Как найти линию соединяющую середины диагоналей трапеции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Свойства трапеции: отрезок, соединяющий середины диагоналей

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

Пусть точка М – середина диагонали АС, N – середина диагонали ВD, Р и Q – середины боковых сторон АВ и СD.
Тогда РМ – средняя линия треугольника АВС, РМ параллельна ВС. Это значит, что точка М лежит на средней линии РQ трапеции, поскольку через точку Р можно провести на плоскости единственную прямую, параллельную прямой ВС. При этом $PM=frac{BC}{2}$ .
Аналогично, точка N – середина диагонали BD – также лежит на РQ, то есть на средней линии трапеции, и $QN=frac{BC}{2}$ . Поскольку $PQ=frac{AD+BC}{2}$ , $MN=frac{AD+BC}{2}-PM-QN=frac{AD+BC}{2}-frac{BC}{2}-frac{BC}{2}=frac{AD-BC}{2}$ .

Задача ЕГЭ по теме: «Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований».

Основания трапеции равны 10 и 6. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем PQ – среднюю линию трапеции, PQ = 8. Как мы доказали, отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии.
PM – средняя линия треугольника ABC, значит, PM = 3.
NQ – средняя линия треугольника BCD, значит, NQ = 3.

Тогда MN = PQ − PM − NQ = 8 − 3 − 3 = 2
Ответ: 2.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Свойства трапеции: отрезок, соединяющий середины диагоналей» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

1) лежит на средней линии трапеции,

2) равен полуразности оснований трапеции.

Дано: ABCD — трапеция, AD||BC,

F — середина AC, K — середина BD,

MN — средняя линия трапеции

Доказать: FK∈MN,

$[ FK = frac{{AD - BC}}{2}. ]$

Доказательство:

Так MN — средняя линия трапеции ABCD, то M — середина AB, N — середина CD, и MN||AD, MN||BC.

Рассмотрим угол ABD.

Так как AM=BM и MN||AD, то по теореме Фалеса, отрезки, на которые прямая MN делит BD, также равны, то есть MN пересекает отрезок BD в его середине, то есть в точке K.

Аналогично, для угла BAC:

AM=BM, MN||AD, следовательно, по теореме Фалеса прямая MN пересекает отрезок AC в его середине, то есть в точке F.

Таким образом, отрезок, соединяющий середины диагонали трапеции, параллелен основаниям трапеции и лежит на её средней линии.

MK — средняя линия треугольника ABD. Поэтому

$[ MK = frac{1}{2}AD. ]$

MF — средняя линия треугольника ABC. Поэтому

$[ MF = frac{1}{2}BC. ]$

$[ FK = MK - MF = frac{1}{2}AD - frac{1}{2}BC = frac{1}{2}(AD - BC). ]$

Что и требовалось доказать.

Если использовать обозначения AD=a, BC=b, то формула длины отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, примет вид

$[ FK = frac{{a - b}}{2}. ]$

Источник

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Одним из общих свойств трапеции является следующее: отрезок, соединяющий середины диагоналей равен половине разности оснований и лежит на средней линии.

Школьный курс геометрии включает в себя следующую задачу:

Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, является параллельным ее основаниям и равен половине их разности.

Исходные данные:

Трапеция АВCD;
М принадлежит АС, АМ = МС;
N принадлежит BD, BM=ND;

Необходимо доказать следующее:

MN параллельна AD;
MN = (AD-BC)/2.

Доказательство:

Исходя из теоремы Фалеса, средняя линия KF данной трапеции проходит через средины сторон AC и BD, из этого получаем, что MN принадлежит KF, а отрезок MN параллелен стороне AD. Что и следовало доказать.
Для доказательства второй половины задачи воспользуемся свойством средней линии трапеции: средняя линия трапеции является параллельной основаниям и равняется их полусумме.
треугольник АСD:
MF = AD/2;

треугольник BCD:
NF=BC/2.

Исходя из этого, получаем выражение MN = MF- NF. Подставляем в формулу значение отрезков MF и NF:

MN = (AD/2)-(BC/2) = (AD-BC)/2

Теорема доказана.

Источник

Задача решается просто, если построить дополнительные построения в виде двух отрезков. Я имею в виду отрезки КЕ и FP, являющимися продолжениями отрезка EF до пересечения с боковыми сторонами трапеции ABCD.

