построить график линейной функции:
a)
y=13x+1,x∈−6;3
; b)
y=13x+1,x∈−6;3
.
Составим таблицу значений функции:
| (x) | (-6) | (3) |
| (y) | (-1) | (2) |
Построим на координатной плоскости (xOy) точки ((-6;-1)) и ((3;2)) и
проведём через них прямую.
Далее выделим отрезок, соединяющий построенные точки.
Этот отрезок и есть график линейной функции
y=13x+1,x∈−6;3
.
Точки ((-6); (-1)) и ((3); (2)) на рисунке отмечены тёмными кружочками.
b) Во втором случае функция та же, только значения (x=-6) и (x=3) не рассматриваются, так как они не принадлежат интервалу ((-6;3)).
Поэтому точки ((-6); (-1)) и ((3); (2)) на рисунке отмечены светлыми кружочками.
По графику линейной функции, можно определить наибольшее и наименьшее значения линейной функции на заданном отрезке.
В случае
a)
y=13x+1,x∈−6;3
, имеем:
yнаиб
(= 2) и
yнаим
(= -1);
b)
y=13x+1,x∈−6;3
, концы отрезка не рассматриваются, поэтому наибольшего и наименьшего значений нет.
Прежде чем перейти к изучению функции «y = kx»
внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике»
и
«Как решать задачи на функцию».
Важно!
Функцию вида «y = kx + b» называют линейной функцией.
Буквенные множители «k» и «b»
называют
числовыми коэффициентами.
Вместо «k» и «b»
могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).
Другими словами, можно сказать, что «y = kx + b» — это семейство всевозможных функций, где вместо
«k» и «b» стоят числа.
Примеры функций типа «y = kx + b».
- y = 5x + 3
- y = −x + 1
- y = x − 2
- y = 0,5x
Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты
«k» и
«b».
| Функция | Коэффициент «k» | Коэффициент «b» | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| y = 5x + 3 | k = 5 | b = 3 | ||||
| y = −x + 1 | k = −1 | b = 1 | ||||
y =
x − 2 |
k =
|
b = −2 | ||||
| y = 0,5x | k = 0,5 | b = 0 |
Обратите особое внимание на функцию «y = 0,5x»
в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента «b».
Рассматривая
функцию «y = 0,5x», неверно утверждать, что числового коэффициента
«b» в функции нет.
Числовый коэффициент «b» присутствет в функции типа «y = kx + b» всегда.
В функции «y = 0,5x»
числовый коэффициент «b» равен нулю.
Как построить график линейной функции
«y = kx + b»
Запомните!
Графиком линейной функции «y = kx + b» является прямая.
Так как графиком функции «y = kx + b»
является прямая линия, функцию называют линейной функцией.
Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств),
что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
Исходя из аксиомы выше следует, что
чтобы построить график функции вида
«у = kx + b» нам достаточно будет найти всего
две точки.
Для примера построим график функции «y = −2x + 1».
Найдем значение функции «y» для двух произвольных значений «x».
Подставим, например, вместо «x» числа «0» и «1».
Важно!
Выбирая произвольные числовые значения вместо «x», лучше брать числа
«0» и «1».
С этими числами легко выполнять расчеты.
| x | Расчет «y = −2x + 1» |
|---|---|
| 0 | y(0) = −2 · 0 + 1 = 1 |
| 1 | y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1 |
Полученные значения «x» и «y» — это координаты точек графика функции.
Запишем полученные координаты точек «y = −2x + 1» в таблицу.
| Точка |
Координата по оси «Оx» (абсцисса) |
Координата по оси «Оy» (ордината) |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | 1 |
| (·)B | 1 | −1 |
Отметим полученные точки на системе координат.
Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет
являться графиком функции «y = −2x + 1».
Как решать задачи на
линейную функцию «y = kx + b»
Рассмотрим задачу.
Построить график функции «y = 2x + 3». Найти по графику:
- значение «y» соответствующее значению «x» равному −1; 2; 3; 5;
- значение «x», если значение «y» равно
1; 4; 0; −1.
Вначале построим график функции «y = 2x + 3».
Используем правила, по которым мы строили график функции выше.
