Как найти линейный угол двугранного угла это

Как найти угол между плоскостями?

Найти угол между плоскостями можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим.

Геометрический способ

При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Алгебраический способ

Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.

Вот такая:

( displaystyle cos gamma =frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}})

Здесь ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}) — коэффициенты уравнений плоскостей ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) соответственно.

Подробнее про уравнение плоскости ты можешь прочитать в статье «Расстояние от точки до плоскости»!

( displaystyle alpha ): ( displaystyle {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+D=0)

( displaystyle beta ): ( displaystyle {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+D=0).

Какой же способ лучше? Зависит от задачи.

Если нужно найти, скажем, двугранный угол при основании правильной , то проще использовать геометрический способ.

А если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку.

Но тогда нужно очень твёрдо знать формулы и не делать арифметических ошибок при многочисленных подсчётах – ведь придётся искать ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}), а потом ещё и ( displaystyle cos gamma ).

Давай разберём несложную задачу для примера. Мы применим оба метода к одной и той же задаче.

§ 14.Двугранные углы. Угол между двумя плоскостями

14.1. Двугранный угол и его измерение

Рассмотрим два полупространства, образованные непараллельными плоскостями. Пересечение этих полупространств назовём двугранным углом.

Прямую, по которой пересекаются плоскости — границы полупространств, называют ребром двугранного угла, а полуплоскости этих плоскостей, образующие двугранный угол, — гранями двугранного угла.

Двугранный угол с гранями α, β и ребром a обозначают αaβ. Можно использовать и такие обозначения двугранного угла, как K(AB)T; α(AB)β (рис. 94, 95).

Замечание. Иногда говорят, что двугранный угол αaβ образован двумя полуплоскостями α и β, имеющими общую граничную прямую a.

Фигуры, образованные двумя страницами одной книги, двумя соседними гранями куба, — модели двугранного угла.

Для измерения двугранного угла введём понятие его линейного угла. На ребре a двугранного угла αaβ отметим произвольную точку O и в гранях α и β проведём из точки O соответственно лучи OA и OB, перпендикулярные ребру a (рис. 96, а). Угол AOB, образованный этими лучами, называется линейным углом двугранного угла αaβ.

Так как OA ⊥ a и OB ⊥ a, то плоскость AOB перпендикулярна прямой a. Это означает, что линейный угол двугранного угла есть пересечение данного двугранного угла и плоскости, перпендикулярной его ребру.

Вследствие произвольного выбора точки O на ребре двугранного угла заключаем, что двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов. Докажем, что все они равны. Действительно, рассмотрим два линейных угла AOB и A1O1B1 двугранного угла αaβ (рис. 96, б). Лучи OA и O1A1 лежат в одной грани α и перпендикулярны прямой a — ребру двугранного угла, поэтому они сонаправлены. Аналогично получаем, что сонаправлены лучи OB и O1B1. Тогда ∠ AOB = ∠ A1O1B1 (как углы с сонаправленными сторонами).

Таким образом, нами доказана теорема.

Теорема 27. Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла.

Иначе говоря, все линейные углы данного двугранного угла равны между собой.

Это позволяет ввести следующее определение.

Определение. Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Величина двугранного угла, измеренная в градусах, принадлежит промежутку (0°; 180°).

На рисунке 97 изображён двугранный угол, градусная мера (величина) которого равна 30°. В этом случае также говорят, что двугранный угол равен тридцати градусам.

Двугранный угол является острым (рис. 98, а), прямым (рис. 98, б) или тупым (рис. 98, в), если его линейный угол соответственно острый, прямой или тупой.

Заметим, что аналогично тому, как и на плоскости, в пространстве определяются смежные (рис. 99, а) и вертикальные (рис. 99, б) двугранные углы. При этом справедливы и аналогичные теоремы о величинах этих углов.

Попробуйте доказать самостоятельно следующие два утверждения, важные для решения задач.

 На гранях двугранного угла величины α взяты точки A и B; A1 и B1 — проекции этих точек на ребро двугранного угла; AA1= a; BB1 = b; A1B1 = h. Тогда

AB = .

 Если внутри двугранного угла величины α взята точка на расстояниях a и b от граней двугранного угла, то её расстояние от ребра двугранного угла равно .

