Логарифмом положительного числа (c) по основанию (a) ((a>0, aneq1)) называется показатель степени (b), в которую надо возвести основание (a), чтобы получить число (c) ((c>0)), т.е.
(a^{b}=c) (Leftrightarrow) (log_{a}{c}=b)
Объясним проще. Например, (log_{2}{8}) равен степени, в которую надо возвести (2), чтоб получить (8). Отсюда понятно, что (log_{2}{8}=3).
|
Примеры: |
(log_{5}{25}=2) |
т.к. (5^{2}=25) |
||
|
(log_{3}{81}=4) |
т.к. (3^{4}=81) |
|||
|
(log_{2})(frac{1}{32})(=-5) |
т.к. (2^{-5}=)(frac{1}{32}) |
Аргумент и основание логарифма
Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:
Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание — подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».
Как вычислить логарифм?
Чтобы вычислить логарифм — нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?
Например, вычислите логарифм: а) (log_{4}{16}) б) (log_{3})(frac{1}{3}) в) (log_{sqrt{5}}{1}) г) (log_{sqrt{7}}{sqrt{7}}) д) (log_{3}{sqrt{3}})
а) В какую степень надо возвести (4), чтобы получить (16)? Очевидно во вторую. Поэтому:
(log_{4}{16}=2)
б) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (frac{1}{3})? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени).
(log_{3})(frac{1}{3})(=-1)
в) В какую степень надо возвести (sqrt{5}), чтобы получить (1)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!
(log_{sqrt{5}}{1}=0)
г) В какую степень надо возвести (sqrt{7}), чтобы получить (sqrt{7})? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.
(log_{sqrt{7}}{sqrt{7}}=1)
д) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (sqrt{3})? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень — это степень (frac{1}{2}).
(log_{3}{sqrt{3}}=)(frac{1}{2})
Пример: Вычислить логарифм (log_{4sqrt{2}}{8})
Решение:
|
(log_{4sqrt{2}}{8}=x) |
Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма: |
|
|
((4sqrt{2})^{x}=8) |
Что связывает (4sqrt{2}) и (8)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки: |
|
|
({(2^{2}cdot2^{frac{1}{2}})}^{x}=2^{3}) |
Слева воспользуемся свойствами степени: (a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}) и ((a^{m})^{n}=a^{mcdot n}) |
|
|
(2^{frac{5}{2}x}=2^{3}) |
Основания равны, переходим к равенству показателей |
|
|
(frac{5x}{2})(=3) |
Умножим обе части уравнения на (frac{2}{5}) |
|
|
(x=1,2) |
Получившийся корень и есть значение логарифма |
Ответ: (log_{4sqrt{2}}{8}=1,2)
Зачем придумали логарифм?
Чтобы это понять, давайте решим уравнение: (3^{x}=9). Просто подберите (x), чтобы равенство сработало. Конечно, (x=2).
А теперь решите уравнение: (3^{x}=8).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.
Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как (x=log_{3}{8}).
Хочу подчеркнуть, что (log_{3}{8}), как и любой логарифм — это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: (1,892789260714…..)
Пример: Решите уравнение (4^{5x-4}=10)
Решение:
|
(4^{5x-4}=10) |
(4^{5x-4}) и (10) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.
Воспользуемся определением логарифма: |
|
|
(log_{4}{10}=5x-4) |
Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева |
|
|
(5x-4=log_{4}{10}) |
Перед нами линейное уравнение. Перенесем (4) вправо. И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу. |
|
|
(5x=log_{4}{10}+4) |
Поделим уравнение на 5 |
|
|
(x=)(frac{log_{4}{10}+4}{5}) |
Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают. |
Ответ: (frac{log_{4}{10}+4}{5})
Десятичный и натуральный логарифмы
Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы ((a>0, aneq1)). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:
Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание — число Эйлера (e) (равное примерно (2,7182818…)), и записывается такой логарифм как (ln{a}).
То есть, (ln{a}) это то же самое, что и (log_{e}{a}), где (a) — некоторое число.
Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается (lg{a}).
