Уравнение вида
ax+by+c=0
, где (a, b, c) — числа (коэффициенты), называется линейным уравнением с двумя переменными (x) и (y).
Решением уравнения
ax+by+c=0
является пара чисел ((x); (y)), обращающая данное уравнение в верное равенство.
Пример:
изобрази решения линейного уравнения
−x+y−2=0
точками в координатной плоскости (xOy).
Несложно подобрать несколько решений: ((3; 5), (2; 4), (1; 3), (0; 2), (-2; 0)). Построим эти точки в координатной плоскости и убедимся, что они лежат на одной прямой (t).
Прямая (t) является графиком уравнения
−x+y−2=0
, или
прямая (t) является геометрической моделью этого уравнения.
Итак, если пара чисел ((x); (y)) удовлетворяет уравнению
ax+by+c=0
, то точка (М)((x); (y)) принадлежит прямой (t).
И обратно, если точка (М)((x); (y)) принадлежит прямой (t), то пара чисел ((x); (y)) удовлетворяет уравнению
ax+by+c=0
.
Графиком уравнения
ax+by+c=0
является прямая, если коэффициенты (a, b) не равны нулю одновременно.
Алгоритм построения графика уравнения
ax+by+c=0
, где
a≠0,b≠0
.
1. Выбрать любое удобное значение переменной
x=x1
и из уравнения
ax1+by+c=0
вычислить значение
y=y1
.
2. Выбрать другое значение переменной
x=x2
и из уравнения
ax2+by+c=0
вычислить значение
y=y2
.
3. На координатной плоскости (xOy) отметить точки:
x1;y1;x2;y2.
4. Через эти точки провести прямую — она и будет являться искомым графиком.
Пример:
начертить график уравнения
x−2y−4=0
.
1. Подставим (x=0) в уравнение, получим:
0−2y−4=0;−2y=4;y=4:−2;y=−2.
2. Подставим в уравнение (y=0), получим:
x−2⋅0−4=0;x−4=0;x=4.
3. Отметим полученные точки ((0; -2)) и ((4; 0)) в прямоугольной системе координат.
4. Проведём через эти точки прямую.
Она и будет графиком линейного уравнения
x−2y−4=0
.
§ 1. Линейные уравнения с двумя переменными
В первом задании мы рассмотрели линейные уравнения с одной переменной. Например, уравнения `2x+5=0`, `3x+(8x-1)+9=0` являются линейными уравнениями с переменной `x`. Уравнение, содержащее переменные `x` и `y`, называется уравнением с двумя переменными. Например, уравнения `2x-3=5`, `x^2+xy-y^2=7` являются уравнениями с двумя переменными.
Уравнение вида `ax+by=c` называется линейным уравнением с двумя переменными, где `x` и `y` переменные, `a`, `b`, `c` — некоторые числа.
Например, уравнения `2x+y=3`, `x-y=0` являются линейными уравнениями с двумя переменными.
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Например, `x=3`, `y=4` является решением уравнения `2x+3y=18`, будем эту пару чисел записывать так `(3;4)`. Очевидно, что пара чисел `(4;3)` не является решением уравнения, т. к. `2*4+3*3=17!=18`. При нахождении решений с двумя переменными на первом месте в паре чисел пишем значение для переменной `x`, а на втором месте – значение переменной `y`.
Если каждое решение одного уравнения является решением второго уравнения и обратно, то данные уравнения называются равносильными. Например, решения уравнений `2x+y=3` и `4x+2y=6` совпадают, следовательно, эти уравнения равносильные.
1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.
Укажите три различных решения для уравнения `3x+y-2=0`.
Если `x=0`, то `y=2`; если `y=0`, то `x=2/3`; если `x=1`, то `y=-1`.
Таким образом, пары чисел `(0;2)`, `(2/3;0)`, `(1;-1)` являются решениями данного уравнения. Заметим, что данное уравнение имеет бесконечно много решений. Для заданного значения `x` значение `y=2-3x`, т. е. любая пара чисел `(x;2-3x)`, где `x` — любое число, является решением уравнения.
Рассмотрим координатную плоскость `Oxy` и отметим на ней все точки `(x,y)`, для которых пара чисел `x` и `y` является решениями уравнения. Например, рассмотрим уравнение `y=2`. Этому уравнению удовлетворяют все пары чисел `(x;2)`.Точки, для которых `x` — любое число, а `y=2`, лежат на прямой `y=2`. Эта прямая параллельна оси `x` и проходит через точку `(0;2)` (см. рис. 1).
