Как найти угол между плоскостями?
Найти угол между плоскостями можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим.
Геометрический способ
При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.
Алгебраический способ
Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.
Вот такая:
( displaystyle cos gamma =frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}})
Здесь ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}) — коэффициенты уравнений плоскостей ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) соответственно.
Подробнее про уравнение плоскости ты можешь прочитать в статье «Расстояние от точки до плоскости»!
( displaystyle alpha ): ( displaystyle {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+D=0)
( displaystyle beta ): ( displaystyle {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+D=0).
Какой же способ лучше? Зависит от задачи.
Если нужно найти, скажем, двугранный угол при основании правильной , то проще использовать геометрический способ.
А если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку.
Но тогда нужно очень твёрдо знать формулы и не делать арифметических ошибок при многочисленных подсчётах – ведь придётся искать ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}), а потом ещё и ( displaystyle cos gamma ).
Давай разберём несложную задачу для примера. Мы применим оба метода к одной и той же задаче.
Вопросы
занятия:
·
введем
понятие двугранного угла;
·
узнаем
о том, как определить линейный угол рассматриваемой геометрической фигуры.
Материал
урока.
Для
начала давайте вспомним, что понимали под углом в планиметрии. Итак, углом
на плоскости мы называлигеометрическую фигуру, образованную двумя лучами,
исходящими из одной точки.
В
стереометрии наряду с такими углами рассматривается еще один вид углов, которые
называют двугранными углами. Но прежде чем мы введем понятие двугранного угла, давайте
вспомним одну из аксиом планиметрии: «любая прямая, проведенная в данной
плоскости, разделяет эту плоскость на две полуплоскости».
Пусть
есть прямая а, которая лежит в некоторой плоскости. Тогда можно указать две
части этой плоскости, каждая из которых вместе с прямой а называется
полуплоскостью.
Прямая
а называется границей для каждой из полуплоскостей. В отличие от планиметрии, в
пространстве две полуплоскости с общей границей прямой а, могут не лежать в
одной плоскости.
Давайте
представим себе, что мы перегнули плоскость по прямой а так, что две
полуплоскости с границей а оказались уже не лежащими в одной плоскости.
Полученная фигура и есть двугранный угол.
Определение.
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя
полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.
Полуплоскости,
образующие двугранный угол, называются его гранями. У двугранного угла
две грани, отсюда и название – двугранный угол.
Прямая
а – общая граница полуплоскостей – называется ребром двугранного угла.
Двугранный
угол, ребро которого есть прямая AB,
а гранями являются полуплоскости α и β, обозначают так . Обратите внимание, две средние буквы в
обозначении – это ребро данного двугранного угла.
Или,
если двугранный угол с ребром AB,
на разных гранях которого отмечены точки C
и D, то двугранный угол называют CABD.
В
обыденной жизни мы часто встречаемся с предметами, имеющими форму двугранного
угла. Представление о двугранном угле нам дают: полураскрытая книга, открытый
ноутбук, двускатная крыша здания, стена комнаты совместно с полом и т.д.
Напомню,
что углы на плоскости измеряются в градусах.
Для
измерения двугранного угла вводится понятие линейного угла. Пусть точка
О лежит на ребре l
двугранного
угла. В каждой грани из этой точки проведем лучи ОА и ОB
перпендикулярно к ребру l.
Угол АОB, сторонами которого
служат лучи ОА и ОB, называется
линейным углом данного двугранного угла.
Определение.
Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого
являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в
его гранях перпендикулярно ребру.
На
рисунке вы видите изображение линейного угла AOB
двугранного угла с ребром l.
Так как ОА перпендикулярно l
и
ОB перпендикулярно l,
то плоскость, в которой лежат лучи ОА и ОB,
перпендикулярна к прямой l.
Таким образом, плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного
угла. Очевидно, двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов.
Верно
следующее утверждение: все линейные углы двугранного угла равны между
собой.
Докажем
это утверждение.
Рассмотрим
два линейных угла А О Б и А один О один Б один двугранного угла,ребро которого
эль. Лучи ОА и О один А один лежат в одной грани и перпендикулярны ребру эль.
