Как найти квантиль от константы

В примерах в данной статье данные генерятся при каждой загрузке страницы. Если Вы хотите посмотреть пример с другими значениями —
обновите страницу .

---

Мода и медиана случайной величины.
Квантиль уровня случайной величины

• Краткая теория
• Примеры решения задач

Краткая теория

---

Кроме
математического ожидания и дисперсии, в теории вероятностей применяется еще ряд
числовых характеристик, отражающих те или иные особенности распределения.

Мода непрерывной и дискретной случайной величины

Модой
случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, для которого
вероятность

 или плотность вероятности

 достигает максимума.

В
частности, наивероятнейшее значение числа успехов в схеме Бернулли – это мода
биномиального распределения.

Если
вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в
нескольких точках, распределение называется полимодальным.

Полимодальное распределение

Медиана непрерывной и дискретной случайной величины

Медианой случайной величины

 называют число

, такое, что

.

То есть вероятность того, что
случайная величина

 примет
значение, меньшее медианы

 или больше ее,
одна и та же и равна

.

Для дискретной случайной величины

 это число может
не совпадать ни с одним из значений

. Поэтому медиану дискретной случайной величины
определяют как любое число

, лежащее между двумя соседними возможными значениями

 и

 такими, что

.

Для непрерывной случайной величины,
геометрически, вертикальная прямая

, проходящая через точку с абсциссой, равной

, делит площадь фигуры под кривой распределения на две
равные части.

Медиана на графике плотности вероятности непрерывной
случайной величины

Очевидно, что в точке

  функция распределения непрерывной случайной
величины равна

, то есть

.

Медиана на графике функции распределения непрерывной
случайной величины

Квантили и процентные точки случайной величины

Наряду с отмеченными выше числовыми
характеристиками для описания случайной величины используется понятие квантилей
и процентных точек.

Квантилем уровня

 (или

 – квантилем)
называется такое значение

 случайной
величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное

, то есть:

Некоторые квантили получили особое
называние. Очевидно, что введенная выше медиана случайной величины есть
квантиль уровня 0,5, то есть

. Квантили

 и

 получили
название соответственно верхнего и нижнего квантилей. Также в литературе
встречаются термины: децили (под которыми понимают квантили

) и процентили (квантили

).

С понятием квантиля тесно связано
понятие процентной точки. Под

 точкой
подразумевается квантиль

, то есть такое значение случайной величины

, при котором

.

Смежные темы решебника:

• Структурные средние в статистике — мода, медиана, квантиль, дециль
• Дискретная случайная величина
• Непрерывная случайная величина

Примеры решения задач

---

Пример 1

Найти
моду, медиану, квантиль

 и 40%-ну точку случайной величины

 c плотностью распределения:

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Исследуем
функцию на наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Производная:

Производная
не обращается в нуль.

Значения
на концах отрезка:

Следовательно,
мода:

Медиану

 найдем из условия:

В нашем
случае получаем:

Значение

 принадлежит отрезку

,
следовательно, искомая медиана:

Квантиль

 найдем из уравнения:

Значение

 принадлежит отрезку

,
следовательно, искомый квантиль:

Найдем
40%-ную точку случайной величины

, или квантиль

 из уравнения:

Значение

 принадлежит отрезку

,
следовательно, искомая точка:

Ответ:

.

---

Пример 2

Найти
моду, медиану, квантиль

 случайной величины

, заданной функцией
распределения:

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Найдем
плотность распределения:

Исследуем
функцию на наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Производная:

Значения
функции

 в стационарных точках и на концах отрезка:

Распределение
полимодальное:

Медиану

 найдем из уравнения:

Итак,
медиана:

Квантиль

 найдем из уравнения:

Итак:

Ответ:

.

• Краткая теория
• Примеры решения задач

2.4. Случайные величины и их распределения

Распределения случайных величин и функции распределения. Распределение числовой случайной величины – это функция, которая однозначно определяет вероятность того, что случайная величина принимает заданное значение или принадлежит к некоторому заданному интервалу.

Первое – если случайная величина принимает конечное число значений. Тогда распределение задается функцией , ставящей в соответствие каждому возможному значению случайной величины вероятность того, что .

Второе – если случайная величина принимает бесконечно много значений. Это возможно лишь тогда, когда вероятностное пространство, на котором определена случайная величина, состоит из бесконечного числа элементарных событий. Тогда распределение задается набором вероятностей для всех пар чисел таких, что . Распределение может быть задано с помощью так называемой функции распределения , определяющей для всех действительных х вероятность того, что случайная величина принимает значения, меньшие . Ясно, что

Это соотношение показывает, что как распределение может быть рассчитано по функции распределения, так и наоборот, функция распределения – по распределению.

Используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях функции распределения бывают либо дискретными, либо непрерывными, либо их комбинациями.

Дискретные функции распределения соответствуют дискретным случайным величинам, принимающим конечное число значений или же значения из множества, элементы которого можно перенумеровать натуральными числами (такие множества в математике называют счетными). Их график имеет вид ступенчатой лестницы (
рис.
2.1).

Пример 1. Число дефектных изделий в партии принимает значение 0 с вероятностью 0,3, значение 1 – с вероятностью 0,4, значение 2 – с вероятностью 0,2 и значение 3 – с вероятностью 0,1. График функции распределения случайной величины изображен на
рис.
2.1.

Непрерывные функции распределения не имеют скачков. Они монотонно возрастают^{1В некоторых случаях, например, при изучении цен, объемов выпуска или суммарной наработки на отказ в задачах надежности, функции распределения постоянны на некоторых интервалах, в которые значения исследуемых случайных величин не могут попасть.} при увеличении аргумента – от 0 при до 1 при . Случайные величины, имеющие непрерывные функции распределения, называют непрерывными.

Непрерывные функции распределения, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений, имеют производные. Первая производная функции распределения называется плотностью вероятности,

По плотности вероятности можно определить функцию распределения:

Для любой функции распределения

а потому

Перечисленные свойства функций распределения постоянно используются в вероятностно-статистических методах принятия решений. В частности, из последнего равенства вытекает конкретный вид констант в формулах для плотностей вероятностей, рассматриваемых ниже.

Пример 2. Часто используется следующая функция распределения:

где и – некоторые числа, . Найдем плотность вероятности этой функции распределения:

(в точках и производная функции не существует).

Случайная величина с функцией распределения (1) называется «равномерно распределенной на отрезке «.