Рассмотрим уравнение `x=3`. Каждая пара чисел, являющаяся решением данного уравнения, изображается точкой с координатами `x` и `y` на координатной плоскости `Oxy`. Решениями данного уравнения являются пары чисел `(3;y)`. Точки с координатами `x=3` и `y` лежат на прямой `x=3`, эта прямая параллельна оси `Oy` и проходит через точку `(3;0)` (см. рис. 2).
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями данного уравнения.
На рис. 1 графиком уравнения является прямая `y=2`, на рис. 2 графиком уравнения является прямая `x=3`.
Рассмотрим теперь уравнение `2x+3y-1=0`. Выразим переменную `y` через `x`, получаем `y=1/3-2/3x`, это уравнение задаёт линейную функцию, и нам известно, что её графиком является прямая. Чтобы построить эту прямую, достаточно рассмотреть две точки, координаты которых удовлетворяют уравнению, а затем через эти две точки провести прямую. При `x=0` `y=1/3` и при `x=1/2` `y=0`. График данного уравнения приведён на рис. 3.
Рассмотрим уравнение `(x-4)(x+y-4)=0`. Произведение двух скобок равно нулю, каждая скобка может равняться нулю. Наше уравнение распадётся на два уравнения: `x=4` и `x+y-4=0`. Графиком первого уравнения является прямая, параллельная оси `Oy` и проходящая через точку `(4;0)`. Графиком второго уравнения является график линейной функции `y=4-x`, эта прямая проходит через точки `(4;0)` и `(0;4)`. График данного уравнения приведён на рис. 4.
Постройте график уравнения `|x|+|y|=1`.
Этот пример можно решать двумя способами. Пусть `x>=0` и `y>=0`, точки с такими координатами лежат в первой четверти. Получаем уравнение `x+y=1`, так как `|x|=x` и `|y|=y`. Графиком данного уравнения является прямая, проходящая через точки `A(1;0)` и `B(0;1)`. Графику исходного уравнения принадлежат точки полученной прямой, лежащие в первой четверти, т. е. графику принадлежат точки отрезка `AB`, где `A(1;0)` и `B(0;1)`.
Пусть теперь `x<=0` и `y>=0` тогда получаем уравнение `-x+y=1`, рассматриваем точки полученной прямой, лежащие во второй четверти. Это будет отрезок `BC`, где `C(-1;0)`. При `x<=0`, `y<=0` получим отрезок `CD` где `D(0;-1)`, и при `>=0`, `y<=0` получим отрезок `DA`. Таким образом, график данного уравнения состоит из точек квадрата `ABCD` (рис. 5).
Этот пример можно решать другим способом. Пусть `y>=0`, тогда наше уравнение эквивалентно уравнению `y=1-|x|`. В первом задании мы строили график функции `y=|x|` (см. рис. 6). График функции `y=-|x|` получается зеркальным отражением относительно оси `Ox` графика функции `y=|x|` (см. рис. 7). График функции `y=1-|x|` получается из графика функции `y=-|x|` сдвигом вдоль оси `Oy` на единицу вверх (см. рис. 8). У полученного графика рассматриваем только точки, для которых `y>=0`. Получим ломаную `ABC` с рис. 5.
Далее рассматриваем `y<=0`, получим, что графиком уравнения при `y<=0` является ломаная `CDA` с рис. 5. В итоге получим квадрат `ABCD` с рис. 5.
Найдите все решения уравнения `xy=6`, для которых `x` и `y` являются натуральными числами.
Очевидно, что натуральные числа `x` и `y` являются делителями числа `6`. Поэтому `x` и `y` могут принимать значения `1;` `2;` `3;` `6`. Следовательно, искомыми решениями являются числа `(1;6)`, `(2;3)`, `(3;2)`, `(6;1)`.
Найти все решения уравнения `x^2+4x=y^2+2y+8`, для которых значения `x` и `y` являются целыми числами.
Обычно такие примеры формулируют так: найти все решения данного уравнения в целых числах.
Преобразуем данное уравнение: `x^2+4x+4-4=y^2+2y+1+7`,
`(x+2)^2=(y+1)^2+11`,
`(x+2)^2-(y+1)^2=11`,
`(x+2-y-1)*(x+2+y+1)=11`.