Следовательно, они параллельны. Аналогично и лучи ОБ и О один Б один лежат в
одной грани и перпендикулярны ребру эль. Значит, они параллельны.
Отложим
на лучах ОА и О1A1
равные отрезки OM и O1M1
соответственно, а на лучах ОB
и O1B1
– равные отрезки ON и O1N1
соответственно.
Так
как OM равно O1M1
и OM параллельно O1M1,
то четырехугольник OMM1O1
– параллелограмм. Тогда ОО1 равно MM1
и OO1
параллельно MM1
по свойствам параллелограмма.
Так
как ON равно O1N1
и ON параллельно O1N1,
то четырехугольник ONN1O1
– параллелограмм. Тогда OO1
равно NN1
и OO1
параллельно NN1
по свойствам параллелограмма. Отсюда, OO1
равно NN1
и OO1
параллельно NN1.
Видим,
что тогда MM1
равно NN1
и MM1
один параллельно NN1,
т.е. четырехугольник NMM1N1
– параллелограмм. Следовательно, NM
равно N1M1.
Рассмотрим
треугольники OMN и O1M1N1.
Они равны по трем сторонам. Отсюда следует, что угол MON
равен углу M1O1N1.
А значит, и угол АОB равен углу A1O1B1.
Что и требовалось доказать.
Это
утверждение можно доказать и быстрее. Достаточно было при рассмотрении линейных
углов AOB и A1O1B1
заметить, что так как лучи ОА и O1A1
лежат в одной грани и перпендикулярны к прямой OO1,
то они параллельны, а, значит сонаправлены. Точно также лучи ОB
и
O1B1
лежат в одной грани и перпендикулярны к прямой OO1,
следовательно они параллельны, и, значит сонаправлены. Отсюда вытекает, что
угол A1O1B1
равен углу AOB (как углы с
сонаправленными сторонами). Что и требовалось доказать.
Определение.
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного
угла.
Это
говорит о том, что, сколько градусов содержится в линейном угле, столько же
градусов содержится в его двугранном угле.
На
рисунке вы видите изображение двугранного угла, градусная мера которого равна 50°.
Обычно говорят коротко: «Двугранный угол равен 50°».
Различают
следующие виды двугранных углов.
Двугранный
угол называется прямым, если его линейный угол равен 90°.
Двугранный
угол называется острым, если его линейный угол острый, т.е. < 90° (расположен
в промежутке от 0 до 90 градусов).
Двугранный
угол называется тупым, если его линейный угол тупой, т.е. > 90°
(расположен в промежутке от 90 до 180 градусов).
Если
грани двугранного угла лежат в одной плоскости, то он называется развернутым.
В
дальнейшем под двугранным углом будем понимать всегда тот, линейный угол φ
которого удовлетворяет условию 0°<φ<180°.
Рассмотрим
примеры.
Пусть
ABCDA1B1C1D1
– прямоугольный параллелепипед. Тогда угол ADD1
является линейным углом двугранного угла, ребро которого есть прямая DC,
а его грани – полуплоскости, в которых лежат прямоугольники ABCD
и DCC1D1,
так как АD перпендикулярно DC
и DD1
перпендикулярно DC. Угол ADD1
– прямой, следовательно, указанный двугранный угол – прямой.
Двугранным
углом при ребре пирамиды называется двугранный угол, ребро которого содержит
ребро пирамиды. А грани двугранного угла содержат грани
пирамиды, которые пересекаются по данному ребру пирамиды.
Пусть
DABC – правильная треугольная пирамида,
а точка О – середина ребра АC.
Прямая DО перпендикулярна
прямой АС.
Так
как медиана в равностороннем треугольнике ABC
является и высотой. Прямая BО
также перпендикулярна прямой АС. Так как медиана в равнобедренном треугольнике DAC
является и высотой. Значит, угол DOB
есть линейный угол двугранного угла DACB,
ребро которого – прямая AC,
а гранями являются полуплоскости, содержащие треугольники ABC
и DAC.
