Как найти линейное неравенство с одной переменной

Определение

Выражение с одной переменной, содержащее знак неравенства, называется неравенством с одной переменной. Например:

23х+11<11x+5; 6x–10; х>9

Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной, так как х в них в первой степени.

Вспомним, что в зависимости от знака неравенства, их называют строгие знаки (< и >) или нестрогие знаки (≤ и ≥).

Решением неравенства с одной переменной является значение переменной, при котором данное неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

При решении неравенства с одной переменной пользуются следующими свойствами.

Свойства неравенств

1. Если из одной части неравенства перенести слагаемое в другую часть, поменяв при этом знак слагаемого на противоположный, то получится равносильное ему неравенство;
2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;
3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Рассмотрим решение линейных неравенств с одной переменной на примерах.

Пример №1. Решить неравенство:

6х–13<x–3

Перенесем слагаемые из одной части в другую, изменяя знаки у слагаемых, которые будем переносить, на противоположные:

6х–x < –3+13

Теперь приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства: 5х<10. Дальше разделим обе части неравенства на число 5 (коэффициент при х), получим: х<2. Множество решений данного неравенства состоит из всех чисел, которые меньше минус двух. Ответ можно записать в виде неравенства х<2, либо в виде числового промежутка (–∞;-2). Вспомним, что около знака «бесконечность» всегда ставится круглая скобка, а так как неравенство строгое (знак «меньше»), то и у числа два также ставится «круглая» скобка). Это множество чисел можно показать на числовом луче (точка, которая показывает число 2, будет «выколотая», так как неравенство строгое):

Пример №2. Решить неравенство:

12–2х≤х–6

Выполним перенос слагаемых:

–х–2х–6–12

Приведем подобные слагаемые: –3х–18. Разделим обе части неравенства на минус три и изменим знак неравенства на противоположный: х≥6. Значит, множество решений данного неравенства – это все числа, которые больше или равны 6. Ответ можно записать, как в виде нестрогого (знак «больше или равно») неравенства х≥6, так и в виде числового промежутка [6;+), (видим около числа 6 «квадратную» скобку), показав его на числовом луче, где точка, обозначающая число 6, закрашена, ее называют «приколотой» точкой, так как неравенство нестрогое.

В рассмотренных примерах мы получали неравенства, у которых коэффициент при переменной не равен нулю. Но есть случаи, когда получается неравенство вида 0•х>a или 0•х<a (возможны и нестрогие знаки). В этом случае неравенство либо не имеет решений, либо решением является любое число.

Пример №3. Решить неравенство:

3х–15<3x–56

Выполняя перенос слагаемых и приведение подобных, получим неравенство:

0х<–41

Данное неравенство при любом значении х будет иметь вид 0<–41, что является неверным. Значит, оно не имеет решений, следовательно, и данное по условию неравенство не имеет решений.

Пример №4. Решить неравенство:

5х+24>5x+14

Выполним все необходимые действия, получим:

0х>–10

Данное неравенство при любом значении х будет иметь вид 0>–10, а это верное неравенство, значит х – любое число. Следовательно, ответ в данном неравенстве – «х – любое число».

Алла Василевская | Просмотров: 4.1k

Линейные неравенства, примеры, решения

После получения начальных сведений о неравенствах с переменными, переходим к вопросу их решения. Разберем решение линейных неравенств с одной переменной и все методы для их разрешения с алгоритмами и примерами. Будут рассмотрены только линейные уравнения с одной переменной.

Что такое линейное неравенство?

В начале необходимо определить линейное уравнение и выяснить его стандартный вид и чем оно будет отличаться от других. Из школьного курса имеем, что у неравенств нет принципиального различия, поэтому необходимо использовать несколько определений.

Линейное неравенство с одной переменной x – это неравенство вида a · x + b > 0 , когда вместо > используется любой знак неравенства , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Неравенства a · x c или a · x > c , с x являющимся переменной, а a и c некоторыми числами, называют линейными неравенствами с одной переменной.

Так как ничего не сказано за то, может ли коэффициент быть равным 0 , тогда строгое неравенство вида 0 · x > c и 0 · x c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Их различия заключаются в:

• форме записи a · x + b > 0 в первом, и a · x > c – во втором;
• допустимости равенства нулю коэффициента a , a ≠ 0 — в первом, и a = 0 — во втором.

Считается, что неравенства a · x + b > 0 и a · x > c равносильные, потому как получены переносом слагаемого из одной части в другую. Решение неравенства 0 · x + 5 > 0 приведет к тому, что его необходимо будет решить, причем случай а = 0 не подойдет.

Считается, что линейными неравенствами в одной переменной x считаются неравенства вида a · x + b 0 , a · x + b > 0 , a · x + b ≤ 0 и a · x + b ≥ 0 , где a и b являются действительными числами. Вместо x может быть обычное число.