Если `x` и `y` целые числа, то выражения, стоящие в скобках, являются целыми числами. А это могут быть числа `+-1` и `+-11`. Решаем `4` системы уравнений:
$$ left{begin{array}{l}x+2-y-1=1,\ x+2+y+1=11;end{array}right.$$
$$ left{begin{array}{l}x+2-y-1=11,\ x+2+y+1=1;end{array}right.$$
$$ left{begin{array}{l}x+2-y-1=-1,\ x+2+y+1=-11;end{array}right.$$
$$ left{begin{array}{l}x+2-y-1=-11,\ x+2+y+1=-1.end{array}right.$$
Решая эти системы, получаем `4` решения: `(4;4)`, `(4;-6)`, `(-8;-6)`, `(-8;4)`.
Уравнение с двумя переменными и его решение
Уравнение вида ax+by = c, где a,b,c — данные числа, называется линейным уравнением с двумя переменными x и y.
Например: 2x+5y = 6; -x+1,5y = 0; $frac{1}{2}$ x-8y = 7
Уравнение с двумя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x и y.
Например: $2x^2+y^2 = 3, x-5y^2 = 1, 7x^3+y = 7$
Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это уравнение в тождество.
О тождествах – см. §3 данного справочника
Например: для уравнения 2x+5y=6 решениями являются пары
x = -2, y = 2; x = -1,y = 1,6; x = -3,y = 2,4 и т.д.
Уравнение имеет бесконечное множество решений.
Свойства уравнения с двумя переменными
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.
Уравнения с двумя переменными имеют такие же свойства, как и уравнения с одной переменной:
- если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую и изменить его знак, получится уравнение, равносильное данному;
- если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Например: $2x+5y = 6 ⟺5y = -2x+6 iff y = -0,4x+1,2$
Примеры
Пример 1. Из данного линейного уравнения выразите y через x и x через y:
Алгоритм: рассмотрим 3x+4y=10
1) оставим слагаемое с выражаемой переменной с одной стороны, остальные слагаемые перенесем в другую сторону: 4y=-3x+10
2) разделим полученное уравнение слева и справа на коэффициент при выражаемой переменной: y=-0,75x+2,5 — искомое выражение y(x).
Аналогично для x(y): $3x+4y = 10 iff 3x = -4y+10 iff x = -1 frac{1}{3} y+3 frac{1}{3}$
Линейное уравнение
y(x)
x(y)
а) 4x+5y = 20
$y = — frac{4}{5} x+4$
$x=-1 frac{1}{4} y+5$
б) 3x-2y = 11
y = 1,5x-5,5
$x = frac{2}{3} y+3 frac{2}{3}$
в) x+7y = 8
$ y = — frac{x}{7}+1 frac{1}{7}$
x = -7y+8
г) 2x-11y = 22
$y = frac{2}{11} x-2$
x = 5,5y+11
Пример 2. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, решением которого является пара чисел:
Алгоритм: рассмотрим (1;5)
1) составим любой двучлен вида ax+by, например 2x+3y
2) подставим данные x = 1, y = 5 в двучлен и запишем результат 2x+3y = 17 — это искомое уравнение.
Пример 3. Составьте уравнение с двумя переменными, решениями которого являются две пары чисел:
а) (1;5) и (2;4)
Искомое уравнение имеет вид ax+by=c. Подставим обе пары:
$$ {left{ begin{array}{c} a+5b = c \ 2a+4b = c end{array} right.} Rightarrow a+5b = 2a+4b Rightarrow a = b $$
Пусть a = b = 1. Тогда x+y = 1+5 = 2+4 = 6
x+y = 6 — искомое уравнение.
б) (0;2) и (2;5)
Искомое уравнение имеет вид ax+by = c. Подставим обе пары:
$$ {left{ begin{array}{c} 0+2b = c \ 2a+5b = c end{array} right.} Rightarrow 2b = 2a+5b Rightarrow a = -1,5b $$
Пусть b = -2. Тогда a = 3 и уравнение:
$3x-2y = 3cdot0-2cdot2 = 3cdot2-2cdot5 = -4$
3x-2y = -4 — искомое уравнение.
Пример 4. Найдите двузначное число, которое в два раза больше суммы своих цифр.
Пусть a-цифра десятков (a = 1,2,…,9), b- цифра единиц (b = 0,1,…,9).