Для построения графика функции «y = 2x + 3» достаточно найти всего две точки.
Выберем два произвольных числовых значения для «x». Для удобства расчетов выберем числа
«0» и «1».
Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.
| Точка |
Координата по оси «Оx» |
Координата по оси «Оy» |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | y(0) = 2 · 0 + 3 = 3 |
| (·)B | 1 | y(1) = 2 ·1 + 3 = 5 |
Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.
Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции
«y = 2x + 3».
Теперь работаем с построенным графиком функции «y = 2x + 3».
Требуется найти значение «y»,
соответствующее значению «x»,
которое равно −1; 2; 3; 5.
Тему
«Как получить координаты точки функции» с графика функции
мы уже подробно рассматривали в уроке
«Как решать задачи на функцию».
В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.
Запомните!
Чтобы найти значение «y» по известному значению «x» на графике
функции необходимо:
- провести перпендикуляр от оси «Ox»
(ось абсцисс)
из заданного числового значения «x»
до пересечения
с графиком функции; - из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести еще один перпендикуляр к оси
«Oy»
(ось ординат); - полученное числовое значение на оси «Oy» и будет искомым значением.
По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции «y = 2x + 3»
необходимые значения функции «y» для
«x» равным −1; 2; 3; 5.
Запишем полученные результаты в таблицу.
| Заданное значение «x» | Полученное с графика значение «y» |
|---|---|
| −1 | 1 |
| 2 | 7 |
| 3 | 9 |
| 5 | 13 |
Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение «x»,
если значение «y» равно 1; 4; 0; −1.
Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания.
Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси
«Oy».
Запишем полученные результаты в таблицу.
| Заданное значение «y» | Полученное с графика значение «x» |
|---|---|
| −1 | −2 |
| 0 | −1,5 |
| 1 | −1 |
| 4 | 0,5 |
Как проверить, проходит ли график через точку
Рассмотрим другое задание.
Не выполняя построения графика функции
«y = 2x −
», выяснить, проходит ли график
через точки с координатами (0;
− ) и (1; −2).
Запомните!
Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.
Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси
«Ox» вместо
«x», а координату по оси
«Oy» вместо «y») и выполнить арифметические расчеты.
- Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
- Если получится неверное равенство, значит, точка
не принадлежит графику функции.
Подставим в функцию
«y = 2x −
»
координаты точки (0;
− ).
− = 2 · 0
−
− =
−
(верно)
Это означает, что график функции «y = 2x −
» проходит через точку с координатами (0;
− ).
Проверим точку с координатами (1; −2).
Также подставим координаты
в функцию «y = 2x −
».
−2 = 2 · 1 −
−2 = 2 −
−2 = 1 −
−2 = 1 (неверно)
Это означает, что график функции «y = 2x −
» не проходит через точку с координатами (1; −2).
Как найти точки пересечения графика с осями
Рассмотрим задачу.
Найти координаты точек пересечения графика функции «y = −1,5x + 3» с осями координат.
Для начала построим график функции «y = −1,5x + 3» и на графике отметим точки пересечения
с осями.
Для построения графика функции найдем координаты двух точек
функции
«y = −1,5x + 3».
Выберем два произвольных числовых значения для «x» и рассчитаем значение
«y» по формуле
функции. Например, для x = 0 и
x = 1.
| Точка |
Координата по оси «Оx» |
Координата по оси «Оy» |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3 |
| (·)B | 1 | y(1) = −1,5 · 1 + 3 = 1,5 |
Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую.
Тем самым мы построим график функции «y = −1,5x + 3».
Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.
Запомните!
Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью
«Oy»
(осью ординат)
нужно:
- приравнять координату точки по оси
«Ox» к нулю
(x = 0); - подставить вместо «x» в формулу функции ноль и найти значение
«y»; - записать полученные координаты точки пересечения с осью
«Oy».
Подставим вместо «x» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.
y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3
(0; 3) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3»
c осью «Oy».
Запомните!
Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью
«Ox»
(осью абсцисс)
нужно:
- приравнять координату точки по оси
«Oy» к нулю
(y = 0); - подставить вместо «y» в формулу функции ноль и найти значение
«x»; - записать полученные координаты точки пересечения с осью
«Oy».
