0.309
19°	0.3256
20°	0.342
21°	0.3584
22°	0.3746
23°	0.3907
24°	0.4067
25°	0.4226
26°	0.4384
27°	0.454
28°	0.4695
29°	0.4848
30°	0.5
31°	0.515
32°	0.5299
33°	0.5446
34°	0.5592
35°	0.5736
36°	0.5878
37°	0.6018
38°	0.6157
39°	0.6293
40°	0.6428
41°	0.6561
42°	0.6691
43°	0.682
44°	0.6947
45°	0.7071
46°	0.7193
47°	0.7314
48°	0.7431
49°	0.7547
50°	0.766
51°	0.7771
52°	0.788
53°	0.7986
54°	0.809
55°	0.8192
56°	0.829
57°	0.8387
58°	0.848
59°	0.8572
60°	0.866
61°	0.8746
62°	0.8829
63°	0.891
64°	0.8988
65°	0.9063
66°	0.9135
67°	0.9205
68°	0.9272
69°	0.9336
70°	0.9397
71°	0.9455
72°	0.9511
73°	0.9563
74°	0.9613
75°	0.9659
76°	0.9703
77°	0.9744
78°	0.9781
79°	0.9816
80°	0.9848
81°	0.9877
82°	0.9903
83°	0.9925
84°	0.9945
85°	0.9962
86°	0.9976
87°	0.9986
88°	0.9994
89°	0.9998
90°	1

Полная таблица синусов для углов от 0° до 360° с шагом всего в 1°

Угол в градусах	Sin (Синус)
91°	0.9998
92°	0.9994
93°	0.9986
94°	0.9976
95°	0.9962
96°	0.9945
97°	0.9925
98°	0.9903
99°	0.9877
100°	0.9848
101°	0.9816
102°	0.9781
103°	0.9744
104°	0.9703
105°	0.9659
106°	0.9613
107°	0.9563
108°	0.9511
109°	0.9455
110°	0.9397
111°	0.9336
112°	0.9272
113°	0.9205
114°	0.9135
115°	0.9063
116°	0.8988
117°	0.891
118°	0.8829
119°	0.8746
120°	0.866
121°	0.8572
122°	0.848
123°	0.8387
124°	0.829
125°	0.8192
126°	0.809
127°	0.7986
128°	0.788
129°	0.7771
130°	0.766
131°	0.7547
132°	0.7431
133°	0.7314
134°	0.7193
135°	0.7071
136°	0.6947
137°	0.682
138°	0.6691
139°	0.6561
140°	0.6428
141°	0.6293
142°	0.6157
143°	0.6018
144°	0.5878
145°	0.5736
146°	0.5592
147°	0.5446
148°	0.5299
149°	0.515
150°	0.5
151°	0.4848
152°	0.4695
153°	0.454
154°	0.4384
155°	0.4226
156°	0.4067
157°	0.3907
158°	0.3746
159°	0.3584
160°	0.342
161°	0.3256
162°	0.309
163°	0.2924
164°	0.2756
165°	0.2588
166°	0.2419
167°	0.225
168°	0.2079
169°	0.1908
170°	0.1736
171°	0.1564
172°	0.1392
173°	0.1219
174°	0.1045
175°	0.0872
176°	0.0698
177°	0.0523
178°	0.0349
179°	0.0175
180°	0

Полная таблица синусов для углов от 91° до 180°

Угол	Sin (Синус)
181°	-0.0175
182°	-0.0349
183°	-0.0523
184°	-0.0698
185°	-0.0872
186°	-0.1045
187°	-0.1219
188°	-0.1392
189°	-0.1564
190°	-0.1736
191°	-0.1908
192°	-0.2079
193°	-0.225
194°	-0.2419
195°	-0.2588
196°	-0.2756
197°	-0.2924
198°	-0.309
199°	-0.3256
200°	-0.342
201°	-0.3584
202°	-0.3746
203°	-0.3907
204°	-0.4067
205°	-0.4226
206°	-0.4384
207°	-0.454
208°	-0.4695
209°	-0.4848
210°	-0.5
211°	-0.515
212°	-0.5299
213°	-0.5446
214°	-0.5592
215°	-0.5736
216°	-0.5878
217°	-0.6018
218°	-0.6157
219°	-0.6293
220°	-0.6428
221°	-0.6561
222°	-0.6691
223°	-0.682
224°	-0.6947
225°	-0.7071
226°	-0.7193
227°	-0.7314
228°	-0.7431
229°	-0.7547
230°	-0.766
231°	-0.7771
232°	-0.788
233°	-0.7986
234°	-0.809
235°	-0.8192
236°	-0.829
237°	-0.8387
238°	-0.848
239°	-0.8572
240°	-0.866
241°	-0.8746
242°	-0.8829
243°	-0.891
244°	-0.8988
245°	-0.9063
246°	-0.9135
247°	-0.9205
248°	-0.9272
249°	-0.9336
250°	-0.9397
251°	-0.9455
252°	-0.9511
253°	-0.9563
254°	-0.9613
255°	-0.9659
256°	-0.9703
257°	-0.9744
258°	-0.9781
259°	-0.9816
260°	-0.9848
261°	-0.9877
262°	-0.9903
263°	-0.9925
264°	-0.9945
265°	-0.9962
266°	-0.9976
267°	-0.9986
268°	-0.9994
269°	-0.9998
270°	-1

Таблица синусов для углов 181° — 270°

Угол	Sin (Синус)
271°	-0.9998
272°	-0.9994
273°	-0.9986
274°	-0.9976
275°	-0.9962
276°	-0.9945
277°	-0.9925
278°	-0.9903
279°	-0.9877
280°	-0.9848
281°	-0.9816
282°	-0.9781
283°	-0.9744
284°	-0.9703
285°	-0.9659
286°	-0.9613
287°	-0.9563
288°	-0.9511
289°	-0.9455
290°	-0.9397
291°	-0.9336
292°	-0.9272
293°	-0.9205
294°	-0.9135
295°	-0.9063
296°	-0.8988
297°	-0.891
298°	-0.8829
299°	-0.8746
300°	-0.866
301°	-0.8572
302°	-0.848
303°	-0.8387
304°	-0.829
305°	-0.8192
306°	-0.809
307°	-0.7986
308°	-0.788
309°	-0.7771
310°	-0.766
311°	-0.7547
312°	-0.7431
313°	-0.7314
314°	-0.7193
315°	-0.7071
316°	-0.6947
317°	-0.682
318°	-0.6691
319°	-0.6561
320°	-0.6428
321°	-0.6293
322°	-0.6157
323°	-0.6018
324°	-0.5878
325°	-0.5736
326°	-0.5592
327°	-0.5446
328°	-0.5299
329°	-0.515
330°	-0.5
331°	-0.4848
332°	-0.4695
333°	-0.454
334°	-0.4384
335°	-0.4226
336°	-0.4067
337°	-0.3907
338°	-0.3746
339°	-0.3584
340°	-0.342
341°	-0.3256
342°	-0.309
343°	-0.2924
344°	-0.2756
345°	-0.2588
346°	-0.2419
347°	-0.225
348°	-0.2079
349°	-0.1908
350°	-0.1736
351°	-0.1564
352°	-0.1392
353°	-0.1219
354°	-0.1045
355°	-0.0872
356°	-0.0698
357°	-0.0523
358°	-0.0349
359°	-0.0175
360°	0

Таблица синусов для углов от 271° до 360°

Таблица синусов особенно нужна, когда у вас под рукой нет супер навороченного инженерного калькулятора с маленькой спасительной кнопкой с надписью «sin». В таком случае, чтобы узнать, чему же равняется синус определенного заданного угла, просто найдите информацию о интересующем градусе.

Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите полностью всё таблицу, на выделенном фоне нажмите уже правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».

Как пользоваться таблицей? Всё гораздо проще, чем Вы думаете, ищем в левой вертикальной колонке, соответствующий градус, и напротив него и будет указано нужное значение синуса для данного нужного нам угла.