По условию: 10a+b = 2(a+b)
$$10a+b = 2a+2b Rightarrow 8a = b$$
Единственное возможное решение: a = 1, b = 8
Ответ:18
Пример 5. Найдите двузначное число, которое при умножении на сумму своих цифр даёт 370.
Пусть a-цифра десятков (a = 1,2,…,9), b- цифра единиц (b = 0,1,…,9).
По условию: (10a+b)(a+b) = 370
Разложим 370 на простые множители: $370 = 2cdot5cdot37$
Возможные значения для суммы a+b = {2;5;10}
Рассмотрим a+b = 2. Тогда 10a+b = $frac{370}{a+b} = frac{370}{2} = 185 — не quad двузначное quad число Rightarrow$
$a+b neq 2$
Рассмотрим a+b = 5. Тогда 10a+b = $frac{370}{5} = 74 Rightarrow a = 7, b = 4, a+b neq 5$.
Рассмотрим a+b = 10. Тогда 10a+b = $frac{370}{10} = 37 Rightarrow a = 3, b = 7, a+b = 10$.
Значит, искомое число 37.
Ответ: 37
Линейные уравнения с двумя переменными
Линейные уравнения с двумя переменными
Определение: Линейные уравнения с двумя переменными – это уравнение вида ax+by+c=0, где x, y — переменные, a, b,c – некоторые числа.
Например: 5х + 2у = 10; -7х+у = 5; х – у =2
Определение: Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Если х=4, у=1,5 , то 2 ∙ 4 – 3 ∙ 1,5 = 10
т. е. пара чисел (4; 1,5) не является решением уравнения.
Определение: Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же решения или не имеющие их.
1. В уравнении можно перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак.
2. Обе части уравнения можно множить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.
Выразить одну переменную через другую:
1) 
2х +у = 5 2) 
3)
График линейного уравнения с двумя переменными
Определение: График уравнения с двумя переменными – это множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.
1. Пример: 3х + 2у = 6, где а=3, b=2, c=6
План 1) Выразить переменную у
у = 
у = -1,5х +3 линейная функция вида y = kx + b,
2) Составить таблицу значений х и у
3) Построить график
2. Частные случаи построения графика ax + by = c
у =
x =
х = 2
Графика не существует
График – вся координатная плоскость
Решение систем уравнений с двумя переменными. Графический способ.
Определение: Система уравнений – это несколько уравнений, для которых находят общее решение.
Определение: Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая каждое уравнение в верное равенство.
Если х=7, у=5, то 
, 
, верно,
т. е. (7; 5) – решение системы уравнений.
Определение: Решить систему – это значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.
План решения системы уравнений графическим способом
1. Выразить переменную у в первом уравнении.
2. Выразить переменную у во втором уравнении.
3. В одной системе построить графики данных функций.
4. Координаты точки пересечения графиков и является решением системы уравнений.
Пример: 
1) х +у = 6 → у = 6-х линейная функция, график вида у = kx + b, k = -1, b = 6
Как решать систему уравнений
О чем эта статья:
8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Основные понятия
Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.
Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.
Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.
Линейное уравнение с двумя переменными
Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.
Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.
Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:
Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.
Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.
Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).
Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.
Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:
Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.
Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.
Можно записать систему иначе:
Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.
Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.
Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.
Метод подстановки
Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:
Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.
Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.
Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.
Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.
Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).
Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.
Пример 1
Решите систему уравнений:
x − y = 4
x + 2y = 10
Выразим x из первого уравнения:
x − y = 4
x = 4 + y
Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:
x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10
Решим второе уравнение относительно переменной y:
4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2
Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:
x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6
Ответ: (6; 2).
Пример 2
Решите систему линейных уравнений:
x + 5y = 7
3x = 4 + 2y
Сначала выразим переменную x из первого уравнения:
x + 5y = 7
x = 7 − 5y
Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:
3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y
Решим второе линейное уравнение в системе:
3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1
Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:
x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2
Ответ: (2; 1).
Пример 3
Решите систему линейных уравнений:
x − 2y = 3
5x + y = 4
Из первого уравнения выразим x:
x − 2y = 3
x = 3 + 2y
Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:
5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1
Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:
x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1
Ответ: (1; −1).
Метод сложения
Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:
При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.
Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.
Решаем получившееся уравнение с одной переменной.
Находим соответствующие значения второй переменной.
Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).
Система линейных уравнений с тремя переменными
Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:
Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).
Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.
Решение задач
Разберем примеры решения систем уравнений.
Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?
