Как найти линию в полярной системе координат



4.6. Как построить линию в полярных координатах?

Собственно:

– Сначала нужно построить полярную систему координат: отметить полюс, изобразить полярную ось и указать

масштаб. Впрочем, этот пункт можно выполнить позже.

– Определяем область определения функции – угловые секторы, в которых линия существует, и в которых нет. Тонко прочерчиваем

соответствующие угловые направления (прямые и / или лучи, разграничивающие эти секторы). Лучше пунктиром.

– В большинстве случаев потребуется найти десяток-другой точек, принадлежащих линии. Но иногда можно обойтись меньшим количеством, а то и вовсе

отделаться схематическим чертежом.

– На следующем шаге следует прочертить угловые направления точек (тонкие прямые) и отметить на них найденные точки. Как это сделать с помощью

каменного топора транспортира, циркуля и линейки, я подробнейшим образом объяснил выше.

– И, наконец, отложенные точки нужно аккуратно-аккуратно соединить линией (линиями).

Отработаем алгоритм на более основательных типовых задачах:

Задача 120

Построить по точкам линию, заданную в полярной системе координат уравнением ,

рассматривая значения угла с интервалом в  рад. Найти уравнение линии в

прямоугольной системе координат.

Решение: найдём область определения. Поскольку полярный радиус неотрицателен, то:
Неравенство опять же удобно решить графически. Мысленно либо на черновике изобразите график косинуса (см. Приложение

Тригонометрия) и прямой . Что означает неравенство ? Оно означает, что нас

устраивает та часть косинусоиды, которая не ниже прямой .

График косинуса полностью удовлетворяет этому условию, поэтому  может принимать

любые значения, и нам предстоит «перепахать» весь круг от 0 до , причём, по

условию сделать это требуется строго с интервалом в  рад. (22,5 градусов).

Ложку в зубы, калькулятор в руки:

и так далее, пока не будет пройден весь оборот до «двух пи»…., но хочется ли вам сидеть с калькулятором… и ложкой? J Используйте Приложение

Геометрический Калькулятор, который позволит буквально в пару щелчков вычислить все значения !
Вычисления, как правило, не расписывают подробно, а сразу заносят их результаты в таблицу:

Изобразим на чертеже полярную систему координат и угловые направления – тонкие прямые, соответствующие

вышеуказанным углам. Здесь можно опять воспользоваться Геометрическим Калькулятором, где все направления уже прочерчены,

но вы должны быть готовы к самым суровым обстоятельствам

Если у вас под рукой нет ни программы, ни транспортира, ни даже линейки, то используйте мой handmade-продукт –  выполните этот чертёж,

ориентируясь по клеточкам:

(углы проставлены для удобства, и на чистовике их записывать не надо)
До сих пор бережно храню этот листок бумаги, чтобы лет через 10-20 продать его антикварном аукционе J

… Шутки шутками, а оперативная память моего первого компьютера ZX Spectrum составляла 32 килобайта. КИЛОбайта. При этом программисты умудрялись

заталкивать туда аркадные игры с сотнями экранов и отличной графикой (по меркам 8-разрядных машин, конечно). …А ведь с той поры прошло немногим

больше двух десятилетий.

После ностальгических воспоминаний отметим найденные точки на чертеже и аккуратно соединим их линией:

Напоминаю, что одинаковые значения радиуса эффективнее засекать циркулем,
а слишком малые значения для углов   допустимо отметить и «на глазок».

Данная кривая называется кардиоидой. Найдём её уравнение в декартовой системе координат. Для этого используем знакомый приём – домножим обе части

уравнения  на «эр»:

И по формулам перехода к прямоугольным координатам ,   получим:

Перенесём «икс» налево и возведём обе части в квадрат:

Дальнейшее возведение левой части в квадрат только усложнит запись, поэтому результат целесообразнее оставить в таком виде.
Из полученного уравнения следует, что кардиоида – это алгебраическая линия 4-го порядка, и обратите

внимание, насколько сложной получилась её формула по сравнению с полярной системой координат. Алгебраическим линиям 3-го, 4-го, 5-го, 6-го и высших

порядков посвящены серьёзные исследования, и желающие без труда могут отыскать море информации по данной теме. Хорошая тема для курсовика, кстати,

или реферата. Ну а я, как обычно, предлагаю полезную и здоровую пищу на каждый день:

Задача 121

Линия задана уравнением  в полярной системе координат. Треба:

1) построить линию по точкам, придавая  значения через интервал , начиная
с  и заканчивая ;

2) найти уравнение линии в декартовой системе координат;

3) определить вид кривой.