Подставим вместо «y» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.
0 = −1,5x + 3
1,5x = 3 | :(1,5)
x = 3 : 1,5
x = 2
(2; 0) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3»
c осью «Ox».
Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните
«правило противоположности».
Важно!
Если нужно найти координаты точки пересечения графика с осью
«Ox», то приравниваем
«y» к нулю.
И наооборот. Если нужно найти координаты точки пересечениа графика с осью
«Oy»,
то приравниваем «x» к нулю.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
19 мая 2023 в 9:06
Михаил Лысенко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Михаил Лысенко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
0
Спасибо
Ответить
19 мая 2023 в 13:04
Ответ для Михаил Лысенко
Борис Гуров
Профиль
Благодарили: 1
Сообщений: 28
Борис Гуров
Профиль
Благодарили: 1
Сообщений: 28
Добрый день!
Это квадратичная функция. Они разобраны в другом уроке
0
Спасибо
Ответить
Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.
Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.
Число k называется угловым коэффициентом прямой.
Свойства линейной функции
- Область определения функции – множество всех действительных чисел. То есть в данную формулу мы можем подставлять любое значение х.
- Областью значений также является множество всех действительных чисел.
- Функция не имеет ни наибольших, ни наименьших значений.
- При k – положительном, угол наклона к оси х острый, другими словами – график функции возрастает.
- При k отрицательном угол наклона к оси х тупой, то есть график функции – убывает.
- При k=0 прямая параллельна оси х.
- Частный случай линейной функции: y=kx, где число b=0, эту функцию называют прямой пропорциональностью, график такой функции проходит через начало координат.
Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.
Пример №1
Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:
Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).
Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:
у=2х – 1=2×0 – 1= –1;
у=2х – 1=2×3 – 1= 5.
Вписываем в таблицу значения у:
Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами А(0; –1) и В(3;5), проводим через эти две точки прямую.
Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент – положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.
Пример №2.
Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.
По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).
Пример №3
Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:
Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.
Задание OM1106o
На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
ГРАФИКИ:
КОЭФФИЦИЕНТЫ:
1) k>0, b<0 2) k>0, b>0 3) k<0, b<0
ассмотрим коэффициенты под №3. Если k<0, значит, график имеет тупой (>900) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b<0, то это говорит, что график пересекает ось ординат (Оу) ниже нуля. Эти два условия реализованы на графике В. Итак, получаем для ответа пару: В–3.
У двух других пар коэффициентов (№№ 1 и 2) зафиксировано, что k>0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом (<900). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.
В 1-й паре коэффициентов b<0. Это означает, что соответствующий им график должен пересекать ось Оу в точке ниже начала координат. Таковым является график Б, и мы получаем пару Б–1. В паре коэффициентов №2 b>0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.
Ответ: 213
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1103o
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции:
A) y = 3x
Б) y = -3x
В) y = (1/3)x
Графики:
Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:
y = kx + b
График данной функции зависит от k и b.
- если k < 0, то функция убывает, то есть линия идет сверху вниз, как на третьем рисунке
- если k > 0, то функция возрастает, то есть линия идет снизу вверх, как на первых двух рисунках
- коэффициент b определяет сдвиг по оси y, если b < 0, то прямая пересекает ось y ниже 0 в точке y = b, если b > 0, то выше ноля в точке y = b
- если k >1, то прямая идет круче, чем обычная y = x (как на втором и третьем графике), если k <1 , то положе, как на примере рисунка №1
Следовательно, графику y = 3x соответствует рисунок 2, так как прямая идет снизу вверх и она более крутая, чем кривая на рисунке 1, которому соответствует функция y = (1/3)x.
Графику 3 соответствует функция y = -3x так как k = -3 < 0, и график идет сверху вниз.
Ответ:
A) 2
Б) 3
В) 1
Ответ: 231
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Даниил Романович | Просмотров: 6.2k
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Линейная функция записывается в виде «y = mx + b», где значения букв должны быть подставлены или найдены, то есть: «x» и «y» — координаты прямой, , «m» – угловой коэффициент (угол наклона прямой к оси х), «b» – свободный член (точка пересечения прямой с осью y). Если вы хотите научиться применять линейную функцию, прочтите эту статью.