Исходя из правила, имеем, что 4 · x − 1 > 0 , 0 · z + 2 , 3 ≤ 0 , — 2 3 · x — 2 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x > 7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 называют сводящимися к линейному.

Как решить линейное неравенство

Основным способом решения таких неравенств сводится к равносильным преобразованиям для того, чтобы найти элементарные неравенства x p ( ≤ , > , ≥ ) , p являющееся некоторым числом, при a ≠ 0 , а вида a p ( ≤ , > , ≥ ) при а = 0 .

Для решения неравенства с одной переменной, можно применять метода интервалов или изображать графически. Любой из них можно применять обособленно.

Используя равносильные преобразования

Чтобы решить линейное неравенство вида a · x + b 0 ( ≤ , > , ≥ ) , необходимо применить равносильные преобразования неравенства. Коэффициент может быть равен или не равен нулю. Рассмотрим оба случая. Для выяснения необходимо придерживаться схемы, состоящей из 3 пунктов: суть процесса, алгоритм, само решение.

Алгоритм решение линейного неравенства a · x + b 0 ( ≤ , > , ≥ ) при a ≠ 0

• число b будет перенесено в правую часть неравенства с противоположным знаком, что позволит прийти к равносильному a · x − b ( ≤ , > , ≥ ) ;
• будет производиться деление обеих частей неравенства на число не равное 0 . Причем , когда a является положительным, то знак остается, когда a – отрицательное, меняется на противоположный.

Рассмотрим применение данного алгоритма на решении примеров.

Решить неравенство вида 3 · x + 12 ≤ 0 .

Данное линейное неравенство имеет a = 3 и b = 12 . Значит, коэффициент a при x не равен нулю. Применим выше сказанные алгоритмы, решим.

Необходимо перенести слагаемое 12 в другую часть неравенства с изменением знака перед ним. Тогда получаем неравенство вида 3 · x ≤ − 12 . Необходимо произвести деление обеих частей на 3 . Знак не поменяется, так как 3 является положительным числом. Получаем, что ( 3 · x ) : 3 ≤ ( − 12 ) : 3 , что даст результат x ≤ − 4 .

Неравенство вида x ≤ − 4 является равносильным. То есть решение для 3 · x + 12 ≤ 0 – это любое действительное число, которое меньше или равно 4 . Ответ записывается в виде неравенства x ≤ − 4 , или числового промежутка вида ( − ∞ , − 4 ] .

Весь выше прописанный алгоритм записывается так:

3 · x + 12 ≤ 0 ; 3 · x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Ответ: x ≤ − 4 или ( − ∞ , − 4 ] .

Указать все имеющиеся решения неравенства − 2 , 7 · z > 0 .

Из условия видим, что коэффициент a при z равняется — 2 , 7 , а b в явном виде отсутствует или равняется нулю. Первый шаг алгоритма можно не использовать, а сразу переходить ко второму.

Производим деление обеих частей уравнения на число — 2 , 7 . Так как число отрицательное, необходимо поменять знак неравенства на противоположный. То есть получаем, что ( − 2 , 7 · z ) : ( − 2 , 7 ) 0 : ( − 2 , 7 ) , и дальше z 0 .

Весь алгоритм запишем в краткой форме:

− 2 , 7 · z > 0 ; z 0 .

Ответ: z 0 или ( − ∞ , 0 ) .

Решить неравенство — 5 · x — 15 22 ≤ 0 .

По условию видим, что необходимо решить неравенство с коэффициентом a при переменной x , которое равняется — 5 , с коэффициентом b , которому соответствует дробь — 15 22 . Решать неравенство необходимо, следуя алгоритму, то есть: перенести — 15 22 в другую часть с противоположным знаком, разделить обе части на — 5 , изменить знак неравенства:

— 5 · x ≤ 15 22 ; — 5 · x : — 5 ≥ 15 22 : — 5 x ≥ — 3 22

При последнем переходе для правой части используется правило деления числе с разными знаками 15 22 : — 5 = — 15 22 : 5 , после чего выполняем деление обыкновенной дроби на натурально число — 15 22 : 5 = — 15 22 · 1 5 = — 15 · 1 22 · 5 = — 3 22 .

Ответ: x ≥ — 3 22 и [ — 3 22 + ∞ ) .

Рассмотрим случай, когда а = 0 . Линейное выражение вида a · x + b 0 является неравенством 0 · x + b 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Все основывается на определении решения неравенства. При любом значении x получаем числовое неравенство вида b 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b 0 , где b 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Все суждения рассмотрим в виде алгоритма решения линейных неравенств 0 · x + b 0 ( ≤ , > , ≥ ) :

Числовое неравенство вида b 0 ( ≤ , > , ≥ ) верно, тогда исходное неравенство имеет решение при любом значении, а неверно тогда, когда исходное неравенство не имеет решений.

Решить неравенство 0 · x + 7 > 0 .

Данное линейное неравенство 0 · x + 7 > 0 может принимать любое значение x . Тогда получим неравенство вида 7 > 0 . Последнее неравенство считается верным, значит любое число может быть его решением.