Подведем
итоги урока. На этом уроке мы познакомились с
понятием двугранного угла. Узнали, что двугранным углом называется фигура,
образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не
принадлежащими одной плоскости. Ввели понятие линейного угла: линейным углом
двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи с общим
началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях
перпендикулярно ребру. А также убедились, что градусной мерой двугранного угла
называется градусная мера его линейного угла и, что все линейные углы
двугранного угла равны между собой.
Что такое двугранный угол
Двугранным углом называют геометрическую фигуру, которая сформирована парой полуплоскостей, выходящие из общей прямой.
Заметим, что угол, измеряемый в градусах, разделяющий пару плоскостей, является минимальным из количества двугранных углов, которые сформированы в результате пересечения плоскостей.
Примечание 1
Важно отметить, что по модели двугранный угол может быть острым и тупым. При этом угол, разделяющий две плоскости, является острым. Это необходимо учитывать в решении задач, чтобы избежать путаницы.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Источник: ru.wikipedia.org
Как найти
В поиске ответов на различные примеры из геометрии следует руководствоваться основными понятиями. Введем несколько обозначений для элементов двугранного угла.
Грани двугранного угла представляют собой полуплоскости, которые образовали данный угол.
Ребро двугранного угла является единой прямой для рассматриваемых полуплоскостей.
В процессе измерения двугранных углов используют величины линейных углов, то есть тех, что образованы при пересечении двугранного угла и плоскости, расположенной под прямым углом к ребру рассматриваемого угла. В результате для поиска величины двугранного угла рекомендуется следовать следующему алгоритму действий:
- следует определить какую-либо точку на его ребре;
- далее под прямым углом к ребру нужно опустить из определенной ранее точки лучи ко всем граням;
- угол, который разделяет изображенные лучи, соответствует величине искомого двугранного угла.
Запишем в табличной форме значения двугранных углов, характерные для правильных многогранников:
В данном случае следует считать (phi) равным (frac{1+sqrt{5}}{2}), то есть золотым сечением.
Виды двугранных углов
Тупой двугранный угол представляет собой такой угол, градусная величина которого превышает значение в 90°.
Тупой двугранный угол:
Источник: rusinfo.info
Прямой двугранный угол является таким двугранным углом, градусная мера которого соответствует 90°.
Прямой двугранный угол:
Источник: rusinfo.info
Острым двугранным углом называют двугранный угол с градусной мерой, равной 90°.
Острый двугранный угол:
Источник: rusinfo.info
Задачи
Задача 1
Имеется геометрическая фигура в виде пирамиды с четырьмя углами и равными между собой ребрами. При этом в основании фигуры расположен квадрат. Требуется определить, чему равен (6cos alpha) , если за (alpha) обозначен угол, разделяющий смежные боковые грани.
Решение
Предположим, что искомая пирамида имеет следующее название SABCD. Пусть S играет роль вершины геометрической фигуры, а ее ребра соответствуют а. Тогда, согласно условию задания, требуется найти угол, разделяющий грани SAD и SCD.
Источник: shkolkovo.net
Построим (CHperp SD). Заметим, что:
(triangle SAD=triangle SCD)
В этом случае AH также играет роль высоты в (triangle SAD). Таким образом, исходя из определения:
(angle AHC=alpha)
Заметим, что (alpha) является линейным углом, разделяющим грани SAD и SCD. При условии квадратного основания в пирамиде запишем следующее:
(AC=asqrt2)
Кроме того, имеет место такое равенство:
CH=AH
Высота AH находится в треугольнике с одинаковыми сторонами, равными а. Таким образом:
(CH=AH=frac{sqrt3}2a)
Воспользуемся теоремой косинусов применительно к (triangle AHC):
(cos alpha=dfrac{CH^2+AH^2-AC^2}{2CHcdot AH} =-dfrac13 quadRightarrowquad 6cosalpha=-2.)
Ответ: -2.
Задача 2
На рисунке изображено пересечение плоскостей, обозначенных за (pi_1) и (pi_2). В результате образуется общая прямая l с точками M и N. Полученные отрезки MA и MB расположены перпендикулярно по отношению к прямой l, а также принадлежат плоскостям за (pi_1) и ( pi_2) соответственно. При этом справедливы следующие равенства: MN = 15; AN = 39; BN = 17; AB = 40. Необходимо вычислить (3cosalpha) , где (alpha) является углом, разделяющим плоскости (pi_1) и (pi_2) .