Типовая формулировка, предвещающая час (а то и больше) усердного пыхтения,
а нередко и чертыханья студента. Но только не того, кто прочитал эту книгу! Примерный образец оформления задачи в конце урока.

Рассмотрим ряд других важных особенностей решения:

Задача 122

Линия задана уравнением  в полярной системе координат. Требуется:

1) построить линию по точкам, начиная от  до  и придавая  значения через

промежуток ;

2) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат;

3) назвать линию, найти координаты фокусов и эксцентриситет.

Решение: 1) найдём область определения: .
Заметьте, что ноль в знаменателе нас тоже не устраивает, и поэтому неравенство строгое. Перенесём косинус направо:   и развернём избушку – к нам передом, а к лесу задом:

Неравенство несложно решить аналитически, но для лучшего

понимания я опять воспользуюсь графическим методом. Мысленно или на черновике изобразим графики , при этом нас будет интересовать только один период – от  до :

Условию  удовлетворяет та часть синусоиды, которая расположена ПОД прямой .

То есть, в нашем распоряжении оказываются почти все значения угла за исключением «макушки», расположенной на симметричном отрезке .
Таким образом, . Арккосинус  составляет примерно , поэтому из

рассмотрения исключаем углы  и . Заполним расчётную таблицу с прочерками в соответствующих ячейках:

Изобразим полярную систему координат и лучи  , между которыми нет точек линии. Прочертим угловые направления найденных точек и с помощью циркуля сделаем засечки. Аккуратно соединим отмеченные

точки линией (точки, соответствующие углам , не вместились на

чертёж):
2) Найдём уравнение линии в прямоугольной

системе координат. Судя по всему должна получиться гипербола. Избавляемся от дроби:

Используем формулы перехода

и дальнейшее знакомо из задач с линиями второго порядка:
   
 – искомое

уравнение.

3) Данная линия представляется собой гиперболу с центром симметрии в точке , действительной полуосью , мнимой полуосью .
Вы спрОсите: «но в полярной же системе координат прорисовалась только одна ветвь гиперболы, поэтому не ошибочно ли сейчас говорить

о целой гиперболе?». Не ошибочно! И вот по какой причине: если подразумевать обобщённую полярную систему координат с отрицательными значениями «эр», то при значениях угла из интервала  прорисуется левая ветвь! Желающие могут провести самостоятельную проверку и анализ этого факта. Я не сторонник и даже

противник обобщенных полярных координат, но в данном случае всё получается ловко и очень хитро – можно как бы и не оговариваться о том, что на

чертеже только одна ветвь гиперболы.

Вычислим координаты фокусов и эксцентриситет. По условию уравнение не нужно приводить к каноническому виду, а значит, требуемые вещи проще найти напрямую – с учётом параллельного переноса гиперболы, к тому же, она не повёрнута.

Вычислим значение  и поправкой на параллельный перенос в точку  найдём фокусы:

Эксцентриситет:

Готово.  Педантичные люди могут ещё записать развёрнутый ответ.

Заключительное задание для самостоятельного решения:

Задача 123

Линия задана уравнением  в полярной системе координат. Требуется:

1) построить линию по точкам, начиная от  до  и придавая  значения через

промежуток ;

2) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат и определить её вид;

3) привести уравнение к каноническому виду и выполнить чертёж в прямоугольной системе координат. Найти фокусы кривой и её эксцентриситет.

Внимательно проанализируйте, что и в каком порядке требуется выполнить по условию. Сам много раз «налетал» – краем

глаза показалось одно, а нужно совсем другое. В образце решения приведение уравнения линии 2-го порядка к

каноническому виду выполнено строгим академическим способом.

Когда удобно использовать полярные координаты? Ну, конечно, когда мы имеем дело со всевозможными окружностям, дугами, кругами, эллипсами, спиралями

и т.д. А причина простА  – уравнения получаются простые.

На основе полярных координат плоскости базируются цилиндрические и сферические координаты пространства. В частности, угловые

величины широко используются в воздушной навигации и астрономии. Действительно, представьте земной шар (а если строго, эллипсоид),

эллиптические орбиты планет и вы поймёте, что «распиаренная» прямоугольная система координат как-то здесь совсем «не в тему».

5.1.1. Понятие плоскости в пространстве

4.5. Полярная роза

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Линия в полярной системе координат

Краткая теория

---

В полярной системе координат точка задается полярным углом φ и полярным радиусом r.