Найти решение неравенства 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

При подстановке переменной x любого числа получим, что неравенство получит вид − 12 , 7 ≥ 0 . Оно является неверным. То есть 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим решение линейных неравенств , где оба коэффициента равняется нулю.

Определить не имеющее решение неравенство из 0 · x + 0 > 0 и 0 · x + 0 ≥ 0 .

При подстановке любого числа вместо x получим два неравенства вида 0 > 0 и 0 ≥ 0 . Первое является неверным. Значит, 0 · x + 0 > 0 не имеет решений, а 0 · x + 0 ≥ 0 имеет бесконечное количество решений, то есть любое число.

Ответ: неравенство 0 · x + 0 > 0 не имеет решений, а 0 · x + 0 ≥ 0 имеет решения.

Методом интервалов

Данный метод рассматривается в школьном курсе математики. Метод интервалов способен разрешать различные виды неравенств, также и линейные.

Метод интервалов применяется для линейных неравенств при значении коэффициента x не равному 0 . Иначе придется вычислять при помощи другого метода.

Метод интервалов – это:

• введение функции y = a · x + b ;
• поиск нулей для разбивания области определения на промежутки;
• определение знаков для понятия их на промежутках.

Соберем алгоритм для решения линейных уравнений a · x + b 0 ( ≤ , > , ≥ ) при a ≠ 0 с помощью метода интервалов:

• нахождение нулей функции y = a · x + b , чтобы решить уравнение вида a · x + b = 0 . Если a ≠ 0 , тогда решением будет единственный корень, который примет обозначение х 0 ;
• построение координатной прямой с изображением точки с координатой х 0 , при строгом неравенстве точка обозначается выколотой, при нестрогом – закрашенной;
• определение знаков функции y = a · x + b на промежутках, для этого необходимо находить значения функции в точках на промежутке;
• решение неравенства со знаками > или ≥ на координатной прямой добавляется штриховка над положительным промежутком, или ≤ над отрицательным промежутком.

Рассмотрим несколько примеров решения линейного неравенства при помощи метода интервалов.

Решить неравенство − 3 · x + 12 > 0 .

Из алгоритма следует, что для начала нужно найти корень уравнения − 3 · x + 12 = 0 . Получаем, что − 3 · x = − 12 , x = 4 . Необходимо изобразить координатную прямую, где отмечаем точку 4 . Она будет выколотой, так как неравенство является строгим. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Нужно определить знаки на промежутках. Чтобы определить его на промежутке ( − ∞ , 4 ) , необходимо произвести вычисление функции y = − 3 · x + 12 при х = 3 . Отсюда получим, что − 3 · 3 + 12 = 3 > 0 . Знак на промежутке является положительным.

Определяем знак из промежутка ( 4 , + ∞ ) , тогда подставляем значение х = 5 . Имеем, что − 3 · 5 + 12 = − 3 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Мы выполняем решение неравенства со знаком > , причем штриховка выполняется над положительным промежутком. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Из чертежа видно, что искомое решение имеет вид ( − ∞ , 4 ) или x 4 .

Ответ: ( − ∞ , 4 ) или x 4 .

Графическим способом

Чтобы понять, как изображать графически, необходимо рассмотреть на примере 4 линейных неравенства: 0 , 5 · x − 1 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 > 0 и 0 , 5 · x − 1 ≥ 0 . Их решениями будут значения x 2 , x ≤ 2 , x > 2 и x ≥ 2 . Для этого изобразим график линейной функции y = 0 , 5 · x − 1 , приведенный ниже.

• решением неравенства 0 , 5 · x − 1 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х ;
• решением 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 считается промежуток, где функция y = 0 , 5 · x − 1 ниже О х или совпадает;
• решением 0 , 5 · x − 1 > 0 считается промежуток, гре функция располагается выше О х ;
• решением 0 , 5 · x − 1 ≥ 0 считается промежуток, где график выше О х или совпадает.

Смысл графического решения неравенств заключается в нахождении промежутков, которое необходимо изображать на графике. В данном случае получаем, что левая часть имеет y = a · x + b , а правая – y = 0 , причем совпадает с О х .

Алгоритм решения линейных неравенств графическим способом.

Построение графика функции y = a · x + b производится:

• во время решения неравенства a · x + b 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х ;
• во время решения неравенства a · x + b ≤ 0 определяется промежуток, где график изображается ниже оси О х или совпадает;
• во время решения неравенства a · x + b > 0 производится определение промежутка, где график изображается выше О х ;
• во время решения неравенства a · x + b ≥ 0 производится определение промежутка, где график находится выше О х или совпадает.

Решить неравенство — 5 · x — 3 > 0 при помощи графика.

Необходимо построить график линейной функции — 5 · x — 3 > 0 . Данная прямая является убывающей, потому как коэффициент при x является отрицательным. Для определения координат точки его пересечения с О х — 5 · x — 3 > 0 получим значение — 3 5 . Изобразим графически.

