Треугольник — геометрическая фигура, составленная из трёх отрезков. Они объединены тремя точками, не
лежащие в единственной прямой. Такие отрезки обычно именуют сторонами, а заданные точки — вершинами.
Средняя линия такого многоугольника — отрезок, объединяющий средины двух сторон.
Во всяком
треугольнике можно проложить три средних линии. В прямоугольном многоугольнике такой отрезок
равняется половине основания. Средняя линия прямоугольного треугольника разделяет его на четыре
прямоугольных треугольника. Существует и признак срединного отрезка треугольника: если отрезок в
многоугольнике пролегает через средину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен ей, тогда
такой отрезок называется средней линией.
Выделяют свойства срединного отрезка:
- Средняя линия равняется половине длины основания и параллельна ему;
- Этот отрезок отделяет треугольник, подобный заданному с коэффициентом 0.5, а его площадь
равняется четверти площади заданной фигуры; - Три средние линии дробят заданный многоугольник на четыре других, эквивалентных друг другу.
Находящуюся по центру фигуру именуют дополнительной.
- Средняя линия треугольника через сторону
- Средняя линия равностороннего треугольника через высоту
- Средняя линия равностороннего треугольника через радиус
вписанной окружности - Средняя линия равностороннего треугольника через радиус
описанной окружности - Средняя линия треугольника через площадь и высоту
- Средняя линия равнобедренного треугольника через боковую
сторону и высоту - Средняя линия равностороннего треугольника через
площадь
Через сторону
Срединный отрезок равняется половине противолежащей стороны. Следовательно, формула выглядит так:
m = a/2
где a — противолежащая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Следовательно, если такая сторона будет равна 50, то срединный отрезок будет равен m = 50/2 = 25. Если же сторона будет равна 20, тогда срединный отрезок
будет рассчитываться так: m = 20/2 = 10.
Средняя линия равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
Срединный отрезок равностороннего многоугольника через радиус вписанной окружности высчитывается
так:
m = r√3
где r — радиус вписанной окружности.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Таким образом, если радиус такой окружности равняется 5, тогда m= 5√3 ≈ 8,66. Если же радиус будет равен, допустим, 9, в таком случае
m = 9√3 ≈ 15,59.
Средняя линия треугольника через площадь и высоту
Срединный отрезок многоугольника равен частному площади и высоты, перпендикулярной этой средней
линии. Таким образом, тождество имеет такой вид:
m = S/h
где S — это площадь, а h — перпендикуляр, ортогональный срединному отрезку.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Если площадь некоторого многоугольника будет равна 25, а перпендикуляр — 5, тогда m = 25/5 = 5. Если
же в качестве площади взять число 60, а в качестве перпендикуляра — 3, получится следующий срединный
отрезок: m = 60/3 = 20.
Средняя линия равностороннего треугольника через высоту
Срединный отрезок равностороннего многоугольника через перпендикуляр высчитывается следующим
образом:
m = h/√3
где h — перпендикуляр равностороннего многоугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
К примеру, если перпендикуляр равностороннего многоугольника равен 5, тогда срединный отрезок будет
такой: m = 5/√3 ≈ 2,89.
Если же перпендикуляр будет равен 10, тогда
срединный отрезок будет около m = 10/√3 ≈ 5,77.
Средняя линия равнобедренного треугольника через боковую сторону и высоту
Срединный отрезок равнобедренного многоугольника через боковую сторону и высоту вычисляется следующим
образом:
m = a2 – h2
где a — боковая сторона, а h — перпендикуляр.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Допустим, если боковая сторона многоугольника равна 5, а перпендикуляр — 3, тогда m = 25 – 9 = 16.
Если же в качестве боковой стороны взять число 8, а в качестве перпендикуляра равнобедренного
многоугольника — 2, в таком случае m = 64 – 4 = 60.
Средняя линия равностороннего треугольника через площадь
Срединный отрезок равнобедренного многоугольника через площадь находится по следующей формуле:
m = 1/4 √(√3/S)
где S — это площадь равностороннего многоугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Допустим, если площадь равностороннего многоугольника будет равна 5, тогда m = 1/4 √(√3/5) ≈ 0,15.