5x − 8y = 4x − 9y + 3
5x − 8y = 4x − 9y + 3
5x − 8y − 4x + 9y = 3
Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки
Выразить у из первого уравнения:
Подставить полученное выражение во второе уравнение:
Найти соответствующие значения у:
Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения
- Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
- Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
- Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:
- Ответ: (1; 1), (1; -1).
Задание 4. Решить систему уравнений
Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.
Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными
При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:
Уравнения с двумя переменными (неопределенные уравнения)
Разделы: Математика
Обращение автора к данной теме не является случайным. Уравнения с двумя переменными впервые встречаются в курсе 7-го класса. Одно уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Это наглядно демонстрирует график линейной функции, заданный в виде ax + by=c. В школьном курсе учащиеся изучают системы двух уравнений с двумя переменными. В результате из поля зрения учителя и, поэтому ученика, выпадает целый ряд задач, с ограниченными условиями на коэффициент уравнения, а также методы их решения.
Речь идет о решении уравнения с двумя неизвестными в целых или натуральных числах.
В школе натуральные и целые числа изучаются в 4-6-х классах. К моменту окончания школы не все ученики помнят различия между множествами этих чисел.
Однако задача типа “решить уравнение вида ax + by=c в целых числах” все чаще встречается на вступительных экзаменах в ВУЗы и в материалах ЕГЭ.
Решение неопределенных уравнений развивает логическое мышление, сообразительность, внимание анализировать.
Я предлагаю разработку нескольких уроков по данной теме. У меня нет однозначных рекомендаций по срокам проведения этих уроков. Отдельные элементы можно использовать и в 7-м классе (для сильного класса). Данные уроки можно взять за основу и разработать небольшой элективный курс по предпрофильной подготовке в 9-м классе. И, конечно, этот материал можно использовать в 10-11 классах для подготовки к экзаменам.
Цель урока:
-
повторение и обобщение знаний по теме “Уравнения первого и второго порядка”
- воспитание познавательного интереса к учебному предмету
- формирование умений анализировать, проводить обобщения, переносить знания в новую ситуацию
Урок 1.
Ход урока.
1) Орг. момент.
2) Актуализация опорных знаний.
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида
mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.
Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.
1. 5x+2y=12 
(2)y = -2.5x+6
Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.
Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1
x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4
Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).
Данное уравнение имеет бесконечно много решений.
3) Историческая справка
Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.
В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.
Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.
4) Изучение нового материала.
Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k
0
Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.
Пример: 34x – 17y = 3.
НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.
Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно простыми.
Если m и n уравнения (1) взаимно простые числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.
Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно простыми числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:
где (
; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z
Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)
m, n, x, y Z
Если m и n – взаимно простые числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид
5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:
Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.
Урок 2.
1) Организационный момент
2) Проверка домашнего задания
5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.
Методом подбора можно найти решение
3) Составим уравнение:
Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174
Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить.
Ответ: мальчиков 4, девочек 6.
3) Изучение нового материала
Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них.
I. Метод рассмотрения остатков от деления.
Пример. Решить уравнение в целых числах 3x – 4y = 1.
Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.
- Если y = 3m, m Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
- Если y = 3 m + 1, то 4y +1 = 4• (3m + 1)+1 = 12m + 5 не делится на 3.
- Если y = 3 m + 2, то 4y +1 = 4• (3m + 2)+1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, следовательно, x = 4m + 3, а y = 3m + 2.
Ответ: где m Z.
Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители.
Пример: Решить уравнения в целых числах.
Пусть y = 4n, тогда 16 — 7y = 16 – 7•4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4.
y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4.
y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4.
y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4.
Следовательно, y = 4n, тогда
4x = 16 – 7•4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
Ответ: , где n Z.
II. Неопределенные уравнения 2-ой степени
Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка.
И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.
Пример: Решить уравнение в целых числах.
13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13•1 = 1•13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
Рассмотрим эти случаи
а) =>
б) =>
в) =>
г) =>
4) Домашнее задание.
Примеры. Решить уравнение в целых числах:
а)
| 2x = 4 | 2x = 5 | 2x = 5 |
| x = 2 | x = 5/2 | x = 5/2 |
| y = 0 | не подходит | не подходит |
| 2x = -4 | не подходит | не подходит |
| x = -2 | ||
| y = 0 |
б)
в)
Итоги. Что значит решить уравнение в целых числах?
Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете?
Упражнения для тренировки.