Решение неравенства со знаком > , тогда необходимо обратить внимание на промежуток выше О х . Выделим красным цветом необходимую часть плоскости и получим, что

Необходимый промежуток является частью О х красного цвета. Значит, открытый числовой луч — ∞ , — 3 5 будет решением неравенства. Если бы по условию имели нестрогое неравенство, тогда значение точки — 3 5 также являлось бы решением неравенства. И совпадало бы с О х .

Ответ: — ∞ , — 3 5 или x — 3 5 .

Графический способ решения используется, когда левая часть будет отвечать функции y = 0 · x + b , то есть y = b . Тогда прямая будет параллельна О х или совпадающей при b = 0 . Эти случаю показывают, что неравенство может не иметь решений, либо решением может быть любое число.

Определить из неравенств 0 · x + 7 = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Представление y = 0 · x + 7 является y = 7 , тогда будет задана координатная плоскость с прямой, параллельной О х и находящейся выше О х . Значит, 0 · x + 7 = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

График функции y = 0 · x + 0 , считается y = 0 , то есть прямая совпадает с О х . Значит, неравенство 0 · x + 0 ≥ 0 имеет множество решений.

Ответ: второе неравенство имеет решение при любом значении x .

Неравенства, сводящиеся к линейным

Решение неравенств можно свести к решению линейного уравнения, которые называют неравенствами, сводящимися к линейным.

Данные неравенства были рассмотрены в школьном курсе, так как они являлись частным случаем решения неравенств, что приводило к раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых. Для примера рассмотрим, что 5 − 2 · x > 0 , 7 · ( x − 1 ) + 3 ≤ 4 · x − 2 + x , x — 3 5 — 2 · x + 1 > 2 7 · x .

Неравенства, приведенные выше, всегда приводятся к виду линейного уравнения. После чего раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые, переносятся из разных частей, меняя знак на противоположный.

При сведении неравенства 5 − 2 · x > 0 к линейному, представляем его таким образом, чтобы оно имело вид − 2 · x + 5 > 0 , а для приведения второго получаем, что 7 · ( x − 1 ) + 3 ≤ 4 · x − 2 + x . Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные слагаемые. Это выглядит таким образом:

7 · x − 7 + 3 ≤ 4 · x − 2 + x 7 · x − 4 ≤ 5 · x − 2 7 · x − 4 − 5 · x + 2 ≤ 0 2 · x − 2 ≤ 0

Это приводит решение к линейному неравенству.

Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.

Для решения такого вида неравенства такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:

• раскрыть скобки;
• слева собрать переменные, а справа числа;
• привести подобные слагаемые;
• разделить обе части на коэффициент при x .

Решить неравенство 5 · ( x + 3 ) + x ≤ 6 · ( x − 3 ) + 1 .

Производим раскрытие скобок, тогда получим неравенство вида 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . После приведения подобных слагаемых имеем, что 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . После перенесения слагаемых с левой в правую, получим, что 6 · x + 15 − 6 · x + 17 ≤ 0 . Отсюда имеет неравенство вида 32 ≤ 0 из полученного при вычислении 0 · x + 32 ≤ 0 . Видно, что неравенство неверное, значит, неравенство, данное по условию, не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Стоит отметить, что имеется множество неравенств другого вида, которые могут сводится к линейному или неравенству вида, показанного выше. Например, 5 2 · x − 1 ≥ 1 является показательным уравнением, которое сводится к решению линейного вида 2 · x − 1 ≥ 0 . Эти случаи будут рассмотрены при решении неравенств данного вида.

Решение линейных неравенств

О чем эта статья:

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.

Типы неравенств

1. Строгие — используют только больше (>) или меньше ( b — это значит, что a больше, чем b.
2. a > b и b > и

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

1. Если а > b , то b а.
2. Если а > b и b > c, то а > c. И также если а b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).

Если же а b и c > d, то а + c > b + d.

Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.

1. Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.

Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Правила линейных неравенств

1. Любой член можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом не меняется.

• 2x − 3 > 6 ⇒ 2x > 6 + 3 ⇒ 2x > 9.

1. Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число. Знак неравенства при этом не меняется.

• Умножим обе части на пять 2x > 9 ⇒ 10x > 45.

1. Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.

• Разделим обе части на минус два 2x > 9 ⇒ 2x : (–2) > 9 : (–2) ⇒ x
  

  Решение линейных неравенств

  Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

  где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

  Равносильные преобразования

  Для решения ax + b , ≥) нужно применить равносильные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.

  Алгоритм решения ax + b , ≥) является верным, когда исходное имеет решение при любом значении. Неверно тогда, когда исходное не имеет решений.

  Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

  Как решаем:

  • Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.
  • Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.

  Метод интервалов

  Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

  Метод интервалов заключается в следующем:

  • вводим функцию y = ax + b;
  • ищем нули для разбиения области определения на промежутки;
  • отмечаем полученные корни на координатной прямой;
  • определяем знаки и отмечаем их на интервалах.