-
1
Уясните задачу. Перед тем, как приступить к решению, вы должны внимательно прочитать задачу для уяснения поставленного вопроса. Например: Сумма на вашем банковском счете растет линейно. Если после 20 недель на Вашем счете лежит $560, а после 21 недели — $585, выразите в линейной форме зависимость накопленной суммы от количества прошедших недель.
-
2
Подумайте, как представить решение в виде линейной функции. Запишите y = mx + b и учтите, что «m» – угол наклона, а «b» – точка пересечения. Заметьте, что «сумма на вашем банковском счете растет линейно», то есть значение накопляемой суммы за определенный период времени постоянно и поэтому график в этом случае — прямая. Если накопляемая сумма разная в определенной период времени, то график не может быть прямой.
-
3
Найдите угловой коэффициент (наклон) прямой. Для этого вычислите изменение значения функции (в данном случае — сумма на счету). Если через 20 недель сумма равна $560, а еще через неделю — $585, то вы заработали $25 ($585 — $560 = $25) за 1 неделю.
-
4
Найдите точку пересечения с осью у. Чтобы найти точку пересечения с осью у, или «b» в y = mx + b, необходимо знать стартовую сумму на счету. Если у вас $560 после 20 недель и вы знаете, что зарабатываете $25 за каждую неделю, то умножьте 20 х 25 и выясните, сколько денег вы заработали за 20 недель. 20 х 25 = 500, то есть вы заработали $500 за 20 недель.
- Так как на счету $560 после 20 недель и за этот срок вы заработали $500, то начальная сумма на счету: $560 — $500 = $60.
- Таким образом «b» (или или точка пересечения с осью у) = 60.
-
5
Записываем уравнение в виде линейной функции. Теперь, когда вам известно, что m= 25 (прирост $25 за 1 неделю), а b=60, Вы можете подставить их в уравнение:
- y = mx + b
- y = 25x + 60
-
6
Проверьте уравнение. В этом уравнении «у» — количество заработанных (накопленных) денег, а «х » — количество недель. Попробуйте подставить в уравнение различное количество недель, чтобы вычислить накопленную сумму. Попробуйте два примера:
- Сколько денег вы заработаете в течение 10 недель? Для этого подставьте «10» вместо » х» в уравнение.
- y = 25x + 60 =
- y = 25(10) + 60 =
- y = 250 + 60 =
- y = 310. За 10 недель вы заработаете $310.
- Сколько недель вам нужно работать, чтобы накопить $800? Подставьте «800» вместо «у» и найдите «х».
- y = 25x + 60 =
- 800 = 25x + 60 =
- 800 — 60 =
- 25x = 740 =
- 25x/25 = 740/25 =
- x = 29.6. Вы можете заработать $800 в течение примерно 30 недель.
Реклама
- Сколько денег вы заработаете в течение 10 недель? Для этого подставьте «10» вместо » х» в уравнение.
-
1
Запишите уравнение. Допустим, вам дано уравнение 4y +3x = 16.
-
2
Выделите переменную у. Перенесите переменную х на одну сторону уравнения. Помните про изменения знака при переносе за знак равенства. То есть » 3x», перемещенная в другую часть уравнения, станет «-3х «. Уравнение должно выглядеть как:
- 4y + 3x = 16 =
- 4y + 3x — 3x = -3x +16
- 4y = -3x +16
- 4y + 3x = 16 =
-
3
Разделите все члены уравнения на коэффициент при у. Если при у коэффициента нет, то ничего делать не нужно. Если есть коэффициент, то нужно разделить каждый член уравнения на это число. В нашем случае коэффициент при у — это 4, так что делим 4у, — 3x, и 16 на 4, чтобы получить окончательный ответ в виде линейной функции.
- 4y = -3x +16=
- 4/4y = -3/4x +16/4
- y = -3/4x + 4
-
4
Определите члены уравнения. Если вы используете уравнение для построения графика, то «у» представляет собой координаты у , «-3/4» – угловой коэффициент, «х» — координаты х, «4» – координата пересечения с с осью у.