То есть, (lg{a}) это то же самое, что и (log_{10}{a}), где (a) — некоторое число.
Основное логарифмическое тождество
У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:
Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.
Вспомним краткую запись определения логарифма:
если (a^{b}=c), то (log_{a}{c}=b)
То есть, (b) – это тоже самое, что (log_{a}{c}). Тогда мы можем в формуле (a^{b}=c) написать (log_{a}{c}) вместо (b). Получилось (a^{log_{a}{c}}=c) – основное логарифмическое тождество.
Остальные свойства логарифмов вы можете найти здесь. С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.
Пример: Найдите значение выражения (36^{log_{6}{5}})
Решение:
|
(36^{log_{6}{5}}=) |
Сразу пользоваться свойством (a^{log_{a}{c}}=c) мы не можем, так как в основании степени и в основании логарифма – разные числа. Однако мы знаем, что (36=6^{2}) |
|
|
(=(6^{2})^{log_{6}{5}}=) |
Зная формулу ((a^{m})^{n}=a^{mcdot n}), а так же то, что множители можно менять местами, преобразовываем выражение |
|
|
(=6^{2cdotlog_{6}{5}}=6^{log_{6}{5}cdot2}=(6^{log_{6}{5}})^{2}=) |
Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством. |
|
|
(=5^{2}=25) |
Ответ готов. |
Ответ: (25)
Как число записать в виде логарифма?
Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что (log_{2}{4}) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать (log_{2}{4}).
Но (log_{3}{9}) тоже равен (2), значит, также можно записать (2=log_{3}{9}) . Аналогично и с (log_{5}{25}), и с (log_{9}{81}), и т.д. То есть, получается
(2=log_{2}{4}=log_{3}{9}=log_{4}{16}=log_{5}{25}=log_{6}{36}=log_{7}{49}…)
Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.
Точно также и с тройкой – ее можно записать как (log_{2}{8}), или как (log_{3}{27}), или как (log_{4}{64})… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:
(3=log_{2}{8}=log_{3}{27}=log_{4}{64}=log_{5}{125}=log_{6}{216}=log_{7}{343}…)
И с четверкой:
(4=log_{2}{16}=log_{3}{81}=log_{4}{256}=log_{5}{625}=log_{6}{1296}=log_{7}{2401}…)
И с минус единицей:
(-1=) (log_{2})(frac{1}{2})(=) (log_{3})(frac{1}{3})(=) (log_{4})(frac{1}{4})(=) (log_{5})(frac{1}{5})(=) (log_{6})(frac{1}{6})(=) (log_{7})(frac{1}{7})(…)
И с одной третьей:
(frac{1}{3})(=log_{2}{sqrt[3]{2}}=log_{3}{sqrt[3]{3}}=log_{4}{sqrt[3]{4}}=log_{5}{sqrt[3]{5}}=log_{6}{sqrt[3]{6}}=log_{7}{sqrt[3]{7}}…)
И так далее.
Любое число (a) может быть представлено как логарифм с основанием (b): (a=log_{b}{b^{a}})
Пример: Найдите значение выражения (frac{log_{2}{14}}{1+log_{2}{7}})
Решение:
|
(frac{log_{2}{14}}{1+log_{2}{7}})(=) |
Превращаем единицу в логарифм с основанием (2): (1=log_{2}{2}) |
|
|
(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{2}+log_{2}{7}})(=) |
Теперь пользуемся свойством логарифмов: |
|
|
(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{(2cdot7)}})(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{14}})(=) |
В числителе и знаменателе одинаковые числа – их можно сократить. |
|
|
(=1) |
Ответ готов. |
Ответ: (1)
Смотрите также:
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
Знаков после запятой:
Онлайн калькулятор логарифмов
Калькулятор вычисляет логарифм числа
онлайн. Можно вводить как десятичные дроби (в качестве разделителя для десятичных дробей можно использовать
как точку, так и запятую), так и обычные (например, если нужно вычислить логарифм 
то в поле «число»
можете смело писать 1/9).
Помните, что операция взятия логарифма определена только для положительных чисел, а основание
логарифма должно быть положительным и не должно равняться единице.