  Алгоритм решения ax + b , ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:

  • найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.

  Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

  • начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;
  • определим знаки функции y = ax + b на промежутках.

  Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

  если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если 0.

  Как решаем:

  В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

  Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

  

  Определим знаки на промежутках.

  Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

  Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6

  Графический способ

  Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

  Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

  • во время решения ax + b 0 определить промежуток, где график изображается выше Ох;
  • во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.

  Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

  Как решаем

  • Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
  • Координаты точки пересечения с Ох равны (−√3 : 5; 0).
  • Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
  • Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.

  Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x

  Учебное пособие «Методика обучения решению линейных неравенств с одной переменной»

  Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

  Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

  Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

  « Методика обучения решению линейных неравенств с одной переменной »

  исполнила учитель математики МБОУ СОШ»Лидер-2»

  Драгунова Елена Геннадьевна

  Г.Находка Приморский край

  2. Методическая особенность темы «Линейные неравенства с одной переменной».

  3. Разработка урока по теме « Линейные неравенства».

  4. Список литературы .

  Аксиома современной школы – раскрытие способностей каждого ученика, воспитание личности, готовой к жизни в высокотехнологичном и конкурентном мире. Есть несколько условий для ее воплощения в жизнь: адаптивность систем образования к особенностям развития и подготовки учащихся; равный доступ молодых людей к полноценному образованию в соответствии с их интересами и склонностями, независимо от материального достатка семьи, места проживания и национальной принадлежности.

  Учебная деятельность, позволяющая сформировать у подростков стремление к саморазвитию и самосовершенствованию, имеет свои особенности: работа по модифицированным программам; блочный метод построения программного материала; входная, текущая, итоговая диагностика уровня обученности; зачетная система контроля и учета знаний, расширяющая возможности индивидуальной работы; метод « погружения» в предмет.

  М етодические особенности темы « Линейные неравенства»

  Тема «Линейные неравенства с одной переменной» изучается в 8 классе

  Учебник Алгебра 8 класс. Авторы: Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк,

  К.И. Нешков, С.Б. Суворова.

  На изучение темы отводится 4 урока

  Основная учебно-познавательная цель : Сформировать умение решать линейные неравенства с одной переменной.

  Перед объяснением нового материала необходимо повторить понятие числовых промежутков, используя геометрическую интерпретацию понятий «больше» и «меньше». Повторение можно провести в устных упражнениях с использованием таблицы или при выполнении математического диктанта. Рекомендуется включить упражнения как на непосредственное чтение промежутков, определение наибольшего и наименьшего целых значений в данных промежутках, так и на переход от простейших неравенств к геометрической интерпретации их в виде числовых промежутков. Можно повторение провести в виде математического диктанта.

  Затем перейти к новому материалу: ввести определение линейного неравенства с одной переменной , определение строгого и нестрогого неравенства, определение решения неравенства , что значит решить неравенство . Определение равносильных неравенств разъяснить на примерах. Затем перечислить свойства неравенств . Алгоритм решения линейных неравенств, содержащих одну переменную сходен с решением линейных уравнений. Единственная сложность – деление обеих частей неравенства на отрицательное число. Чтобы ученики поняли, почему меняется знак неравенства при делении на отрицательное число, можно поступить следующим образом: написать на доске «неверное» решение:

  -2х > 4; х > -2 и убедиться, что числа из промежутка (-2;+∞) не являются решениям данного неравенства, а вот числа, из промежутка (-∞; -2) являются решениями. А как можно получить этот промежуток в решении? Надо взять симметричный промежуток –(-∞;-2). А как его получить без этих лишних действий? Надо поменять знак неравенства при делении на отрицательное число и ответ сразу будет верным. Можно рассмотреть еще несколько аналогичных примеров и убедиться, что это так.

  Навык получения неравенства, равносильного данному при делении (умножении) на отрицательное число формируется путем решения большого числа устных упражнений. Этой цели могут служить упражнения типа:

  -2х -4; -2х 12; -х -12; -х ≤ 0; -х ≥4.

  Затем решаются неравенства и показывается, что решения его на координатной прямой изображаются в виде луча или открытого луча.

  Но решением неравенства может служить также числовая прямая и пустое множество.

  На конкретных примерах рассматриваются решения неравенств ах > b ;

  ах b при а=0. Например, 0х -7 неверно при любом значении х, т. е. неравенство не имеет решений.

  Убедившись, что основной навык решения линейных неравенств с одной переменной сформирован, можно переходить к более сложным неравенствам, способствующим дальнейшему совершенствованию навыков тождественных преобразований.

  На резервных уроках, на факультативных занятиях и при подготовке к итоговой аттестации можно рассмотреть более сложные неравенства, доказательство неравенств, текстовые задачи и задания с параметром.

  Приобретенные учащимися умения в решении и доказательстве неравенств находит применение при рассмотрении свойств функций.

