Калькулятор десятичных логарифмов поможет найти логарифм по основанию 10
Обозначение десятичного логарифма
Для обозначения десятичного логарифма существует несколько способов:
- lg
- log10
- log10
Так же возможно написание прописными буквами.
Что такое десятичный логарифм
Десятичный логарифм
Десятичный логарифм очень прост для понимания. К примеру, десятичный логарифм числа 100 равен 2. А числа 100 000 — 5. Таким образом,
10x = y
Здесь y — число, логарифм которого мы ищем, а x — это искомый логарифм.
То есть десятичный логарифм — это степень, в которую нужно возвести число 10 для получения исходного числа, логарифм которого мы ищем. Как мы видим, для чисел кратных 10 десятичный логарифм находится просто. Для чисел, не кратных 10 логарифм будет дробным. К примерку, десятичный логарифм числа 7 равен 0.84509804001426. И тут наш калькулятор поможет с расчетом.
Десятичный логарифм нуля не существует.
Для чисел меньше единицы десятичный логарифм отрицательный.
Таблица десятичных логарифмов некоторых чисел
| 1 | 0 |
| 2 | 0,301029996 |
| 3 | 0,477121255 |
| 4 | 0,602059991 |
| 5 | 0,698970004 |
| 6 | 0,77815125 |
| 7 | 0,84509804 |
| 8 | 0,903089987 |
| 9 | 0,954242509 |
| 10 | 1 |
| 100 | 2 |
| 1000 | 3 |
| 10000 | 4 |
| 100000 | 5 |
Ваша оценка
[Оценок: 1335 Средняя: 3.5]
Калькулятор десятичных логарифмов Автор admin средний рейтинг 3.5/5 — 1335 рейтинги пользователей
Десятичный логарифм
Навигация по странице:
- Определение
- Калькулятор
- Свойства
- Примеры
Определение. Логарифмом числа b по основанию a, где a > 0, a ≠ 1, b > 0, называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтоб получить число b.
Определение. Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10.
Другими словами, десятичный логарифм числа b является решением уравнения 10x = b.
Обозначение. Десятичный логарифм обозначается lg x или log x.
Калькулятор десятичных логарифмов
lg 2
Свойства десятичного логарифмов
Для любых x > 0 и y > 0 выполняются следующие свойства десятичных логарифмов.
-
lg x = log10 x — так как основание десятичного логарифма равно 10.
-
10lg b = b.
-
lg 1 = 0
-
lg 10 = 1
-
lg 10n = n
-
lg(x · y) = lg x + lg y
-
lg xy = lg x — lg y
-
lg xn = n lg x
-
График функции y = lg x
-
(lg x)′ = 1x ln 10
-
∫ lg x dx = x lg x — xln 10 + C
Пример 1. Найти значения десятичного логарифма от чисел 100, 1000, 0.1, 0.01, 0.001.
lg 100 = lg 102 = 2
lg 1000 = lg 103 = 3
lg 0.1 = lg 10-1 = -1
lg 0.01 = lg 10-2 = -2
lg 0.001 = lg 10-3 = -3
Пример 2.
Доказать равенство: a lg b = b lg a.
Запишем очевидное равенство:
lg b · lg a = lg a · lg ab
Возведем 10 в соответствующие степени
10lg b · lg a = 10lg a · lg b
(10lg b)lg a = (10lg a)lg b
blg a = alg b
Равенство доказано.
Пример 3.
Зная, что lg 2 = a, lg 3 = b, lg 5 = c, выразить lg 6; lg 30; lg 16 через a, b, c.
Используем формулы логарифма произведения и степени получим:
lg 6 = lg (2·3)= lg 2 + lg 3 = a + b;
lg 30 = lg (5·2·3)= lg 5 + lg 2 + lg 3 = a + b + c;
lg 16 = lg 24= 4 · lg 2 = 4a.
Пример 4.
Вычислить log9 5 · log25 27.
Перейдем к основе 10:
log9 5 · log25 27 = lg 5lg 9 · lg 27lg 25
Используем свойство логарифма степени lg xn = n lg x:
lg 5lg 9 · lg 27lg 25 = lg 5lg 32 · lg 33lg 52 = lg 52 lg 3 · 3 lg 32 lg 5 = 34
Пример 5.
Вычислить log30 8, если lg 5 = a, lg 3 = b.