Чему равен синус 45? …

— А вот собственно и сам ответ на поставленную задачку.sin 45 = 0.7071

источники:

http://matematika.club/articles/trigonometry/

http://kvn201.com.ua/table-of-sines.htm

Источник

Тригонометрические тождества и преобразования
- Простейшие тригонометрические тождества
- Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)
- Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)
- Формулы универсальной тригонометрической подстановки
- Тригонометрические тождества преобразования половины угла
- Тригонометрические формулы сложения углов
- Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций
- Формулы тройного угла — преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα
- Формулы преобразования произведения тригонометрических функций
- Формулы приведения тригонометрических функций
Основные формулы тригонометрии.
- - Теорема синусов[править | править вики-текст]
  - Теорема косинусов[править | править вики-текст]
  - Теорема тангенсов[править | править вики-текст]
  - Формула Эйлера[править | править вики-текст]
2 в степени синус квадрат х
- Формулы понижения степени, их доказательство
- Примеры применения формул понижения степени
Найдите тангенс альфа если синус
Основное тригонометрическое тождество
Формулы понижения степени в тригонометрии
- Формулы понижения степени, их доказательство
- Примеры применения формул понижения степени
Производная синуса — sin x
- Доказательство
- Примеры
  - Пример 1
  - Пример 2
  - Пример 3
- Производные высших порядков
тригонометрических отождествлений. Темы по тригонометрии.
Подтверждения тригонометрических тождеств
Доказательство формул двойного и половинного угла. Тригонометрия с самого начала.
Функция синус-квадрат — исчисление
- Определение
- Ключевые данные
- Личности
- График
- Дифференциация
  - Первая производная
  - Вторая производная
  - График функции с производной
- Точки и интервалы интереса
  - Критические точки
  - Интервалы увеличения и уменьшения
  - Локальные экстремальные значения
  - Интервалы подъема и опускания
  - Точки перегиба
- Интеграция
  - Первая первообразная
    - Использование формулы двойного углового косинуса
    - Использование интеграции по частям
  - График функции с первообразной
  - Определенные интегралы
  - Трансформированные версии
  - Высшие первообразные
- Силовая серия и серия Тейлора
  - Вычисление степенного ряда
  - Многочлены Тейлора как приближения
- Предельные вычисления
  - Порядок нуля
  - Пределы высшего порядка
Функция синус-квадрат — исчисление
- Определение
- Ключевые данные
- Личности
- График
- Дифференциация
  - Первая производная
  - Вторая производная
  - График функции с производной
- Точки и интервалы интереса
  - Критические точки
  - Интервалы увеличения и уменьшения
  - Локальные экстремальные значения
  - Интервалы подъема и опускания
  - Точки перегиба
- Интеграция
  - Первая первообразная
    - Использование формулы двойного углового косинуса
    - Использование интеграции по частям
  - График функции с первообразной
  - Определенные интегралы
  - Трансформированные версии
  - Высшие первообразные
- Силовая серия и серия Тейлора
  - Вычисление степенного ряда
  - Многочлены Тейлора как приближения
- Предельные вычисления
  - Порядок нуля
  - Пределы высшего порядка
Функция синус-квадрат — исчисление
- Определение
- Ключевые данные
- Личности
- График
- Дифференциация
  - Первая производная
  - Вторая производная
  - График функции с производной
- Точки и интервалы интереса
  - Критические точки
  - Интервалы увеличения и уменьшения
  - Локальные экстремальные значения
  - Интервалы подъема и опускания
  - Точки перегиба
- Интеграция
  - Первая первообразная
    - Использование формулы двойного углового косинуса
    - Использование интеграции по частям
  - График функции с первообразной
  - Определенные интегралы
  - Трансформированные версии
  - Высшие первообразные
- Силовая серия и серия Тейлора
  - Вычисление степенного ряда
  - Многочлены Тейлора как приближения
- Предельные вычисления
  - Порядок нуля
  - Пределы высшего порядка
Функция синус-квадрат — исчисление
- Определение
- Ключевые данные
- Личности
- График
- Дифференциация
  - Первая производная
  - Вторая производная
  - График функции с производной
- Точки и интервалы интереса
  - Критические точки
  - Интервалы увеличения и уменьшения
  - Локальные экстремальные значения
  - Интервалы подъема и опускания
  - Точки перегиба
- Интеграция
  - Первая первообразная
    - Использование формулы двойного углового косинуса
    - Использование интеграции по частям
  - График функции с первообразной
  - Определенные интегралы
  - Трансформированные версии
  - Высшие первообразные
- Силовая серия и серия Тейлора
  - Вычисление степенного ряда
  - Многочлены Тейлора как приближения
- Предельные вычисления
  - Порядок нуля
  - Пределы высшего порядка

Тригонометрические тождества и преобразования

Для решения некоторых задач будет полезной таблица тригонометрических тождеств, которая позволит гораздо проще совершать преобразования функций:

Простейшие тригонометрические тождества

Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств.
Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2)
Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3)
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса.
Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5)
Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6)
Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.

Как видно, косинус и секанс является четной функцией, синус, тангенс и котангенс — нечетные функции.

Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
Косинус «минус альфа» даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.

Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла

Формулы универсальной тригонометрической подстановки

Указанные ниже формулы преобразования могут пригодиться, когда нужно аргумент тригонометрической функции ( sin α, cos α, tg α) разделить на два и привести выражение к значению половины угла. Из значения α получаем α/2 .

Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки. Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.

Тригонометрические тождества преобразования половины угла

Указанные ниже формулы тригонометрического преобразования половинной величины угла к его целому значению.

Значение аргумента тригонометрической функции α/2 приводится к значению аргумента тригонометрической функции α.

Тригонометрические формулы сложения углов

cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций

Выражения, представляющие собой сумму вида sin α + sin β можно преобразовать с помощью следующих формул:

Формулы тройного угла — преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

Иногда необходимо преобразовать тройную величину угла так, чтобы аргументом тригонометрической функции вместо 3α стал угол α.
В этом случае можно воспользоваться формулами (тождествами) преобразования тройного угла:

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций

Если возникает необходимость преобразовать произведение синусов разных углов косинусов разных углов или даже произведения синуса на косинус, то можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

В этом случае произведение функций синуса, косинуса или тангенса разных углов будет преобразовано в сумму или разность.

Формулы приведения тригонометрических функций

Пользоваться таблицей приведения нужно следующим образом. В строке выбираем функцию, которая нас интересует. В столбце — угол. Например, синус угла (α+90) на пересечении первой строки и первого столбца выясняем, что sin (α+90) = cos α .

См. также Полный список формул приведения тригонометрических функций.

Угол	α + 90 α + π/2	α + 180 α + π	α + 270 α + 3π/2	90 — α π/2- α	180 — α π- α	270 — α 3π/2- α	360 — α 2π- α
sin	cos α	-sin α	-cos α	cos α	sin α	-cos α	-sin α
cos	-sin α	-cos α	sin α	sin α	-cos α	-sin α	cos α
tg	-ctg α	tg α	-ctg α	ctg α	-tg α	ctg α	-tg α
ctg	-tg α	ctg α	-tg α	tg α	-ctg α	tg α	-ctg α

Начать курс обучения

Основные формулы тригонометрии.

— Тригонометрия.

Теорема синусов[править | править вики-текст]

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Для произвольного треугольника

где — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Теорема косинусов[править | править вики-текст]

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для плоского треугольника со сторонами и углом , противолежащим стороне ,

или:

Теорема тангенсов[править | править вики-текст]

Формула Эйлера[править | править вики-текст]

Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного числа выполнено следующее равенство:

где — основание натурального логарифма, — мнимая единица. Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом и тригонометрией, а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции:

Вышеуказанные уравнения могут быть получены путем сложения или вычитания формул Эйлера:

с последующим решением относительно синуса или косинуса.

Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy, получаем:

Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты, поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения результат выражения остается вещественным. Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением.

2 в степени синус квадрат х

На чтение 7 мин. Просмотров 53 Опубликовано 15.12.2019

два в степени синус квадрат икс плюс 2 в степени косинус квадрат икс равно трем

Попроси больше объяснений
Следить
Отметить нарушение

Elnur4523 16. 2 x) + 16 = 0

Тригонометрические формулы обладают рядом свойств, одно из которых это применение формул понижения степени. Они способствуют упрощению выражений при помощи уменьшения степени.

Формулы понижения работают по принципу выражения степени синуса и косинуса через синус и косинус первой степени, но кратного угла. При упрощении формула становится удобной для вычислений, причем повышается кратность угла от α до n α .

Формулы понижения степени, их доказательство

Ниже приводится таблица формул понижения степени со 2 по 4 для sin и cos угла. После ознакомления с ними зададим общую формулу для всех степеней.

sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 = 3 · sin α — sin 3 α 4 sin 4 = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Данные формулы предназначены для понижения степени.

Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 . Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 и cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 .

Формулы понижения степеней тригонометрических функций перекликаются с формулами синуса и косинуса половинного угла.

Имеет место применение формулы тройного угла sin 3 α = 3 · sin α — 4 · sin 3 α и cos 3 α = — 3 · cos α + 4 · cos 3 α .

Если решать равенство относительно синуса и косинуса в кубе, получим формулы понижения степеней для синуса и косинуса:

sin 3 α = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 3 α = 3 · cos α + cos 3 α 4 .

Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin 4 α = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 .

Чтобы понизить степени эти выражений, можно действовать в 2 этапа, то есть дважды понижать, тогда это выглядит таким образом:

sin 4 α = ( sin 2 α ) 2 = ( 1 — cos 2 α 2 ) 2 = 1 — 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = 1 — 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 ; cos 4 α = ( cos 2 α ) 2 = ( 1 + cos 2 α 2 ) 2 = 1 + 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = = 1 + 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n = 2 , 4 , 6 … , выражение имеет вид sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n 2 — k k = 0 n 2 — 1 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) и cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ ( — 1 ) n 2 — k k = 0 n 2 — 1 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) .

Нечетные показатели, где n = 3 , 5 , 7 …, выражение имеет вид

sin n α = 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n — 1 2 — k k = 0 n — 1 2 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) и cos n α = 1 2 n — 1 ∑ ( — 1 ) n — 1 2 — k k = 0 n — 1 2 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) .

C p q = p ! q ! · ( p — q ) ! — это число сочетаний из p элементов по q .

Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой sin n α = 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n — 2 2 — k k = 0 n — 1 2 — k · C k n · sin ( ( n — 2 · k ) α ) где значение n присвоим 3 . Подставляя n = 3 в выражение, получим

sin 3 α = 1 2 3 — 1 · ∑ ( — 1 ) 3 — 1 2 — k k = 0 3 — 1 2 — k · C k 3 · sin ( ( 3 — 2 · k ) α ) = = 1 4 · ∑ ( — 1 ) 1 — k k = 0 1 · C k 3 · sin ( ( 3 — 2 · k ) α ) = = 1 4 · ( ( — 1 ) 1 — 0 · C 0 3 · sin ( ( 3 — 2 · 0 ) α ) + ( 1 ) 1 — 1 · C 1 3 · sin ( ( 3 — 2 · 1 ) α ) ) = = 1 4 · ( ( — 1 ) 1 · 3 ! 0 ! · 3 ! · sin 3 α + ( — 1 ) 0 · 3 ! 1 ! · ( 3 — 1 ) ! · sin α ) = = 1 4 · ( — sin 3 α + 3 · sin α ) = 3 · sin α — sin 3 α 4

Примеры применения формул понижения степени

Чтобы закрепить материал, необходимо детально разобрать его на примерах с использованием формулы понижения степени. Таким образом будет понятен принцип решения, подстановка и весь алгоритм.

Справедлива ли формула вида cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 при α = α 6 .

Для того, чтобы данная формула прошла проверку на возможность понижения степени с заданным значением угла α , необходимо посчитать левую и правую стороны. По условию имеем, что α = π 6 , тогда 2 α = π 3 , следовательно 4 α = 2 π 3 .

По таблице тригонометрических функций имеем, что cos α = cos π 6 = 3 2 , тогда cos 2 α = cos π 3 = 1 2 .

Для подробного уяснения необходимо проштудировать статью значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подставляя в формулу, получим cos 4 α = ( cos π 6 ) 4 = ( 3 2 ) 4 = 9 16 и 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8 = 3 + 4 cos π 3 + cos 2 π 3 8 = 3 + 4 · 1 2 + ( — 1 2 ) 8 = 9 16

Отсюда видим, что левая и правая части равенства верны при α = π 6 , значит, выражение справедливо при значении заданного угла. Если угол отличен от α , формула понижения степени одинаково применима.

При помощи формулы понижения степени преобразовать выражение sin 3 2 β 5 .

Кубический синус для угла α имеет формулу вида sin 3 α = 3 · sin α — sin 3 α 4 . В данном случае необходимо выполнить замену α на 2 β 5 и подставить в формулу, тогда получаем выражение вида sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin ( 3 · 2 β 5 ) 4 .

Это выражение равно равенству sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin 6 β 5 4 .

Ответ: sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin 6 β 5 4 .

Для решения сложных тригонометрических уравнений применяют формулы понижения степени. Они способны упростить выражение и сделать его намного удобным для вычислений или подстановки числовых значений.

[email protected] Выход

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение

Найдите тангенс альфа если синус

В данной статье мы с вами разберём некоторые задачи связанные с выражениями. Задания данной группы довольно разнообразны. Если вы запомнили свойства степеней, корней и логарифмов, знаете основные формулы тригонометрии, и постоянно практикуетесь, то большинство задач для вас никакого труда не представят.

Относительную сложность могут вызывать следующие:

— преобразования буквенных иррациональных выражений
— вычисление значений тригонометрических выражений
— преобразования тригонометрических выражений

Если перечислить все группы задач, то они довольно разнообразны.

Они включают в себя: ПОКАЗАТЬ/СКРЫТЬ

Здесь мы с вами разберём задачи на вычисление значений тригонометрических выражений. Конечно, все их в одной статье разобрать невозможно. Но мы обязательно разберём и другие примеры, не пропустите!

Итак, что обязательно вы должны знать и всегда помнить? Это знаки тригонометрических функций в четвертях. ЭТО ВАЖНО!!!

Как осознать эту информацию и понять следствием чего она является – об этом будет отдельная статья (если вы это знаете, то прекрасно). Пока предлагаю пока просто запомнить:

Основное тригонометрическое тождество:

Формулы тангенса и котангенса:

Выполняются элементарные алгебраические преобразования:

1. Числитель и знаменатель дроби можем умножать и делить на одно и тоже число.
2. Левую и правую часть уравнения можем умножать и делить на одно и тоже число.

В представленных ниже заданиях используется основное тригонометрическое тождество и формула тангенса.

Найдите тангенс альфа, если

В этом и подобных примерах необходимо знать основное тригонометрическое тождество (его вообще нужно помнить всегда), а также формулу тангенса:

Косинус угла нам известен. Из формулы основного тригонометрического тождества мы можем найти значение синуса. Затем подставить их в формулу тангенса.

Теперь ВАЖНЫЙ момент: необходимо определить знак синуса для интервала (3Пи/2;2Пи). Это интервал от 270 до 360 градусов (четвёртая четверть). Как переводить радианы в градусы можно посмотреть здесь. Значение синуса в этой четверти отрицательное, поэтому:

Таким образом:

Ответ: – 0,5

Найдите tg α, если

Cинус угла нам известен. Из формулы основного тригонометрического тождества мы можем найти значение косинуса. Затем подставить их в формулу тангенса.

Определяем знак косинуса для интервала (Пи/2;Пи). Это интервал от 90 до 180 градусов (вторая четверть). Значение косинуса в этой четверти отрицательное (смотрите эскиз). Поэтому

Таким образом:

Ответ: – 0,25

Найдите 5·cos α, если синус альфа

Необходимо найти косинус угла. Из формулы основного тригонометрического тождества следует, что cos²x = 1– sin²x и

Определим знак косинуса. Угол принадлежит интервалу (3Пи/2;2Пи).

Это интервал от 270 до 360 градусов (четвёртая четверть). Значение косинуса в этой четверти положительное, поэтому:

Таким образом, 5·cos α = 5∙0,7 = 3,5

Ответ: 3,5

Найдите 0,1·sin α, если

Необходимо найти синус угла. Из формулы основного тригонометрического тождества следует, что sin²x = 1– cos²x и

Определим знак синуса. Угол принадлежит интервалу (0; Пи/2).

Это интервал от 0 до 90 градусов (первая четверть). Значение синуса в этой четверти положительное, поэтому:

Таким образом 0,1·sin α = 0,1∙0,3 = 0,03

Ответ: 0,03

Общая рекомендация для следующих данных примеров! Если требуется найти тангенс аргумента (квадрат тангенса), то осуществляем деление на косинус (квадрат косинуса). Если требуется найти котангенс аргумента (квадрат котангенса), то осуществляем деление на синус (квадрат синуса). Примеры:

65217. Найдите tg²α, если 3sin²α + 8 cos²α = 7

Требуется найти квадрат тангенса. Разделим обе части уравнения на cos²α, получим:

Второй способ:

Далее по формуле основного тригонометрического тождества можно найти квадрат синуса и используя формулу тангенса вычислить уже его квадрат:

Ответ: 0, 25

65269. Найдите

Преобразуем данное выражение так, чтобы в числителе и знаменателе был тангенс. Разделим числитель и знаменатель на cos α, получим:

Ответ: – 0,5

65273. Найдите

Здесь дано значение тангенса. Необходимо сделать так, чтобы в выражении у нас был тангенс. Вынесем cosα за скобки в числителе и знаменателе (или разделим числитель и знаменатель на cosα), получим:

Подставим значение тангенса данное в условии, получим:

*Косинус у нас сократился.

Ответ: 4

65363. Найдите tgα, если

В левой части в числителе и знаменателе вынесем cosα за скобки, получим:

Ответ: 0,4

65423. Найдите tgα, если

Умножим обе части уравнения на 4 (2sinα+cosα+1)

Ответ: –1,9

26775. Найдите tg α, если

Посмотреть решение

26776. Найдите tg α, если

Посмотреть решение

26777. Найдите 3cos α, если

Посмотреть решение

26778. Найдите 5sin α, если

Посмотреть решение

26787. Найдите tg²α, если

Посмотреть решение

26788. Найдите

Посмотреть решение

26789. Найдите

Посмотреть решение

26790. Найдите tg α, если

Посмотреть решение

26791. Найдите tg α, если

Посмотреть решение

Подведём итог, для решения подобных примеров вы:

1. Должны знать на зубок основные формулы тригонометрии.
2. Не забывать определять знак (+ или -) для тригонометрических функций в четвертях. Потерянный знак на экзамене – это ошибка и потерянный бал, будьте внимательны!!!

Надеюсь, что материал был для вас полезен.

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Основное тригонометрическое тождество

12 ноября 2011

Это последний и самый главный урок, необходимый для решения задач B11. Мы уже знаем, как переводить углы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а также умеем определять знак тригонометрической функции, ориентируясь по координатным четвертям (см. урок «Знаки тригонометрических функций»).

Дело осталось за малым: вычислить значение самой функции — то самое число, которое записывается в ответ. Здесь на помощь приходит основное тригонометрическое тождество.

Основное тригонометрическое тождество. Для любого угла α верно утверждение:

sin²α + cos²α = 1.

Эта формула связывает синус и косинус одного угла. Теперь, зная синус, мы легко найдем косинус — и наоборот. Достаточно извлечь квадратный корень:

Обратите внимание на знак «±» перед корнями. Дело в том, что из основного тригонометрического тождества непонятно, каким был исходный синус и косинус: положительным или отрицательным. Ведь возведение в квадрат — четная функция, которая «сжигает» все минусы (если они были).