1) Решите в целых числах.
| а) 8x + 12y = 32 | x = 1 + 3n, y = 2 — 2n, n Z |
| б) 7x + 5y = 29 | x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z |
| в) 4x + 7y = 75 | x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z |
| г) 9x – 2y = 1 | x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z |
| д) 9x – 11y = 36 | x = 4 + 11n, y = 9n, n Z |
| е) 7x – 4y = 29 | x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z |
| ж) 19x – 5y = 119 | x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z |
| з) 28x – 40y = 60 | x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z |
2) Найти целые неотрицательные решения уравнения:
| а) 8x + 65y = 81 | x = 2, y = 1 |
| б) 17x + 23y = 183 | x = 4, y = 5 |
3) Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие следующим условиям
| а) x + y = xy | (0;0), (2;2) |
| б) | (1;2), (5;2), (-1;-1), (-5;-2) |
Число 3 можно разложить на множители:
| в) | (11;12), (-11;-12), (-11;12), (11;-12) |
| г) | (24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23) |
| д) | (48;0), (24;1), (24;-1) |
| е) | x = 3m; y = 2m, mZ |
| ж) y = 2x – 1 | x = m: y = 2m – 1, m Z |
| з) | x = 2m; y = m; x = 2m; y = -m, m Z |
| и) | решений нет |
4) Решить уравнения в целых числах
| (-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4) | |
| (x — 3)(xy + 5) = 5 | (-2;3), (2;-5), (4;0) |
| (y + 1)(xy – 1)=3 | (0;-4), (1;-2), (1;2) |
| (-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1) | |
| (-11;-12), (-11;12), (11;-12), (11;12) | |
| (-24;23), (-24;23), (24;-23), (24;23) |
5) Решить уравнения в целых числах.
| а) | (-1;0) |
| б) | (5;0) |
| в) | (2;-1) |
| г) | (2; -1) |
http://skysmart.ru/articles/mathematic/reshenie-sistem-uravnenij
http://urok.1sept.ru/articles/417558
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №42. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Решение уравнений, неравенств, систем уравнений и систем неравенств с двумя переменными;
- Изображение в координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств;
- Нахождение площади получившейся фигуры.
Глоссарий по теме
Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными, где a, b и c — некоторые числа (a ≠ 0 , b ≠0), а, х и у — переменные.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Историческая справка
Уравнения, а также системы уравнений имеют давнюю историю. Нам известно, что уже в Древнем Вавилоне и Индии повседневные задачи, связанные с земляными работами или планированием военных расходов, а также астрономическими наблюдениями решались с помощью уравнений и их систем.
В то время еще не существовало привычного нам формального языка математики. Вавилоняне, также, как и индусы не использовали в своих трактатах привычные нам «икс» и «игрек». Не обозначали степень надстрочными индексами. И т.д. Их уравнения записаны в виде текстовых задач. Также, как и решения, не похожи на современные, а скорее напоминают цепочку логических рассуждений.
Вместе с тем, если перевести в привычный нам вид те уравнения, которые умели решать в Древнем Вавилоне, то мы увидим: 
. И в древнем индийском манускрипте «Ариабхаттиам», датируемом 499 годом нашей эры, также встречаются задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений. Индийские мудрецы (слово ученый тоже еще не существовало) уже не ограничивались решением конкретных житейских задач, но и работали над решением квадратного уравнения в общем виде.
Привычный нам вид уравнения обретают только в конце шестнадцатого века, благодаря трудам Франсу Виета (1540 – 1603 гг.). Именно он, помимо прочих своих научных достижений обладает и неофициальным титулом «создатель алгебры». Поскольку разработал и активно внедрял символический язык алгебры – те самые, привычные нам «иксы и игреки».
Актуализация знаний
1.Найдите уравнения, которые являются линейными.
4х + 5у = 10; 
; у = 7х +4
Ответ: 4х + 5у = 10; 
у = 7х +4
Сегодня на уроке мы вспомним что такое линейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое линейным уравнением и неравенством.
- Линейные уравнения с двумя переменными.
Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.
Решением уравнения ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется пара значений обращающая уравнение в верное числовое равенство.
Если одновременно а
и b
, то уравнение ах + by +с =0 является уравнением некоторой прямой. Для построения прямой достаточно найти две точки этой прямой.
Пример
Построить график уравнения 2х+у =1
у = -2х + 1
Если х=0, то у=1;
Если х=2, то у=-3.