Смешанные функции распределения встречаются, в частности, тогда, когда наблюдения в какой-то момент прекращаются. Например, при анализе статистических данных, полученных при использовании планов испытаний на надежность, предусматривающих прекращение испытаний по истечении некоторого срока. Или при анализе данных о технических изделиях, потребовавших гарантийного ремонта.

Пример 3. Пусть, например, срок службы электрической лампочки – случайная величина с функцией распределения , а испытание проводится до выхода лампочки из строя, если это произойдет менее чем за 100 часов от начала испытаний, или до момента = 100 часов. Пусть – функция распределения времени эксплуатации лампочки в исправном состоянии при этом испытании. Тогда

Функция имеет скачок в точке , поскольку соответствующая случайная величина принимает значение с вероятностью .

Характеристики случайных величин. В вероятностно-статистических методах принятия решений используется ряд характеристик случайных величин, выражающихся через функции распределения и плотности вероятностей.

При описании дифференциации доходов, при нахождении доверительных границ для параметров распределений случайных величин и во многих иных случаях используется такое понятие, как «квантиль порядка «, где (обозначается ). Квантиль порядка – значение случайной величины, для которого функция распределения принимает значение или имеет место «скачок» со значения меньше до значения больше (
рис.
2.2). Может случиться, что это условие выполняется для всех значений , принадлежащих этому интервалу (т.е. функция распределения постоянна на этом интервале и равна ). Тогда каждое такое значение называется «квантилью порядка «. Для непрерывных функций распределения, как правило, существует единственная квантиль порядка (
рис.
2.2), причем

Пример 4. Найдем квантиль порядка для функции распределения из (1).

При квантиль находится из уравнения

т.е. . При любое является квантилью порядка . Квантилью порядка является любое число .

Для дискретных распределений, как правило, не существует , удовлетворяющих уравнению (2). Точнее, если распределение случайной величины задается табл.2.2, где , то равенство (2), рассматриваемое как уравнение относительно , имеет решения только для значений , а именно,

Для перечисленных значений вероятности решение уравнения (2) неединственно, а именно,

для всех таких, что . То есть – любое число из интервала . Для всех остальных из промежутка (0;1), не входящих в перечень (3), имеет место «скачок» со значения меньше до значения больше . А именно, если

то .

Рассмотренное свойство дискретных распределений создает значительные трудности при табулировании и использовании подобных распределений, поскольку невозможно точно выдержать типовые численные значения характеристик распределения. В частности, это так для критических значений и уровней значимости непараметрических статистических критериев (см. ниже), поскольку распределения статистик этих критериев дискретны.

Большое значение в статистике имеет квантиль порядка . Он называется медианой (случайной величины или ее функции распределения ) и обозначается . В геометрии есть понятие «медиана» – прямая, проходящая через вершину треугольника и делящая противоположную его сторону пополам. В математической статистике медиана делит пополам не сторону треугольника, а распределение случайной величины: равенство означает, что вероятность попасть левее и вероятность попасть правее (или непосредственно в ) равны между собой и равны 1/2, т.е.

Медиана указывает «центр» распределения. С точки зрения одной из современных концепций – теории устойчивых статистических процедур – медиана является более хорошей характеристикой случайной величины, чем математическое ожидание [
[
1.15
]
,
[
2.16
]
]. При обработке результатов измерений в порядковой шкале (см. лекцию о теории измерений) медианой можно пользоваться, а математическим ожиданием – нет.

Ясный смысл имеет такая характеристика случайной величины, как мода – значение (или значения) случайной величины, соответствующее локальному максимуму плотности вероятности для непрерывной случайной величины или локальному максимуму вероятности для дискретной случайной величины.

Если – мода случайной величины с плотностью , то, как известно из дифференциального исчисления, .

У случайной величины может быть много мод. Так, для равномерного распределения (1) каждая точка такая, что , является модой. Однако это исключение. Большинство случайных величин, используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях, имеют одну моду. Случайные величины, плотности, распределения, имеющие одну моду, называются унимодальными.

Математическое ожидание для дискретных случайных величин с конечным числом значений рассмотрено в 2.2. Для непрерывной случайной величины математическое ожидание удовлетворяет равенству

являющемуся аналогом формулы (5) из утверждения 2 2.2.

Пример 5. Математическое ожидание для равномерно распределенной случайной величины равно

Для рассматриваемых в настоящем параграфе случайных величин верны все те свойства математических ожиданий и дисперсий, которые были рассмотрены ранее в 2.2 для дискретных случайных величин с конечным числом значений. Однако доказательства этих свойств не приводим, поскольку они требуют углубления в математические тонкости, не являющиеся необходимыми для понимания и квалифицированного применения вероятностно-статистических методов принятия решений.

Замечание. В настоящем учебнике сознательно обходятся математические тонкости, связанные, в частности, с понятиями измеримых множеств и измеримых функций, -алгебры событий и т.п. Желающим освоить эти понятия необходимо обратиться к специальной литературе, в частности, к энциклопедии [
[
2.2
]
].

Каждая из трех характеристик – математическое ожидание, медиана, мода – описывает «центр» распределения вероятностей. Понятие «центр» можно определять разными способами – отсюда три разные характеристики. Однако для важного класса распределений – симметричных унимодальных – все три характеристики совпадают.

Плотность распределения – плотность симметричного распределения, если найдется число такое, что

Равенство (3) означает, что график функции симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через центр симметрии . Из (3) следует, что функция симметричного распределения удовлетворяет соотношению

Для симметричного распределения с одной модой математическое ожидание, медиана и мода совпадают и равны .

Наиболее важен случай симметрии относительно 0, т.е. . Тогда (3) и (4) переходят в равенства

и

соответственно. Приведенные соотношения показывают, что симметричные распределения нет необходимости табулировать при всех , достаточно иметь таблицы при .

Отметим еще одно свойство симметричных распределений, постоянно используемое в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях. Для непрерывной функции распределения

где – функция распределения случайной величины . Если функция распределения симметрична относительно 0, т.е. для нее справедлива формула (6), то

Часто используют другую формулировку рассматриваемого утверждения: если

Если и – квантили порядка и соответственно (см. (2)) функции распределения, симметричной относительно 0, то из (6) следует, что

От характеристик положения – математического ожидания, медианы, моды – перейдем к характеристикам разброса случайной величины : дисперсии , среднему квадратическому отклонению и коэффициенту вариации . Определение и свойства дисперсии для дискретных случайных величин рассмотрены в
«Различные виды статистических данных»
. Для непрерывных случайных величин

Среднее квадратическое отклонение – это неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии:

Коэффициент вариации – это отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

Коэффициент вариации применяется при . Он измеряет разброс в относительных единицах, в то время как среднее квадратическое отклонение – в абсолютных.