Реклама
-
1
Запишите уравнение в виде линейной функции. Во-первых, просто напишите y = mx + b. Допустим, дана следующая задача: Найти уравнение прямой, у которой угловой коэффициент = 4 и она проходит через точку (-1,-6)
-
2
Подставьте значения. «m» — угловой коэффициент = 4, «у» и «х » – координаты данной точки. В этом случае, «х» = -1 и «у» = -6. «b» — координата пересечения с осью у (она нам неизвестна).
- y = -6, m = 4, x = -1 (данные значения)
- y = mx + b (уравнение)
- -6 = (4)(-1) + b
-
3
Найдите координату пересечения с осью у.
- -6 = (4)(-1) + b
- -6 = -4 + b
- -6 +4 = b
- -2 = b
-
4
Напишите уравнение . Теперь, когда Вы нашли «b», вы можете записать уравнение в виде линейной функции:
- m = 4, b = -2
- y = mx + b
- y = 4x -2
Реклама
-
1
Запишите две точки. Пусть дана задача: Найти уравнение прямой, которая проходит через точки (-2 , 4) и ( 1 , 2)
-
2
Используйте две точки для вычисления углового коэффициента. Формула нахождения углового коэффициента прямой, которая проходит через две точки: (Y2 — Y1) / (X2 — X1). Здесь X1 и Y1 — координаты первой точки (-2,4), а X2 и Y2 — координаты второй точки (1,2). Теперь подставьте их в формулу:
- (Y2 — Y1) / (X2 — X1) =
- (2 — 4)/(1 — -2) =
- -2/3 = m
- Угловой коэффициент = -2/3.
-
3
Выберите одну из точек для вычисления координаты пересечения с осью у. Не имеет значения, какую точку вы возьмете. Теперь просто подставьте значения в уравнение y = mx + b, где «m» – угловой коэффициент, «x» и «y» – координаты выбранной точки. Находим b:
- y = 2, x, = 1, m = -2/3
- y = mx + b
- 2 = (-2/3)(1) + b
- 2 = -2/3 + b
- 2 + 2/3 = b, или b = 8/3
-
4
Подставьте найденные значения в исходное уравнение. Теперь, когда вам известно, что угловой коэффициент =-2/3, а свободный член = 2 2/3 , просто подставьте их в исходное уравнение для прямой.
- y = mx + b
- y = -2/3x + 2 2/3
Реклама
-
1
Запишите уравнение. Допустим, дано уравнение y = 4x + 3.
-
2
Начните график с точки пересечения с осью у. Свободный член в нашем примере = «+3», то есть положительная величина. Это означает, что прямая пересекает ось у в точке (0 ,3).
-
3
Используйте угловой коэффициент для вычисления координаты другой точки на прямой. Угловой коэффициент =4 и это означает, что при росте координаты у на 4 единицы, координата х увеличивается на 1 единицу. Соответственно, если вы начинаете в точке (0,3), то следующая точка на прямой — (1,7).
- Если угловой коэффициент – отрицательная величина, то следующая точка лежит ниже точки пересечения прямой с осью у.
-
4
Соедините две точки. Теперь все, что вам нужно сделать, это провести прямую линию через эти две точки, и вы получите график линейной функции. Вы можете продолжать вычислять координаты точек на прямой (взять новую точку как начальную точку и найти следующую).
Реклама
Советы
- Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между положительным направлением оси абсцисс и данной прямой.
- Постарайтесь проверять свои ответы. Если вам даны или вы нашли координаты х и у, подставьте их обратно в уравнение. Например, если х = 10, а именно вы нашли х=10 в уравнении y=x+3, подставьте 10 вместо х. Ответом должна быть соответствующая координата у, у = 13 в точке (х, у) = (10, 13). Y=13 может быть графически представлена в виде прямой горизонтальной линии, пересекающую ось у, с угловым коэффициентом =0 Вертикальная линия будет иметь бесконечный (несуществующий) угловой коэффициент.
- Алгебра – наука, основанная на вычислениях. Вы должны их записывать для наилучшего усвоения процесса.