Если выбрать равносторонний многоугольник побольше, к примеру, с площадью 25, в таком случае m = 1/4 √(√3/25) ≈ 0,065.
Средняя линия равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
Срединный отрезок равностороннего многоугольника через радиус описанной окружности высчитывается
так:
m = R√3/2
где R — радиус описанной окружности.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Следовательно, если радиус такой окружности будет равен 15, тогда m = 15√3/2 =12,99. Если в качестве
радиуса взять число 24, в таком случае m = 24√3/2 = 20,78.
Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, который объединяет средины двух сторон представленной
фигуры. Такой термин используется при описании треугольников, четырёхугольников и трапеций. В
некоторых случаях рассматривается вырожденный треугольник, три вершины которого пролегают на
единственной прямой. Треугольник считается одной из основных геометрических фигур, повсюду
применяемых в науке и технике, потому изучение его качеств велось с давних времён.
Что такое средняя линия треугольника
В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии треугольника, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания теоретического материала.
Определение средней линии треугольника
Отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.
- KL – средняя линия треугольника ABC
- K – середина стороны AB: AK = KB
- L – середина стороны BC: BL = LC
Свойства средней линии треугольника
Свойство 1
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон (которую не пересекает) и в два раза меньше этой стороны.
На рисунке выше:
Свойство 2
Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник (в соотношении 1:2), площадь которого в 4 раза меньше исходного.
На рисунке выше:
- △KBL ∼ △ABC (подобие по пропорциональности всех сторон)
- Стороны △KBL в два раза меньше соответствующих сторон △ABC:
AB = 2KB, BC = 2BL, AC = 2KL. - S△ABC = 4 ⋅ S△KBL
Свойство 3
В любом треугольнике можно провести три средние линии.
KL, KM и ML – средние линии треугольника ABC.
Свойство 4
Три средние линии треугольника делят его на 4 равных по площади треугольника.
Признак средней линии треугольника
Отрезок, проходящий через середину одной из сторон треугольника, пресекающий вторую и параллельный третьей стороне, является средней линией этого треугольника.
Пример задачи
Дан треугольник, две стороны которого равны 6 и 8 см. Найдите длину средней линии, соединяющей эти стороны.
Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным, причем известные значения – это длины катетов. Средняя линия, которая соединяет катеты, параллельна гипотенузе и равна половине ее длины.
Мы можем найти гипотенузу, воспользовавшись теоремой Пифагора.
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
BC = 10.
Таким образом, средняя линия LM = 1 /2 ⋅ BC = 1 /2 ⋅ 10 = 5.
Как найти среднюю линию треугольника?
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Понятие треугольника
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
- Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
- Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
- Тупоугольный. Один угол тупой, два других — острые.
Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.
Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.
Свойства треугольников:
- В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
- Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
- Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
- В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Понятие средней линии треугольника
Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.
Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.
Основанием считается сторона, которой параллельна средняя линия.
Как найти среднюю линию треугольника — расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.
Понятие средней линии прямоугольного треугольника
Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.
Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.
В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.
Свойства средней линии треугольника
Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.
Свойства:
- Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.
- Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
- Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.
- Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.
Теорема о средней линии треугольника
Теорема о средней линии треугольника звучит так:
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:
Докажем теорему:
По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC
Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.
(по второму признаку подобия треугольников).
△ABC, то Следовательно, ВС = 2МN. Значит, доказано, что средняя линия равна половине основания.
△ABC, то ∠1 = ∠2 . Так как ∠1 и ∠2 — соответственные углы, то по признаку параллельности прямых MN || BC.
Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.
Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, K, N — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Найти периметр ΔMNK.
Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии, которые образуют треугольник ΔMNK. Найдем их длины по теореме о средней линии:
Ответ: периметр треугольника ΔMNK равен 10.
Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть две средние линии: MN и NP, равные 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов:
Так как MN — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета AC:
Значит, AC = 2MN = 2 × 3 = 6.
Так как NP — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета BC:
Значит, BC = 2NP = 2 × 4 = 8.
Тогда найдем площадь большого треугольника, используя формулу, указанную выше:
S = ½ × 6 × 8 = ½ × 48 = 24.
Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 24.