Пример 6. Для равномерно распределенной случайной величины Х найдем дисперсию, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации. Дисперсия равна:

Замена переменной дает возможность записать:

где . Следовательно, среднее квадратическое отклонение равно , а коэффициент вариации таков: .

По каждой случайной величине определяют еще три величины – центрированную , нормированную и приведенную . Центрированная случайная величина – это разность между данной случайной величиной и ее математическим ожиданием , т.е. . Математическое ожидание центрированной случайной величины равно 0, а дисперсия – дисперсии данной случайной величины: . Функция распределения центрированной случайной величины связана с функцией распределения исходной случайной величины соотношением:

Для плотностей этих случайных величин справедливо равенство

Нормированная случайная величина – это отношение данной случайной величины к ее среднему квадратическому отклонению , т.е. . Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины выражаются через характеристики так:

где – коэффициент вариации исходной случайной величины . Для функции распределения и плотности нормированной случайной величины имеем:

где – функция распределения исходной случайной величины , а – ее плотность вероятности.

Приведенная случайная величина – это центрированная и нормированная случайная величина:

Для приведенной случайной величины

Нормированные, центрированные и приведенные случайные величины постоянно используются как в теоретических исследованиях, так и в алгоритмах, программных продуктах, нормативно-технической и инструктивно-методической документации. В частности потому, что равенства позволяют упростить обоснования методов, формулировки теорем и расчетные формулы.

Используются преобразования случайных величин и более общего плана. Так, если , где и – некоторые числа, то

Пример 7. Если то – приведенная случайная величина, и формулы (8) переходят в формулы (7).

С каждой случайной величиной можно связать множество случайных величин , заданных формулой при различных и . Это множество называют масштабно-сдвиговым семейством, порожденным случайной величиной . Функции распределения составляют масштабно-сдвиговое семейство распределений, порожденное функцией распределения . Вместо часто используют запись

где

Число называют параметром сдвига, а число – параметром масштаба. Формула (9) показывает, что – результат измерения некоторой величины – переходит в – результат измерения той же величины, если начало измерения перенести в точку , а затем использовать новую единицу измерения, в раз большую старой.

Для масштабно-сдвигового семейства (9) распределение называют стандартным. В вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях используют стандартное нормальное распределение, стандартное распределение Вейбулла-Гнеденко, стандартное гамма-распределение и др. (см. ниже).

Применяют и другие преобразования случайных величин. Например, для положительной случайной величины рассматривают , где – десятичный логарифм числа . Цепочка равенств

связывает функции распределения и .

При обработке данных используют такие характеристики случайной величины как моменты порядка , т.е. математические ожидания случайной величины . Так, само математическое ожидание – это момент порядка 1. Для дискретной случайной величины момент порядка может быть рассчитан как

Для непрерывной случайной величины

Моменты порядка называют также начальными моментами порядка , в отличие от родственных характеристик – центральных моментов порядка , задаваемых формулой

Так, дисперсия – это центральный момент порядка 2.

Нормальное распределение и центральная предельная теорема. В вероятностно-статистических методах принятия решений часто идет речь о нормальном распределении. Иногда его пытаются использовать для моделирования распределения исходных данных (эти попытки не всегда являются обоснованными – см. ниже). Более существенно, что многие методы обработки данных основаны на том, что расчетные величины имеют распределения, близкие к нормальному.

Пусть . – независимые одинаково распределенные случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями . Как следует из результатов 2.2,

Рассмотрим приведенную случайную величину для суммы , а именно,

Как следует из формул (7), .

Центральная предельная теорема (для одинаково распределенных слагаемых). Пусть . – независимые одинаково распределенные случайные величины с математическими ожиданиями M(X_i)=m и дисперсиями . Тогда для любого существует предел

где – функция стандартного нормального распределения.

Подробнее о функции – см. ниже (читается «фи от икс», поскольку – греческая прописная буква «фи»).

Центральная предельная теорема (ЦПТ) носит свое название по той причине, что она является центральным, наиболее часто применяющимся математическим результатом теории вероятностей и математической статистики. История ЦПТ занимает около 200 лет – с 1730 г., когда английский математик А.Муавр (1667–1754) опубликовал первый результат, относящийся к ЦПТ (о теореме Муавра-Лапласа см. ниже), по двадцатые – тридцатые годы ХХ в., когда финн Дж. У. Линдеберг, француз Поль Леви (1886–1971), югослав В. Феллер (1906–1970), русский А.Я. Хинчин (1894–1959) и другие ученые получили необходимые и достаточные условия справедливости классической центральной предельной теоремы.

Развитие рассматриваемой тематики на этом отнюдь не прекратилось – изучали случайные величины, не имеющие дисперсии, т.е. те, для которых

(академик Б.В.Гнеденко и др.), ситуацию, когда суммируются случайные величины (точнее, случайные элементы) более сложной природы, чем числа (академики Ю.В.Прохоров, А.А.Боровков и их соратники), и т.д.

Функция распределения задается равенством

где – плотность стандартного нормального распределения, имеющая довольно сложное выражение:

Здесь . – известное в геометрии число, равное отношению длины окружности к диаметру, . – основание натуральных логарифмов (для запоминания этого числа обратите внимание, что 1828 – год рождения писателя Л.Н.Толстого). Как известно из математического анализа,

При обработке результатов наблюдений функцию нормального распределения не вычисляют по приведенным формулам, а находят с помощью специальных таблиц или компьютерных программ. Лучшие на русском языке «Таблицы математической статистики» составлены членами-корреспондентами АН СССР Л.Н. Большевым и Н.В.Смирновым [
[
2.1
]
].

Вид плотности стандартного нормального распределения вытекает из математической теории, которую не имеем возможности здесь рассматривать, равно как и доказательство ЦПТ.

Для иллюстрации приводим небольшие таблицы функции распределения (табл.2.3) и ее квантилей (табл.2.4). Функция симметрична относительно 0, что отражается в табл.2.3–2.4.

Если случайная величина имеет функцию распределения , то . Это утверждение доказывается в теории вероятностей, исходя из вида плотности вероятностей . Оно согласуется с аналогичным утверждением для характеристик приведенной случайной величины , что вполне естественно, поскольку ЦПТ утверждает, что при безграничном возрастании числа слагаемых функция распределения стремится к функции стандартного нормального распределения , причем при любом .

Рассмотрим вычисление квантилей для некоторых функций распределений, представленных в

MS

EXCEL

.