- Если Вы делаете простейшие вычисления в своем уме, не записывая, то при решении более сложной задачи это может привести к ошибкам.
- При ускорении или уменьшении скорости движения (скорость не линейна), график уравнения такого движения не будет прямой линией. Однако средняя скорость движения за определенный промежуток времени меняется равномерно, и график в этом случае – прямая линия. Поэтому во многих задачах дана именно средняя скорость.
- Используйте калькулятор. Вы сможете найти уравнение прямой с помощью линейной регрессии данных , которая делается автоматически с помощью программы калькулятора. Этим надо пользоваться после того, как вы научитесь делать все это вручную. Калькулятор – удобный инструмент в руках опытного математика.
- Записывайте примеры и практикуйтесь в решении задач для усвоения процесса вычислений.
- Вы произведете впечатление на преподавателя, если поймете, как применить линейное уравнение для любой задачи.
- Декартова система координат, использующаяся для построения графиков уравнений и т.д., была названа в честь французского ученого Рене Декарта. Эта система используется в математике, астрономии, навигации, для освещения пикселей на экранах компьютеров и вообще везде, где требуется определение координат.
- Не забудьте умножить перед сложением, когда работаете с уравнением y = mx + b. То есть не складывайте х + b, а сначала умножьте m на x.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 20 095 раз.
Была ли эта статья полезной?
Линейная функция
Но сначала официальное определение «Функции» – теперь ты его поймешь. Держи в уме: деньги – зарплата, вес – круассаны, расстояние – время.
Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).
То есть, если у тебя есть функция ( y=fleft( x right)), это значит что каждому допустимому значению переменной ( x) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной ( y) (называемой «функцией»).
Что значит «допустимому»?
Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы «одинаково полезны» — не все можно подставить в зависимость.
Например, для функции ( y=sqrt{x}) отрицательные значения аргумента ( x) – недопустимы.
Ну и вернемся, наконец, к теме данной статьи.
Линейной называется функция вида ( y=kx+b), где ( k) и ( b) – любые числа (они называются коэффициентами).
Другими словами, линейная функция – это такая зависимость, что функция прямо пропорциональна аргументу.
Как думаешь, почему она называется линейной?
Все просто: потому что графиком этой функции является прямая линия. Но об этом чуть позже.
Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения ( Dleft( y right)) и область значений ( Eleft( y right)).
Область значений линейной функции
Тут тоже все просто: поскольку функция прямо пропорциональна аргументу, то чем больше аргумент ( x), тем больше значение функции ( y).
Значит, ( y) так же как и ( x) может принимать все возможные значения, то есть ( Eleft( y right)=mathbb{R}), верно?
Верно, да не всегда. Есть такие линейные функции, которые не могут принимать любые значения. Как думаешь, в каком случае возникают ограничения?
Вспомним формулу: ( y=kx+b). Какие нужно выбрать коэффициенты ( k) и ( b), чтобы значение функции y не зависело от аргумента ( x)?
А вот какие: ( b) – любое, но ( k=0). И правда, каким бы ни был аргумент ( x), при умножении на ( k=0) получится ( 0)!
Тогда функция станет равна ( y=0cdot x+b=b), то есть она принимает одно и то же значение при всех ( x):
( y = kx + b:{rm{ }}left[ begin{array}{l}Eleft( y right) = mathbb{R}{rm{ при }}k ne 0\Eleft( y right) = left{ b right}{rm{ при }}k = 0.end{array} right.)
Теперь рассмотрим несколько задач на линейную функцию.
График линейной функции
Как я уже упоминал ранее, график такой функции – прямая линия.
Как известно из геометрии, прямую можно провести через две точки (то есть, если известны две точки, принадлежащие прямой, этого достаточно, чтобы ее начертить).
Предположим, у нас есть функция линейная функция ( y=2x+1). Чтобы построить ее график, нужно вычислить координаты любых двух точек.
То есть нужно взять любые два значения аргумента ( x) и вычислить соответствующие два значения функции.
Затем для каждой пары ( left( x;y right)) найдем точку в системе координат, и проведем прямую через эти две точки.