Решение
Источник: shkolkovo.net
Заметим, что треугольник AMN обладает прямым углом, тогда:
(AN^2 = AM^2 + MN^2)
В результате:
(AM^2 = 39^2 — 15^2 = 36^2)
Прямоугольным также является треугольник BMN. В таком случае:
(BN^2 = BM^2 + MN^2)
Исходя из этого, получим:
(BM^2 = 17^2 — 15^2 = 8^2)
Воспользуемся теоремой косинусов применительно к треугольнику AMB:
(AB^2 = AM^2 + MB^2 — 2cdot AMcdot MBcdotcosangle AMB)
Таким образом:
(40^2 = 36^2 + 8^2 — 2cdot 36cdot 8cdotcosangle AMBqquadLeftrightarrowqquad cosangle AMB = -dfrac{5}{12})
Исходя из того, что угол (alpha), разделяющий плоскости, является острым, а угол (angle AMB) определяется как тупой, получим следующее равенство:
(cosalpha=dfrac5{12})
(3cosalpha = dfrac54=1,25)
Ответ: 1,25.
Задача 3
На рисунке изображен квадрат ABCD. В точке О пересекаются диагонали. Точка S расположена за пределами квадратной плоскости, а (SO perp ABC). Требуется вычислить угол, разделяющий плоскости ASD и ABC, при условии, что SO = 5, а AB = 10.
Решение
Источник: shkolkovo.net
Геометрические фигуры в виде треугольников с прямыми углами (triangle SAO) и (triangle SDO) являются идентичными, согласно паре сторон и углу, который их разделяет:
(SO perp ABC Rightarrow angle SOA = angle SOD = 90^circ)
AO = DO
Записанные выше равенства являются справедливыми, так как в точке O пересекаются диагонали квадрата, а SO служит общей стороной.
(Rightarrow AS = SD Rightarrow triangle ASD)
(triangle ASD) является равнобедренным. Точка K делит пополам AD. В таком случае SK представляет собой высоту в треугольнике (triangle ASD), а OK обозначает высоту в треугольнике AOD. Таким образом, плоскость SOK расположена под прямым углом к плоскостям ASD и ABC. Можно сделать вывод о том, что (angle SKO) является линейным углом, который соответствует искомому двугранному углу.
Источник: shkolkovo.net
Рассмотрим треугольник (triangle SKO):
(OK = frac{1}{2}cdot AB = frac{1}{2}cdot 10 = 5 = SO)
Таким образом, (triangle SOK) является равнобедренным прямоугольным треугольником. Тогда:
(angle SKO = 45^circ.)
Ответ: (45^circ.)
Двугранный угол коротко о главном
Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.
Угол между плоскостями – наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.
Двугранный угол может быть и острым и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ!
- Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла.
- Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.
Прямой двугранный угол – двугранный угол, который равен ( displaystyle 90{}^circ ), то есть тот, у которого линейный угол равен ( displaystyle 90{}^circ ).
Два способа найти угол между плоскостями:
- При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.
Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.
( displaystyle cos gamma =frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}})
Видео
Перпендикулярность плоскостей
В частном случае, когда угол составляет 90°, говорят, что пересекающиеся плоскости перпендикулярны.
Перпендикулярны друг другу пол и стены в доме, смежные грани кубика, стенки коробки. Существует особый признак перпендикулярности плоскостей.
Действительно, пусть плоскости α и β пересекаются по линии n, и в β есть такая прямая m, что m⊥α. Тогда m и n должны пересекаться в какой-нибудь точке К. Проведем в плоскости α через К прямую р, перпендикулярную n. Ясно, что m⊥р, ведь m⊥α. Получается, угол между m и р как раз и является углом между плоскостями α и β, ведь m⊥n и р⊥n. И этот угол равен 90°, ведь m⊥p, ч т. д.
Из доказанного признака вытекает следующее утверждение:
Линейный угол двугранного угла
Как измерить двугранный угол?