  При изучении темы «Применение неравенств для изучения свойств функций» даются понятия о возрастании и убывании функции и промежутках знакопостоянства. Важно сформировать у учащихся понимание того, что при ответе на вопрос «При каких значениях х f(х) > 0 ( f(х)

  Методическая разработка урока

  Обучающая : ввести определение линейного неравенства с одной переменной, определение равносильных неравенств и основных свойств неравенств, используемых при решении, и показать их применение при решении неравенств, закрепить умения учащихся изображать промежуток на координатной прямой.

  Развивающая : Развитие внимания, умение выделять главное, формирование графической культуры оформления чертежей.

  Воспитательная : воспитание трудолюбия, аккуратности, самостоятельности.

  Оборудование : интерактивная доска, учебник, доска, мел.

  I. Устные упражнения (слайды на экране интерактивной доски)

  1. Прочитайте неравенство и назовите соответствующий ему промежуток:

  а) х ≤ -3; б) х ≥ 7; в) -1 ≤ х ≤ 1; г) -2 ≤ х ≤ 3; д) х ≤ -5; е) х ≥12.

  2.Принадлежит ли промежутку (-2; 7,5) число -3; -2; 0; 4.6; 7; 7,5?

  3. Укажите наибольшее и наименьшее целое число, принадлежащее промежутку: а) [-8;5]; б) [-1; 6); в) (-∞; 9]; г) (4; +∞); д) (-3; -2)

  II. Изучение нового материала

  1. Рассмотрим неравенство с одной переменной 3х – 1 >5. Это неравенство при одних значениях х обращается в верное числовое неравенство (например, при х=3; 9; 10,5; 52), при других – не является верным (например, при = 0; -4; -11; 2) . Говорят, что числа 3; 9; 10,5; 52 являются решениями данного неравенства, а числа 0; -4; -11; 2 не являются его решениями.

  2. Что же является решением неравенства ? Дать определение.

  3. Что значит решить неравенство ? Дать определение.

  4. Как найти все решения неравенства?

  Линейные неравенства решают почти так же, как и линейные уравнения. Вызвать к доске ученика решить линейное уравнение 3х – 1 =5. Затем рядом с решением ученика учитель пишет решение неравенств 3х – 1 равносильных неравенств . Правила, которые использовались при решении неравенств, вытекают из свойств неравенств и позволяют выполнять преобразования, приводящие к равносильному неравенству.

  Итак, при решении линейного неравенства используются следующие свойства . Перечислить. Прочитать по учебнику. (На экране основные определения и свойства равносильных неравенств)

  5. Показать решение неравенства 1) 5х + 10 >3х + 2

  .Показать множество решений на рисунке

  4у -8 ≥ 5у – 15; 4у – 5у ≥ -15 + 8; -у ≥ -7; у ≤ 7

  Прежде, чем поменять знак неравенства можно подобрать несколько решений и «догадаться», что решением будут все числа, меньшие или равные 7, т.е. промежуток (-∞; 7].

  Итак, все решения линейного неравенства на координатной прямой изображаются в виде луча или открытого луча.

  источники:

  http://skysmart.ru/articles/mathematic/linejnye-neravenstva

  http://infourok.ru/uchebnoe-posobie-metodika-obucheniya-resheniyu-lineynih-neravenstv-s-odnoy-peremennoy-1540176.html

Неравенства с одной переменной

• Равносильные неравенства
• Решение неравенств

Линейное неравенство с одной переменной — это неравенство, которое можно привести к виду:

ax > b     или     ax < b.

Где  x  — это переменная,  a  — коэффициент, а  b  — свободный член.

Если  a > 0,  то, разделив обе части неравенства на  a,  получим:

x >	b	или     x <	b	.
a	a

Данные неравенства и определяют все значения переменной  x,  при которых данное неравенство будет верным. Оба неравенства можно изобразить с помощью числовых промежутков:

Обратите внимание, что в строгих неравенствах значение, с которым сравнивается переменная, не входит в множество значений самой переменной. В нестрогих неравенствах оно будет входить в множество допустимых значений:

если   x ⩾	b	, то   x ∈ [	b	; +∞)
a	a

или

если   x ⩽	b	, то   x ∈ (-∞;	b	]	.
a	a

Если  a < 0,  то, разделив обе части неравенства

ax > b     или     ax < b

на  a  и поменяв в них знак на противоположный, получим:

x <	b	или     x >	b	.
a	a

Все возможные значения данных неравенств мы уже рассмотрели выше.

Если  a = 0,  тогда неравенство примет вид:

0 · x > b     или     0 · x < b.

В первом случае:

0 · x > b,    x ∈  (-∞; +∞),

если  b  отрицательное число, в противном случае неравенство не имеет решений.

Во втором случае:

0 · x < b,    x ∈  (-∞; +∞),

если  b  положительное число, в противном случае неравенство не имеет решений.

Равносильные неравенства

Равносильные неравенства — это неравенства, у которых совпадает множество решений. Неравенства, не имеющие решений, тоже считаются равносильными.