Именно поэтому во всех задачах B11, которые встречаются в ЕГЭ по математике, обязательно есть дополнительные условия, которые помогают избавиться от неопределенности со знаками. Обычно это указание на координатную четверть, по которой можно определить знак.

Внимательный читатель наверняка спросит: «А как быть с тангенсом и котангенсом?» Напрямую вычислить эти функции из приведенных выше формул нельзя. Однако существуют важные следствия из основного тригонометрического тождества, которые уже содержат тангенсы и котангенсы. А именно:

Важное следствие: для любого угла α можно переписать основное тригонометрическое тождество следующим образом:

Эти уравнения легко выводятся из основного тождества — достаточно разделить обе стороны на cos²α (для получения тангенса) или на sin²α (для котангенса).

Рассмотрим все это на конкретных примерах. Ниже приведены настоящие задачи B11, которые взяты из пробных вариантов ЕГЭ по математике 2012.

Задача. Найдите sin α, если известно следующее:

Нам известен косинус, но неизвестен синус. Основное тригонометрическое тождество (в «чистом» виде) связывает как раз эти функции, поэтому будем работать с ним. Имеем:

sin²α + cos²α = 1 ⇒ sin²α + 99/100 = 1 ⇒sin²α = 1/100 ⇒sin α = ±1/10 = ±0,1.

Для решения задачи осталось найти знак синуса. Поскольку угол α ∈ (π/2; π), то в градусной мере это записывается так: α ∈ (90°; 180°).

Следовательно, угол α лежит во II координатной четверти — все синусы там положительны. Поэтому sin α = 0,1.

Задача. Найдите cos α, если известно следующее:

Итак, нам известен синус, а надо найти косинус. Обе эти функции есть в основном тригонометрическом тождестве. Подставляем:

sin²α + cos²α = 1 ⇒ 3/4 + cos²α = 1 ⇒cos²α = 1/4 ⇒cos α = ±1/2 = ±0,5.

Осталось разобраться со знаком перед дробью. Что выбрать: плюс или минус? По условию, угол α принадлежит промежутку (π 3π/2). Переведем углы из радианной меры в градусную — получим: α ∈ (180°; 270°).

Очевидно, это III координатная четверть, где все косинусы отрицательны. Поэтому cos α = −0,5.

Задача. Найдите tg α, если известно следующее:

Тангенс и косинус связаны уравнением, следующим из основного тригонометрического тождества:

Получаем: tg α = ±3. Знак тангенса определяем по углу α. Известно, что α ∈ (3π/2; 2π). Переведем углы из радианной меры в градусную — получим α ∈ (270°; 360°).

Очевидно, это IV координатная четверть, где все тангенсы отрицательны. Поэтому tg α = −3.

Задача. Найдите cos α, если известно следующее:

Снова известен синус и неизвестен косинус. Запишем основное тригонометрическое тождество:

sin²α + cos²α = 1 ⇒ 0,64 + cos²α = 1 ⇒cos²α = 0,36 ⇒cos α = ±0,6.

Знак определяем по углу. Имеем: α ∈ (3π/2; 2π). Переведем углы из градусной меры в радианную: α ∈ (270°; 360°) — это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Следовательно, cos α = 0,6.

Задача. Найдите sin α, если известно следующее:

Запишем формулу, которая следует из основного тригонометрического тождества и напрямую связывает синус и котангенс:

Отсюда получаем, что sin²α = 1/25, т.е. sin α = ±1/5 = ±0,2. Известно, что угол α ∈ (0; π/2). В градусной мере это записывается так: α ∈ (0°; 90°) — I координатная четверть.

Итак, угол находится в I координатной четверти — все тригонометрические функции там положительны, поэтому sin α = 0,2.

Смотрите также:

Как формулы приведения работают в задаче B11
Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №7
Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 2 (без логарифмов)
Метод узлов в задаче B5
Задача B5: площадь кольца

Формулы понижения степени в тригонометрии

Определение 1

Формулы понижения степени, их доказательство

sin2α=1-cos 2α2cos2α=1+cos 2α2sin3=3·sin α-sin 3α4sin4=3-4·cos 2α+cos 4α8cos4 α=3+4·cos 2α+cos 4α8

Данные формулы предназначены для понижения степени.

Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени cos2α=1-2·sin2α и cos2α=2·cos2α-1. Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как sin2α=1-cos2α2 и cos2α=1+cos2α2.

Имеет место применение формулы тройного угла sin3α=3·sinα-4·sin3αи cos3α=-3·cosα+4·cos3α.

sin3α=3-4·cos2α+cos4α8 и cos3α=3·cosα+cos3α4.

Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin4α=3-4·cos2α+cos4α8 и cos4α=3+4·cos2α+cos4α8.

sin4α =(sin2α)2=(1-cos2α2)2=1-2·cos2α+cos22α4==1-2·cos2α+1+cos4α24=3-4·cos2α+cos4α8;cos4α=(cos2α)2=(1+cos2α2)2=1+2·cos2α+cos22α4===1+2·cos2α+1+cos4α24=3+4·cos2α+cos4α8

Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n=2, 4, 6…, выражение имеет вид sinnα=Cn2n2n+12n-1·∑(-1)n2-kk=0n2-1·Ckn·cos((n-2·k)α) и cosnα=Cn2n2n+12n-1∑(-1)n2-kk=0n2-1·Ckn·cos((n-2·k)α).

Нечетные показатели, где n=3, 5, 7…, выражение имеет вид

sinnα=12n-1·∑(-1)n-12-kk=0n-12·Ckn·cos((n-2·k)α) и cosnα=12n-1∑(-1)n-12-kk=0n-12·Ckn·cos((n-2·k)α).

Cpq=p!q!·(p-q)! — это число сочетаний из p элементов по q.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой sinnα=12n-1·∑(-1)n-22-kk=0n-12-k·Ckn·sin((n-2·k)α) где значение n присвоим 3. Подставляя n=3 в выражение, получим

sin3α=123-1·∑(-1)3-12-kk=03-12-k·Ck3·sin((3-2·k)α)==14·∑(-1)1-kk=01·Ck3·sin((3-2·k)α)==14·((-1)1-0·C03·sin((3-2·0)α) +(1)1-1·C13·sin((3-2·1)α))==14·((-1)1·3!0!·3!·sin3α+(-1)0·3!1!·(3-1)!·sinα)==14·(-sin3α+3·sinα)=3·sinα-sin3α4

Примеры применения формул понижения степени

Пример 1

Справедлива ли формула вида cos4α=3+4·cos2α+cos4α8 при α=α6.

Решение

Для того, чтобы данная формула прошла проверку на возможность понижения степени с заданным значением угла α, необходимо посчитать левую и правую стороны. По условию имеем, что α=π6, тогда 2α=π3, следовательно 4α=2π3.

По таблице тригонометрических функций имеем, что cosα=cosπ6=32, тогда cos2α=cosπ3=12.

Для подробного уяснения необходимо проштудировать статью значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подставляя в формулу, получим cos4α=(cosπ6)4=(32)4=916 и 3+4cos2α+cos4α8=3+4cosπ3+cos2π38=3+4·12+(-12)8=916

Отсюда видим, что левая и правая части равенства верны при α=π6, значит, выражение справедливо при значении заданного угла. Если угол отличен от α, формула понижения степени одинаково применима.

Пример 2

При помощи формулы понижения степени преобразовать выражение sin32β5.

Решение

Кубический синус для угла α имеет формулу вида sin3α=3·sinα-sin3α4. В данном случае необходимо выполнить замену α на 2β5 и подставить в формулу, тогда получаем выражение вида sin32β5=3·sin2β5-sin(3·2β5)4.

Это выражение равно равенству sin32β5=3·sin2β5-sin6β54.

Ответ: sin32β5=3·sin2β5-sin6β54.

Производная синуса — sin x

Производная по переменной x от синуса x равна косинусу x:
( sin x )′ = cos x.

Доказательство

Для вывода формулы производной синуса, мы воспользуемся определением производной:
.

Чтобы найти этот предел, нам нужно преобразовать выражение таким образом, чтобы свести его к известным законам, свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Значение первого замечательного предела:
(1) ;
2) Непрерывность функции косинус:
(2) ;
3) Тригонометрические формулы. Нам понадобится следующая формула:
(3) ;
4) Арифметические свойства предела функции:
Если и , то
(4) .

Применяем эти правила к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(3) .
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.

Теперь сделаем подстановку . При , . Применим первый замечательный предел (1):
.

Сделаем такую же подстановку и используем свойство непрерывности (2):
.

Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):

Формула производной синуса доказана.

Примеры

Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих синус. Мы найдем производные от следующих функций:
y = sin 2x; y = sin² x и y = sin³ x.

Пример 1

Найти производную от sin 2x.

Решение

Сначала найдем производную от самой простой части:
( 2x )′ = 2( x )′ = 2 · 1 = 2.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь .

Ответ

( sin 2x )′ = 2 cos 2x.

См. также
Все примеры вычисления производных с решениями > > >

Пример 2

Найти производную от синуса в квадрате:
y = sin² x.

Решение

Перепишем исходную функцию в более понятном виде:
.
Найдем производную от самой простой части:
.
Применяем формулу производной сложной функции.

.
Здесь .