Средняя линия треугольника — свойства, признаки и формулы
Одним из важных понятий, с помощью которого легко решается целый класс задач по геометрии, является средняя линия треугольника.
Разберём данное понятие, рассмотрим свойства, и научимся правильно решать задачи на эту тему.
Определение и признаки средней линии треугольника
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.
Отрезок, у которого один из концов совпадает с серединой одной из сторон, другой находится на второй стороне, проведённый параллельно третьей стороне, является средней линией треугольника.
Доказательство следует из теоремы Фалеса.
Теорема о средней линии треугольника
Средняя линия треугольника параллельна основанию (третьей стороне) и равна её половине.
Существует три вида доказательств этого положения. Каждое из них базируется на одной из ключевых позиций планиметрии.
Пусть дан треугольник ABC, M – середина стороны AB, N – середина BC.
По определению, MN – средняя линия ΔABC.
Необходимо доказать, что MN II AC, MN = ½AC.
Доказательства
Пусть прямая MK II AC. Тогда по теореме Фалеса MK пересекает сторону BC в её середине. В этом случае отрезок MN лежит на прямой MK.
Следовательно, MN II AC.
Тогда NP – средняя линия по теореме Фалеса, то есть AP = PC.
Так как AMNP – параллелограмм по определению, то AP = MN. Из этого и предыдущего утверждения следует, что длина MN равна ½AC.
Рассматриваются треугольники MBN и ABC. В них угол B является общим,
По второму признаку подобия треугольников ΔMBN ∼ ΔABC. Следовательно, углы BMN и BAC равны.
Поскольку эти углы являются соответственными, то прямые MN и AC параллельны.
Формула MN = ½AC следует из условий
поскольку пропорциональность двух пар сторон влечёт соответствующее отношение для третьей пары сторон.
Рассматривается сумма векторов
Поскольку в результате образуется замкнутая ломаная, то
Отсюда следует, что
Из последнего равенства следуют условия теоремы.
Следствия из теоремы с доказательствами
Следствие №1
Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия ½ и площадью, составляющий ¼ площади заданного треугольника.
По определению стороны AB и BC делятся пополам, поэтому
Из третьего признака подобия вытекает рассматриваемое свойство.
Поскольку площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то получается вторая часть свойства, то есть площадь маленького треугольника относится к площади большого как
Следствие №2
Поскольку MN – средняя линия, то MN II AC, поэтому ∠BMN = ∠BAP, ∠BNM = ∠BCA как соответственные при MN II AC и секущей AB или BC соответственно.
Поскольку MP – средняя линия, то MP II BC, поэтому ∠MPA = ∠BCA как соответственные при MP II BC и секущей AC.
Таким образом: ∠BNM = ∠BCA = ∠MPA.
Так как MN – средняя линия, то сторона MN = ½AC, поэтому MN = AP.
Следовательно, ΔAMP = ΔMBN по второму признаку равенства треугольников.
Равенство остальных пар треугольников доказывается аналогично.
По основному свойству ΔMBN ∼ ΔABC с коэффициентом подобия ½. Так как все полученные маленькие треугольники равны между собой, то каждый из них, следовательно, подобен большому с тем же коэффициентом.
Свойства средней линии треугольника
Теорема и следствия из неё составляют основные свойства средней линии треугольника.
Согласно второму утверждению, вид большого треугольника такой же, как и у маленьких. То есть для равностороннего и равнобедренного треугольников средние линии отсекают равносторонние и равнобедренные треугольники.
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые к тупому углу из вершин острых, располагаются вне треугольника. Поэтому часто рассматривают не саму среднюю линию, а её продолжение. Учитывая подобие получаемых фигур, можно утверждать, что точкой пересечения с продолжением средней линии высота делится на две равные части.
Биссектриса угла треугольника точкой пересечения со средней линией также делится пополам.
Средняя линия прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведённой к гипотенузе.
Остроугольный разносторонний треугольник не имеет средних линий, обладающих подобными характеристиками.
Пример решения задачи
Доказать, что середины сторон произвольного выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
Проводя диагональ четырёхугольника, получают разбиение на два треугольника, в каждом из которых построена средняя линия, параллельная по основной теореме диагонали, как основанию.
Так как две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, то противолежащие стороны образованного средними линиями четырёхугольника параллельны.