Что такое логарифм числа?
В зависимости от основания, различают двоичный, натуральный и десятичный логарифмы.
Логарифм числа по основанию 2 называют двоичным логарифмом.
Логарифм числа 
по основанию 
называют натуральным и обозначают 
Логарифм числа по основанию 10 называют десятичным и обозначают 
Как найти логарифм числа?
Чтобы лучше понять, как вычислять логарифм числа и решать задачи на логарифмы, рассмотрим несколько примеров.
Видно, что для вычисления этого логарифма никакой калькулятор не нужен!
Как видите, всё не так уж сложно!
На этом всё интересное о логарифмах не заканчивается, поэтому в продолжение этой статьи любознательным читателям
рекомендуем прочитать
о свойствах логарифмов.
What are logarithms? Well, to start, the word itself is a bit awkward at first. When students are first presented with the concept of these «logs,» it is often part of their initial exposure to how exponents, or powers, are used. A logarithm is simply an exponent presented as something other than a superscript.
Once students have seen a few examples of logarithmic expressions, what tends to trip them up is the use of a base other than 10 in the log expression, which is the default value.
For example, if you were asked to solve the expression y = log21,000, there is no easy intuitive way to approach the problem.
Confused? Read on, and any «power» log expressions with non-standard bases have over you will disappear.
Logarithmic Expressions Explained
Say you are asked to solve the expression y = log101000. First, you need to identify what is happening in the problem. When you get a value for y, it has to be an exponent.
To be precise, it is the exponent (or power) to which the base (given as a subscript and taken to be 10 when not explicitly given) must be raised to get the argument of the log, which is the only number you see in standard form at the start of these problems.
That is, the above expression is equivalent to 10y = 1,000. You may recognize on sight that y must be equal to 3, but if not you can rely on your calculator to get the correct answer.
Why Use Logarithms, Anyway?
Why is it useful to look at the relationship between one number and the log of a second number instead of just examining and graphing the relationship as it is?
The answer lies in the fact that when y varies with some positive power of x, it increases more quickly than x does; as this power becomes even slightly larger, the increasing gap between x and y with increasing values of x becomes extreme. Because of this, it is common in such situations to graph y versus logbx or a constant multiplier of logbx.
- An example of this is the Richter scale in geological science, used to quantify the strength of earthquakes. Each whole-number step up the scale corresponds to a tenfold increase in magnitude as well as a 31-fold increase in energy released. Because of this, a quake with a magnitude of 7.7 releases 31 times the energy of a 6.7-magnitude quake and (31× 31 = 961) times the energy of a 5.7-magnitude quake.
Examples of Logarithmic Problems
Given y = log10100,000, what is y?
y is the exponent to which 10 must be raised to get the value 100,000. This is 5, as you may be able to do in your head if you know that 105 = 100,000.
Given y = log1050,000, what is y?
y is the exponent to which 10 must be raised to get the value 50,000. Clearly, this is a noninteger value since 104 = 10,000 and 105 = 100,000. You calculator can provide the answer: 4.698. (This is a good reminder that exponents do not have to be whole numbers.)
Log2x in Action
When you explore log problems with bases other than 10, none of the aforementioned principles change. The math can look a little wonkier, so take care not to confuse small bases like 2 with whatever the log is, as these numbers are often in the low single digits, too.
Example: What is log24,000?
The answer completes the sentence «4,000 is the result of 2 being raised to the power of…» The value of this expression is 11.965.
- You can use an online tool like the one in the Resources instead of your calculator to solve log2 problems.
Как найти натуральный логарифм от числа?
ln x = loge x — так как основание натурального логарифма равно числу e.
Чему равен логарифм от 2?
Натуральный логарифм 2
| Число | Приближённое значение натурального логарифма |
|---|---|
| 2 | 0,693147180559945309417232121458 |
| 3 | 1,09861228866810969139524523692 |
| 4 | 1,38629436111989061883446424292 |
| 5 | 1,60943791243410037460075933323 |
Как найти десятичный логарифм числа?
Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа b является решением уравнения 10x = b. Обозначение. Десятичный логарифм обозначается lg x или log x.
Как найти LG числа?
Десятичный логарифм числа x (можно записать как lg(x)) — это есть значение степени, в которую возводится число 10, для получения x. Для расчета десятичного логарифма числа введите в соответствующее окошко значения числа b, после чего нажмите кнопку «ВЫЧИСЛИТЬ».
Что значит ЛН?
Свойства и основные формулы натурального логарифма Натуральный логарифм единицы равен нулю (Заметим, что логарифм по любому основанию от 1 равен 0).
Чему равен натуральный логарифм числа е?
Натуральный логарифм от числа е равен единице: . Натуральный логарифм произведения двух чисел равен сумме натуральных логарифмов от этих чисел: ( a b ) = ln .
Как вычислить логарифм по основанию 2?
Обозначение: loga x = b, где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм. Например, 23 = 8 ⇒ log2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 23 = 8).
Чему равен log 2 по основанию 5?
| log525=2 | т.к. 52=25 |
|---|---|
| log381=4 | т.к. 34=81 |
| log2 132 =−5 | т.к. 2−5= 132 |
Что значит lg?
Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Обозначается знаком lg, т.
Как вычислить логарифм отрицательного числа?
Чтобы перевести отрицательный логарифм из естественной формы в искуственную, нужно:
- На единицу увеличить абсолютную величину его характаеристики
- Полученное число снабдить знаком минус сверху
- Все цифры мантиссы, кроме последней из цифр не равных нулю, вычитать из девяти. последнюю не равную нулю цифру вычесть из десяти.
Чему равен натуральный логарифм от е?
Натуральный логарифмом числа b называется логарифм числа b по основанию e , где e — иррациональное число равное 2.718281828. Натуральный логарифм числа x (можно записать как ln(x)) — это есть значение степени, в которую возводится число e (равное 2.718281828), для получения x.
В чем разница между LG и ln?
lg — логарифм по основанию 10. ln — логарифм по основанию e(натуральный логарифм).
Чему равно число е?
Само число e — иррациональное, то есть выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Приблизительно оно равно 2,718.
Как рассчитать примерное значение логарифма?
Вычисление логарифмов по определению
- Его суть состоит в представлении числа b в виде ac, откуда по определению логарифма число c является значением логарифма. …
- Итак, вычисление логарифма по определению сводится к нахождению такого числа c, что ac=b, а само число c есть искомое значение логарифма.
Как считать логарифмы с дробями?
Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей. 6 $log _{a} b^{p}=p cdot log _{a} b$ — логарифм степени. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.
Что такое логарифм lg?
Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Обозначается знаком lg, т.
Можно ли извлечь логарифм из отрицательного числа?
Само значение логарифма числа может быть и отрицательным. Отрицательные логарифмы также важны как и положительные.
Посчитать логарифм
- Главная
- /
- Математика
- /
- Арифметика
- /
- Посчитать логарифм
Для того чтобы посчитать логарифм (log) любого числа по любому основанию просто воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Чему равен
log?
Ответ:
0
Округление ответа:
Просто введите число и основание логарифма, и получите ответ.
Логарифм числа b по основанию a определяется как степень, в которую нужно возвести основание a, чтобы получилось число b.
Формула
x = logab, при этом ax = b
Пример
К примеру, определим: 2 в какой степени будет 8? То есть посчитаем логарифм 8-ми по основанию 2:
log28 = 3, теперь проверим: 23 = 8
Посчитать натуральный логарифм
Чему равен
ln?
Ответ:
0
Округление ответа:
Натуральный логарифм – это логарифм с основанием e.
Формула
lnx = logex, где число e ≈ 2,718
Посчитать десятичный логарифм
Чему равен
lg?
Ответ:
0
Округление ответа:
Десятичный логарифм – это логарифм с основанием 10.
Формула
lgx = log10x
Посчитать двоичный логарифм
Чему равен
lb?
Ответ:
0
Округление ответа:
Двоичный логарифм – это логарифм с основанием 2.
Формула
lbx = log2x