Можно применить одну из формул тригонометрии. Тогда
.

Ответ

Пример 3

Найти производную от синуса в кубе:
y = sin³ x.

Решение > > >

Производные высших порядков

Заметим, что производную от sin x первого порядка можно выразить через синус следующим образом:
.

Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции:

.
Здесь .

Теперь мы можем заметить, что дифференцирование sin x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .

Докажем это, применяя метод математической индукции.

Мы уже проверили, что при , формула (5) справедлива.

Предположим, что формула (5) справедлива при некотором значении . Докажем, что из этого следует, что формула (5) выполняется для .

Выпишем формулу (5) при :
.
Дифференцируем это уравнение, применяя правило дифференцирования сложной функции:

.
Здесь .
Итак, мы нашли:
.
Если подставить , то эта формула примет вид (5).

Формула доказана.

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 04-03-2017

тригонометрических отождествлений. Темы по тригонометрии.

Темы | Дом

Взаимные идентичности

Тангенс и котангенс

Пифагорейские тождества

Формулы суммы и разности

Формулы двойного угла

Формулы полууглов

Произведений суммой

Суммы как произведения

ИДЕНТИЧНОСТЬ — ЭТО РАВЕНСТВО, которое истинно для любого значения переменной. (Уравнение — это равенство, которое верно только для определенных значений переменной.)

В алгебре, например, у нас есть это тождество:

( x + 5) ( x — 5) = x ² — 25.

Значение идентичности состоит в том, что при вычислении мы можем заменить любой член другим. Мы используем идентичность, чтобы придать выражению более удобную форму. В исчислении и во всех его приложениях центральное значение имеют тригонометрические тождества.

На этой странице мы представим основные личности. У студента не будет лучшего способа практиковать алгебру, чем доказывать их. Ссылки на доказательства приведены ниже.

Взаимные идентичности

sin θ	=	1 csc θ	csc θ	=	1 sin θ

cos θ	=	1 сек θ	сек θ	=	1 cos θ

tan θ	=	1 детская кроватка θ	детская кроватка θ	=	1 tan θ

Проба

Опять же, при вычислении мы можем заменить любой член идентичности другим. Итак, если мы видим «sin θ», то мы можем, если захотим, заменить

это с «

1
csc θ

«; и симметрично, если мы увидим»

1
csc θ

«,

, тогда мы можем заменить его на «sin θ».

Проблема 1. Что означает утверждение, что csc θ является обратной величиной
sin θ?

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).

Это означает, что их продукт 1.

sin θ csc θ = 1.

Урок 5 алгебры.

Проблема 2. Оценить

tan 30 ° csc 30 ° cot 30 °.

tan 30 ° csc 30 ° cot 30 °	=	tan 30 ° cot 30 ° csc 30 °

	=	1 · csc 30 °

	=	2.

Тема 4.

Тангенс и котангенс

тангенс угла θ =

sin θ
cos θ

детская кроватка θ =

cos θ
sin θ

Проба

Пример 1. Покажите: tan θ cos θ = sin θ.

Решение: Проблема означает, что мы должны написать левую часть, а затем показать с помощью подстановок и алгебры, что мы можем преобразовать ее, чтобы она выглядела как правая часть.

Начинаем:

Мы подошли к правой стороне.

Пифагорейские тождества

а)	sin ² θ + cos ² θ	=	1.

б)	1 + загар ² θ	=	сек ² θ

в)	1 + детская кроватка ² θ	=	csc ² θ

a ‘)	sin ² θ	=	1 — cos ² θ.

	cos ² θ	=	1 — sin ² θ.

Они называются тождествами Пифагора, потому что, как мы увидим в их доказательстве, они являются тригонометрической версией теоремы Пифагора.

Два идентификатора, помеченные как ‘) — «а-простое число» — просто разные версии а).Первый показывает, как мы можем выразить sin θ через cos θ; второй показывает, как мы можем выразить cos θ через sin θ.

Примечание: sin ² θ — «синус-квадрат тета» — означает (sin θ) ².

Задача 3. Треугольник 3-4-5 прямоугольный.

а) Почему?

Он удовлетворяет теореме Пифагора.

б) Оцените следующее:

sin ² θ

16
25

cos ² θ

9
25

sin ² θ + cos ² θ

Пример 2. Показать:

Это то, что мы хотели показать.

Формулы суммы и разности

sin (α + β)	=	sin α cos β + cos α sin β
sin (α — β)	=	sin α cos β — cos α sin β
cos (α + β)	=	cos α cos β — sin α sin β
cos (α — β)	=	cos α cos β + sin α sin β

Примечание: В формулах синуса + или — слева также + или — справа.Но в формулах косинуса + слева становится — справа; и наоборот.

Поскольку эти тождества доказываются непосредственно из геометрии, от студента обычно не требуется усваивать доказательство. Однако все последующие тождества основаны на этих формулах суммы и разности. Студент обязательно должен их знать.

Вот доказательство формул суммы.

Пример 3. Оценить sin 15 °.

Решение.	sin 15 °

		Формулы

		Темы 4 и 5

Пример 4.Доказательство:

Это то, что мы хотели доказать.

Формулы двойного угла

Проба

Существует три версии cos 2α. Первый — с точки зрения обоих
cos α и sin α. Второй — только по cos α. Третий — только с точки зрения sin α

Пример 5. Показать: sin 2α

Это то, что мы хотели доказать.

Решение.

грех x

— согласно предыдущему тождеству с α =.

Формулы полууглов

Следующие ниже формулы половинного угла являются инверсией формул двойного угла, поскольку α составляет половину от 2α.

Знак плюс или минус зависит от квадранта. Под корнем косинус имеет знак +; синус, знак -.

Проба

Пример 7. Вычислить cos

π
8

Пример 8. Вывести идентификатор для tan

α
2

при делении числителя и знаменателя на cos α.

Произведений суммой

а)	sin α cos β	=	½ [sin (α + β) + sin (α — β)]

б)	cos α sin β	=	½ [sin (α + β) — sin (α — β)]

в)	cos α cos β	=	½ [cos (α + β) + cos (α — β)]

г)	sin α sin β	=	−½ [cos (α + β) — cos (α — β)]

Проба

Суммы как произведения

д)	sin A + sin B	=	2 sin ½ ( A + B ) cos ½ ( A — B )

е)	sin A — sin B	=	2 sin ½ ( A — B ) cos ½ ( A + B )

г)	cos A + cos B	=	2 cos ½ ( A + B ) cos ½ ( A — B )

ч)	cos A — cos B	=	−2 sin ½ ( A + B ) sin ½ ( A — B )

В доказательствах ученик увидит, что тождества с e) по h) являются инверсиями соответственно от a) до d), которые доказываются в первую очередь. Тождество f) используется для доказательства одной из основных теорем исчисления, а именно о производной sin x .

Учащийся не должен пытаться запомнить эти личности. Достаточно попрактиковаться в их доказательствах — и увидеть, что они исходят из формул суммы и разности.

Темы | Дом

Вопросы или комментарии?

Электронная почта: themathpage @ яндекс.com

Подтверждения тригонометрических тождеств

Подтверждение личности

Доказательство касательного и котангенсного тождеств

Доказательство пифагорейской идентичности

Доказательство каждого из них следует из определений тригонометрических функций, Тема 15.

Доказательство взаимных отношений

По определению:

sin θ

y
r

csc θ

r
y

Следовательно, sin θ является обратной величиной csc θ:

, где 1-над любым количеством является символом его обратного значения; Урок 5 алгебры. Аналогично для остальных функций.

Доказательство касательного и котангенсного тождеств

Доказать:

тангенс угла θ =

sin θ
cos θ

детская кроватка θ =

cos θ
sin θ

Доказательство . По определению

Следовательно, при делении числителя и знаменателя на r ,

tan θ	=	y / r x / r	=	sin θ cos θ	.

детская кроватка θ	=	1 tan θ	=	cos θ sin θ	.

Это две личности.

Доказательство пифагорейской идентичности

Доказать:


а)	sin ² θ + cos ² θ	=	1

б)	1 + загар ² θ	=	сек ² θ

в)	1 + детская кроватка ² θ	=	csc ² θ

Доказательство 1 .Согласно теореме Пифагора,

x ² + y ² = r ². . . . . . (1)

Следовательно, при разделении обеих сторон на r ²,

x ²
r ²

y ²
r ²

r ²
r ²

= 1.

То есть по определениям

cos ² θ + sin ² θ = 1.. . . . (2)

Помимо порядка следования терминов, это первое пифагорейское тождество, а).

Чтобы получить b), разделите линию (1) на x ²; чтобы получить c), разделите на y ².

Или мы можем вывести б) и в) из а), разделив сначала на cos ² θ, а затем на sin ² θ.На разделительной прямой 2) на cos ² θ имеем

То есть

1 + tan ² θ = сек ² θ.

А если разделить а) на sin ² θ, получим

То есть

1 + детская кроватка ² θ = csc ² θ.

Таким образом, три пифагорейских тождества эквивалентны друг другу.

sin ² θ + cos ² θ	=	y ² r ²	+	x ² r ²

	=	y ² + x ² r ²

	=	r ² r ²
согласно теореме Пифагора,
	=	1.

Тригонометрические идентификаторы

Темы | Дом

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Доказательство формул двойного и половинного угла. Тригонометрия с самого начала.

