Как найти линейно зависимые строки в матрице

Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы

В предыдущем разделе были введены операции умножения матриц на число и сложения матриц, в частности, для матриц-столбцов и матриц-строк . Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой главе прописными буквами. При помощи этих операций можно составлять некоторые алгебраические выражения. Напомним, что равными считаются столбцы одинаковых размеров с равными соответствующими элементами.

Столбец называется линейной комбинацией столбцов одинаковых размеров, если

где — некоторые числа. В этом случае говорят, что столбец разложен по столбцам , а числа называют коэффициентами разложения. Линейная комбинация с нулевыми коэффициентами называется тривиальной.

Если столбцы в (3.1) имеют вид

то матричному равенству (3.1) соответствуют поэлементные равенства

Аналогично формулируется определение линейной комбинации строк одинаковых размеров.

Набор столбцов одинаковых размеров называется системой столбцов.

Система из столбцов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что

Здесь и далее символом о обозначается нулевой столбец соответствующих размеров.

Система из столбцов называется линейно независимой, если равенство (3.2) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части (3.2) тривиальная. Аналогичные определения формулируются и для строк (матриц-строк).

Замечания 3.1

1. Один столбец тоже образует систему: при — линейно зависимую, а при линейно независимую.

2. Любая часть системы столбцов называется подсистемой.

---

Пример 3.1. Используя определение, установить линейную зависимость или линейную независимость систем столбцов

Решение. 1) Столбцы линейно зависимы, так как можно составить нетривиальную линейную комбинацию, например, с коэффициентами , которая равна нулевому столбцу: .

2) Столбцы линейно независимы, так как равенство

равносильное системе

оказывается верным только при .

---

Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцов матриц

Понятия линейной зависимости и линейной независимости определяются для строк и столбцов одинаково. Поэтому свойства, связанные с этими понятиями, сформулированные для столбцов, разумеется, справедливы и для строк.

1. Если в систему столбцов входит нулевой столбец, то она линейно зависима.

2. Если в системе столбцов имеется два равных столбца, то она линейно зависима.

3. Если в системе столбцов имеется два пропорциональных столбца , то она линейно зависима.

4. Система из столбцов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые столбцы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.

6. Система столбцов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

7. Если система столбцов — линейно независима, а после присоединения к ней столбца — оказывается линейно зависимой, то столбец можно разложить по столбцам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.

Докажем, например, последнее свойство. Так как система столбцов линейно зависима, то существуют числа не все равные 0, что

В этом равенстве . В самом деле, если , то

Значит, нетривиальная линейная комбинация столбцов равна нулевому столбцу, что противоречит линейной независимости системы . Следовательно, и тогда , т.е. столбец есть линейная комбинация столбцов . Осталось показать единственность такого представления. Предположим противное. Пусть имеется два разложения и , причем не все коэффициенты разложений соответственно равны между собой (например, ). Тогда из равенства

получаем (alpha_1-beta_1)A_1+ldots+(alpha_k-beta_k)A_k=o

последовательно, линейная комбинация столбцов равна нулевому столбцу. Так как не все ее коэффициенты равны нулю (по крайней мере ), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости столбцов . Полученное противоречие подтверждает единственность разложения.

---

Пример 3.2. Доказать, что два ненулевых столбца и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. .

Решение. В самом деле, если столбцы и линейно зависимы, то существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что . Причем в этом равенстве . Действительно, предположив, что , получим противоречие , поскольку и столбец — ненулевой. Значит, . Поэтому найдется число такое, что . Необходимость доказана.

Наоборот, если , то . Получили нетривиальную линейную комбинацию столбцов, равную нулевому столбцу. Значит, столбцы линейно зависимы.

---

Пример 3.3. Рассмотреть всевозможные системы, образованные из столбцов

Исследовать каждую систему на линейную зависимость.

Решение. Рассмотрим пять систем, содержащих по одному столбцу. Согласно пункту 1 замечаний 3.1: системы , линейно независимы, а система, состоящая из одного нулевого столбца , линейно зависима.

Рассмотрим системы, содержащие по два столбца:

– каждая из четырех систем и линейно зависима, так как содержит нулевой столбец (свойство 1);

– система линейно зависима, так как столбцы пропорциональны (свойство 3): ;

– каждая из пяти систем и линейно независима, так как столбцы непропорциональные (см. утверждение примера 3.2).

Рассмотрим системы, содержащие три столбца:

– каждая из шести систем и линейно зависима, так как содержит нулевой столбец (свойство 1);

– системы линейно зависимы, так как содержат линейно зависимую подсистему (свойство 6);

– системы и линейно зависимы, так как последний столбец линейно выражается через остальные (свойство 4): и соответственно.

Наконец, системы из четырех или из пяти столбцов линейно зависимы (по свойству 6).

См. также Ранг системы столбцов (строк) матрицы

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Понятие ранга матрицы тесно связано с
понятием линейной зависимости и линейной
независимости строк (столбцов) матрицы.

В матрице
рассмотрим отдельные строки.

Обозначим строки
;;
…;.

Определение 1.16 Строка
называется линейной комбинацией
строк,
если ее можно представить в виде

,
где—
числовые коэффициенты;

,

В этом случае, говорят, что строка
линейно выражается через строки.

Определение 1.17 Система, состоящая
из строк матрицы,
называетсялинейно зависимой,
если хотя бы одна из этих строк является
линейной комбинацией других строк этой
системы, например,

.

В противном случае, если ни одна из строк

не может быть представлена в виде
линейной комбинации других строк этой
системы, строкиназываютсялинейно независимыми.

Замечание. Следует отметить,
что определение 1.17 не является строгим.
Строгое определение линейно зависимой
и линейно независимой системы будет
дано ниже.

Примеры.