Перейдем к основе 10:
log 30 8 = lg 8lg 30 = lg 23lg (3 · 10) =
Используем свойство логарифма степени, произведения, частного и то что 2= 105:
= 3 lg 2lg 3 + lg 10 = 3 lg 2lg 3 + 1 = 3 lg 105lg 3 + 1 = 3(lg 10 — lg 5)lg 3 + 1 = 3(1 — lg 5)lg 3 + 1 =
Подставим lg 5 = a, lg 3 = b:
= 3(1 — a)b + 1
Ответ:
log30 8 = 3(1 — a)b + 1
Десятичный логарифм появился в десятичной системе исчисления, так как умножение на число 10 в определенной положительной или отрицательной степени значительно упрощает всевозможные расчеты не только в математике, но и в физике, химии, экономике и других науках. Собственно десятичный логарифм сам по себе считает, в какую степень должно быть возведено число 10, чтобы получить определенное значение, то есть это логарифм числа по основанию 10.
lga=log10a
Онлайн калькулятор десятичных логарифмов способен вычислить любое значение десятичного логарифма от введенного действительного числа.
| AC | 7 | 8 | 9 | ← |
| C | 4 | 5 | 6 | ÷ |
| % | 1 | 2 | 3 | × |
| xy | . | 0 | = | — |
| x2 | √ | ( | ) | + |
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Посчитать логарифм
- Главная
- /
- Математика
- /
- Арифметика
- /
- Посчитать логарифм
Для того чтобы посчитать логарифм (log) любого числа по любому основанию просто воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Чему равен
log?
Ответ:
0
Округление ответа:
Просто введите число и основание логарифма, и получите ответ.
Логарифм числа b по основанию a определяется как степень, в которую нужно возвести основание a, чтобы получилось число b.
Формула
x = logab, при этом ax = b
Пример
К примеру, определим: 2 в какой степени будет 8? То есть посчитаем логарифм 8-ми по основанию 2:
log28 = 3, теперь проверим: 23 = 8
Посчитать натуральный логарифм
Чему равен
ln?
Ответ:
0
Округление ответа:
Натуральный логарифм – это логарифм с основанием e.
Формула
lnx = logex, где число e ≈ 2,718
Посчитать десятичный логарифм
Чему равен
lg?
Ответ:
0
Округление ответа:
Десятичный логарифм – это логарифм с основанием 10.
Формула
lgx = log10x
Посчитать двоичный логарифм
Чему равен
lb?
Ответ:
0
Округление ответа:
Двоичный логарифм – это логарифм с основанием 2.
Формула
lbx = log2x
См. также
Логарифмом положительного числа (c) по основанию (a) ((a>0, aneq1)) называется показатель степени (b), в которую надо возвести основание (a), чтобы получить число (c) ((c>0)), т.е.
(a^{b}=c) (Leftrightarrow) (log_{a}{c}=b)
Объясним проще. Например, (log_{2}{8}) равен степени, в которую надо возвести (2), чтоб получить (8). Отсюда понятно, что (log_{2}{8}=3).
|
Примеры: |
(log_{5}{25}=2) |
т.к. (5^{2}=25) |
||
|
(log_{3}{81}=4) |
т.к. (3^{4}=81) |
|||
|
(log_{2})(frac{1}{32})(=-5) |
т.к. (2^{-5}=)(frac{1}{32}) |
Аргумент и основание логарифма
Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:
Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание — подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».
Как вычислить логарифм?
Чтобы вычислить логарифм — нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?
Например, вычислите логарифм: а) (log_{4}{16}) б) (log_{3})(frac{1}{3}) в) (log_{sqrt{5}}{1}) г) (log_{sqrt{7}}{sqrt{7}}) д) (log_{3}{sqrt{3}})
а) В какую степень надо возвести (4), чтобы получить (16)? Очевидно во вторую. Поэтому:
(log_{4}{16}=2)
б) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (frac{1}{3})? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени).
(log_{3})(frac{1}{3})(=-1)
в) В какую степень надо возвести (sqrt{5}), чтобы получить (1)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!
(log_{sqrt{5}}{1}=0)
г) В какую степень надо возвести (sqrt{7}), чтобы получить (sqrt{7})? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.
(log_{sqrt{7}}{sqrt{7}}=1)
д) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (sqrt{3})? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень — это степень (frac{1}{2}).
(log_{3}{sqrt{3}}=)(frac{1}{2})
Пример: Вычислить логарифм (log_{4sqrt{2}}{8})
Решение:
|
(log_{4sqrt{2}}{8}=x) |
Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма: |
|
|
((4sqrt{2})^{x}=8) |
Что связывает (4sqrt{2}) и (8)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки: |
|
|
({(2^{2}cdot2^{frac{1}{2}})}^{x}=2^{3}) |
Слева воспользуемся свойствами степени: (a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}) и ((a^{m})^{n}=a^{mcdot n}) |
|
|
(2^{frac{5}{2}x}=2^{3}) |
Основания равны, переходим к равенству показателей |
|
|
(frac{5x}{2})(=3) |
Умножим обе части уравнения на (frac{2}{5}) |
|
|
(x=1,2) |
Получившийся корень и есть значение логарифма |
Ответ: (log_{4sqrt{2}}{8}=1,2)
Зачем придумали логарифм?
Чтобы это понять, давайте решим уравнение: (3^{x}=9). Просто подберите (x), чтобы равенство сработало. Конечно, (x=2).