Понятие

Квантиля

основано на определении

Функции распределения

. Поэтому, перед изучением

Квантилей

рекомендуем освежить в памяти понятия из статьи

Функция распределения вероятности

.

Содержание статьи:

• Определение
• Квантили специальных видов
• Квантили стандартного нормального распределения
• Квантили распределения Стьюдента
• Квантили распределения ХИ-квадрат
• Квантили F-распределения
• Квантили распределения Вейбулла
• Квантили экспоненциального распределения

Сначала дадим формальное определение

квантиля,

затем приведем примеры их вычисления в MS EXCEL.

Определение

Пусть случайная величина

X

, имеет

функцию распределения

F

(

x

).

α-квантилем

(

альфа-

квантиль,

x

_a

,

квантиль

порядка

α, нижний

α-

квантиль

) называют решение уравнения

x

_a

=F

^-1

(α), где

α

— вероятность, что случайная величина х примет значение меньшее или равное x

_a

, т.е. Р(х<= x

_a

)=

α.

Из определения ясно, что нахождение

квантиля

распределения является обратной операцией нахождения вероятности. Т.е. если при вычислении

функции распределения

мы находим вероятность

α,

зная x

_a

, то при нахождении

квантиля

мы, наоборот, ищем

x

_a

зная

α

.

Чтобы пояснить определение, используем график функции

стандартного нормального распределения

(см.

файл примера Лист Определение

):

Примечание

: О построении графиков в MS EXCEL можно прочитать статью

Основные типы диаграмм в MS EXCEL

.

Например, с помощью графика вычислим 0,21-ю

квантиль

, т.е. такое значение случайной величины, что Р(X<=x

_0,21

)=0,21.

Для этого найдем точку пересечения горизонтальной линии на уровне вероятности равной 0,21 с

функцией распределения

. Абсцисса этой точки равна -0,81. Соответственно, 0,21-я

квантиль

равна -0,81. Другими словами, вероятность того, что случайная величина, распределенная

стандартному нормальному закону,

примет значение

меньше

-0,81, равна 0,21 (21%).

Примечание

: При вычислении

квантилей

в MS EXCEL используются

обратные функции распределения

:

НОРМ.СТ.ОБР()

,

ЛОГНОРМ.ОБР()

,

ХИ2.ОБР(),

ГАММА.ОБР()

и т.д. Подробнее о распределениях, представленных в MS EXCEL, можно прочитать в статье

Распределения случайной величины в MS EXCEL

.

Точное значение

квантиля

в нашем случае можно найти с помощью формулы

=НОРМ.СТ.ОБР(0,21)

СОВЕТ

: Процедура вычисления

квантилей

имеет много общего с вычислением

процентилей

выборки

(см. статью

Процентили в MS EXCEL

).

Квантили специальных видов

Часто используются

Квантили

специальных видов:

• процентили

  x
  
  _p/100
  
  , p=1, 2, 3, …, 99

• квартили

  x
  
  _p/4
  
  , p=1, 2, 3

• медиана

  x
  
  _1/2
  

В качестве примера вычислим

медиану (0,5-квантиль)

логнормального распределения

LnN(0;1) (см.

файл примера лист Медиана

).

Это можно сделать с помощью формулы

=ЛОГНОРМ.ОБР(0,5; 0; 1)

Квантили стандартного нормального распределения

Необходимость в вычислении квантилей

стандартного нормального распределения

возникает при

проверке статистических гипотез

и при

построении доверительных интервалов.

Примечание

: Про

проверку статистических гипотез

см. статью

Проверка статистических гипотез в MS EXCEL

. Про

построение доверительных интервалов

см. статью

Доверительные интервалы в MS EXCEL

.

В данных задачах часто используется специальная терминология:

• 
  Нижний квантиль уровня
  
  альфа
  
  (
  
  α
  
  percentage point)
  
  ;
• 
  Верхний квантиль уровня альфа (upper
  
  α
  
  percentage point)
  
  ;
• 
  Двусторонние квантили уровня
  
  альфа
  
  .

Нижний квантиль уровня альфа

— это обычный

α-квантиль.

Чтобы пояснить название «

нижний» квантиль

, построим график

плотности вероятности

и

функцию вероятности

стандартного нормального

распределения

(см.

файл примера лист Квантили

).

Выделенная площадь на рисунке соответствует вероятности, что случайная величина примет значение меньше

α-квантиля

. Из определения

квантиля

эта вероятность равна

α

. Из графика

функции распределения

становится понятно, откуда происходит название »

нижний квантиль» —

выделенная область расположена в нижней части графика.

Для

α=0,05,

нижний 0,05-квантиль

стандартного нормального распределения

равен -1,645. Вычисления в MS EXCEL можно сделать по формуле:

=НОРМ.СТ.ОБР(0,05)

Однако, при

проверке гипотез

и построении

доверительных интервалов

чаще используется «верхний»

α-квантиль.

Покажем почему.

Верхним

α

—

квантилем

называют такое значение x

_α

, для которого вероятность, того что случайная величина X примет значение

больше или равное

x

_α

равна

альфа:

P(X>= x

_α

)=

α

. Из определения понятно, что

верхний альфа

—

квантиль

любого распределения равен

нижнему (1-

α)

—

квантилю.

А для распределений, у которых

функция плотности распределения

является четной функцией,

верхний

α

—

квантиль

равен

нижнему

α

—

квантилю

со знаком минус

.

Это следует из свойства четной функции f(-x)=f(x), в силу симметричности ее относительно оси ординат.

Действительно, для

α=0,05,

верхний 0,05-квантиль

стандартного нормального распределения

равен 1,645. Т.к.

функция плотности вероятности

стандартного нормального

распределения

является четной функцией, то вычисления в MS EXCEL

верхнего квантиля

можно сделать по двум формулам:

=НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05)

=-НОРМ.СТ.ОБР(0,05)

Почему применяют понятие

верхний

α

—

квантиль?

Только из соображения удобства, т.к. он при

α<0,5

всегда положительный (в случае

стандартного нормального

распределения

). А при проверке гипотез

α

равно

уровню значимости

, который обычно берут равным 0,05, 0,1 или 0,01. В противном случае, в процедуре

проверки гипотез

пришлось бы записывать условие отклонения

нулевой гипотезы

μ>μ

₀

как Z

₀

>Z

<sub>1-

α</sub>

, подразумевая, что Z

<sub>1-

α</sub>

–

обычный

квантиль

порядка

1-

α

(или как Z

₀

>-Z

_α

). C верхнем квантилем эта запись выглядит проще Z

₀

>Z

_α

.