На координатной плоскости отметим точки с координатами (0;1) и (2;-3). Через две точки на плоскости проведем прямую. Полученная прямая является геометрической моделью уравнения 2х+у =1.
- Линейные неравенства с двумя переменными.
Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с < 0 или ах + bу + с > 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.
Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.
Является ли пара (2;1) решением неравенства 5х + 2у > 4 . Является, тк при подстановке в него вместо х числа 2, а вместо у числа 1 получается верное равенство 10 + 2 > 4.
Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.
Пример
Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0.
- Уравнение 3х – 2у +6 = 0 является уравнением прямой, проходящей через точки(- 2; 0) и (0; 3).
- Пусть точка М1(х1,у1) лежит в заштрихованной полуплоскости (ниже прямой 3х – 2у +6 = 0, а М2(х1,у2)лежит на прямой 3х – 2у +6 = 0. Тогда 2у2 – 3х1 – 6 = 0, а 2у1 – 3х1 – 6 < 0, т.к. у1< у2
Изобразим множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0 штриховкой (рис. 1)
Рисунок 1 – решение неравенства 3х – 2у +6 > 0
Если в линейном неравенстве с двумя переменными знак неравенства заменить знаком равенства, то получится линейное уравнение ах + by +с =0, графиком которого является прямая при условии, что 
и 
. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Одна из них является графиком неравенства ах + bу + с < 0, а другая – графиком неравенства ах + bу + с > 0
Чтобы решить неравенство ах + bу + c < 0 или aх + bу + c > 0, достаточно взять какую-нибудь точку М1(х1; у1), не лежащую на прямой aх + bу + c = 0, и определить знак числа aх1 + bу1 + c.
Пример
Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства 2х + 3у < 6
Начертим график уравнения 2х + 3у = 6.
Пара (0;0) является решением неравенства 2х + 3у < 6, и принадлежит нижней полуплоскости, значит графиком неравенства 2х + 3у < 6 является нижняя полуплоскость (рис. 2).
Рисунок 2 – решение неравенства 2х + 3у < 6
- Система линейных уравнений с двумя переменными.
Система вида 
, где а,b,с,d,e,f – некоторые числа, называется линейной системой с двумя переменными х и у.
Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство называют решением системы.
Решить систему – значит найти множество ее решений.
Пример
Решите систему:
Каждое решение уравнения с двумя переменными представляет координаты некоторой его точки его графика. Каждое решение системы есть координаты общих точек графиков уравнений системы. Построим графики этих уравнений и найдем координаты точки пересечения (рис.3).
Рисунок 3 – решение системы 
Система имеет единственное решение: x = 4 , y = 4 .
- Система линейных неравенств с двумя переменными.
Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.
Рассмотрим систему линейных неравенств с двумя переменными на примере:
- Построим прямые х – у = 2 и х + 3у = 6
- Пара (4;1) является решением как первого, так и второго неравенства, те является общим решением неравенств системы. Такую пару чисел называют решением системы неравенств с двумя переменными. Множество общих решений неравенств есть множество решений системы (пересечение множеств решений неравенств, составляющих систему).
Множество решение системы изображается двойной штриховкой. (плоской угол) (рис. 4).
Рисунок 4 – решение системы 
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1
Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства 3х – 2у + 6 
0.
- Начертим график уравнения 3х – 2у + 6 = 0
- Отметим в какой-нибудь полуплоскости, например, точку (1;2).
Пара (1;2) не является решением неравенства 
и принадлежит нижней полуплоскости, значит графиком неравенства 
является верхняя полуплоскость вместе с прямой 3х – 2у + 6 = 0. 9 (рис. 5)
Рисунок 5 – решение неравенства 
Пример 2
Изобразим на координатной плоскости множество решений системы
Построим прямые х + у = 3 и 4х – 5у = 20.
Множество решений первого неравенства показано горизонтальной штриховкой, а множество решений второго неравенства – вертикальной штриховкой. Двойная штриховка – множество решений системы. Система задает плоский угол (рис. 6)
Рисунок 6 – решение системы 
Если к системе добавить еще одно неравенство
, то получится система трех неравенств с двумя переменными
Этой системой задается треугольник (рис. 7)
Рисунок 7 – решение системы 
Точка О принадлежит 
, левая часть неравенства положительна, и поэтому множество его решений – объединение множеств 
.