Нужно поступить так: из произвольной точки на ребре двугранного угла провести в каждой плоскости по перпендикуляру к этому ребру.
Смотри:
В плоскости ( displaystyle alpha ) провели перпендикуляр ( displaystyle MD) к ребру ( displaystyle AB). Что получилось? Обычный, плоский угол ( displaystyle varphi ).
Вот этот угол и называется: линейный угол двугранного угла ( displaystyle AB).
Зачем этот линейный угол? Запомни, это очень ВАЖНО:
Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла.
То есть математически договорились, что если угол φ будет равен, к примеру ( displaystyle 20{}^circ ), то это будет автоматически означать, что угол ( displaystyle AB) равен ( displaystyle 20{}^circ ).
Вот и ключ к поиску величины двугранного угла и угла между плоскостями:
Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.
Ещё раз немного о названиях.
Прямой двугранный угол – двугранный угол, который равен ( displaystyle 90{}^circ ), то есть тот, у которого линейный угол равен ( displaystyle 90{}^circ ).
Типичные задачи на углы между плоскостями
В школьной практике почти не встречаются задачи с многогранными углами, поэтому достаточно понимания и двугранного угла.
Задание. У тетраэдра ABCD все ребра одинаковы. Найдите величину двугранного угла между плоскостями АВС и АСD.
Решение. Отметим на ребре АС точку М, которая является его серединой:
Заметим, что плоскости АВС и АСD пересекаются по прямой АС. Раз все ребра тетраэдра одинаковы, то ∆АВС и ∆АСD – равносторонние. DM и BM – это медианы в ∆АВС и ∆АСD соответственно, ведь M – середина АС. Но раз треугольники равносторонние, то они одновременно являются и высотами, то есть BM⊥AC и DM⊥АС. Тогда ∠DMB как раз и представляет собой линейный угол двугранного угла BАСD. То есть именно его значение нам и надо вычислить (если, конечно, он окажется не больше 90°).
Пусть ребра тетраэдра имеют длину а. Тогда АМ вдвое короче. Найдем из прямоугольного ∆АМD длину MD:
Задание. Двугранный угол равен φ, меньший 90°. На одной из его граней отмечена точка К, которая находится на расстоянии d от другой грани. Каково расстояние между точкой К и ребром двугранного угла?
Решение. Пусть угол образован плоскостями α и β. Опустим из K два перпендикуляра – один на плоскость β в точку Н, а другой на линию пересечения плоскостей в точку Р:
По условию задачи ∠НРК = φ, а HK = d. Нам же надо найти РК. Это можно сделать, применив определение синуса к ∆РНК:
Задание. Верно ли, что плоскость, пересекающая две параллельные плоскости, образует с ними одинаковые углы?
Решение. Пусть есть параллельные друг другу плоскости α и β, а пересекает их плоскость γ. Линию пересечения α и γ обозначим как n, и такую же линию для β и γ обозначим как m:
Заметим, что m и n располагаются в одной плоскости γ и при этом не пересекаются, в противном случае у α и β нашлась бы общая точка, которой быть не должно. Значит, m||n.
Далее проведем в γ прямую р, перпендикулярную n. Раз m||n и р⊥n, то и р⊥m. То есть р – общий перпендикуляр для m и n.
Далее в α через точку пересечения n и p проведем прямую k, перпендикулярную n. Ясно, что k||β. После уже через точку пересечения m и p построим такую прямую k’, что k||k’:
Так как k||β и k||k’, то прямая k’ будет принадлежать плоскости β (по теореме 6 из этого урока). Так как k||k’, m||n и n⊥k, то по теореме о сонаправленных лучах можно утверждать, что и m⊥k’. Тогда углы, отмеченные на рисунке синим цветом – это и есть линейные углы двугранных углов. Они одинаковы, так как являются соответственными при секущей р и параллельных прямых k и k’. Если же двугранные углы равны, то одинаковы и углы между плоскостями, ч. т. д.
Примечание. Доказанный факт можно сформулировать в виде теоремы:
Она может быть использована при решении некоторых сложных задач.
Задание. В прямоугольном ∆АВС АВ и АС – катеты с длиной 7 и 24 соответственно. Через гипотенузу проведена плоскость β, образующая с плоскостью АВС угол 30°. Каково расстояние между точкой А и плоскостью β?