Примечание

: Z

₀

— значение

тестовой статистики

, вычисленное на основе

выборки

. Подробнее см. статью

Проверка статистических гипотез в MS EXCEL о равенстве среднего значения распределения (дисперсия известна)

.

Чтобы пояснить название «

верхний»

квантиль

, построим график

плотности вероятности

и

функцию вероятности

стандартного нормального

распределения

для

α=0,05.

Выделенная площадь на рисунке соответствует вероятности, что случайная величина примет значение больше

верхнего 0,05-квантиля

, т.е.

больше

значения 1,645. Эта вероятность равна 0,05.

На графике

плотности вероятности

площадь выделенной области равна 0,05 (5%) от общей площади под графиком (равна 1). Из графика

функции распределения

становится понятно, откуда происходит название «верхний»

квантиль

—

выделенная область расположена в верхней части графика. Если Z

₀

больше

верхнего квантиля

, т.е. попадает в выделенную область, то

нулевая гипотеза

отклоняется.

Также при

проверке двухсторонних гипотез

и построении соответствующих

доверительных интервалов

иногда используется понятие «двусторонний»

α-квантиль.

В этом случае условие отклонения

нулевой гипотезы

звучит как |Z

₀

|>Z

<sub>α

/2</sub>

, где Z

<sub>α

/2</sub>

–

верхний

α/2-квантиль

. Чтобы не писать

верхний

α/2-квантиль

, для удобства используют «двусторонний»

α-квантиль.

Почему двусторонний? Как и в предыдущих случаях, построим график

плотности вероятности стандартного нормального распределения

и график

функции распределения

.

Невыделенная площадь на рисунке соответствует вероятности, что случайная величина примет значение

между

нижним квантилем уровня α

/2 и

верхним квантилем

уровня α

/2, т.е. будет между значениями -1,960 и 1,960 при α=0,05. Эта вероятность равна в нашем случае 1-(0,05/2+0,05/2)=0,95. Если Z

₀

попадает в одну из выделенных областей, то

нулевая гипотеза

отклоняется.

Вычислить

двусторонний

0,05

—

квантиль

это можно с помощью формул MS EXCEL:

=НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)

или

=-НОРМ.СТ.ОБР(0,05/2)

Другими словами,

двусторонние α-квантили

задают интервал, в который рассматриваемая случайная величина попадает с заданной вероятностью α.

Квантили распределения Стьюдента

Аналогичным образом

квантили

вычисляются и для

распределения Стьюдента

. Например, вычислять

верхний

α/2-

квантиль

распределения Стьюдента с

n

-1 степенью свободы

требуется, если проводится

проверка двухсторонней гипотезы

о

среднем значении

распределения при

неизвестной

дисперсии

(

см. эту статью

).

Для

верхних квантилей

распределения Стьюдента

часто используется запись t

_α/2,n-1

. Если такая запись встретилась в статье про

проверку гипотез

или про построение

доверительного интервала

, то это именно

верхний квантиль

.

Примечание

:

Функция плотности вероятности распределения Стьюдента

, как и

стандартного нормального распределения

, является четной функцией.

Чтобы вычислить в MS EXCEL

верхний

0,05/2

—

квантиль

для t-распределения с 10 степенями свободы (или тоже самое

двусторонний

0,05-квантиль

), необходимо записать формулу

=СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05; 10)

или

=СТЬЮДРАСПОБР(0,05; 10)

или

=СТЬЮДЕНТ.ОБР(1-0,05/2; 10)

или

=-СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,05/2; 10)

.2X означает 2 хвоста, т.е.

двусторонний квантиль

.

Квантили распределения ХИ-квадрат

Вычислять

квантили

распределения ХИ-квадрат

с

n

-1 степенью свободы

требуется, если проводится

проверка гипотезы

о

дисперсии нормального распределения

(см. статью

Проверка статистических гипотез в MS EXCEL о дисперсии нормального распределения

).

При

проверке таких гипотез

также используются

верхние квантили.

Например, при

двухсторонней гипотезе

требуется вычислить 2

верхних

квантиля

распределения

ХИ

²

: χ

²

_α/2,n-1

и

χ

²

<sub>1-

α/2,n-1</sub>

. Почему требуется вычислить два

квантиля

, не один, как при

проверке гипотез о среднем

, где используется

стандартное нормальное распределение

или

t-распределение

?

Дело в том, что в отличие от

стандартного нормального распределения

и

распределения Стьюдента

, плотность распределения

ХИ

²

не является четной (симметричной относительно оси х). У него все

квантили

больше 0, поэтому

верхний альфа-квантиль

не равен

нижнему (1-альфа)-квантилю

или по-другому:

верхний альфа-квантиль

не равен

нижнему альфа-квантилю

со знаком минус.

Чтобы вычислить

верхний

0,05/2

—

квантиль

для

ХИ

²

-распределения

с

числом степеней свободы

10, т.е.

χ

²

_0,05/2,n-1

, необходимо в MS EXCEL записать формулу

=ХИ2.ОБР.ПХ(0,05/2; 10)

или

=ХИ2.ОБР(1-0,05/2; 10)

Результат равен 20,48. .ПХ означает правый хвост распределения, т.е. тот который расположен вверху на графике

функции распределения

.

Чтобы вычислить

верхний

(1-0,05/2)-

квантиль

при том же

числе степеней свободы

, т.е.

χ

²

_1-0,05/2,n-1

и необходимо записать формулу

=ХИ2.ОБР.ПХ(1-0,05/2; 10)

или

=ХИ2.ОБР(0,05/2; 10)

Результат равен 3,25.

Квантили F-распределения

Вычислять

квантили

распределения Фишера

с

n

₁

-1 и

n

₂

-1 степенями свободы

требуется, если проводится

проверка гипотезы

о равенстве

дисперсий двух нормальных распределений

(см. статью

Двухвыборочный тест для дисперсии: F-тест в MS EXCEL

).

При

проверке таких гипотез

используются, как правило,

верхние квантили.

Например, при

двухсторонней гипотезе

требуется вычислить 2

верхних

квантиля

F

-распределения:

F

<sub>α/2,n1-1,

n

2

-1</sub>

и

F

<sub>1-α/2,n1-1,

n

2

-1</sub>

. Почему требуется вычислить два

квантиля

, не один, как при

проверке гипотез о среднем

? Причина та же, что и для распределения ХИ

²

– плотность

F-распределения

не является четной

.

Эти

квантили

нельзя выразить один через другой как для

стандартного нормального распределения

.

Верхний альфа-квантиль

F

-распределения

не равен

нижнему альфа-квантилю

со знаком минус.

