Как найти линеен ли оператор - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Определение. Пусть даны два пространства и . Если по закону каждому вектору поставлен в соответствие вектор , то говорят, что задан оператор (функция, отображение), отображающий в и пишут .

Обозначение: ; – образ, – прообраз.

Определение. Если для любых и из и любых вещественных чисел и имеет место , то оператор называется линейным.

Произвольные отображения линейных пространств изучаются в курсе математического анализа. В курсе линейной алгебры изучаются лишь линейные отображения.

Пример 6. Оператор действует из в по закону , где , и – фиксированный вектор, например, . Оператор переводит вектор из в другой вектор из . Докажем, что он линейный: . Здесь воспользовались свойствами векторного произведения.

Пример 7. Линеен ли оператор , где произвольный вектор, а вектор – фиксированный?

Решение. , так как , . Следовательно, оператор – нелинейный.

Пусть даны два пространства и и оператор , действующий из в . Пусть в есть базис , а в – базис .

Подействовав оператором на базисные векторы пространства , получим векторы из , которые можно разложить по базису с коэффициентами линейных комбинаций :

Строим матрицу таким образом, чтобы в ее столбцах стояли координаты образов базисных векторов пространства относительно базисных векторов пространства :

Матрица называется матрицей линейного оператора , действующего из в . Таким образом, если оператор , то матрица этого оператора имеет размер , то есть у нее строк и столбцов.

Замечание. Если в и выбрать другие базисы, то в этих базисах матрица линейного оператора будет иметь другой вид.

Из определения матрицы линейного оператора следует, что, зная закон (оператор), по которому вектору сопоставляется вектор , можно построить матрицу, и наоборот, любой матрице соответствует некоторый линейный оператор.

Пример 8. Построить матрицу линейного оператора, действующего из в по закону , где векторы и заданы относительно канонического базиса.

Решение. Подействуем оператором на базисные векторы :

;

Таким, образом, – искомая матрица.

Пример 9. Пусть в выбран базис , , , а в выбран базис , . Найти матрицу линейного оператора, действующего из в по закону , где .

Решение. ; ;

; .

Пример 10. Дана матрица . Найти линейный оператор (закон, по которому действует оператор).

Решение. Матрица – это матрица линейного оператора, действующего из в . Пусть в базис , в базис . Так как в столбцах матрицы стоят координаты векторов относительно базиса , то

(1)

Пусть произвольный вектор из , где – координаты этого вектора в базисе , тогда . Действуя оператором на вектор и учитывая линейность оператора, получим: .

Учитывая (1), имеем:

Таким образом, оператор действует по закону

Зная матрицу оператора , результат его действия на вектор можно найти в матричной форме. Пусть известна матрица оператора размера с элементами . В этом случае оператор с такой матрицей действует из в . Если – любой вектор из , то результат действия оператора на вектор можно найти по формуле:

Где – координаты вектора .

Пример 11. Операторы и действуют в пространстве по законам , , где ; ( – скалярное произведение векторов и ). Найти координаты вектора в каноническом базисе.

Решение. Координаты вектора можно найти двумя способами:

А) найдем матрицу .

Строим матрицу в каноническом базисе:

; ;

Строим матрицу в каноническом базисе:

; ;

;

Этот способ решения называется матричным;

Б) операторный способ.

. Подействуем оператором на вектор :

, теперь на полученный вектор подействуем оператором :

Для самостоятельной работы.

1. Оператор действует по закону:

Найти его матрицу в каноническом базисе.

Ответ: .

2. Оператор действует в плоскости и осуществляет зеркальное отражение относительно прямой . Доказать, что он линейный и найти его матрицу в каноническом базисе.

Ответ: .

3. Дана матрица .

А) Найти оператор, матрицей которого является матрица .

Б) Найти образ вектора .

Ответ: .