Доказательство формул двойного и полууглового

Формулы двойного угла

Доказательство

Формулы двойного угла доказываются из формул сумм, если положить β =.У нас

Это первая из трех версий cos 2. Чтобы получить вторую версию, в строке (1) используйте это пифагорейское тождество:

sin ² = 1 — cos ².

Строка (1) становится

Чтобы получить третью версию, в строке (1) используйте это пифагорейское тождество:

cos ² = 1 — sin ².

У нас

Это три формы cos 2.

Формулы полуугловых

. . . . . . . (2 ‘)

. . . . . . . (3 ‘)

Назовем мы переменную θ или не имеет значения. Важна форма.

Доказательство

Теперь это половина от 2. Поэтому в строке (2) мы положим 2 = θ , так что

cos θ

2 cos ²

θ
2

— 1.

О решении этой алгебраической задачи для cos

θ
2

, у нас будет полуугол

Формула

для косинуса.

Итак, переставляя 1 и меняя стороны, мы имеем

2 cos ²	θ 2	=	1 + cos θ

cos ²	θ 2	=	½ (1 + cos θ )

cos	θ 2	=	.

Это формула половинного угла для косинуса. Знак ± будет зависеть от квадранта полуугла. Опять же, назовем ли мы аргумент θ или не имеет значения.

Обратите внимание, что эта формула помечена (2 ‘) — «2-простое число»; это напоминает нам, что мы вывели его из формулы (2).

Формула для греха

θ
2

получается из 2 = θ в строке (3).На

транспонирование, строка (3) становится

	2 грех ²	θ 2	=	1 — cos θ ,
так что

	грех	θ 2	=	.

Это формула половинного угла для синуса.

Тригонометрические идентификаторы

Содержание | Дом

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Функция синус-квадрат — исчисление

Эта статья посвящена конкретной функции от подмножества действительных чисел до действительных чисел.Информация о функции, включая ее домен, диапазон и ключевые данные, относящиеся к построению графиков, дифференциации и интеграции, представлена в статье.
Посмотреть полный список конкретных функций в этой вики

Определение

Эта функция, обозначенная, определяется как комбинация функции квадрата и функции синуса. Явно это карта:

Для краткости запишем как.

Ключевые данные

Арт.	Значение
Домен по умолчанию	все действительные числа, т.е.е., все
диапазон	, то есть абсолютное максимальное значение: 1, абсолютное минимальное значение: 0
период	, т.е.
локальное максимальное значение и точки достижения	Все локальные максимальные значения равны 1 и достигаются с нечетным целым числом, кратным.
локальное минимальное значение и точки достижения	Все локальные минимальные значения равны 0 и достигаются при целых кратных.
точек перегиба (обе координаты)	нечетных кратных, со значением 1/2 в каждой точке.
производная	, т. Е. Двухугловая синусоидальная функция.
вторая производная
производная	раз выражение, которое является или, в зависимости от остатка от мода
первообразное
среднее значение за период	1/2
выражение как синусоидальная функция плюс постоянная функция
важные симметрии	четная функция (следует из композиции четной функции с нечетной функцией, четной функцией квадрата и нечетной функцией синуса) в более общем смысле, зеркальной симметрией относительно любой вертикальной линии формы, целым числом. Кроме того, симметрия на пол-оборота относительно всех точек формы.
Описание интервала на основе увеличения / уменьшения и вогнутости вверх / вниз	Для каждого целого числа интервал от до подразделяется на четыре части: : увеличивающаяся и вогнутая вверх : увеличивающаяся и вогнутая вниз : уменьшающаяся и вогнутая вниз, : уменьшающаяся и вогнутая вверх
степенной серии и серии Тейлора	Ряд степеней около 0 (который, следовательно, также ряд Тейлора) равен Это глобально сходящийся ряд степеней.

Личности

У нас есть следующие важные личности:

График

Вот график на интервале в масштабе:

Вот увеличенный вид графика между и. Пунктирная горизонтальная линия показывает среднее значение:

Красные точки указывают точки перегиба, а черные точки указывают локальные экстремальные значения.

Вот изображение, показывающее функцию (синий) и функцию косинуса в квадрате (фиолетовый) с пунктирной линией.На картинке показано, что:

Дифференциация

Первая производная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : правило цепочки для дифференцирования, правило дифференцирования для степенных функций, функция синуса # Первая производная, формула двойного углового косинуса

У нас есть:

Это можно сделать двумя способами.

Используя цепное правило дифференцирования, мы имеем:

По формуле синуса двойного угла это то же самое, что.

В качестве альтернативы, используя формулу двойного углового косинуса, мы перепишем:

Различая, получаем:

Вторая производная

Снова дифференцируя производную, получаем:

График функции с производной

Заполните позже

Точки и интервалы интереса

Критические точки

Считай. Как было вычислено ранее, мы имеем:

Это равно нулю точно в точках, где, так.Другими словами, критические точки возникают в целых числах, кратных.

Интервалы увеличения и уменьшения

Функция положительна для, с и отрицательна для, с. Разделив на 2, получим:

Локальные экстремальные значения

Из информации об интервалах увеличения и уменьшения делаем вывод, что:

Интервалы подъема и опускания

Вторая производная — это функция. Это положительно для и отрицательно для, где.Таким образом получаем:

Точки перегиба

Из определения интервалов, где находится вогнутый вверх и вогнутый вниз, мы обнаруживаем, что точки перегиба являются точками с координатой -координатой, нечетной кратной. Значение функции во всех этих точках равно.

В точках с функция переходит от вогнутого вверх (слева) к вогнутому вниз (справа).
В точках с функция переходит от вогнутости вниз (слева) к вогнутости вверх (справа).

Интеграция

Первая первообразная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : формула двойного углового косинуса, рекурсивная версия интегрирования по частям, интегрирование линейного преобразования функции

Использование формулы двойного углового косинуса

Теперь мы можем выполнить интеграцию:

Для интегрирования мы используем метод интегрирования линейного преобразования функции, чтобы получить. Подключив это, мы получаем:

Использование интеграции по частям

Переписываем и используем интеграцию по частям в ее рекурсивной версии:

Перепишем и получим:

Установка как выбор первообразной, так что вышеупомянутое выполняется без каких-либо свободно плавающих констант, мы получаем:

Переставляя, получаем:

Это дает:

Итак, общая первообразная:

Используя формулу синуса двойного угла, мы можем убедиться, что это соответствует предыдущему ответу.

Для данной непрерывной функции на связанном множестве первообразные, полученные разными методами, должны отличаться на константу . В некоторых случаях первообразные могут быть в точности равными, но это , как правило, не обязательно .
См. Нулевую производную означает локальную константу

График функции с первообразной

На рисунке ниже мы изображаем (синий) и функцию (фиолетовый). Это уникальная первообразная, которая принимает значение 0 на 0.Остальные первообразные можно получить, сдвинув пурпурный график по вертикали:

Черные точки соответствуют локальным экстремальным значениям, а красные точки соответствуют точкам перегиба первообразной. Как и следовало ожидать, каждая черная точка находится на той же вертикальной линии, что и красная точка, поскольку точки перегиба первообразной соответствуют локальным экстремальным значениям исходной функции. Способствовать:

Определенные интегралы

Часть первообразной означает, что линейная часть первообразной имеет наклон, и это связано с тем, что имеет среднее значение на любом интервале длины, равной периоду.Фактически ясно, что функция является синусоидальной функцией около.

Таким образом, имеем:

где — целое число.

Среднее значение на интервале длины, кратном периоду. Таким образом, для очень больших интервалов среднее значение очень близко к 1/2, даже если оно не обязательно должно быть точно 1/2. Конкретно:

Трансформированные версии

На основе интегрирования, мы также можем интегрировать квадрат любой синусоидальной функции, используя интегрирование линейного преобразования функции:

Таким образом, мы видим, что среднее значение этой функции также на любом интервале длины, кратной периоду.Также на достаточно большом интервале среднее значение близко к 1/2:

Высшие первообразные

Антидифференцировать можно более одного раза. Первообразная — это сумма полинома степени и тригонометрической функции с периодом.

Силовая серия и серия Тейлора

Вычисление степенного ряда

Мы можем использовать удостоверение личности:

вместе со степенным рядом для функции косинуса, чтобы найти степенной ряд для.

Степенный ряд для функции косинуса везде сходится к функции и равен:

Силовой ряд для:

Разделив на 2, мы получим степенной ряд для:

Вот еще одна формулировка, в которой первые несколько терминов написаны более четко:

Многочлены Тейлора как приближения

Обратите внимание, что, поскольку является четной функцией, все ее многочлены Тейлора также являются четными многочленами.На рисунке ниже мы рассматриваем графики и его второго, четвертого и шестого тейлоровских приближений.

Предельные вычисления

Порядок нуля

Мы получаем следующий предел из степенного ряда:

Таким образом, порядок нуля в нуле равен 2, а остаток равен 1.

Этот предел можно вычислить разными способами:

Пределы высшего порядка

У нас есть лимит:

Этот предел можно вычислить разными способами:

Функция синус-квадрат — исчисление

Эта статья посвящена конкретной функции от подмножества действительных чисел до действительных чисел.Информация о функции, включая ее домен, диапазон и ключевые данные, относящиеся к построению графиков, дифференциации и интеграции, представлена в статье.
Посмотреть полный список конкретных функций в этой вики

Определение

Эта функция, обозначенная, определяется как комбинация функции квадрата и функции синуса. Явно это карта:

Для краткости запишем как.