φ — угол, отсчитываемый от полярной оси в положительном направлении (против часовой стрелки)

r — расстояние от заданной точки до полюса

Если совместить начало декартовых координат с полюсом, а ось абсцисс с полярной осью, то между полярной и декартовой системой координат может быть установлена однозначная связь.

Пример решения задачи

---

Задача

Линия задана
уравнением

 в полярной
системе координат. Требуется:

Решение

Построение линии по точкам

Построим линию по
точкам, предварительно заполнив таблицу значений r и j:     

1	0	1	9	0,556
2		0,924	8,772	0,570
3		0,707	8,121	0,616
4		0,383	7,148	0,699
5		0,000	6,000	0,833
6		-0,383	4,852	1,031
7		-0,707	3,879	1,289
8		-0,924	3,228	1,549
9		-1	3	1,667
10		-0,924	3,228	1,549
11		-0,707	3,879	1,289
12		-0,383	4,852	1,031
13		0,000	6,000	0,833
14		0,383	7,148	0,699
15		0,707	8,121	0,616
16		0,924	8,772	0,570
17		1	9	0,556

Используя данные
таблицы, строим линию.

• Отмечаем полюс и указываем масштаб.
• С помощью транспортира прочерчиваем
  угловые направления
• Циркулем и линейкой отмечаем найденные
  точки
• Отложенные точки соединяем линией

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

График в полярной
системе координат имеет вид: 

Уравнение линии в декартовой прямоугольной системе координат

Найдем уравнение
данной линии в декартовой системе координат:

Подставляя в исходное
уравнение в полярных координатах, получаем:

Полученная линия
-эллипс

Полярная система
координат на плоскости определяется
заданием некоторой точки О, луча ОР,
исходящего из этой точки, и единицы
масштаба. Точка О называется полюсом,
а луч ОР – полярной осью.

Пусть M
– произвольная точка плоскости. Обозначим
через r
и
ее расстояние от полюса и угол,
отсчитываемый от полярной оси против
часовой стрелки до направления ОМ. Эти
числа называются полярными координатами
точки М, причем величинаr
называется полярным радиусом, а
— полярным углом точки М. По определению
величинаЗадание пары чиселоднозначно
определяет точку М на плоскости.

Если ограничить
изменение угла
пределами
то и обратно каждой точке плоскости
однозначно соответствует пара чисел
(r,).Исключение
составляет только полюс О, для которого
r
= 0, а угол неопределенный.

На практике обычно
обобщают понятие полярных координат.
Для этого углы ,отсчитываемые от
полярной оси по часовой стрелке, считают
отрицательными и допускают, что —
При этом, правда,
различным парам чисел
будут
соответствовать одни и те же точки
плоскости (здесьn
– любое целое число). Однако это не
приводит к каким-либо противоречиям.

Если выбрать
декартову систему координат так, чтобы
ее начало О совпадало с полюсом полярной
системы, а ось ox
шла по полярной оси ОР, то между полярными
координатами (r,
)
и декартовыми координатами (x,y)
для каждой точки М будет осуществляться
следующая связь:

(6.1.1)

(6.1.2)

Из этих формул
следует, что

(6.1.3)

Замечание:
Формула
определяет два угла
(в пределах от 0 доФормулы (6.1.3) уточняют, какой из этих
углов следует выбрать. Из формулы
вытекает, что надо брать тот угол
для которогоимеет тот же знак, что иx.

Пример 1.
Построить точки, заданные своими
полярными координатами:

A(3;

—

D(2;0).

Решение:
Для построения точек A,
B
и С из полюса О проведем лучи под углом
—и на них откладываем отрезки длины 3, 2,
1 соответственно. ТочкуD
откладываем на полярной оси на расстоянии
2 от полюса.

Пример 2.
Построить линию
в полярной системе координат.

Решение:
Построим
эту линию по точкам, задавая углу
определенные значения и получая значенияr
из уравнения .

Если

Если далее
рассматривать углы из промежутка
то значенияr
будут отрицательными, так как в этом
промежутке
Это означает, что в области нет точек
данной линии.

Если

Запишем полученные
данные в таблицу

Заметим,
что последние четыре значенияr
в таблице можно было получить, если
рассмотреть отрицательные значения
угла
,
соответственно,—;———.
Далее из полюса проводим лучи и откладываем
на них соответствующие значенияr.
Соединяя полученные точки плавной
линией, строим заданную кривую. Построенная
кривая является окружностью радиуса 1
с центром в точке (1,0), лежащей на полярной
оси.

Пример 3.
Построить
линию, заданную уравнением
перейдя в полярную систему координат.