1. Рассмотрим строки
   и.
   Нетрудно, заметить, чтот.
   е. строкалинейно выражается через строку,
   следовательно, строки—
   линейно зависимы.

Две пропорциональные строки –
линейно зависимы.

Соответственно, две непропорциональные
строки – линейно независимы.

1. Рассмотрим три строки
   ,,Нетрудно заметить, что строкаможет быть представлена в виде суммы
   строки,
   т.е..
   Следовательно, строки— линейно зависимые.

Если отбросить строку
,
то строкии—
линейно независимые, так как
непропорциональные. Следовательно,
максимальное число линейно независимых
строк в данной системе равно двум.

Теорема о ранге матрицы

Ранг матрицы равен максимальному
числу линейно независимых строк
(столбцов) матрицы, через которые линейно
выражаются все остальные строки матрицы.

Пример.

Найти максимальное число линейно
независимых строк матрицы

.

Решение.

Задача сводится к отысканию ранга
матрицы
.
Найдем ранг матрицы, приведя ее к
ступенчатому виду с помощью элементарных
преобразований.

̴̴.

В ступенчатой матрице две ненулевые
строки, следовательно,
,
а значит, максимальное число линейно
независимых строк матрицы равно 2.
Первая и вторая строки матрицы – линейно
независимые.

Теорема о ранге матрицы имеет принципиальное
значение при изучении систем линейных
алгебраических уравнений.

Соседние файлы в папке Теория ЛА (первый семестр)

• #

  25.03.2016583.68 Кб5~WRL3348.tmp

• #
• #
• #
• #
• #

First, your 3rd row is linearly dependent with 1t and 2nd row. However, your 1st and 4th column are linearly dependent.

Two methods you could use:

Eigenvalue

If one eigenvalue of the matrix is zero, its corresponding eigenvector is linearly dependent. The documentation eig states the returned eigenvalues are repeated according to their multiplicity and not necessarily ordered. However, assuming the eigenvalues correspond to your row vectors, one method would be:

import numpy as np

matrix = np.array(
    [
        [0, 1 ,0 ,0],
        [0, 0, 1, 0],
        [0, 1, 1, 0],
        [1, 0, 0, 1]
    ])

lambdas, V =  np.linalg.eig(matrix.T)
# The linearly dependent row vectors 
print matrix[lambdas == 0,:]

Cauchy-Schwarz inequality

To test linear dependence of vectors and figure out which ones, you could use the Cauchy-Schwarz inequality. Basically, if the inner product of the vectors is equal to the product of the norm of the vectors, the vectors are linearly dependent. Here is an example for the columns:

import numpy as np

matrix = np.array(
    [
        [0, 1 ,0 ,0],
        [0, 0, 1, 0],
        [0, 1, 1, 0],
        [1, 0, 0, 1]
    ])

print np.linalg.det(matrix)

for i in range(matrix.shape[0]):
    for j in range(matrix.shape[0]):
        if i != j:
            inner_product = np.inner(
                matrix[:,i],
                matrix[:,j]
            )
            norm_i = np.linalg.norm(matrix[:,i])
            norm_j = np.linalg.norm(matrix[:,j])

            print 'I: ', matrix[:,i]
            print 'J: ', matrix[:,j]
            print 'Prod: ', inner_product
            print 'Norm i: ', norm_i
            print 'Norm j: ', norm_j
            if np.abs(inner_product - norm_j * norm_i) < 1E-5:
                print 'Dependent'
            else:
                print 'Independent'

To test the rows is a similar approach.

Then you could extend this to test all combinations of vectors, but I imagine this solution scale badly with size.

В данной публикации мы рассмотрим, что такое линейная комбинация строк, линейно зависимые и независимые строки. Также приведем примеры для лучшего понимания теоретического материала.

Определение линейной комбинации строк

Линейной комбинацией (ЛК) строк s₁, s₂, …, s_n матрицы A называется выражение следующего вида:

αs₁ + αs₂ + … + αs_n

Если все коэффициенты α_i равны нулю, значит ЛК является тривиальной. Другими словами, тривиальная линейная комбинация равняется нулевой строке.

Например: 0 · s₁ + 0 · s₂ + 0 · s₃

Соответственно, если хотя бы один из коэффициентов α_i не равен нулю, то ЛК является нетривиальной.

Например: 0 · s₁ + 2 · s₂ + 0 · s₃

Линейно зависимые и независимые строки

Система строк является линейно зависимой (ЛЗ), если есть их нетривиальная линейная комбинация, которая равна нулевой строке.

Отсюда следует, что нетривиальная ЛК в некоторых случаях может равняться нулевой строке.

Система строк является линейно независимой (ЛНЗ), если только тривиальная ЛК равняется нулевой строке.

Примечания:

• В квадратной матрице система строк является ЛЗ только в том случае, если определитель этой матрицы равняется нулю (det = 0).
• В квадратной матрице система строк является ЛНЗ только в том случае, если определитель этой матрицы не равен нулю (det ≠ 0).

Пример задачи

Давайте выясним, является ли система строк {s₁ = {3 4};s₂ = {9 12}} линейно зависимой.

Решение:

1. Для начала составим ЛК.

α₁{3 4} + α₂{9 12}.

2. Теперь выясним, какие значения должны принимать α₁ и α₂, чтобы линейная комбинация равнялась нулевой строке.

α₁{3 4} + α₂{9 12} = {0 0}.

3. Составим систему уравнений:

4. Первой уравнение разделим на три, второе – на четыре:

5. Решением данной системы являются любые α₁ и α₂, при этом α₁ = -3α₂.
Например, если α₂ = 2, то α₁ = -6. Подставляем эти значения в систему уравнений выше и получаем:

Ответ: таким образом, строки s₁ и s₂ линейно зависимы.