Решение.
Опустим из А перпендикуляр АН на β. Это и будет искомое нами расстояние. Также в ∆АВС построим высоту AD. Заметим, что раз АН⊥β, то по определению и АН⊥HD. Можно сказать, что HD – это проекция AD на β. Раз прямая ВС перпендикулярна наклонной AD, то она одновременно будет перпендикулярна и наклонной HD по обратной теореме о трех перпендикулярах.
Плоскости АВС и β пересекаются по прямой ВС, АD⊥ВС и HD⊥BC. Получается, что ADH – это как раз угол между АВС и β, и по условию он составляет 30°.
По теореме Пифагора вычислим гипотенузу ВС:
Теперь перейдем к ∆AHD. Он также прямоугольный (∠Н = 90°). Используем для него тригонометрию:
Задание. Известны измерения прямоугольного параллелепипеда. Его длина составляет 90 см, ширина – 20 см, а высота – 60 см. Какова длина диагонали такого параллелепипеда?
Решение. Обозначим измерения буквами а, b, с, а диагональ буквой d. Достаточно просто воспользоваться формулой:
Далее рассмотрим несколько задач, в которых надо найти угол между плоскостями, находящимися в кубе с ребром, чья длина составляет единицу.
Задание. Вычислите угол между гранью ADHЕ и сечением АBGН:
Решение. Заметим, что сечение АВGH содержит прямую АВ. Но АВ – это перпендикуляр к АЕНD. Если АВGH содержит перпендикуляр к ADH, то эти две плоскости перпендикулярны, и угол между ними составляет 90°.
Ответ: 90°.
Задание. Определите угол между гранью ADHE и сечением ADGF:
Решение. Две рассматриваемые плоскости пересекаются по ребру AD. Ребра DH и AD перпендикулярны как стороны квадрата. Так как AD – это перпендикуляр к грани СDHG, то AD⊥DG. Получается, что ∠HDG – это и есть искомый угол. Его величина равна 45°, ведь это угол между диагональю квадрата и его стороной.
Ответ: 45°.
Задание. Вычислите угол между сечениями АВGH и EFCD:
Решение. Пересекаются эти две плоскости по прямой KP, где K и P – точки пересечения диагоналей квадратов BFGH и AEHD. Докажем, что отрезки KG и KC перпендикулярны KP.
Действительно, рассмотрим четырехугольник АВGH. Ребра АВ и GH перпендикулярны граням AEHD и BFGH, поэтому все углы в АВGH – прямые, то есть это прямоугольник и BG||AH. Теперь рассмотрим четырехугольник АВKP. Стороны BK и AP параллельны и равны как половины равных отрезков BG и AH. Значит, BKAP – параллелограмм. Но в нем есть прямые углы ∠В и ∠А, поэтому BKAP – прямоугольник. Аналогично можно показать, что и KGHP – прямоугольник. Это и приводит к выводу о том, что KG⊥KP и PH⊥KP. Поэтому ∠СKG и является искомым углом между сечениями. Он является углом между диагоналями квадрата, то есть равен 90°.
Ответ: 90°.
Задание. Найдите угол между сечением AFH и гранью AEHD:
Решение. Обозначим середину диагонали AH буквой K. Докажем ∠EKF – искомый нами угол:
Действительно, плоскости AHD и AFH пересекаются по прямой AH. EK – медиана в равнобедренном ∆AEH с основанием AH, поэтому она также является и высотой, то есть EK⊥AH. AF и FH – диагонали в равных квадратах ABFE и EFGH, поэтому эти диагонали одинаковы. Значит, ∆AFH – равнобедренный, и поэтому его медиана FK также перпендикулярна основанию AH. Получается, что ∠EKF и является искомым. Вычислить его можно из ∆EKF.
Сначала найдем длину EK. В прямоугольном ∆AEK ∠KAE составляет 45° (угол между диагональю и стороной квадрата), поэтому
Задание. Вычислите угол между гранью BCGF и сечением AFH:
Решение. Вспомним, что в предыдущей задаче мы уже вычислили угол между гранью АЕHD и тем же сечением АFH. Но грани AEHD и BCFG параллельны, поэтому АFH должна пересекаться их под одним и тем же углом. Поэтому ответ этой задачи совпадает с ответом к предыдущей задаче.