Ключевые данные

Арт.	Значение
Домен по умолчанию	все действительные числа, т.е.е., все
диапазон	, то есть абсолютное максимальное значение: 1, абсолютное минимальное значение: 0
период	, т.е.
локальное максимальное значение и точки достижения	Все локальные максимальные значения равны 1 и достигаются с нечетным целым числом, кратным.
локальное минимальное значение и точки достижения	Все локальные минимальные значения равны 0 и достигаются при целых кратных.
точек перегиба (обе координаты)	нечетных кратных, со значением 1/2 в каждой точке.
производная	, т. Е. Двухугловая синусоидальная функция.
вторая производная
производная	раз выражение, которое является или, в зависимости от остатка от мода
первообразное
среднее значение за период	1/2
выражение как синусоидальная функция плюс постоянная функция
важные симметрии	четная функция (следует из композиции четной функции с нечетной функцией, четной функцией квадрата и нечетной функцией синуса) в более общем смысле, зеркальной симметрией относительно любой вертикальной линии формы, целым числом. Кроме того, симметрия на пол-оборота относительно всех точек формы.
Описание интервала на основе увеличения / уменьшения и вогнутости вверх / вниз	Для каждого целого числа интервал от до подразделяется на четыре части: : увеличивающаяся и вогнутая вверх : увеличивающаяся и вогнутая вниз : уменьшающаяся и вогнутая вниз, : уменьшающаяся и вогнутая вверх
степенной серии и серии Тейлора	Ряд степеней около 0 (который, следовательно, также ряд Тейлора) равен Это глобально сходящийся ряд степеней.

Личности

У нас есть следующие важные личности:

График

Вот график на интервале в масштабе:

Вот увеличенный вид графика между и. Пунктирная горизонтальная линия показывает среднее значение:

Красные точки указывают точки перегиба, а черные точки указывают локальные экстремальные значения.

Дифференциация

Первая производная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : правило цепочки для дифференцирования, правило дифференцирования для степенных функций, функция синуса # Первая производная, формула двойного углового косинуса

У нас есть:

Это можно сделать двумя способами.

Используя цепное правило дифференцирования, мы имеем:

По формуле синуса двойного угла это то же самое, что.

В качестве альтернативы, используя формулу двойного углового косинуса, мы перепишем:

Различая, получаем:

Вторая производная

Снова дифференцируя производную, получаем:

График функции с производной

Заполните позже

Точки и интервалы интереса

Критические точки

Считай. Как было вычислено ранее, мы имеем:

Это равно нулю точно в точках, где, так.Другими словами, критические точки возникают в целых числах, кратных.

Интервалы увеличения и уменьшения

Функция положительна для, с и отрицательна для, с. Разделив на 2, получим:

Локальные экстремальные значения

Из информации об интервалах увеличения и уменьшения делаем вывод, что:

Интервалы подъема и опускания

Вторая производная — это функция. Это положительно для и отрицательно для, где.Таким образом получаем:

Точки перегиба

В точках с функция переходит от вогнутого вверх (слева) к вогнутому вниз (справа).
В точках с функция переходит от вогнутости вниз (слева) к вогнутости вверх (справа).

Интеграция

Первая первообразная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : формула двойного углового косинуса, рекурсивная версия интегрирования по частям, интегрирование линейного преобразования функции

Использование формулы двойного углового косинуса

Теперь мы можем выполнить интеграцию:

Использование интеграции по частям

Переписываем и используем интеграцию по частям в ее рекурсивной версии:

Перепишем и получим:

Переставляя, получаем:

Это дает:

Итак, общая первообразная:

Используя формулу синуса двойного угла, мы можем убедиться, что это соответствует предыдущему ответу.

Для данной непрерывной функции на связанном множестве первообразные, полученные разными методами, должны отличаться на константу . В некоторых случаях первообразные могут быть в точности равными, но это , как правило, не обязательно .
См. Нулевую производную означает локальную константу

График функции с первообразной

Определенные интегралы

Таким образом, имеем:

где — целое число.

Трансформированные версии

Высшие первообразные

Силовая серия и серия Тейлора

Вычисление степенного ряда

Мы можем использовать удостоверение личности:

вместе со степенным рядом для функции косинуса, чтобы найти степенной ряд для.

Степенный ряд для функции косинуса везде сходится к функции и равен:

Силовой ряд для:

Разделив на 2, мы получим степенной ряд для:

Вот еще одна формулировка, в которой первые несколько терминов написаны более четко:

Многочлены Тейлора как приближения

Предельные вычисления

Порядок нуля

Мы получаем следующий предел из степенного ряда:

Таким образом, порядок нуля в нуле равен 2, а остаток равен 1.

Этот предел можно вычислить разными способами:

Пределы высшего порядка

У нас есть лимит:

Этот предел можно вычислить разными способами:

Функция синус-квадрат — исчисление

Эта статья посвящена конкретной функции от подмножества действительных чисел до действительных чисел.Информация о функции, включая ее домен, диапазон и ключевые данные, относящиеся к построению графиков, дифференциации и интеграции, представлена в статье.
Посмотреть полный список конкретных функций в этой вики

Определение

Эта функция, обозначенная, определяется как комбинация функции квадрата и функции синуса. Явно это карта:

Для краткости запишем как.

Ключевые данные

Арт.	Значение
Домен по умолчанию	все действительные числа, т.е.е., все
диапазон	, то есть абсолютное максимальное значение: 1, абсолютное минимальное значение: 0
период	, т.е.
локальное максимальное значение и точки достижения	Все локальные максимальные значения равны 1 и достигаются с нечетным целым числом, кратным.
локальное минимальное значение и точки достижения	Все локальные минимальные значения равны 0 и достигаются при целых кратных.
точек перегиба (обе координаты)	нечетных кратных, со значением 1/2 в каждой точке.
производная	, т. Е. Двухугловая синусоидальная функция.
вторая производная
производная	раз выражение, которое является или, в зависимости от остатка от мода
первообразное
среднее значение за период	1/2
выражение как синусоидальная функция плюс постоянная функция
важные симметрии	четная функция (следует из композиции четной функции с нечетной функцией, четной функцией квадрата и нечетной функцией синуса) в более общем смысле, зеркальной симметрией относительно любой вертикальной линии формы, целым числом. Кроме того, симметрия на пол-оборота относительно всех точек формы.
Описание интервала на основе увеличения / уменьшения и вогнутости вверх / вниз	Для каждого целого числа интервал от до подразделяется на четыре части: : увеличивающаяся и вогнутая вверх : увеличивающаяся и вогнутая вниз : уменьшающаяся и вогнутая вниз, : уменьшающаяся и вогнутая вверх
степенной серии и серии Тейлора	Ряд степеней около 0 (который, следовательно, также ряд Тейлора) равен Это глобально сходящийся ряд степеней.

Личности

У нас есть следующие важные личности:

График

Вот график на интервале в масштабе:

Вот увеличенный вид графика между и. Пунктирная горизонтальная линия показывает среднее значение:

Красные точки указывают точки перегиба, а черные точки указывают локальные экстремальные значения.

Дифференциация

Первая производная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : правило цепочки для дифференцирования, правило дифференцирования для степенных функций, функция синуса # Первая производная, формула двойного углового косинуса

У нас есть:

Это можно сделать двумя способами.

Используя цепное правило дифференцирования, мы имеем:

По формуле синуса двойного угла это то же самое, что.

В качестве альтернативы, используя формулу двойного углового косинуса, мы перепишем:

Различая, получаем:

Вторая производная

Снова дифференцируя производную, получаем:

График функции с производной

Заполните позже

Точки и интервалы интереса

Критические точки

Считай. Как было вычислено ранее, мы имеем:

Это равно нулю точно в точках, где, так.Другими словами, критические точки возникают в целых числах, кратных.

Интервалы увеличения и уменьшения

Функция положительна для, с и отрицательна для, с. Разделив на 2, получим:

Локальные экстремальные значения

Из информации об интервалах увеличения и уменьшения делаем вывод, что:

Интервалы подъема и опускания

Вторая производная — это функция. Это положительно для и отрицательно для, где.Таким образом получаем:

Точки перегиба

В точках с функция переходит от вогнутого вверх (слева) к вогнутому вниз (справа).
В точках с функция переходит от вогнутости вниз (слева) к вогнутости вверх (справа).

Интеграция

Первая первообразная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : формула двойного углового косинуса, рекурсивная версия интегрирования по частям, интегрирование линейного преобразования функции

Использование формулы двойного углового косинуса

Теперь мы можем выполнить интеграцию:

Использование интеграции по частям

Переписываем и используем интеграцию по частям в ее рекурсивной версии:

Перепишем и получим:

Переставляя, получаем:

Это дает:

Итак, общая первообразная:

Используя формулу синуса двойного угла, мы можем убедиться, что это соответствует предыдущему ответу.

Для данной непрерывной функции на связанном множестве первообразные, полученные разными методами, должны отличаться на константу . В некоторых случаях первообразные могут быть в точности равными, но это , как правило, не обязательно .
См. Нулевую производную означает локальную константу

График функции с первообразной

Определенные интегралы

Таким образом, имеем:

где — целое число.