Аналогично доказывается параллельность двух других сторон нового четырёхугольника. По определению четырёхугольник, полученный соединением середин сторон заданного четырёхугольника, является параллелограммом.
http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-najti-srednyuyu-liniyu-treugolnika
http://nauka.club/matematika/geometriya/srednyaya-liniya-treugolnika.html
Содержание материала
- Средняя линия треугольника + Задачи по теме
- ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ
- Видео
- Понятие средней линии прямоугольного треугольника
- Средняя линия
- Важные свойства
- Решение задачи
- Формула для расчета
- Примеры решения задач
Средняя линия треугольника + Задачи по теме
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Свойства средней линии треугольника: 1. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине. 2. Средняя линия трeугольника отсекает от него треугольник, подобный данному (с коэффициентом подобия 1/2 ). 3. Три средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника, подобных данному, с коэффициентом подобия 1/2.
Свойство средней линии треугольника является следствием теоремы Фалеса.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ
Задача № 1. Дано: ΔABC; AB = 8 см; BC = 10 см; AC = 12 см; M — середина AB; N — середина BC; L — середина AC. Найти: MN, NL, ML.
Задача № 2.
Задача № 3. ΔABC; K — середина AB; O — середина BC; P — середина AC; PABC = 52 см. Найти: PКOР
Задача № 4.
Это конспект по теме «Средняя линия треугольника + Задачи по теме». Выберите дальнейшие действия:
- Перейти к следующему конспекту:
- Вернуться к Списку конспектов по геометрии
Видео
Понятие средней линии прямоугольного треугольника
Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.
Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.
В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.
Важное свойство
Средняя линия прямоугольного треугольника делит его на четыре прямоугольных треугольника.
Средняя линия
Чтобы понять, как найти середину треугольника, можно воспользоваться обычной линейкой. Для этого необходимо выбрать произвольные две стороны фигуры. Затем отметить на каждой из них точки, отстоящие на одинаковом расстоянии от соответствующих вершин, которые ограничивают данную сторону. Полученные две точки следует соединить, чтобы начертить средний отрезок. Его название является интуитивно понятным каждому, поскольку он соединяет середины двух сторон.
Важные свойства
Существует три основных свойства, которыми обладает рассматриваемый отрезок. Пусть имеется треугольник произвольного типа ABC, в котором точки P и Q лежат на серединах сторон AB и AC соответственно. При таком обозначении отрезок PQ будет средней линией треугольника ABC. Справедливы следующие геометрические свойства:
- Полученный треугольник APQ является подобным исходной фигуре ABC. Доказать это утверждение несложно, если обратить внимание на два факта: во-первых, угол A у обеих фигур является общим, во-вторых, отношение AB/AP равно величине AC/AQ и составляет 2 согласно выполненным геометрическим построениям. Таким образом, выполняется один из признаков подобия.
- Длина средней линии PQ оказывается в два раза меньше, чем сторона BC. Кроме того, оба отрезка параллельны друг другу. Утверждение о равенстве PQ = ½*BC следует из факта подобия треугольников APQ и ABC, коэффициент которых составляет 2. Это равенство также можно доказать, если воспользоваться координатным методом.
- Треугольник APQ имеет в 4 раза меньшую площадь, чем исходная фигура ABC.
Утверждение № 3 из списка справедливо для произвольного треугольника. Для его доказательства следует воспользоваться формулой Герона. Согласно ей, площадь рассматриваемой фигуры может быть вычислена следующим образом:
S = (p*(p-a)*(p-b)*(p-c))^0,5.
Здесь p = (a+b+c)/2 — полупериметр фигуры. Буквами a, b и c обозначены длины ее сторон. Пусть таким же образом обозначаются стороны для треугольника ABC. Тогда для фигуры APQ они будут иметь длины a/2, b/2 и c/2. Полупериметр для APQ составит величину p1 = (a+b+c)/4 = ½*p. Теперь необходимо подставить все известные величины в формулу Герона, получается площадь S1:
S1 = (p1*(p1-a/2)*(p1-b/2)*(p1-c/2))^0,5 = (½*p*(½*p-a/2)*(½*p-b/2)*(½*p-c/2))^0,5 = ¼*S.