Чтобы вычислить

верхний

0,05/2-квантиль

для

F

-распределения

с

числом степеней свободы

10 и 12, необходимо записать формулу

=F.ОБР.ПХ(0,05/2;10;12) =FРАСПОБР(0,05/2;10;12) =F.ОБР(1-0,05/2;10;12)

Результат равен 3,37. .ПХ означает правый хвост распределения, т.е. тот который расположен вверху на графике

функции распределения

.

Квантили распределения Вейбулла

Иногда

обратная функция распределения

может быть представлена в явном виде с помощью элементарных функций, например как для

распределения Вейбулла

. Напомним, что функция этого распределения задается следующей формулой:

После логарифмирования обеих частей выражения, выразим x через соответствующее ему значение F(x) равное P:

Примечание

: Вместо обозначения

α-квантиль

может использоваться

p

—

квантиль.

Суть от этого не меняется.

Это и есть обратная функция, которая позволяет вычислить

P

—

квантиль

(

p

—

quantile

). Для его вычисления в формуле нужно подставить известное значение вероятности P и вычислить значение х

_p

(вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше или равное х

_p

равна P).

Квантили экспоненциального распределения

Задача

:

Случайная величина имеет

экспоненциальное распределение

:

Требуется выразить

p

-квантиль

x

_p

через параметр распределения λ и заданную вероятность

p

.

Примечание

: Вместо обозначения

α-квантиль

может использоваться

p-квантиль

. Суть от этого не меняется.

Решение

: Вспоминаем, что

p

-квантиль

– это такое значение x

_p

случайной величины X, для которого P(X<=x

_p

)=

p

. Т.е. вероятность, что случайная величина X примет значение меньше или равное x

_p

равна

p

. Запишем это утверждение с помощью формулы:

По сути, мы записали

функцию вероятности экспоненциального распределения

: F(x

_p

)=

p

.

Из определения

квантиля

следует, что для его нахождения нам потребуется

обратная функция распределения

.

Проинтегрировав вышеуказанное выражение, получим:

Используя это уравнение, выразим x

_p

через λ и вероятность

p

.

Конечно, явно выразить

обратную функцию распределения

можно не для всех

функций распределений

.

В статистике и вероятности , квантили разрежут точки , делящие диапазон от более распределения вероятностей в непрерывные интервалы с равными вероятностями, или разделяющие наблюдения в выборке таким же образом. На один квантиль меньше, чем количество созданных групп. Общие квантили имеют специальные названия, например квартили (четыре группы), децили (десять групп) и процентили (100 групп). Созданные группы называются половинками, третями, четвертями и т. Д., Хотя иногда термины для квантиля используются для созданных групп, а не для точек отсечения.

Q — квантили являются значениямикоторые разбиением на конечное множество значений в д подмножества из (почти) одинакового размера. Существует q — 1 из q -квантилей, по одному для каждого целого числа k, удовлетворяющего 0 < k < q . В некоторых случаях значение квантиля не может быть определено однозначно, как это может быть в случае медианы (2-квантиль) равномерного распределения вероятностей для набора четного размера. Квантили также можно применять к непрерывным распределениям, что дает возможность обобщить статистику рангов на непрерывные переменные (см. Процентильный ранг ). Когда функция распределения из случайной величины известна, Q -quantiles является применением функции квантиля (The обратной функции от функции распределения ) до значений {1 / д , 2 / д , …, ( д — 1) / q }.

Специализированные квантили

Некоторые q- квантили имеют специальные имена:

• Единственный 2-квантиль называется медианой.
• 3-квантили называются тертили или terciles → T
• 4-квантили называются квартилями → Q; разница между верхним и нижним квартилями также называется межквартильным размахом , средний или средний пятьдесят → IQR = Q ₃ — Q ₁ .
• 5-квантили называются квинтилями → QU.
• 6-квантили называются секстилями → S
• 7-квантили называются септилами.
• 8-квантили называются октилями.
• 10-квантили называются децилями → D
• 12-квантили называются дуодецилями или додецилями.
• 16-квантили называются гексадецилями → H
• 20-квантили называются вентилями , вигинтилями или полу-децилями → V
• 100-квантили называются процентилями → P
• 1000-квантили были названы пермилями или миллилями, но они редки и в значительной степени устарели.

Квантили населения

Как и при вычислении, например, стандартного отклонения , оценка квантиля зависит от того, работаете ли человек со статистической совокупностью или с выборкой, взятой из нее. Для совокупности дискретных значений или для непрерывной плотности населения k -й q -квантиль представляет собой значение данных, в котором кумулятивная функция распределения пересекает k / q . То есть x является k -м q -квантилем для переменной X, если

Pr [ X < x ] ≤ k / q или, что то же самое, Pr [ X ≥ x ] ≥ 1 — k / q

а также

Pr [ X ≤ x ] ≥ k / q .

Это эквивалентно тому, что x — наименьшее значение такое, что Pr [ X ≤ x ] ≥ k / q . Для конечной совокупности N равновероятных значений, проиндексированных 1,…, N от наименьшего к наибольшему, k -я q -квантиль этой совокупности может быть эквивалентно вычислена через значение I _p = N k / q . Если I _p не является целым числом, округлите до следующего целого числа, чтобы получить соответствующий индекс; соответствующее значение данных является k -м q -квантилем. С другой стороны, если I _p является целым числом, то любое число от значения данных в этом индексе до значения данных следующего может быть принято в качестве квантиля, и принято (хотя и произвольно) брать среднее из этих двух значения (см. Оценка квантилей по выборке ).

Если вместо использования целых чисел k и q « p- квантиль» основан на действительном числе p с 0 < p <1, тогда p заменяет k / q в приведенных выше формулах. Эта более широкая терминология используется, когда квантили используются для параметризации непрерывных распределений вероятностей . Более того, некоторые программы (включая Microsoft Excel ) рассматривают минимум и максимум как 0-й и 100-й процентили соответственно. Однако эта более широкая терминология выходит за рамки традиционных статистических определений.

Примеры

В следующих двух примерах используется определение квантиля ближайшего ранга с округлением. Для объяснения этого определения см. Процентили .

Равномерное население

Рассмотрим упорядоченную совокупность из 10 значений данных {3, 6, 7, 8, 8, 10, 13, 15, 16, 20}. Что такое 4-квантили («квартили») этого набора данных?