Неравенство, равносильное данному, получится, если:

1. Перенести слагаемое из одной части неравенства в другую, изменив знак слагаемого на противоположный.
2. Умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число.
3. Умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

Решение неравенств

Решить неравенство с одной переменной — это значит, найти все значения этой переменной, при которых данное неравенство верно, или убедиться, что таких значений у переменной нет.

Все неравенства с одной переменной решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения неравенств:

• освобождение от дробных членов;
• раскрытие скобок;
• перенос всех членов, содержащих переменную, в одну часть, а остальных — в другую (члены с переменными, как правило, переносят в левую часть неравенства);
• приведение подобных членов;
• деление обеих частей неравенства на коэффициент при переменной.

В статье мы рассмотрим, что собой представляют линейные неравенства с одной переменной и покажем, какими способами их можно решать.

Понятие линейного неравенства

Линейными неравенствами с одной переменной называют неравенства a*x < c либо a*x > c, в которых x – искомая переменная, а a и c некоторые числа. О том, что коэффициент при x может или не может быть равным нулю, ничего не говорится. Это позволяет строгое неравенство 0*x > c и 0*x < c записать в виде 0*x ≥ c и 0*x ≤ c.

Линейными неравенствами с одной переменой считают неравенства, имеющие вид ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0. Где a и b являются любыми числами, но a не должно равняться нулю. x – искомая переменная.

Неравенства ax + b > 0 и ax > c считаются равносильными, так как получаются с помощью переноса слагаемого из одной их части в другую. Решения подобных неравенств совпадают.

Примеры линейных неравенств с одной переменной:

• -2x + 4 > 0;
• 3x +1 ≤ 0;
• 2(x-1) < 2x-4;
• 3x+1 ≤ 6-3x
• 3x – 6 > 0.

Как решать линейные неравенства

Решением линейного неравенства называют нахождение всех значений переменной x, при которых оно сохраняет свою силу. Самыми распространёнными и результативными способами, с помощью которых удаётся решить подавляющее большинство линейных неравенств являются метод равносильных преобразований, метод интервалов и графический метод. Рассмотрим каждый из них подробнее.

Решение линейных неравенств с помощью равносильных преобразований

Применительно к нашему случаю равносильными называются следующие преобразования:

• Перенос одного и более членов неравенства из одной части в другую. При этом знак переносимого слагаемого меняется на противоположный. В качестве примеров подобного рода неравенств можно привести
  2x − 3 > 6 и 2x > 6 + 3 или 10x – 1 > 3 и 10x > 3 + 1.

• Деление или умножение обеих частей неравенства на одно положительное число. Знак неравенства при этом остаётся тем же. В качестве примеров можно указать
  2x > 9 и 10x > 45 или -9x > -15 и -3x > -5.

• Деление или умножение обеих частей неравенства на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом нужно сменить на противоположный. Примеры подобных неравенств следующие 5x < -8 и -10x>16 или  9x +12 > 21 и 3x — 4 < -7.

---

Если числовое неравенство b > 0 («<», «≤», «≥») верно, то исходное неравенство будет иметь своё решение при любом из значений x. Если же оно неверно, то у исходного неравенства решений нет вовсе.

---

У некоторых из читателей возможно появился вопрос, как быть, если и в роли коэффициента при x, и в роли слагаемого выступает ноль. Это неравенства 0*x + 0 < 0, 0*x + 0 > 0, 0*x + 0 ≤ 0, 0*x + 0 ≥ 0. Два первых из них решений не имеют, ведь ноль не может быть больше или меньше самого себя. У двух последних решения есть т. к. любое число равно самому себе, в частности, ноль равен нулю.

Решение линейных неравенств методом интервалов

Он может быть использован лишь тогда, когда коэффициент при x не равен нулю. Последовательность действий при использовании указанного метода следующая:

1. Находятся нули функции y = ax + b. Для этого, нужно решить уравнение ax + b = 0. При a неравном нулю его решение будет состоять из одного корня x₀.
2. Строится координатная прямая. На ней изображается точка с координатой x_0. При строгом неравенстве точку нужно изобразить выколотой. При нестрогом – закрашенной.
3. На промежутках определяются знаки функции y = ax + b. Если решение неравенства имеет знаки > или ≥, то добавляется штриховка над положительным промежутком. Если решение идёт со знаками если < или ≤, штриховка происходит над отрицательным промежутком.

Решение неравенств графическим способом

Главное при пользовании этим методом правильно найти промежутки, которые требуется изобразить на графике.

Действия при пользовании графическим способом следующие:

• При решении ax + b < 0 определяем промежуток, где график будет ниже оси 0x;
• При решении ax + b ≤ 0 определяем промежуток, где график либо ниже 0х, либо совпадает с ней;
• При решении ax + b > 0 определяем промежуток, где график выше оси 0х;
• При решении ax + b ≥ 0 определяем промежуток, где график выше оси 0х или совпадает с ней.