Иными словами, площадь треугольника APQ составляет четвертую часть от этой величины для ABC.
Решение задачи
В треугольнике ABC проведен средний отрезок PQ, граничные точки которой P и Q находятся на сторонах AB и AC соответственно. Необходимо с использованием метода координат доказать, что эта линия имеет в два раза меньшую длину, чем сторона BC.
Прежде чем находить решение этой задачи, следует обозначить координаты вершин исходной фигуры. Они будут следующие:
- A (x1, y1);
- B (x2, y2);
- C (x3, y3).
Поскольку точка P делит ровно пополам сторону AB, то для нахождения ее координат необходимо провести следующие вычисления:
P = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2).
Аналогичным образом рассчитываются координаты точки Q:
Q = ((x1+x3)/2, (y1+y3)/2).
Вспоминая формулу для длины вектора, координаты конца и начала которого известны, для средней линии PQ можно произвести следующие вычисления:
PQ = (((x1+x3)/2 — (x1+x2)/2)^2 + ((y1+y3)/2 — (y1+y2)/2)^2)^0,5 = ½*((x3-x2)^2 + (y3-y2)^2)^0,5.
В свою очередь, длина стороны BC равна:
BC = ((x3-x2)^2 + (y3-y2)^2)^0,5.
Из сопоставления этих двух равенств следует искомая формула, которую требовалось доказать:
PQ = ½*BC.
Поскольку в процессе доказательства были использованы произвольные координаты для вершин треугольника, полученный вывод является общим и универсальным для любого типа рассматриваемых фигур.
Формула для расчета
Теорема
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна её половине.
(A_1C_1=frac12AC)
Доказательство
Дано:
(triangle ABC)
(A_1C_1)— средняя линия
Доказать:
(A_1C_1parallel AC)
(A_1C_1=frac12AC)
Рассмотрим (triangle BA_1C_1) и (triangle BAC):
(left{begin{array}{l}angle B;-;общий\frac{BA_1}{BA}=frac{BC_1}{BC}=frac12end{array}right.)
Из этого следует, что треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Следовательно, (angle BA_1C_1=angle BAC) , как соответственные элементы подобных треугольников. Следовательно (A_1C_1parallel AC) по признаку параллельности.
Кроме того, из подобия следует, что (frac{A_1C_1}{AC}=frac12)
Следовательно, (A_1C_1=frac12AC)
Утверждение доказано.
Примечание
Данная формула одинаково работает для любого треугольника: равнобедренного, равностороннего (правильного).
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Задание В треугольнике провели среднюю линию , параллельную. Найти площадь треугольника , если известно, что см, а высота , опущенная на сторону , равна 5 см. Решение В треугольнике (см. рис. 1) средняя линия равна половине стороны , поэтому
Найдем площадь треугольника :
Так как средняя линия отсекает треугольник , площадь которого равна одной четвёртой площади исходного треугольника , то площадь треугольника равна:
Ответ см.
ПРИМЕР 2
Задание В треугольнике провели средние линии см, см и см. Найти периметр треугольника . Решение Так как средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна, то можем найти длины всех сторон треугольника :
см см см
Теперь можно найти периметр треугольника как сумму длин всех его сторон:
см Ответ см.
Теги
Для определения средней линии, и ее длины, вам нужно взять и разделить ту линию которой она параллельна, на два, на картинке как вы видите этой линией является АС. А средней линией МК, которая и есть по своей длине, не что иное, как половина линии АС.
автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Krisonerrr
[647]
8 лет назад
Для этого существует теорема о средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. То есть, тебе будет достаточно знать длину третьей стороны, что бы найти среднюю линию треугольника.
-Irinka-
[282K]
4 года назад
Средняя линия треугольника — это линия, отрезок, который соединяет две стороны треугольника в их серединах.
При этом средняя линия треугольника всегда параллельна третьей стороне и равна 1/2 её длины.
Для того, чтобы найти длину средней линии нужно знать длину 3-ей параллельной линии и разделить её пополам.
moreljuba
[62.5K]
6 лет назад
Средняя линия треугольника по определению выступает в роли прямой, которая параллельна одной из его сторон и в свою же очередь равно половине той стороны, которой она и параллельна. Чтобы определить среднюю линию вам надо поделить параллельную сторону треугольника на 2.