Трансформированные версии

Высшие первообразные

Силовая серия и серия Тейлора

Вычисление степенного ряда

Мы можем использовать удостоверение личности:

вместе со степенным рядом для функции косинуса, чтобы найти степенной ряд для.

Степенный ряд для функции косинуса везде сходится к функции и равен:

Силовой ряд для:

Разделив на 2, мы получим степенной ряд для:

Вот еще одна формулировка, в которой первые несколько терминов написаны более четко:

Многочлены Тейлора как приближения

Предельные вычисления

Порядок нуля

Мы получаем следующий предел из степенного ряда:

Таким образом, порядок нуля в нуле равен 2, а остаток равен 1.

Этот предел можно вычислить разными способами:

Пределы высшего порядка

У нас есть лимит:

Этот предел можно вычислить разными способами:

Функция синус-квадрат — исчисление

Эта статья посвящена конкретной функции от подмножества действительных чисел до действительных чисел.Информация о функции, включая ее домен, диапазон и ключевые данные, относящиеся к построению графиков, дифференциации и интеграции, представлена в статье.
Посмотреть полный список конкретных функций в этой вики

Определение

Эта функция, обозначенная, определяется как комбинация функции квадрата и функции синуса. Явно это карта:

Для краткости запишем как.

Ключевые данные

Арт.	Значение
Домен по умолчанию	все действительные числа, т.е.е., все
диапазон	, то есть абсолютное максимальное значение: 1, абсолютное минимальное значение: 0
период	, т.е.
локальное максимальное значение и точки достижения	Все локальные максимальные значения равны 1 и достигаются с нечетным целым числом, кратным.
локальное минимальное значение и точки достижения	Все локальные минимальные значения равны 0 и достигаются при целых кратных.
точек перегиба (обе координаты)	нечетных кратных, со значением 1/2 в каждой точке.
производная	, т. Е. Двухугловая синусоидальная функция.
вторая производная
производная	раз выражение, которое является или, в зависимости от остатка от мода
первообразное
среднее значение за период	1/2
выражение как синусоидальная функция плюс постоянная функция
важные симметрии	четная функция (следует из композиции четной функции с нечетной функцией, четной функцией квадрата и нечетной функцией синуса) в более общем смысле, зеркальной симметрией относительно любой вертикальной линии формы, целым числом. Кроме того, симметрия на пол-оборота относительно всех точек формы.
Описание интервала на основе увеличения / уменьшения и вогнутости вверх / вниз	Для каждого целого числа интервал от до подразделяется на четыре части: : увеличивающаяся и вогнутая вверх : увеличивающаяся и вогнутая вниз : уменьшающаяся и вогнутая вниз, : уменьшающаяся и вогнутая вверх
степенной серии и серии Тейлора	Ряд степеней около 0 (который, следовательно, также ряд Тейлора) равен Это глобально сходящийся ряд степеней.

Личности

У нас есть следующие важные личности:

График

Вот график на интервале в масштабе:

Вот увеличенный вид графика между и. Пунктирная горизонтальная линия показывает среднее значение:

Красные точки указывают точки перегиба, а черные точки указывают локальные экстремальные значения.

Дифференциация

Первая производная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : правило цепочки для дифференцирования, правило дифференцирования для степенных функций, функция синуса # Первая производная, формула двойного углового косинуса

У нас есть:

Это можно сделать двумя способами.

Используя цепное правило дифференцирования, мы имеем:

По формуле синуса двойного угла это то же самое, что.

В качестве альтернативы, используя формулу двойного углового косинуса, мы перепишем:

Различая, получаем:

Вторая производная

Снова дифференцируя производную, получаем:

График функции с производной

Заполните позже

Точки и интервалы интереса

Критические точки

Считай. Как было вычислено ранее, мы имеем:

Это равно нулю точно в точках, где, так.Другими словами, критические точки возникают в целых числах, кратных.

Интервалы увеличения и уменьшения

Функция положительна для, с и отрицательна для, с. Разделив на 2, получим:

Локальные экстремальные значения

Из информации об интервалах увеличения и уменьшения делаем вывод, что:

Интервалы подъема и опускания

Вторая производная — это функция. Это положительно для и отрицательно для, где.Таким образом получаем:

Точки перегиба

В точках с функция переходит от вогнутого вверх (слева) к вогнутому вниз (справа).
В точках с функция переходит от вогнутости вниз (слева) к вогнутости вверх (справа).

Интеграция

Первая первообразная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : формула двойного углового косинуса, рекурсивная версия интегрирования по частям, интегрирование линейного преобразования функции

Использование формулы двойного углового косинуса

Теперь мы можем выполнить интеграцию:

Использование интеграции по частям

Переписываем и используем интеграцию по частям в ее рекурсивной версии:

Перепишем и получим:

Переставляя, получаем:

Это дает:

Итак, общая первообразная:

Используя формулу синуса двойного угла, мы можем убедиться, что это соответствует предыдущему ответу.

Для данной непрерывной функции на связанном множестве первообразные, полученные разными методами, должны отличаться на константу . В некоторых случаях первообразные могут быть в точности равными, но это , как правило, не обязательно .
См. Нулевую производную означает локальную константу

График функции с первообразной

Определенные интегралы

Таким образом, имеем:

где — целое число.

Трансформированные версии

Высшие первообразные

Силовая серия и серия Тейлора

Вычисление степенного ряда

Мы можем использовать удостоверение личности:

вместе со степенным рядом для функции косинуса, чтобы найти степенной ряд для.

Степенный ряд для функции косинуса везде сходится к функции и равен:

Силовой ряд для:

Разделив на 2, мы получим степенной ряд для:

Вот еще одна формулировка, в которой первые несколько терминов написаны более четко:

Многочлены Тейлора как приближения

Предельные вычисления

Порядок нуля

Мы получаем следующий предел из степенного ряда:

Таким образом, порядок нуля в нуле равен 2, а остаток равен 1.

Этот предел можно вычислить разными способами:

Пределы высшего порядка

У нас есть лимит:

Этот предел можно вычислить разными способами:

Источник

Ниже представлены таблицы с формулами степеней (квадрат, куб, в 4-ой степени) прямых и обратных тригонометрических функций: синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Содержание
скрыть

Формулы квадратов
Формулы кубов
Формулы функций в 4-ой степени

Формулы квадратов


Степень	Формула
Синус в квадрате

Косинус в квадрате

Тангенс в квадрате
Котангенс в квадрате

microexcel.ru

Формулы кубов


Степень	Формула
Синус в кубе
Косинус в кубе
Тангенс в кубе
Котангенс в кубе

microexcel.ru


Степень	Формула
Синус в 4-ой степени
Косинус в 4-ой степени
Тангенс в 4-ой степени
Котангенс в 4-ой степени

microexcel.ru

Источник

Синус в квадрате

Косинус в квадрате и синус в квадрате

Косинус в квадрате, синус в квадрате

Формулы двойного угла в тригонометрии

Список формул двойного угла

Доказательство формул двойного угла

Примеры использования формул двойного угла

Формулы тройного, четверного и т.д. угла

Косинус в квадрате и синус в квадрате

Косинус в квадрате, синус в квадрате

Тригонометрия простыми словами

Значения тригонометрических функцийдля первой четверти круга (0° – 90°)

Принцип повтора знаков тригонометрических функций

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Таблица СИНУСОВ для углов от 0° до 360° градусов

Тригонометрические тождества и преобразования

Простейшие тригонометрические тождества

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Формулы универсальной тригонометрической подстановки

Тригонометрические тождества преобразования половины угла

Тригонометрические формулы сложения углов

Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций

Формулы тройного угла — преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций

Формулы приведения тригонометрических функций

Основные формулы тригонометрии.

Теорема синусов[править | править вики-текст]

Теорема косинусов[править | править вики-текст]

Теорема тангенсов[править | править вики-текст]

Формула Эйлера[править | править вики-текст]

2 в степени синус квадрат х

Формулы понижения степени, их доказательство

Примеры применения формул понижения степени

Найдите тангенс альфа если синус

Основное тригонометрическое тождество

Формулы понижения степени в тригонометрии

Формулы понижения степени, их доказательство

Примеры применения формул понижения степени

Производная синуса — sin x

Доказательство

Примеры

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Производные высших порядков

тригонометрических отождествлений. Темы по тригонометрии.

Подтверждения тригонометрических тождеств

Доказательство формул двойного и половинного угла. Тригонометрия с самого начала.

Функция синус-квадрат — исчисление

Определение

Ключевые данные

Личности

График

Дифференциация

Первая производная

Вторая производная

График функции с производной

Точки и интервалы интереса

Критические точки

Интервалы увеличения и уменьшения

Локальные экстремальные значения

Интервалы подъема и опускания

Точки перегиба

Интеграция

Первая первообразная

Использование формулы двойного углового косинуса

Использование интеграции по частям

График функции с первообразной

Определенные интегралы

Трансформированные версии

Высшие первообразные

Силовая серия и серия Тейлора

Вычисление степенного ряда

Многочлены Тейлора как приближения

Предельные вычисления

Порядок нуля

Пределы высшего порядка

Функция синус-квадрат — исчисление

Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)