Квартиль	Расчет	Результат
Нулевой квартиль	Хотя это не является общепринятым, можно также говорить о нулевом квартиле. Это минимальное значение набора, поэтому нулевой квартиль в этом примере будет равен 3.	3
Первый квартиль	Ранг первого квартиля составляет 10 × (1/4) = 2,5, что округляется до 3, что означает, что 3 — это ранг в генеральной совокупности (от наименьшего к наибольшему значениям), при котором примерно 1/4 значений меньше чем значение первого квартиля. Третье значение в популяции — 7.	7
Второй квартиль	Ранг второго квартиля (так же, как и медианы) равен 10 × (2/4) = 5, что является целым числом, в то время как количество значений (10) является четным числом, поэтому среднее значение как для пятого, так и для шестого значения берутся — то есть (8 + 10) / 2 = 9, хотя любое значение от 8 до 10 может быть принято в качестве медианы.	9
Третий квартиль	Ранг третьего квартиля составляет 10 × (3/4) = 7,5, что округляется до 8. Восьмое значение в генеральной совокупности — 15.	15
Четвертый квартиль	Хотя это не является общепринятым, можно также говорить о четвертом квартиле. Это максимальное значение набора, поэтому четвертый квартиль в этом примере будет равен 20. Согласно определению квантиля ближайшего ранга ранг четвертого квартиля — это ранг самого большого числа, поэтому ранг четвертого квартиля будет быть 10.	20

Итак, первый, второй и третий 4-квантили («квартили») набора данных {3, 6, 7, 8, 8, 10, 13, 15, 16, 20} — это {7, 9, 15}. Если также требуется, нулевой квартиль равен 3, а четвертый квартиль равен 20.

Нестандартное население

Рассмотрим упорядоченную совокупность из 11 значений данных {3, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 20}. Что такое 4-квантили («квартили») этого набора данных?

Квартиль	Расчет	Результат
Нулевой квартиль	Хотя это не является общепринятым, можно также говорить о нулевом квартиле. Это минимальное значение набора, поэтому нулевой квартиль в этом примере будет равен 3.	3
Первый квартиль	Первый квартиль определяется как 11 × (1/4) = 2,75, что округляется до 3, что означает, что 3 — это ранг в генеральной совокупности (от наименьшего к наибольшему значениям), при котором примерно 1/4 значений меньше, чем значение первого квартиля. Третье значение в популяции — 7.	7
Второй квартиль	Значение второго квартиля (то же, что и медиана) определяется как 11 × (2/4) = 5,5, что округляется до 6. Следовательно, 6 — это ранг в генеральной совокупности (от наименьшего к наибольшему значениям), при котором примерно 2 / 4 значения меньше значения второго квартиля (или медианы). Шестое значение в генеральной совокупности — 9.	9
Третий квартиль	Значение третьего квартиля для исходного примера выше определяется как 11 × (3/4) = 8,25, что округляется до 9. Девятое значение в генеральной совокупности равно 15.	15
Четвертый квартиль	Хотя это не является общепринятым, можно также говорить о четвертом квартиле. Это максимальное значение набора, поэтому четвертый квартиль в этом примере будет равен 20. Согласно определению квантиля ближайшего ранга, ранг четвертого квартиля — это ранг самого большого числа, поэтому ранг четвертого квартиля будет быть 11.	20

Таким образом, первый, второй и третий 4-квантили («квартили») набора данных {3, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 20} равны {7, 9, 15} . Если также требуется, нулевой квартиль равен 3, а четвертый квартиль — 20.

Отношение к среднему

Для любого распределения вероятностей популяции на конечном числе значений и, как правило, для любого распределения вероятностей со средним значением и дисперсией это тот случай, когда

где Q _p — значение p -квантиля для 0 < p <1 (или, что то же самое, k -й q -квантиль для p = k / q ), где μ — среднее арифметическое распределения , а σ — стандартное отклонение . В частности, медиана ( p = k / q = 1/2) никогда не превышает одного стандартного отклонения от среднего.

Оценка квантилей по выборке

Одна из проблем , которая часто возникает оценивание квантиля (очень больших или бесконечные) населений , основанные на конечную выборке объема N .

Асимптотическое распределение p -го квантиля выборки хорошо известно: оно асимптотически нормально вокруг -го квантиля генеральной совокупности с дисперсией, равной

где f ( x _p ) — значение плотности распределения в p -м квантиле населения. Однако это распределение основывается на знании распределения населения; что эквивалентно знанию квантилей населения, которые мы пытаемся оценить! Таким образом, современные статистические пакеты полагаются на другой метод — или выбор методов — для оценки квантилей.

Хайндман и Фан составили таксономию из девяти алгоритмов, используемых различными программными пакетами. Все методы вычисляют Q _p , оценку p -квантиля ( k -й q -квантиль, где p = k / q ) из выборки размера N путем вычисления действительного индекса h . Когда h является целым числом, h -ое наименьшее из N значений, x _h , является оценкой квантиля. В противном случае закругления или интерполяция схема используется для вычисления оценки квантиля от ч , х _{⌊ ч ⌋} и х _{⌈ ч ⌉} . (Обозначения см. В функциях пола и потолка ).

Первые три являются кусочно-постоянными, резко меняющимися в каждой точке данных, в то время как последние пять используют линейную интерполяцию между точками данных и отличаются только тем, как выбирается индекс h, используемый для выбора точки вдоль кривой кусочно-линейной интерполяции.

Языки программирования Mathematica , Matlab , R и GNU Octave поддерживают все девять примеров методов квантилей. SAS включает пять примеров методов квантилей, SciPy и Maple включают восемь, EViews включает шесть кусочно-линейных функций, Stata включает две, Python включает две, а Microsoft Excel включает две. Mathematica и SciPy поддерживают произвольные параметры для методов, которые допускают использование других нестандартных методов.

Используемые типы оценок и схемы интерполяции включают:

Тип	час	Q p	Примечания
Р ‑ 1, САС ‑ 3, Клен ‑ 1	Np + 1/2	х ⌈ ч — 1 / 2⌉	Обратная эмпирическая функция распределения .
Р ‑ 2, САС ‑ 5, Клен ‑ 2, Стата	Np + 1/2	( x ⌈ h — 1 / 2⌉ + x ⌊ h + 1 / 2⌋ ) / 2	То же, что и Р-1, но с усреднением на несплошностях.
Р-3, САС-2	Np	х ⌊ ч ⌉	Наблюдение имеет ближайший к Np . Здесь ⌊ ч ⌉ указывает округление до ближайшего целого числа, выбирая даже целое число в случае равенства .
R ‑ 4, SAS ‑ 1, SciPy‑ (0,1), Maple ‑ 3	Np	x ⌊ h ⌋ + ( h — ⌊ h ⌋) ( x ⌈ h ⌉ — x ⌊ h ⌋ )	Линейная интерполяция эмпирической функции распределения.
Р ‑ 5, SciPy‑ (1 / 2,1 / 2), Клен ‑ 4	Np + 1/2	Кусочно-линейная функция, где узлы — это значения на полпути между шагами эмпирической функции распределения.
R ‑ 6, Excel, Python, SAS ‑ 4, SciPy‑ (0,0), Maple ‑ 5, Stata ‑ altdef	( N + 1) п	Линейная интерполяция математических ожиданий для статистики порядка для равномерного распределения на [0,1]. То есть это линейная интерполяция между точками ( p h , x h ) , где p h = h / ( N +1) — вероятность того, что последнее из ( N +1 ) случайно выбранных значений не превысит h — наименьшее из первых N случайно выбранных значений.
R ‑ 7, Excel, Python, SciPy‑ (1,1), Maple ‑ 6, NumPy, Julia	( N — 1) p + 1	Линейная интерполяция режимов для порядковой статистики для равномерного распределения на [0,1].
Р ‑ 8, SciPy‑ (1 / 3,1 / 3), Клен ‑ 7	( N + 1/3) p + 1/3	Линейная интерполяция приблизительных медиан для статистики заказов.
Р ‑ 9, SciPy‑ (3 / 8,3 / 8), Клен ‑ 8	( N + 1/4) p + 3/8	Результирующие оценки квантилей приблизительно несмещены для ожидаемой статистики порядка, если x имеет нормальное распределение.

Примечания:

• От R ‑ 1 до R ‑ 3 кусочно-постоянные, с разрывами.
• R ‑ 4 и последующие являются кусочно линейными, без разрывов, но отличаются способом вычисления h .
• R ‑ 3 и R ‑ 4 несимметричны в том смысле, что они не дают h = ( N + 1) / 2 при p = 1/2 .
• PERCENTILE.EXC в Excel и «эксклюзивный» метод Python по умолчанию эквивалентны R ‑ 6.
• PERCENTILE и PERCENTILE.INC в Excel и необязательный «включающий» метод Python эквивалентны R ‑ 7. Это метод R по умолчанию.
• Пакеты отличаются тем , как они оценивают квантили за пределы самых низких и самых высоких значений в выборке, т.е. р <1 / N и р > ( N — 1) / N . Возможные варианты включают возврат значения ошибки, вычисление линейной экстраполяции или принятие постоянного значения.

Из методов Хайндман и Фан рекомендуют R-8, но большинство пакетов статистического программного обеспечения выбрали R-6 или R-7 по умолчанию.

Стандартная ошибка из оценки квантильной в общем случае может быть оценена с помощью начальной загрузки . Также можно использовать метод Марица – Джарретта.

Приблизительные квантили из потока

Вычисление приблизительных квантилей из данных, поступающих из потока, может быть выполнено эффективно с использованием сжатых структур данных. Наиболее популярные методы — t-digest и KLL. Эти методы непрерывно считывают поток значений и в любой момент могут быть запрошены о приблизительном значении указанного квантиля.

Оба алгоритма основаны на схожей идее: сжатие потока значений путем суммирования идентичных или похожих значений с помощью веса. Если поток состоит из 100-кратного повторения v1 и 100-кратного v2, нет причин хранить отсортированный список из 200 элементов, достаточно сохранить два элемента и два счетчика, чтобы можно было восстановить квантили. При большем количестве значений эти алгоритмы поддерживают компромисс между количеством сохраненных уникальных значений и точностью получаемых квантилей. Некоторые значения могут быть исключены из потока и вносить вклад в вес ближайшего значения без значительного изменения результатов квантилей. t-digest использует подход, основанный на кластеризации k-средних, для группировки похожих значений, тогда как KLL использует более сложный метод «уплотнения», который позволяет лучше контролировать границы ошибок.

Оба метода принадлежат к семейству набросков данных, которые являются подмножествами алгоритмов потоковой передачи с полезными свойствами: эскизы t-digest или KLL можно комбинировать. Вычисление эскиза для очень большого вектора значений можно разделить на тривиально параллельные процессы, в которых эскизы вычисляются для параллельных разделов вектора и объединяются позже.

Обсуждение

Например, результаты стандартизированных тестов обычно указываются в виде оценок учащихся «в 80-м процентиле». Здесь используется альтернативное значение слова «процентиль» как интервал между (в данном случае) 80-м и 81-м скалярным процентилем. Это отдельное значение процентиля также используется в рецензируемых научных статьях. Используемое значение может быть получено из его контекста.

Если распределение симметрично, то медиана — это среднее значение (пока последнее существует). Но в целом медиана и среднее значение могут отличаться. Например, для случайной переменной, имеющей экспоненциальное распределение , любая конкретная выборка этой случайной величины будет иметь примерно 63% шанс быть меньше среднего. Это связано с тем, что экспоненциальное распределение имеет длинный хвост для положительных значений и нулевое значение для отрицательных чисел.

Квантили — полезные меры, потому что они менее восприимчивы, чем средние, к распределениям с длинным хвостом и выбросам. Эмпирически, если анализируемые данные на самом деле не распределяются в соответствии с предполагаемым распределением, или если есть другие потенциальные источники выбросов, которые очень далеки от среднего, то квантили могут быть более полезной описательной статистикой, чем средние и другие статистические данные, связанные с моментами. .

С этим тесно связан метод наименьших абсолютных отклонений , метод регрессии, который более устойчив к выбросам, чем метод наименьших квадратов, в котором вместо квадрата ошибки используется сумма абсолютных значений наблюдаемых ошибок. Связь состоит в том, что среднее — это единственная оценка распределения, которая минимизирует ожидаемую квадратичную ошибку, в то время как медиана минимизирует ожидаемую абсолютную ошибку. Наименьшие абсолютные отклонения обладают способностью быть относительно нечувствительными к большим отклонениям в отдаленных наблюдениях, хотя доступны даже лучшие методы надежной регрессии .

Квантили случайной величины сохраняются при возрастающих преобразованиях в том смысле, что, например, если m — медиана случайной величины X , то 2 ^m — медиана 2 ^X , если только не был сделан произвольный выбор из диапазон значений для определения определенного квантиля. (См. Квантильную оценку выше для примеров такой интерполяции.) Квантили также можно использовать в случаях, когда доступны только порядковые данные.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

• Серфлинг, Р. Дж. (1980). Аппроксимационные теоремы математической статистики . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-02403-1.

внешние ссылки

• СМИ, связанные с Quantiles, на Викискладе?