Alexgroovy
[14.6K]
5 лет назад
По определению средняя линия является отрезком, соединяющим 2 стороны треугольника. При этом она параллельна третьей стороне и ее длина равняется ее половине.
Для треугольника ABC:
Длина средней линии MN находится так:
Птичка2014
[25.4K]
6 лет назад
Средняя длина треугольника найти очень легко. Она равна половине основания, которому параллельна. Так что рассчитать ее очень легко — надо основание поделить на два и это получится средняя длина треугольника.
Nelli4ka
[114K]
5 лет назад
Поможет в решении задачи свойство самой средней линии.
Так, она соединяет середины двух сторон, при этом являясь параллельным отрезком по отношению к третьей стороне. Но и это еще не все: средняя линия по длине равна половине третьей стороны, которой она параллельна.
Для этой теории есть свое доказательство:
Нам же останется только узнать, чему равна третья сторона, и поделить найденное значение пополам.
Кстати, за третью сторону по умолчанию берут основание треугольника.
FantomeRU
[13.3K]
5 лет назад
Средняя линия треугольника по определению — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. В геометрии существует теорема, согласно которой средняя линия всегда будет параллельна основанию треугольника. А для того, чтобы высчитать её длину, нужно длину этого основания поделить пополам.
Алиса в Стране
[364K]
6 лет назад
Есть специальная теорема, которая очень просто и доходчиво объясняет и что такое средняя линия треугольника, и как вычислить ее длину.
Средняя линия, это линия параллельная основанию треугольника, а длина ее равна 1/2 этого основания.
Galina7v7
[120K]
7 лет назад
Пусть дан треугольник АВС, MN- средняя линия треугольника АВС,причём:
AM = MB, BN = NC,тогда средняя линия равна половине стороны,против которой она лежит , и которой она параллельна,то есть MN =AC2.
AHTOXA89
[5K]
5 лет назад
Средняя линия треугольника-Это отрезок соединяющий середины двух его сторон.Зная свойства средней линии,а также длины сторон треугольника и его углы,можно найти длину средней линии.На рисунки показано как найти длину средней линии:
Антон75
[206]
8 лет назад
средняя линия треугольника равна 1/2 основания
Знаете ответ?
Отрезок. Формула длины отрезка.
Отрезком обозначают ограниченный двумя точками участок прямой. Точки – концы отрезка.
Общеизвестный факт, что каждая точка А плоскости имеет свои координаты (х, у).
В данном примере вектор AB задан координатами (х2— х1, y2— y1). Квадрат длины вектора будет равен сумме квадратов его координат. Следовательно, расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, вычисляется согласно формуле:
Эта формула длины отрезка предоставляет возможность рассчитывать расстояние между двумя произвольными точками плоскости, при условии, что известны координаты этих точек
Вышеуказанную формулу длины отрезка можно доказать и другим способом. В системе координат заданы координаты крайних точек отрезка координатами его концов(х1y1) и (х2,у2).
Прочертим прямые лини через эти точки перпендикулярно к осям координат, в результате имеем прямоугольный треугольник. Первоначальный отрезок является гипотенузой образовавшегося треугольника. Катеты треугольника сформированы отрезками, их длиной будет проекция гипотенузы на оси координат.
Установим длину этих проекций.
На ось у длина проекции равна y2 — y1, а на ось х длина проекции равна х2 — х1. На основании теоремы Пифагора видим, что |AB|² = (y2 – y1)² + (x2 – x1)².
В рассмотренном случае |AB| выступает длиной отрезка.
Вычислим длину отрезка АВ, для этого извлечем квадратный корень. Результатом является все та же формула длины отрезков по известным координатам конца и начала.
Найти длину отрезка в треугольнике
Треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия.
теория по математике 📈 планиметрия
Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек на плоскости, которые не лежат на одной прямой, и трех последовательно соединяющих их отрезков.
Точки называют вершинами треугольника, а отрезки – сторонами. Вершины треугольника обозначают заглавными латинскими буквами.