Понятно, что отрезок КР является средней линией этой трапеции, а отрезки КЕ и FP соответственно являются средними линиями треугольников ACD и BCD. По теореме о средней линии треугольника КЕ = DC/2=1 и FP=DC/2=1, а по теореме о средней линии трапеции KP=(AB+DC)/2=(2+3)/2=2,5. Значит ЕF=КP-(КЕ+FP)=2,5-2=0,5.

Ответ: 0,5.

Источник

math-public:srednyaya_liniya_trapecii

Содержание

Определение

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется
средней линией трапеции.

Свойства средней линии трапеции

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их
полусумме.

Доказательство

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой проведена средняя линия $MN$.

Докажем, что $MNparallel AD$ и $MN=frac{AD+BC}{2}$.

Проведем через точку $M$ прямую $FE$ параллельно $CD$ ($Fin CB, Ein AD$).

Тогда $FCDE$ – параллелограмм ($FCparallel ED, FEparallel CD$).

Следовательно, $FE=CD$, $FC=ED$.

Кроме того $triangle FBM=triangle AME$, по второму признаку равенства ($angle
1=angle 2$, как накрест лежащие, $angle 3=angle 4$, как вертикальные,
$AM=MB$, так как $M$ – середина).

Следовательно, $FM=ME$.

Тогда $FMNC$ и $MNDE$ — параллелограммы ($FM=ME=ND=NC$ и $FEparallel
CD$).

Следовательно, $MNparallel BC$.

Кроме того, из равенства треугольников $triangle FBM=triangle AME$ следует,что $FB=AE$.

Пусть $FB=AE=x$ и $BC=y$.

Тогда $FC=ED=x+y$.

Следовательно, $MN=x+y$.

Кроме того, $BC+AD=BC+AE+ED=y+x+(x+y)=2x+2y$.

Таким образом, $MN=x+y=dfrac{BC+AD}{2}$.

Признаки средней линии трапеции

Пусть отрезок $MN$ соединяет точки на боковых сторонах трапеции. Если $M$ – середина боковой стороны, и $MN$ параллелен основаниям трапеции, то $MN$ – это средняя линия трапеции.
Пусть отрезок $MN$ соединяет точки на боковых сторонах трапеции. Если $MN$ параллелен основанием трапеции и равен их полусумме, то $MN$ – средняя линия трапеции.

Доказательство

Первый пункт теоремы является прямым следствием теоремы Фалеса.

Докажем второй пункт теоремы.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой на боковых сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно, и при этом $MN=dfrac{AD+BC}{2}$.

Докажем, что тогда $MN$ – средняя линия трапеции $ABCD$.

Предположим противное, то есть $MN$ – не средняя линия данной трапеции.

Если ровно одна из точек $M$ или $N$ является серединой, то по первому пункту теоремы $MN$ – это средняя линия, так как $MN$ параллельна основаниям трапеции.

Пусть точки $M$ и $N$ – не середины боковых сторон.

Тогда пусть $M’N’$ – средняя линия трапеции.

Следовательно, $M’N’=frac{BC+AD}{2}=MN$ и $MNparallel BCparallel MN$.

Но тогда $MNN’M’$ – параллелограмм, и, следовательно, $MM’parallel NN’$, что противоречит тому, что $ABCD$ – это трапеция.

Следовательно, $MN$ – средняя линия.

Теорема (об отрезке, соединяющем середины диагоналей трапеции)

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен
полуразности ее оснований.

Доказательство

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой точки $E$ и $F$ – это
середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно.

Докажем, что $EF=frac{AD-BC}{2}$.

По теореме Фалеса средняя линия трапеции $MN$ делит диагонали $AC$ и $BD$ пополам, то есть точки $E$ и $F$ лежат на средней линии.

Тогда $ME$ и $FN$ – это средние линии треугольников $triangle ABC$ и $triangle DBC$.

Следовательно, если обозначить $BC=2x$, то $ME=FN=x$.

Тогда $EF=frac{2x+AD}{2}-x-x=frac{AD-2x}{2}=frac{AD-BC}{2}$.

math-public/srednyaya_liniya_trapecii.txt

· Последнее изменение: 2022/01/14 16:52 —

mesuslina

Источник