Проще всего найти функцию, если аргумент ( x=0:yleft( 0 right)=2cdot 0+1=1).
Итак, первая точка имеет координаты ( left( 0;1 right)).
Теперь возьмем любое другое число в качестве ( x), например, ( x=1:yleft( 1 right)=2cdot 1+1=3).
Вторая точка имеет координаты ( left( 1;3 right)).
Ставим эти две точки на координатной плоскости:
Теперь прикладываем линейку, и проводим прямую через эти две точки:
Вот и все, график построен!
Давай теперь на этом же рисунке построим еще два графика: ( y={x} -1) и ( y=-x+2).
Построй их самостоятельно так же: посчитай значение y для любых двух значений ( x), отметь эти точки на рисунке и проведи через них прямую.
Должно получиться так:
Коэффициенты линейной функции
Для начала выясним, что делает коэффициент ( displaystyle b). Рассмотрим функцию ( displaystyle y=x+b), то есть ( displaystyle k=1).
Меняя ( displaystyle b) будем следить, что происходит с графиком.
Итак, начертим графики для разных значений ( displaystyle b:b=-2,text{ -}1,text{ }0,text{ }1,text{ }2):
Что ты можешь сказать о них? Чем отличаются графики?
Это сразу видно: чем больше ( displaystyle b), тем выше располагается прямая.
Более того, заметь такую вещь: график пересекает ось ( displaystyle mathbf{y}) в точке с координатой, равной ( displaystyle mathbf{b})!
И правда. Как найти точку пересечения графика с осью ( displaystyle y)? Чему равен ( displaystyle x) в такой точке?
В любой точке оси ординат (это название оси ( displaystyle y), если ты забыл) ( displaystyle x=0).
Значит достаточно подставить ( displaystyle x=0) в функцию, и получим ординату пересечения графика с осью ( displaystyle y):
( displaystyle y=kcdot 0+b=b)
Теперь по поводу ( displaystyle k). Рассмотрим функцию ( displaystyle left( b=0 right).) Будем менять ( displaystyle k) и смотреть, что происходит с графиком.
Построим графики для ( displaystyle k=-3,text{ -}1,text{ }0,text{ }1,text{ }2:)
Так, теперь ясно: ( displaystyle k) влияет на наклон графика.
Чем больше ( displaystyle k) по модулю (то есть несмотря на знак), тем «круче» (под большим углом к оси абсцисс – ( displaystyle Ox)) расположена прямая.
Если ( displaystyle k>0), график наклонен «вправо», при ( displaystyle k<0) – «влево». А когда ( displaystyle k=0), прямая располагается вдоль оси абсциссс.
Давай разбираться. Начертим новый график ( displaystyle y=kx+b):
Выберем на графике две точки ( displaystyle A) и ( displaystyle B). Для простоты выберем точку ( displaystyle A) на пересечении графика с осью ординат. Точка ( displaystyle B) – в произвольном месте прямой, пусть ее координаты равны ( displaystyle left( x;y right)).
Рассмотрим прямоугольный треугольник ( displaystyle ABC), построенный на отрезке ( displaystyle AB) как на гипотенузе.
Из рисунка видно, что ( displaystyle AC=x), ( displaystyle BC=y-b).
Подставим ( displaystyle y=kx+b) в ( displaystyle BC:BC=y-b=kx+b-b=kx).
Получается, что ( BC = k cdot AC{rm{ }} Rightarrow {rm{ }}k = frac{{BC}}{{AC}} = {mathop{rm tg}nolimits} alpha ).
Итак, коэффициент ( displaystyle k) равен тангенсу угла наклона графика, то есть угла между графиком и осью абсциссс.
Именно поэтому его (коэффициент ( displaystyle k)) обычно называют угловым коэффициентом.
В случае, когда ( k < 0,{mathop{rm tg}nolimits} alpha < 0,) что соответствует тупому углу:
Если же ( displaystyle k=0), тогда и ( {mathop{rm tg}nolimits} alpha = 0,) следовательно ( displaystyle alpha =0), то есть прямая параллельна оси абсцисс.
Понимать геометрическое значение коэффициентов очень важно, оно часто используется в различных задачах на линейную функцию.