< Предыдущая		Следующая >

Источник

Упражнение 1

Проверить является ли оператор линейным

Проверить, является ли оператор линейным в R^3
$Ax=left(x_{2}+ x_{3}, 5x_{2}-x_{1}, x_{1}+8x_{3}right)$

Решение:

Проверим оператор на линейность:
Если выполняются условия:
$forall a,bin mathbb{R}^{3}$ ,

Проверим условие 1:

Aleft(a+bright)=Aleft(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3right)=left(a_2+b_2+a_3+b_3,5a_2+5_b2-a_1-b_1,a_1+b_1+8a_3+8b_3right)=left(a_2+a_3,5a_2-a_1,a_1+8a_3right)+left(b_2+b_3,5_b2-b_1,b_1+8b_3right)=Aleft(a_1,a_2,a_3right)+Aleft(b_1,b_2,b_3right)=Aa+Bb

Проверим условие 2:
$Aleft(lambda aright)=Aleft(lambda a_{1},lambda a_{2},lambda a_{3}right)=left(lambda a_{2}+lambda a_{3},5lambda a_{2}-lambda a_{1},lambda a_{1}+8lambda a_{3}right)=lambdaleft(a_{2}+a_{3},5a_{2}-a_{1},a_{1}+8a_{3}right)=lambda Aa$

Так как оба условия выполняются, то оператор линейный.

Упражнение 2

Найти значение выражения

4A+7B .
A,B — линейные операторы из $Omegaleft(mathbb{R}^3right)$ , ,

Решение:

Ответ:

Упражнение 3

Найти значение выражения

.
A,B — линейные операторы из $Omegaleft(mathbb{R}^3right)$ , $Aleft(x_1,x_2,x_3right)=left(0,x_2+frac{1}{4}x_3,x_3right)$ ,

Решение:

Ответ:

Упражнение 4

Найти значение выражения

Ax-3Bx .
A,B — линейные операторы из $Omegaleft(M_2left(mathbb{R}right)right)$ , $A=begin{Vmatrix}2& 2\ 0 & 0end{Vmatrix}$ ,
$B=begin{Vmatrix}1 & 1 \ 2 & 0end{Vmatrix}$

Решение:

$Ax=begin{Vmatrix}2& 2\ 0 & 0end{Vmatrix}cdotbegin{Vmatrix}x_1& x_2\ x_3 & x_4end{Vmatrix}=$ $begin{Vmatrix}2x_1+2x_3& 2x_2+2x_4\ 0 & 0end{Vmatrix}$
$3Bx=begin{Vmatrix}3& 3\ 6 & 0end{Vmatrix}cdotbegin{Vmatrix}x_1& x_2\ x_3 & x_4end{Vmatrix}=$ $begin{Vmatrix}3x_1+3x_3& 3x_2+3x_4\ 6x_1 & 6x_2end{Vmatrix}$
$Ax-3Bx=begin{Vmatrix}2x_1+2x_3& 2x_2+2x_4\ 0 & 0end{Vmatrix}-$ $begin{Vmatrix}3x_1+3x_3& 3x_2+3x_4\ 6x_1 & 6x_2end{Vmatrix}$ = $begin{Vmatrix}-x_1-x_3& -x_2-x_4\ -6x_1 & -6x_2end{Vmatrix}$

Ответ:

$Ax-3Bx=-begin{Vmatrix}x_1+x_3& x_2+x_4\ 6x_1 & 6x_2end{Vmatrix}$

Список использованной литературы :

Личный конспект, составленный на основе лекций Г.С. Белозерова

Источник

Линейные операторы

1. Понятие линейного оператора

Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида , сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S. Для этого отображения будем использовать обозначение y=A(x) или y=Ax.

Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x₁ и x₂ пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения

A(x₁+x₂)=Ax₁+Ax₂.
A(λx)=λAx.

Если пространство S совпадает с пространством R, то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R.

Пусть заданы два векторных пространства n-мерный R и m-мерный S, и пусть в этих пространствах заданы базисы и соответственно. Пусть задано отображение

где A — m×n -матрица с коэффициентами из поля K. Тогда каждому элементу из R соответствует элемент y=Ax из S. Отображение (1) определяет оператор A. Покажем, что этот оператор обладает свойством линейности. Действительно, учитывая свойства умножения матриц, можно записать:

Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A, отображающего пространство R в S и произвольных базисов и в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K, что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x.

Пусть x − произвольный элемент в R. Тогда

(3)

является разложением x в по базису .

Применим оператор A к базисным векторам :

(4)

где a_ij − координаты полученного вектора в базисе .

Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем

(5)

Сделаем следующее обозначение:

(6)

Тогда равенство (5) примет следующий вид:

(7)

Из равенства (7) следует, что любой элемент из пространства R при отображении оператором A, в пространстве S и в базисе имеет координаты y_i, i=1,2,…,m. В свою очередь, из (6) следует, что этим координатам соответствуют линейные комбинации координатов элемента x_j, j=1,2,…n с коэффициентами a_ij i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.

Построим матрицу A с элементами a_ij:

(8)

Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:

Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах и .

2. Сложение линейных операторов

Пусть A и B два линейных оператора действующих из R в S и пусть A и B — mxn − матрицы соответствующие этим операторам.

Определение 2. Суммой линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый равенством

где x∈R означает, что x принадлежит пространстве R.

Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B. Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.

Применим оператор C к базисному вектору e_j, тогда:

Ce_j=Ae_j+Be_j=	n	(a_ij+b_ij)e_j
∑
j=1

Следовательно оператору C отвечает матрица ,где i=1,2,…m, j=1,2,…n, т.е.

3. Умножение линейных операторов

Пусть заданы три линейных пространства R, S и T. Пусть линейный оператор B отображает R в S, а линейный оператор A отображает S в T.

Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Произведение линейных операторов обозначается C=AB. Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.

Таким образом оператор C отображает пространство R в T. Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A, B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A, B, C

можно записать в виде матричных равенств

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Учитывая произвольность х, получим

Следовательно произведению операторов C=AB соответствует матричное произведение C=AB.

4. Умножение линейного оператора на число

Пусть задан линейный оператор A отображающий R в S и некоторое число λ из поля K.

Определение 4. Произведением оператора A на число λ называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Таким образом оператор C отображает пространство R в S. Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства

можно записать в виде матричных равенств

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Учитывая произвольность х, получим

Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ.

5. Нулевой оператор

Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O. Действие нулевого оператора можно записать так:

6. Противоположный оператор

Противоположным оператору A называется оператор −A удовлетворяющий равенству:

7. Ядро линейного оператора

Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R, для которых выполняется следующее равенство: Ax=0.

Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A.

8. Образ линейного оператора

Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R, для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R.

Образ линейного оператора обозначается символом im A.

9. Ранг линейного оператора

Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A, т.е.: rang A=dim(im A).

Источник

Одно
из фундаментальных понятий матричной
алгебры — понятие линейного оператора.

Рассмотрим
два линейных пространства: Rⁿ
размерности n
и R^m
размерности m.

Определение
1.
Если задан закон (правило), по которому
каждому вектору х
пространства
Rⁿ
ставится
в соответствие единственный вектор
у
пространства R^m,
то говорят, что задан оператор
(преобразование, отображение) А(х),
действующий из Rⁿ
в R^m,
и записывают у
= А (х).

Определение
2. Оператор
(преобразование) называется
линейным, если
для любых векторов
х
и
у
пространства
Rⁿ
и
любого числа

выполняются
соотношения:

А(х
+ у) = А(х) + А(у)
— свойство аддитивности оператора;
А(х)
= А(x)
— свойство однородности оператора.

Определение
3. Вектор
у
= А(х)
называется образом вектора x,
а сам вектор х
—
прообразом вектора у.

Если
пространства Rⁿ
и R^m
совпадают, то оператор А

отображает пространство Rⁿ
в себя. Именно такие операторы мы будем
рассматривать в дальнейшем.

Связь
между вектором х
и
его образом у
=
А(х)
можно
выразить
в матричной форме уравнением

Y
= А∙Х,

где
А
— матрица
линейного оператора, X
= (х₁,х₂,…,х_n)^Т,

Y
= (y₁,
y₂,…,
y_n)^Т
— матрицы-столбцы из координат векторов
х
и
у.

Пример
1.
Пусть
Являются ли линейными следующие
преобразования?

Решение.
Преобразование
будет линейным, если все координаты
образов векторов будут линейными
комбинациями координат вектора
.
Здесь в преобразованиивторая координата равнаяне является линейной комбинацией, в
преобразовании,
аналогично, кроме того, третья координата
имеет вид,
что так же не является линейной комбинацией
координат вектора.
Значит, эти преобразования не являются
линейными. Преобразованиеявляется линейным.