Неравенства, сводящиеся к линейным

При их решении следует использовать такие приёмы, как раскрытие скобок, собирание в левой части неравенства чисел, а в правой переменных, деление обеих частей на коэффициент при x.

Скачать материал

Скачать материал

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Решение неравенств с одной переменной
  Подготовила: учитель Демчук Виктория Викторовна

• 

  2 слайд

  Мы это знаем
  Какие неравенства называются числовыми?
  Изменится ли знак числового неравенства, если умножить или разделить обе части неравенства на положительное число?
  Как изменится знак неравенства, если обе части умножить или разделить на отрицательное число?
  Какие неравенства называются строгими, а какие нестрогими?
  Какие неравенства называются двойными?

• 

  3 слайд

  х ≤ 15;
  х < — 6,5 ;
  -10,5 < у < 6,3;
  у > 87.
  Прочитать неравенство:

• 

  4 слайд

  Какие целые числа расположены между числами?
  — 2,2 и 2,8;
  — 3,2 и 5,7;
  — 13 и — 9,4;
  — 1,5 и 6.

• 

  5 слайд

  Прочитать промежутки:
  (- 3; 5);
  [- 9;12];
  [- 4; 8);
  (-∞ ;7];
  [6;+ ∞);
  [- 7; 23).

• 

  6 слайд

  Запишите промежутки, изображенные
  на рисунке
  — 3
  12
  — 8 1,8
  -8,4 67

• 

  7 слайд

  Вспомним
  𝑎𝑥+𝑏=0
  a, b- некоторые числа,
  х-неизвестное

• 

  8 слайд

  Алгоритм решения линейных уравнений
  Раскрыть скобки, если они есть;
  Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;
  Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
  Разделить обе части уравнения на коэффициент при переменной x

• 

  9 слайд

  ???
  𝑎𝑥+𝑏≠0

  𝑎𝑥+𝑏>0 𝑎𝑥+𝑏<0

• 

• 

  11 слайд

  Если показатель pH < 7, то среда кислотная;
  если показатель pH = 7, то среда нейтральная;
  если показатель pH > 7, то среда щелочная
  Эталонная шкала
  для водородного показателя рН

• 

  12 слайд

  Решение линейных неравенств с одной переменной

• 

  13 слайд

  Определение

  Неравенства вида ax-b>0 или ax-b<0 называют линейными неравенствами с одной переменной,
  где a и b некоторые числа,
  х – переменная (неизвестная)

• 

  14 слайд

  Решить неравенство – это значит найти множество его решений или
  доказать, что их нет.

• 

  15 слайд

  Как решить линейное неравенство?

  Пример 1. (случай при а≠0): 2𝑥−3<0

  2𝑥<3
  𝑥< 3 2
  : 2
  𝑥<1,5
  Ответ: (−∞; 1,5)
  1,5

• 

  16 слайд

  Как решить линейное неравенство?

  Пример 2. (случай при а=0): 0∗𝑥−3<0

  −3<0
  неравенство имеет множество решений
  0∗𝑥−3>0
  Неравенство не имеет решений
  −3>0

• 

  17 слайд

  Алгоритм решения линейных неравенств
  Раскрыть скобки, если они есть;
  Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака неравенства, а слагаемые без переменной — в другую;
  Привести подобные слагаемые слева и справа от знака неравенства;
  Разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной x.
  В случае деления на отрицательное число, поменять знак неравенства на противоположный.

• 

  18 слайд

  Пример 3. Решить неравенство
  3(2𝑥−1)>2(х+2)+х+5.

• 

  19 слайд

  Решение упражнений: № 836 (а,б),
  № 838, № 842, № 845 (а,г), № 849 (г).

• 

  20 слайд

  Рефлексия:
  – Что значит «решить неравенство с одной переменной»?
  – Каков Алгоритм решения неравенств первой степени с одной переменной?

• 

  21 слайд

  Домашнее задание
  П. 34, №86 (в,г), 839, 845 (в,д).

• 

  22 слайд

  Спасибо за урок!

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 264 590 материалов в базе

• Выберите категорию:

• Выберите учебник и тему

• Выберите класс:

• Тип материала:

  • Все материалы

  • Статьи

  • Научные работы

  • Видеоуроки

  • Презентации

  • Конспекты

  • Тесты

  • Рабочие программы

  • Другие методич. материалы

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

• Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Основы туризма и гостеприимства»

• Курс повышения квалификации «Основы управления проектами в условиях реализации ФГОС»

• Курс профессиональной переподготовки «Экскурсоведение: основы организации экскурсионной деятельности»

• Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС технических направлений подготовки»

• Курс повышения квалификации «Экономика: инструменты контроллинга»

• Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»

• Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Финансы предприятия: актуальные аспекты в оценке стоимости бизнеса»

• Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

• Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика музейного дела и охраны исторических памятников»

• Курс профессиональной переподготовки «Управление качеством»