14.2. Угол между двумя плоскостями

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 100). Если величина одного из них равна ϕ, то величины трёх остальных равны соответственно 180° – ϕ, ϕ, 180° – ϕ (почему?). Наименьшая из этих величин принимается за величину угла между данными пересекающимися плоскостями.

Определение. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных при их пересечении.

Угол между параллельными или совпадающими плоскостями полагается считать равным нулю.

Если величина угла между плоскостями α и β равна ϕ, то пишут: (α; β) = ϕ.

Так как двугранный угол измеряется своим линейным углом, то из выше приведённого определения следует, что угол между пересекающимися плоскостями равен углу между пересекающимися прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения (см. рис. 100). Это означает, что величина угла между плоскостями принадлежит промежутку [0°; 90°].

ЗАДаЧа. Отрезок DM длиной 3,2 перпендикулярен плоскости ромба ABCD (∠ ADC — тупой). Диагонали ромба равны 12 и 16. Найти углы между плоскостями:

а) ABC и MBC; б) AMD и CMD.

Решение. а) Пусть DE — высота ромба ABCD (рис. 101). Тогда по теореме о трёх перпендикулярах ME ⊥ BC и ∠ DEM = ϕ — линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и MBC. Найдём величину этого угла.

По условию задачи DM ⊥ (ABC), поэтому ⧌ MDE — прямоугольный, значит, tg ϕ = . Так как DE — высота ромба ABCD, то DE = , где S — площадь этого ромба. Сторона BC ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника BOC, катеты OB и OC которого равны 6 и 8. Значит, BC =  =  = 10.

Учитывая, что S = •AC•BD = •12•16 = 96, находим: DE =  = 9,6. Тогда tg ϕ =  =  = , откуда ϕ = arctg .

б) Так как отрезок DM — перпендикуляр к плоскости ромба ABCD, то AD ⊥ DM, CD ⊥ DM, значит, ∠ ADC = ψ — линейный угол двугранного угла, образованного пересекающимися плоскостями ADM и CDM. Найдём этот угол.

В треугольнике ACD по теореме косинусов находим

cos ψ =  =  = – ,

откуда ψ = arccos .

Ответ: а) arctg ; б) arccos .

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя не принадлежащими одной плоскости полуплоскостями, имеющими общую границу – прямую а. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями, а общая граница этих плоскостей – ребром двугранного угла.

В реальности мы встречаемся с предметами, которые  имеют форму двугранного угла: двускатные крыши домов, приоткрытая дверь, полураскрытая папка и т. п.

Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи, по которым грани двугранного угла пересекаются плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла.

У каждого двугранного угла сколько угодно линейных углов: через каждую точку ребра можно провести плоскость, перпендикулярную этому ребру; лучи, по которым эта плоскость пересекает грани двугранного угла, и образуют линейные углы.

Все линейные углы двугранного угла равны между собой.

Пример.

Докажем, что если равны двугранные углы, образованные плоскостью основания пирамиды КАИС и плоскостями её боковых граней, то основание перпендикуляра, проведённого из вершины К, является центром вписанной в треугольник АВС окружности.

Доказательство. Прежде всего, построим линейные углы равных двугранных углов.

По определению, плоскость линейного угла должна быть перпендикулярна ребру двухгранного угла.

Следовательно, ребро двугранного угла должно быть перпендикулярно сторонам линейного угла. Если КО перпендикуляр к плоскости основания, то можно провести ОР перпендикулярно АС, ОR перпендикулярно CB, OQ перпендикулярно  АВ, а затем соединить точки Р, Q, R с точкой К. Тем самым, мы построим проекции наклонных РК, QК, RК так, что рёбра АС, СВ, АВ перпендикулярны этим проекциям. Следовательно, эти рёбра перпендикулярны и самим наклонным. И потому плоскости треугольников РОQ, QOК, RОК перпендикулярны соответствующим рёбрам двугранного угла и образуют те равные линейные углы, о которых сказано в условии.

Прямоугольные треугольники РОК, QOК, RОК равны (так как у них общий катет ОК и равны противолежащие этому катету углы). Следовательно, ОР = ОR = OQ. Если провести окружность с центром О и радиусом ОР, то стороны треугольника АВС перпендикулярны радиусам ОР, OR, OQ, а потому являются касательными к этой окружности.

Остались вопросы? Не знаете, как доказать теорему?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Остались вопросы?

Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.