Виды треугольников по углам
Треугольники классифицируются по углам: остроугольные; тупоугольные; прямоугольные.
Виды треугольников по сторонам
Треугольники классифицируются по сторонам: разносторонний; равнобедренный; равносторонний.
Медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника
Медиана
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
В любом треугольнике можно провести три медианы, так как сторон – три. На рисунке показаны медианы треугольника АВС: AF, EC, BD.
По данному рисунку также видно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке – точке О. Это справедливо для любого треугольника.
Биссектриса
Биссектрисой треугольника называется луч, исходящий из вершины угла треугольника и делящий его пополам.
В любом треугольнике можно провести три биссектрисы, так как углов – три. На рисунке показаны биссектрисы треугольника ЕDC: DD1, EE1 и CC1.
По рисунку также видно, что биссектрисы имеют одну точку пересечения. Это справедливо для любого треугольника.
Высота
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне.
На рисунке показаны высоты треугольника АВС: АН1, ВН2 и СН3.
По рисунку видно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Это также справедливо для любого треугольника.
Средняя линия
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке показаны три средние линии треугольника АВС: MN, KN и MK.
Средняя линия обладает следующими свойствами: она параллельна противоположной стороне; она равна половине противоположной стороны. Так, на данном рисунке MN параллельна АС, KN параллельна АВ, MK параллельна ВС. Также MN=0,5АС, KN=0,5АВ и MK=0,5ВС. Например, если известно, что сторона АС=20 см, то средняя линия МN равна половине АС, то есть МN=10 см. Или, например, если средняя линия МК=12 см, то сторона ВС будет в два раза больше, то есть ВС=24 см.
Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы.
При построении прямой АО образовалась точка пересечения этой прямой с окружностью, обозначим её буквой Е и соединим с точкой В и с точкой С. Получим вписанные углы АВЕ и АСЕ, опирающиеся на диаметр АЕ, следовательно угол АВЕ и АСЕ равны по 90 0 .
Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны.
Составим отношение сторон:
A E A B . . = A B A F . . откуда по свойству пропорции АВ 2 =АЕ ∙ АF
Рассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны.
Составим отношение сторон:
A E A D . . = A C A F . . ; откуда выразим AD= A E ∙ A F А C . . = A E ∙ A F A C . .
Теперь рассмотрим наши два полученных равенства: АВ 2 =АЕ ∙ АF и AD= A E ∙ A F A C . .
Видим, что 36 2 =АЕ ∙ АF (подставили вместо АВ значение 36), также у нас известно, что АС=54. Найдем из второго равенства AD= A E ∙ A F A C . . = 36 2 54 . . = 24
Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник АВС. Найти длину его средней линии, параллельной стороне АС.
Для решения задачи надо вспомнить свойство средней линии: она параллельна основанию и равна его половине. Следовательно, чтобы найти длину средней линии, надо сторону треугольника разделить пополам. Найдем сторону треугольника, которой параллельна средняя линия, т.е. АС, сосчитав клетки, получим, что АС равна 8. Значит, средняя линия равна 8:2=4.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
В треугольнике АВС известно, что угол ВАС равен 84 0 , АD – биссектриса. Найдите угол ВАD. Ответ дайте в градусах.
Ключевое слово в данной задаче – биссектриса. Вспоминаем, что она делит угол пополам. Нам надо найти величину угла ВАD, следовательно он равен половине угла ВАС, то есть 84 0 :2=42 0
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Отрезок. Формула длины отрезка.
Отрезком обозначают ограниченный двумя точками участок прямой. Точки – концы отрезка.
Общеизвестный факт, что каждая точка А плоскости имеет свои координаты (х, у).
В данном примере вектор AB задан координатами (х2— х1, y2— y1). Квадрат длины вектора будет равен сумме квадратов его координат. Следовательно, расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, вычисляется согласно формуле:
Эта формула длины отрезка предоставляет возможность рассчитывать расстояние между двумя произвольными точками плоскости, при условии, что известны координаты этих точек
Вышеуказанную формулу длины отрезка можно доказать и другим способом. В системе координат заданы координаты крайних точек отрезка координатами его концов(х1y1) и (х2,у2).