Ответ: ≈ 54,74°.
Задание. Чему равен угол между сечениями АСH и AFGH?
Решение. Пусть диагонали СН и DG пересекаются в точке К. Точка K будет принадлежать обоим сечениям, как и точка А. Значит, сечения пересекаются по линии АК. Проведем в сечении AFGH через точку K прямую, перпендикулярны АК и пересекающую FG в какой-то точке Р (позже мы убедимся, что прямая действительно должна пересекать отрезок FG):
Докажем, что ∠CPK и является углом между сечениями. Мы специально провели РК так, что РК⊥АК. Теперь посмотрим на ∆АСН. Он равносторонний, ведь его стороны АС, СН и DH – это диагонали равных квадратов (граней куба). Прямая АК – медиана, ведь K – точка пересечения диагоналей квадрата СDHG, которая делит диагонали пополам. Но раз ∆АСН равносторонний, то его медиана – это ещё и высота, то есть АК⊥РК. Итак, АК⊥СК и АК⊥РК, поэтому ∠CPK – это угол между сечениями. Для его вычисления необходимо найти все стороны в ∆РСК и далее применить теорему косинусов.
Проще всего найти СК. ∆СKD – прямоугольный (∠К = 90°), а ∠СDK составляет 45° (угол между стороной и диагональю в квадрате). Тогда можно записать, что
Отдельно отметим, что отрезки GK и KD имеют такую же длину, ведь диагонали в квадрате (а значит и их половины) одинаковы.
Для нахождения РК покажем отдельно плоскость AFG, то есть красное сечение:
Обозначим ∠KAD как φ. Тогда ∠АКD будет составлять 90 – φ. Углы ∠АКD, ∠АKP и ∠PKG в сумме дают 180°, что позволяет найти ∠PKG:
Получилось, что у ∆АКD и ∆PKG есть по два одинаковых угла (φ и 90°). Значит, они подобны. Составим такую пропорцию:
Теперь можно вернуться ко всему кубу и найти отрезок РС. Здесь снова можно применить теорему Пифагора, но уже к ∆PCG:
Теперь для ∆PCK мы можем записать теорему косинусов
Неожиданно мы доказали, что два построенных сечения перпендикулярны друг другу. Прийти к этому выводу можно было и иначе. Достаточно было бы показать, что прямая CH – это перпендикуляр к сечению AFGD. Попробуйте сделать это самостоятельно.
Ответ: 90°.
Задание. Вычислите угол между сечениями BDHF и ADGF:
Решение. У сечений общими являются точки F и D. Значит, именно по прямой FD они пересекаются.
Опустим в синей сечении BDHF перпендикуляр на FD, который упадет в некоторую точку K:
Докажем, что отрезок GK также перпендикулярен FD. Действительно, BK – это высота в ∆BDF. Но ∆BDF и ∆GDF равны, ведь они одинаковы все три стороны (FD – общая сторона, BF и FG – ребра куба, BD и DG – диагонали на гранях куба). В равных треугольниках высоты должны делить стороны на равные отрезки, поэтому высота, опущенная из G на FD, также разделит FD на отрезки FK и KD. То есть она просто упадет в точку K. Это и значит, что KG – высота. Получается, что нам надо вычислить ∠BKG.
Сначала найдем длину диагоналей BD и BG. Можно применить теорему Пифагора для ∆BFG:
KG имеет ту же длину, ведь KG и BK – одинаковые высоты в равных треугольниках ∆BDF и ∆GDF.
Теперь используем теорему косинусов для ∆BKG:
Мы вычислили двугранный угол, но он оказался больше 90°. Это значит, угол между плоскостями равен не 120°, а 180° – 120°, то есть 60°.
Ответ: 60°.
Сегодня мы познакомились с понятием двугранного угла, научились вычислять углы между плоскостями. В частном случае вместо вычисления угла можно просто доказать перпендикулярность плоскостей.