Решение:
Преобразуем данное уравнение, используя
формулы (6.1.1):

,получим:

Построим эту линию
по точкам. Так как
то

Для вычисления
значений r
составляем таблицу:

Далее из полюса
проводим лучи и откладываем на них
соответствующие значения r.
Соединим полученные точки плавной
линией. Построенная кривая (см. рис.40)
также является окружностью радиуса 2 с
центром в точке

Соседние файлы в предмете Математика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

  03.03.20154.96 Кб8Содержание OneNote.onetoc2

• #

Содержание:

Полярные координаты. параметрические уравнения линии

Полярные координаты

Основная идея метода координат состоит в том, что положение точки на плоскости однозначно определяется с помощью двух чисел. Конкретный геометрический смысл этих чисел дает ту или иную систему координат. Наиболее важной после прямоугольной системы, исключительно употреблявшейся нами до сих пор, является полярная система координат, к рассмотрению которой мы и переходим.

Возьмем на плоскости точку О, которую назовем полюсом. Проведем из полюса О направленную полупрямую Ох, называемую полярной осью (рис. 41).

Пусть М — произвольная точка плоскости. Соединим точку М с полюсом О отрезком ОМ. Длина отрезка ОМ = р называется полярным радиусом точки М, а угол

Точка М с полярными координатами риф записывается следующим образом: М (р, ф), причем на первом месте ставится полярный радиус р, а на втором — полярный угол ф.

Что касается значений, принимаемых полярными координатами, то достаточно, очевидно, рассматривать значения р от 0 до и значения ф от 0 до , при этом, как мы условились, угол ф отсчитывается от полярной оси против хода часовой стрелки. Однако в некоторых вопросах приходится рассматривать углы, большие , а также отрицательные углы, т. е. углы, отсчитываемые от полярной оси по направлению движения часовой стрелки.

Связь между прямоугольными и полярными координатами

Рассмотрим переход от полярных координат к прямоугольным и обратно.

Предположим, что полюс полярной системы совпадает с началом прямоугольной системы координат Оху, а полярная ось является положительной полуосью Ох (рис. 42).

Тогда для произвольной точки М имеем

Считая угол ф острым, из прямоугольного треугольника АОМ находим

Полученные формулы справедливы для любого угла ф. Так выражаются прямоугольные координаты точки М через ее полярные координаты. Далее, из этого же прямоугольного треугольника АОМ получаем

Так выражаются полярные координаты точки через ее прямоугольные координаты.

Заметим, что при определении полярного угла ф по tg ф нужно учитывать знаки координат х и у.

Ранее мы видели, что линии могут быть заданы с помощью уравнений, связывающих их текущие прямоугольные координаты. Покажем теперь на простейшем примере, что линии могут определяться и уравнениями относительно полярных координат.

Пример:

Рассмотрим кривую , где а — некоторое положительное число. Эта кривая называется спиралью Архимеда. Для ее построения составляем таблицу соответственных значений ф и р:

По этой таблице наносим точки и соединяем их линией, уточняя, если в этом есть необходимость, положение промежуточных точек (рис. 43).

Параметрические уравнения линии

Иногда бывает удобнее вместо уравнения линии, связывающего прямоугольные координаты , рассматривать так называемые параметрические уравнения линии, дающие выражения текущих координат х и у в виде функций от некоторой переменной величины t (параметра). Параметрические уравнения играют важную роль, например, в механике, где координаты х и у движущейся точки М (х, у) рассматриваются как функции времени (уравнения движения).

Пример:

Выведем параметрические уравнения окружности.

Пусть М — произвольная точка окружности радиуса R с центром в начале координат (рис. 44). В определяемом ею прямоугольном треугольнике АОМ обозначим угол хОМ через t. Тогда, очевидно, будут иметь место равенства

Это и есть параметрические уравнения окружности.

Чтобы получить обычное уравнение окружности, нужно исключить параметр t. Для этого возводим уравнения (1) в квадрат и складываем их:

Пример:

Выведем параметрические уравнения эллипса.

Эллипс с полуосями а и b можно рассматривать как равномерно сжатую вдоль вертикального диаметра окружность радиуса а, где коэффициент сжатия k = b/a. Пусть М (х, у) — точка эллипса, N (X, У) — соответствующая точка окружности (рис. 45), где

За параметр t примем угол, образованный радиусом ON окружности с положительным направлением оси Ох: . Используя формулы (2), имеем

Таким образом, параметрические уравнения эллипса с полуосями а и b есть

Исключив из уравнений (3) параметр получим каноническое уравнение эллипса

Имея параметрические уравнения линии, можно по точкам построить ее.