Пример
2.
Пусть в пространстве R³
линейный
оператор А,

в
базисе е₁,е₂,
е ₃
задан
матрицей A
=
.

Найти
образ у
=
А(х)
вектора
х
= 4е₁
—
Зе₂
+ е₃.

Решение.
По формуле Y
= А∙Х
имеем

Следовательно,
у
= 10e_l
— 13e₂
—
18е₃.
►

2. Действия над линейными операторами.

Определение
4. Суммой
двух линейных операторов А
и
В
называется
оператор (А
+ В),
определяемый равенством: (А
+ В)(х) = А(х) + В(х).

Определение
5. Произведением
линейного оператора А
на число 
называется
оператор
А
, определяемый
равенством (А)(х)
= (А(х)).

Определение
6. Произведением
линейных операторов А
и
В
называется
оператор
АВ,
определяемый
равенством: (АВ)(х)
= А(В(х)).

Можно
убедиться в том, что операторы (А
+ В), А,
АВ

полученные
в результате этих действий, удовлетворяют
отмеченным
выше
свойствам аддитивности и однородности,
т.е. являются линейными.

Определим
нулевой
оператор О,
переводящий
все векторы пространства
Rⁿ
в
нулевые векторы 0(х)
=
0,
и тождественный
оператор
Е,
действующий по правилу: Е(х)
= х.

Пример
3. Выяснить,
какие из заданных отображений в себя
пространства арифметических векторов
R³
являются линейными операторами. Выписать
их матрицы в каноническом базисе:

А(х)=(х₁,
х₂+1,
х₃+2)
– не является линейным оператором;
А(х)=(х₂
+х₃
,2х₁
+х₂
, 3х₁
– х₂
+х₃)
– является линейным оператором с
матрицей
.

Пример
3.
В пространстве заданы два линейных
оператора А
и В.
Найти матрицу С
линейного оператора С=АВ
и его явный вид в каноническом базисе:

А(х)=(2х₂,
-2х₁
+3х₂
+2х₃
, 4х₁
– х₂
+5х₃
), В(х)=(-3х₁
+х₃
, 2х₂
+х₃
, -х₂
+3х₃
).

Решение:
Составим матрицы операторов
.С=АВ=.

Следовательно
С(х)
=(4х₂
+2х₃,
6х₁
+4х₂
+7х₃
, -12х₁
-7х₂
+18х₃
).

Пример
4. Пусть

Найти
ψ(х)=

Решение.
Матрицы
преобразований
будут соответственно

.
Пусть
– матрица преобразования,
тогда

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

$begingroup$

Let $Tcolonmathbb{R}^2tomathbb{R}^2$ be given
by $T(x,y) = (x + 2y, 3x + y)$.

I’m not sure if I plugged the values in the right place.

Ax. 1:
$T(x + y) = T(x) + T(y)$

$[(x+2y) + 2(3x + y) + 3(x + 2y) — (3x — y)] = [(x+2y) + 2(3x + y)] + [3(x + 2y) — (3x — y)]$

Is that right?

asked Apr 15, 2011 at 1:39

$endgroup$

$begingroup$

You can write $T(x,y)$ in matrix form:
$$ begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 1 end{bmatrix} begin{bmatrix} x \ y end{bmatrix} $$
Now it’s clear that it’s linear.

answered Apr 15, 2011 at 1:47

Yuval FilmusYuval Filmus

56.3k5 gold badges90 silver badges162 bronze badges

$endgroup$

$begingroup$

In your «Ax 1», $x$ and $y$ are supposed to elements of $mathbb{R}^2$. So $x=(x_1,x_2)$, and $y=(y_1,y_2)$. Then $x+y = (x_1+y_1, x_2+y_2)$. That is:
$$T(x+y) = T(x_1+y_1,x_2+y_2) = Bigl( (x_1+y_1)+2(x_2+y_2), 3(x_1+y_1)+(x_2+y_2)Bigr).$$
Then you should evaluate $T(x) = T(x_1,x_2)$ and $T(y)=T(y_1,y_2)$, add the results, and compare the answers.