Прочертим прямые лини через эти точки перпендикулярно к осям координат, в результате имеем прямоугольный треугольник. Первоначальный отрезок является гипотенузой образовавшегося треугольника. Катеты треугольника сформированы отрезками, их длиной будет проекция гипотенузы на оси координат.
Установим длину этих проекций.
На ось у длина проекции равна y2 — y1, а на ось х длина проекции равна х2 — х1. На основании теоремы Пифагора видим, что |AB|² = (y2 – y1)² + (x2 – x1)².
В рассмотренном случае |AB| выступает длиной отрезка.
Вычислим длину отрезка АВ, для этого извлечем квадратный корень. Результатом является все та же формула длины отрезков по известным координатам конца и начала.
Все формулы для треугольника
1. Как найти неизвестную сторону треугольника
Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.
a , b , c — стороны произвольного треугольника
α , β , γ — противоположные углы
Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):
* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение
Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):
2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы
a , b — катеты
c — гипотенуза
α , β — острые углы
Формулы для катета, ( a ):
Формулы для катета, ( b ):
Формулы для гипотенузы, ( c ):
Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):
3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы
b — сторона (основание)
a — равные стороны
α — углы при основании
β — угол образованный равными сторонами
Формулы длины стороны (основания), (b ):
Формулы длины равных сторон , (a):
4. Найти длину высоты треугольника
Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.
H — высота треугольника
Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:
если α > β , тогда a > b
если α = β , тогда a = b
Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
a + b > c
b + c > a
c + a > b
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
| a | = | b | = | c | = 2R |
| sin α | sin β | sin γ |
Теорема косинусов
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α
b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β
c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ
Теорема о проекциях
Для остроугольного треугольника:
a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α
c = a cos β + b cos α
Формулы для вычисления длин сторон треугольника
Медианы треугольника
Свойства медиан треугольника:
В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Формулы медиан треугольника
Формулы медиан треугольника через стороны
ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2
mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2
mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2
Биссектрисы треугольника
Свойства биссектрис треугольника:
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.
Формулы биссектрис треугольника
Формулы биссектрис треугольника через стороны:
la = 2√ bcp ( p — a ) b + c
lb = 2√ acp ( p — b ) a + c
lc = 2√ abp ( p — c ) a + b
где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника
Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:
la = 2 bc cos α 2 b + c
lb = 2 ac cos β 2 a + c
lc = 2 ab cos γ 2 a + b
Высоты треугольника
- внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
- совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
- проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.
Свойства высот треугольника
Формулы высот треугольника
ha = b sin γ = c sin β
hb = c sin α = a sin γ
hc = a sin β = b sin α
Окружность вписанная в треугольник
Свойства окружности вписанной в треугольник
Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )
Окружность описанная вокруг треугольника
Свойства окружности описанной вокруг треугольника
Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
R = S 2 sin α sin β sin γ
R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ
Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
Средняя линия треугольника
Свойства средней линии треугольника
MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC
MN || AC KN || AB KM || BC
Периметр треугольника
Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон
Формулы площади треугольника
Формула Герона
Равенство треугольников
Признаки равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
Подобие треугольников
∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,
где k — коэффициент подобия
Признаки подобия треугольников
Первый признак подобия треугольников
Второй признак подобия треугольников
Третий признак подобия треугольников
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Как найти длину отрезка в треугольнике
Равные отрезки. Равными называются два отрезка, которые можно совместить, наложив один на другой (рисунок 2). Например, можно вырезать реально или мысленно один из отрезков и приложить к другому так, чтобы совпали их концы. Если отрезки АВ и СК равны, то пишут АВ = СК. Равные отрезки имеют равные длины. Верно обратное: два отрезка, имеющие равные длины, равны. Если два отрезка имеют различные длины, то они не равны. Из двух неравных отрезков меньше тот, который составляет часть другого отрезка. Сравнивать отрезки наложением можно, используя циркуль. 
Треугольник. Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, то получим фигуру, называемую треугольником. Данные точки называются вершинами треугольника, а отрезки, их соединяющие, сторонами треугольника (рисунок 5). FNM — треугольник, отрезки FN, NM, FM – стороны треугольника, точки F, N, M – вершины треугольника. Стороны всех треугольников обладают следующим свойством: длина любой из сторон треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон. 