Пример:

Построить кривую

Решение:

Составляем таблицу значений:

Нанося точки с соответствующими координатами (х, у) на плоскость Оху и соединяя их линией, получим искомую кривую (рис. 46).

Эта кривая— парабола. В самом деле, исключив параметр t из уравнений (4), получим т. е. каноническое уравнение параболы.

Параметрические уравнения циклоиды

Определение: Циклоидой называется кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой линии (рис. 47).

Выведем параметрические уравнения циклоиды, приняв прямую за ось Ох, предполагая, что радиус катящейся окружности равен айв начальном положении движущаяся точка М совпадает с началом координат. За параметр t примем угол поворота (в радианах) подвижного радиуса МС окружности относительно вертикального радиуса КС, где К — точка касания окружности с осью Ох (рис. 47). Так как качение окружности происходит без скольжения, то, очевидно, имеем

Отсюда на основании рис. 47 для координат текущей точки М циклоиды получаем следующие выражения:

Таким образом, параметрические уравнения циклоиды есть

——-

Полярная система координат

Определение 1. Рассмотрим плоскость с прямоугольной декартовой системой координат Оху . Пусть М(х, у) – точка на плоскости, M ≠ 0. Полярными координатами точки М называются числа r − длина ее радиус-вектора (полярный
радиус) и ϕ − угол, образованный радиус-вектором с положительным направлением оси Ох (полярный угол), . Точка О при этом называется
полюсом, а полуось Ох – полярной осью.
Замечание. Зависимость между прямоугольными (х, у) и полярными ( , ) r ϕ
координатами точки М задается в виде:     (1)

Рис.1. Полярные координаты точки.
Полярный полюс О и полярную ось можно выбрать на плоскости и не вводя
прямоугольную систему координат:

Пример 1.

Построим на плоскости линию, заданную уравнением:
− лемниската.
Решение.

Вычислим значения r при различных значениях ϕ :

Проводим лучи из начала координат под углами ϕ к оси Ох и на них откладываем
отрезки длины r , получим :

Рис.3. Лемниската 

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример 2.

а) Построим кривую  − кардиоида. Рассуждая, как в примере 1 получим:




Замечание. Если в определении 1 отбросить требование 0 ≤  ϕ < 2π и не требовать  r > 0, то формулы (1) будут задавать непрерывное отображение точек плоскости (O, r, ϕ) на точки плоскости (x, O, y).

При этом, если r > 0, то векторы сонаправлены, если r<0, то – противоположно направлены:

Тогда, с учетом (1), кривую r= r(ϕ) можно рассматривать как заданную параметрически в виде:
ϕ — параметр.
В этом случае на кривой получаются два дополнительных
лепестка, когда  соответствующие случаю r < 0 (см.пример 10 § 17). Фактически, такая кривая – это параметрическая кривая:
 (см.пример 9 § 30).
На кривой каждый из лепестков проходится дважды и
задается параметрически формулами:
(см.пример 10 § 30).

Пусть r = r(ϕ) – кривая в полярной системе координат, r (ϕ) – непрерывна при . Рассмотрим на плоскости ( x, O, y) криволинейный сектор
Найдем его площадь. Заметим, что сектору Ф
соответствует обычная криволинейная трапеция на плоскости (O, r, ϕ)

Разобьем фигуру Ф на n частичных фигур лучами На плоскости (O, r, ϕ) получаем обычное разбиение
трапеции:

Рассмотрим, например, нижние суммы Дарбу:

Каждое слагаемое в нижней сумме равно площади  обычного кругового
сектора радиуса  
таким образом,
 (2) для нижних сумм и (3)    для верхних сумм Дарбу, где  Суммы (2) и (3) – суммы Дарбу для функции  (см.формулы (5) § 24), поэтому (4)
Пример 3.

Найти площадь ограниченную лемнискатой  (см.пример 1).
Решение.

По формуле (4):
площадь одного лепестка.
Поэтому 
Пример 4.

Найти площадь фигуры ограниченной линиями: и  (вне круга).

Решение. Найдем точки пересечения кривых:     По формуле (4):

Пример 3.

r=2cosϕ. Вычислим 

− окружность радиуса 1 с центром в точке (1; 0).

При изменении ϕ от 0 до 2 π окружность проходится дважды и оба раза против
часовой стрелки, поэтому (см. § 30) найденное значение интеграла задает
удвоенную площадь круга.