А теперь решите уравнение: (3^{x}=8).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.
Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как (x=log_{3}{8}).
Хочу подчеркнуть, что (log_{3}{8}), как и любой логарифм — это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: (1,892789260714…..)
Пример: Решите уравнение (4^{5x-4}=10)
Решение:
|
(4^{5x-4}=10) |
(4^{5x-4}) и (10) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.
Воспользуемся определением логарифма: |
|
|
(log_{4}{10}=5x-4) |
Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева |
|
|
(5x-4=log_{4}{10}) |
Перед нами линейное уравнение. Перенесем (4) вправо. И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу. |
|
|
(5x=log_{4}{10}+4) |
Поделим уравнение на 5 |
|
|
(x=)(frac{log_{4}{10}+4}{5}) |
Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают. |
Ответ: (frac{log_{4}{10}+4}{5})
Десятичный и натуральный логарифмы
Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы ((a>0, aneq1)). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:
Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание — число Эйлера (e) (равное примерно (2,7182818…)), и записывается такой логарифм как (ln{a}).
То есть, (ln{a}) это то же самое, что и (log_{e}{a}), где (a) — некоторое число.
Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается (lg{a}).
То есть, (lg{a}) это то же самое, что и (log_{10}{a}), где (a) — некоторое число.
Основное логарифмическое тождество
У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:
Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.
Вспомним краткую запись определения логарифма:
если (a^{b}=c), то (log_{a}{c}=b)
То есть, (b) – это тоже самое, что (log_{a}{c}). Тогда мы можем в формуле (a^{b}=c) написать (log_{a}{c}) вместо (b). Получилось (a^{log_{a}{c}}=c) – основное логарифмическое тождество.
Остальные свойства логарифмов вы можете найти здесь. С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.
Пример: Найдите значение выражения (36^{log_{6}{5}})
Решение:
|
(36^{log_{6}{5}}=) |
Сразу пользоваться свойством (a^{log_{a}{c}}=c) мы не можем, так как в основании степени и в основании логарифма – разные числа. Однако мы знаем, что (36=6^{2}) |
|
|
(=(6^{2})^{log_{6}{5}}=) |
Зная формулу ((a^{m})^{n}=a^{mcdot n}), а так же то, что множители можно менять местами, преобразовываем выражение |
|
|
(=6^{2cdotlog_{6}{5}}=6^{log_{6}{5}cdot2}=(6^{log_{6}{5}})^{2}=) |
Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством. |
|
|
(=5^{2}=25) |
Ответ готов. |
Ответ: (25)
Как число записать в виде логарифма?
Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что (log_{2}{4}) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать (log_{2}{4}).
Но (log_{3}{9}) тоже равен (2), значит, также можно записать (2=log_{3}{9}) . Аналогично и с (log_{5}{25}), и с (log_{9}{81}), и т.д. То есть, получается
(2=log_{2}{4}=log_{3}{9}=log_{4}{16}=log_{5}{25}=log_{6}{36}=log_{7}{49}…)
Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.
Точно также и с тройкой – ее можно записать как (log_{2}{8}), или как (log_{3}{27}), или как (log_{4}{64})… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:
(3=log_{2}{8}=log_{3}{27}=log_{4}{64}=log_{5}{125}=log_{6}{216}=log_{7}{343}…)
И с четверкой:
(4=log_{2}{16}=log_{3}{81}=log_{4}{256}=log_{5}{625}=log_{6}{1296}=log_{7}{2401}…)
И с минус единицей:
(-1=) (log_{2})(frac{1}{2})(=) (log_{3})(frac{1}{3})(=) (log_{4})(frac{1}{4})(=) (log_{5})(frac{1}{5})(=) (log_{6})(frac{1}{6})(=) (log_{7})(frac{1}{7})(…)
И с одной третьей:
(frac{1}{3})(=log_{2}{sqrt[3]{2}}=log_{3}{sqrt[3]{3}}=log_{4}{sqrt[3]{4}}=log_{5}{sqrt[3]{5}}=log_{6}{sqrt[3]{6}}=log_{7}{sqrt[3]{7}}…)
И так далее.
Любое число (a) может быть представлено как логарифм с основанием (b): (a=log_{b}{b^{a}})
Пример: Найдите значение выражения (frac{log_{2}{14}}{1+log_{2}{7}})
Решение:
|
(frac{log_{2}{14}}{1+log_{2}{7}})(=) |
Превращаем единицу в логарифм с основанием (2): (1=log_{2}{2}) |
|
|
(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{2}+log_{2}{7}})(=) |
Теперь пользуемся свойством логарифмов: |
|
|
(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{(2cdot7)}})(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{14}})(=) |
В числителе и знаменателе одинаковые числа – их можно сократить. |
|
|
(=1) |
Ответ готов. |
Ответ: (1)
Смотрите также:
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства