Как найти логарифм от комплексного числа - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Элементарные функции комплексного переменного

Показательная функция комплексного переменного

В действительной области показательная функция e^x вводится обычно в связи с обобщением понятия степени a^n . В комплексной области функцию требуется определить так, чтобы при z=x ее свойства совпадали с известными свойствами функции e^x . Одно из важнейших свойств функции e^x — представление ее рядом Тейлора: она является суммой сходящегося на всей числовой прямой ряда $textstyle{sumlimits_{n=0}^{infty}dfrac{x^n}{n!}}$ .

Учитывая это, рассматриваем ряд $textstyle{sumlimits_{n=0}^{infty}dfrac{z^n}{n!}}$ и убеждаемся, что он абсолютно сходится при любом , т.е. во всей комплексной плоскости mathbb{C} определена некоторая функция — сумма этого ряда. Так как при z=x имеем $textstyle{sumlimits_{n=0}^{infty}dfrac{x^n}{n!}=e^x}$ , то вводим следующее определение: показательной функцией e^x в комплексной области называется функция, которая является суммой сходящегося во всей комплексной плоскости ряда $textstyle{sumlimits_{n=0}^{infty}dfrac{z^n}{n!}colon}$

$e^z= sum_{n=0}^{infty}frac{z^n}{n!},quad zin mathbb{C}.$

(2.3)

Из определения следует, что показательная функция определена во всей комплексной плоскости. В частности, при z=ix , где — действительное число, имеем $textstyle{e^{ix}= sumlimits_{n=0}^{infty}dfrac{i^nx^n}{n!}}$ . Используя свойства абсолютно сходящихся рядов (возможность перестановки и группировки членов ряда), ряд можно записать в виде алгебраической суммы двух рядов с действительными членами отделить действительную и мнимую части ряда:

$sum_{n=0}^{infty}frac{i^nx^n}{n!}= sum_{k=0}^{infty}frac{i^{2k}x^{2k}}{(2k)!}+ sum_{k=1}^{infty}frac{i^{2k-1}x^{2k-1}}{(2k-1)!}= sum_{k=0}^{infty}frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}+ icdot sum_{k=1}^{infty}frac{(-1)^{k+1}x^{2k-1}}{(2k-1)!}.$

Полученные ряды являются рядами Тейлора для функций cos x и sin x . В результате имеем равенство $e^{ix}= cos x+isin x$ , или, обозначив через varphicolon

$e^{ivarphi}= cosvarphi+ isinvarphi.$

(2.4)

Формула (2.4) — формула Эйлера была использована для записи комплексного числа в показательной форме.

Функция e^z обладает, очевидно, рядом свойств, справедливость которых установлена в действительной области, т.е. для e^x .

С другой стороны, в силу расширения множества, следует ожидать, что имеют место и другие свойства, аналога которых в действительной области нет.

К свойствам первой группы нужно отнести прежде всего формулу сложения:

$e^{z_1+z_2}= e^{z_1}cdot e^{z_2}.$

(2.5)

Доказательство формулы сводится, согласно определению показательной функции, к доказательству справедливости при любых z_1 и z_2 равенства

$sum_{n=0}^{infty} frac{z_1^n}{n!}cdot sum_{n=0}^{infty}frac{z_2^n}{n!}= sum_{n=0}^{infty}frac{(z_1+z_2)^n}{n!},$

которое устанавливается путем перемножения абсолютно сходящихся рядов, записанных слева (см. пример 1.44).

Если в равенстве (2.5) положить z_2=2kpi i,~ z_1=z — любое комплексное число, то, учитывая тождество $e^{2kpi i}= cos2kpi+isin2kpi=1$ , можно записать $e^{z+2kpi i}= e^zcdot e^{2kpi i}= e^zcdot 1$ . Это равенство, справедливое при любых значениях , означает, что функция e^z является периодической и ее период — чисто мнимое число T=2pi i . Аналога этому свойству в действительной области нет, функция e^x — непериодическая.

Так же, как и в действительной области, показательная функция e^z не обращается в нуль ни при каком значении аргумента. Действительно, если предположить противное, что существует z_1 , при котором $e^{z_1}=0$ , то из тождества $e^z=e^{z_1+z-z_1}= e^{z_1}cdot e^{z-z_1}$ , где — любое комплексное число, получили бы, e^z=0 при любом , что неверно. Однако это единственное исключение, т.е. нуль — единственное значение, которое не может принимать функция e^z . В отличие от e^x значение функции в комплексной области может быть отрицательным, например $e^{ipi}=cospi+isinpi=-1$ . Вообще e^z может принимать любые значения в mathbb{C} , за исключением нуля. Это свойство доказывается просто, если в формуле (2.5) положить z_1=x,~ z_2=iy и сравнить равенство $e^{x+iy}=e^xcdot e^{iy}$ с показательной формой записи комплексного числа. В результате получим, что при фиксированном z , т.е. при фиксированных и , модуль числа e^z равен e^x~(r=e^x) , а аргумент равен y~(varphi=y) , т.е.

$|e^z|= e^x=e^{operatorname{Re}z},quad arg e^z=y=operatorname{Im}z,.$

(2.6)

Отсюда получаем, что e^z может принимать любые значения (e^zne0) , так как arg e^z=y — любое число.

Пример 2.13. Найти operatorname{Re}z,~ operatorname{Im}z,~ arg z для чисел: а) $e^{2-i}$ ; б) $-e^{-2+i}$ .

Решение

а) Находим модуль числа $r=|e^{2-i}|=e^2$ и аргумент $varphi=arg e^{2-i}=-1$ . После этого можно записать

operatorname{Re}z=x=rcosvarphi,quad operatorname{Im}z=y=rsinvarphi , то есть $operatorname{Re}z=e^2cos1,quad operatorname{Im}z=-e^2sin1$ .

Можно записать решение иначе, используя формулу сложения (2.5) и формулу Эйлера (2.4):

$z=e^{2-i}=e^2cdot e^{-i}= e^2 bigl[cos(-1)+isin(-1)bigr]= e^2(cos1-isin1).$

Полому $operatorname{Re}z=e^2cos1,~ operatorname{Im}z=-e^2sin1$ , а из показательной формы записи числа $e^2cdot e^{-i}$ находим |z|=r=e^2,~ arg z=varphi=-1 .

б) Представим число в виде произведения $z=-1cdot e^{-2+i}$ , а множитель (-1) в показательной форме: $-1=e^{pi i}$ . Тогда

$z=-1cdot e^{-2+i}= e^{pi i}cdot e^{-2+i}= e^{-2+i(pi+1)}= e^{-2}cdot e^{i(pi+1)}.$

Поэтому имеем $|z|=e^{-2},~ arg z=pi+1$ , или arg z=-pi+1 , так как для
данного значения аргумента имеет место ограничение -pi<arg zleqslantpi . После этого записываем

$operatorname{Re}z=e^{-2}cos(pi+1)=-e^{-2}cos1,quad operatorname{Im}z=e^{-2}sin(pi+1)=-e^2sin1.$

Пример 2.14. Найти operatorname{Re}f(z),~ operatorname{Im}f(z) , если $f(z)=e^{z^2}$ .

Решение

Применяя последовательно формулы (2.5),(2.6), находим

$e^{z^2}= e^{(x+iy)^2}= e^{x^2-y^2+i2xy}= e^{x^2-y^2}cdot e^{i2xy}$ , то есть $|e^{z^2}|= e^{x^2-y^2},~~ arg e^{z^2}=2xy$ .

Поэтому $operatorname{Re}e^{z^2}= e^{x^2-y^2}cos2xy,~ operatorname{Im} e^{z^2}= e^{x^2-y^2}sin2xy$ .

Пример 2.15. Показать, что функция $e^{iz}$ является периодической и ее период — действительное число.

Решение

Нужно показать, что существует число Tin mathbb{C} такое, что $e^{i(z+T)}=e^{iz}$ для любого . Но из формулы (2.5) имеем $e^{i(z+T)}= e^{iz}cdot e^{iT}$ , поэтому число должно быть таким, чтобы выполнялось равенство $e^{iT}=1$ , а это верно при T=2pi . Следовательно, период функции $e^{iz}$ — действительное число T=2pi .

Пример 2.16. Доказать, что функция w=e^z является неоднолистной на множестве mathbb{C} . Найти область однолистности.

Решение

Неоднолистность функции следует из определения, так как существуют не равные значения аргумента, такие, что в них совпадают значения функции. Например, для z_1=2pi i и z_2=4pi i получается $e^{z_1}=e^{z_2}=1$ .

Чтобы определить область однолистности, запишем разность

$w_1-w_2=e^{z_1}-e^{z_2}$ или $w_1-w_2=e^{z_1}(1-e^{z_2-z_1})$ .

Значения функции совпадают для тех z_1 и z_2 , для которых выполняется равенство $e^{z_2-z_1}=1$ , то есть z_2-z_1=2kpi i,~ k=0,pm1,pm2,ldots .

Однолистным отображение будет в любой области, принадлежащей горизонтальной полосе ширины 2pi,~ a<operatorname{Im}z<a+2pi , в частности полосе pi<operatorname{Im}z <pi или 0<operatorname{Im}z<2pi (рис. 2.9).

Полосы на комплексной плоскости

Любая прямая z=x+ic~(y=text{const}=c) , параллельная действительной оси отображается в луч arg w=c , так как из $w=e^{z}= e^{x}cdot e^{ic}$ получаем |w|=e^x>0,~ arg w=c . В частности, действительная ось operatorname{Im}z=0 , то есть z=x , переходит в луч arg w=0 — действительную положительную полуось, а прямая operatorname{Im}z= 2pi , то есть z=x+icdot2pi , — в луч arg w=2pi , геометрически это — та же действительная полуось

Для однозначности отображения на границе проведем разрез по лучу. При этом точкам прямой operatorname{Im}z=0 будут соответствовать точки нижнего «берега» оси operatorname{Im}w=0 , а точкам прямой operatorname{Im}z=2pi точки верхнего «берега».

Такой же результат получим и для следующей полосы 2pi<operatorname{Im}z <4pi . Она отображается также в плоскость с разрезом [0;+infty) .

Вообще любая полоса 2(k-1)pi< operatorname{Im}z< 2kpi,~ kinmathbb{Z} с помощью функции w=e^z переходит в плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси.

Нарушенную разрезом непрерывность отображения можно восстановить, построением римановой поверхности функции w=e^z по такому же принципу как сделано для w=z^2 .

Полученный результат (см. решение примера 2.16) запишем в виде утверждения: функция w=e^z взаимно однозначно отображает:

1) любую полосу a<operatorname{Im}z<a+2pi — в плоскость с разрезом по лучу arg w=a ;
2) полосу (2k-1)pi< operatorname{Im}z< (2k+1)pi,~ kinmathbb{Z} в плоскость с разрезом по действительной отрицательной полуоси;
3) полосу 2(k-1)pi< operatorname{Im}z< 2kpi,~ kinmathbb{Z} во всю комплексную плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси.

Тригонометрические и гиперболические комплексные функции

Функции sin z,~cos z,~operatorname{sh}z,~ operatorname{ch}z вводятся аналогично показательной функции — как суммы соответствующих абсолютно сходящихся во всей комплексной плоскости рядов:

$sin z= sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}z^{2n-1}}{(2n-1)!},qquad cos z=sum_{n=0}^{infty}frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!},$

(2.7)

$operatorname{sh}z= sum_{n=1}^{infty}frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!},qquad operatorname{ch}z= sum_{n=0}^{infty}frac{z^{2n}}{(2n)!}.$

(2.8)

На основе этих функций определяются и другие тригонометрические и гиперболические:

$begin{array}{ll}operatorname{tg} z= dfrac{sin z}{cos z},~ cos zne0;&qquad operatorname{ctg}z= dfrac{cos z}{sin z},~ sin zne0;\[10pt] operatorname{th}z= dfrac{operatorname{sh}z}{operatorname{ch}z},~ operatorname{ch}zne0,&qquad operatorname{cth}z= dfrac{operatorname{ch}z}{operatorname{sh}z},~ operatorname{sh}zne0. end{array}$

Из определений следует, что функции cos z,~ operatorname{ch}z являются четными, а остальные — нечетными.

Сравнивая формулы (2.7) и (2.8) с формулой (2.3) — определением функции e^z , получаем следующие формулы, справедливые при любом zcolon

$e^{iz}=cos z+isin z,,$

(2.9)

$e^z=operatorname{ch}z+operatorname{sh}z,.$

(2.10)

Формулы (2.9) и (2.10) — формулы Эйлера; они связывают тригонометрические и гиперболические функции с показательной. Формула (2.9) при z=x~(z=varphi) , где — действительная переменная, рассмотрена выше (см. формулу (2.4)).

Так как формулы (2.9) и (2.10) верны при любых значениях , то, заменяя на (-z) и учитывая, что sin z и operatorname{sh}z — нечетные, a cos z и operatorname{ch}z — четные функции, можем записать

$e^{-iz}=cos z-isin z,,qquad e^{-z}=operatorname{ch}z-operatorname{sh}z,.$

Комбинируя эти формулы с (2.9) и (2.10), получаем представление тригонометрических и гиперболических функций через показательную:

$sin z=frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},,qquad cos z=frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},,$

(2.11)

$operatorname{sh}z= frac{e^z-e^{-z}}{2},,qquad operatorname{ch}z= frac{e^z+e^{-z}}{2},.$

(2.12)

Эти формулы позволяют использовать при исследовании гиперболических и тригонометрических функций в комплексной области свойства показательной функции и не обращаться к определениям (2.7),(2.8), т.е. не рассматривать более сложные операции — действия с рядами.

Так, с помощью (2.11) и (2.12) устанавливается справедливость таких формул сложения, как

$begin{gathered}sin(z_1+z_2)= sin z_1cdot cos z_2+sin z_2cdot cos z_1,\[5pt] operatorname{ch}(z_1+z_2)= operatorname{ch}z_1cdot operatorname{sh}z_2+ operatorname{sh}z_2cdot operatorname{ch}z_1,end{gathered}$

и других формул, в частности формул тригонометрии.

Кроме того, что тригонометрические и гиперболические функции выражаются через e^z , они еще и связаны между собой. Соответствующие формулы получаются из (2.11) и (2.12):

$begin{array}{ll}cos iz=operatorname{ch}z,,&qquad operatorname{ch}iz= cos z,,\[5pt] sin iz= ioperatorname{sh}z,,&qquad operatorname{sh}iz= isin z,.end{array}$

(2.13)

Отсюда, в частности, получаются такие формулы, как

$operatorname{ch}^2z-operatorname{sh}^2z=1,qquad operatorname{ch}^2z+ operatorname{sh}^2z= operatorname{ch}2z,.$

Как и в действительной области, тригонометрические функции sin z и cos z являются периодическими и их период равен 2pi . Это следует из формул (2.11) (см. пример 2.15). А гиперболические функции, не будучи периодическими в действительной области, в комплексной области являются периодическими, их период, как и у функции e^z , — мнимое число T=2pi i (это следует из рассмотрения равенств (2.12)).

Замечательным свойством, не имеющим аналога в действительной области, является свойство неограниченности (по модулю) функций sin z и cos z . Эти функции могут принимать любые значения, в частности большие единицы. Например, для числа cos i по формуле (2.11) имеем: $cos i=frac{e^1+e^{-1}}{2}>1$ .

Пример 2.17. Найти |z| и arg z для чисел: а) z=sin2i ; б) $z=isin^2frac{1}{i}$ .

Решение

а) Используем формулу (2.13): sin2i=i operatorname{sh}2 , поэтому operatorname{Re}z=0,~ operatorname{Im}z= operatorname{sh}2 , а так как $operatorname{sh}2= frac{e^2-e^{-2}}{2}>0$ , то operatorname{Im}z>0 и, следовательно, $|z|=operatorname{sh}2,~ arg z=frac{pi}{2}$ .

б) Учитывая равенство $frac{1}{i}=-i$ , используем, как и выше, формулу (2.13):

$isin^2 frac{1}{i}= isin^2(-i)= isin^2i= i(i operatorname{sh}1)^2=-i operatorname{sh}^21,.$

Поэтому $operatorname{Re}z=0,~ operatorname{Im}z=-operatorname{sh}^21<0$ и, следовательно, $|z|= operatorname{sh}^21,~ arg z=-frac{pi}{2}$ .

Пример 2.18. Найти operatorname{Re}f(z),~ operatorname{Im}f(z) , если a) f(z)=sin z ; б) f(z)= operatorname{ch}z .

Решение

Для решения используем формулу сложения, обозначая z=x+iy , а также формулу (2.13).

а) Решим первый пример:

f(z)=sin z= sin(x+iy)= sin xcos iy+ sin iycos x= sin x operatorname{ch}y+ ioperatorname{sh}y cos x,,

поэтому operatorname{Re}f(z)=sin x operatorname{ch}y,~ operatorname{Im}f(z)= operatorname{sh}ycos x .

б) Решим второй пример:

f(z)=operatorname{ch}z= cos iz= cos[i(x+iy)]= cos(ix-y)= cos ixcos y+sin ixsin y= cos y operatorname{ch}x+i operatorname{sh}xsin y,,

поэтому operatorname{Re}f(z)=cos y operatorname{ch}x,~ operatorname{Im}f(z)= operatorname{sh}xsin y .

Для решения можно использовать формулу сложения непосредственно для гиперболической функции:

operatorname{ch}z= operatorname{ch}(x+iy)= operatorname{ch}x operatorname{ch} iy+ operatorname{sh}x sin iy= cos y operatorname{ch}x+ ioperatorname{sh}xsin y,.

Пример 2.19. Найти модуль и аргумент числа f(i) , если a) f(z)=operatorname{tg}z ; 6) $f(z)=(1-i)operatorname{cth}z^2$ .

Решение

а) Используем определение функции $operatorname{tg}z= frac{sin z}{cos z}$ и формулу (2.13):

$f(i)= operatorname{tg}i= frac{sin i}{cos i}= frac{ioperatorname{sh}1}{operatorname{ch}1}=ioperatorname{th}1;quad operatorname{Re}f(i)=0,~ operatorname{Im}f(i)= operatorname{th}1= frac{operatorname{sh}1}{operatorname{ch}1}= frac{e^1-e^{-1}}{e^1+e^{-1}}>0,$

поэтому $|f(i)|= operatorname{th}1= frac{e^2-1}{e^2+1},~~ arg f(i)=frac{pi}{2}$ .

б) Представим число $f(i)=(1-i)operatorname{cth}i^2$ в виде произведения двух чисел:

$f(i)=z_1cdot z_2,quad z_1=1-i,quad z_2=operatorname{cth}(-1)$

и найдем модуль и аргумент каждого. Для числа z_1=1-i имеем $|z_1|=sqrt{2},~ arg z_1=-frac{pi}{4}$ . Число z_2 является действительным, причем отрицательным, так как

$operatorname{cth}(-1)= frac{operatorname{ch}(-1)}{operatorname{sh}(-1)}=-frac{operatorname{ch}1}{operatorname{sh}1}= frac{e^1+e^{-1}}{e^{-1}-e^1}<0.$

Поэтому $|z_2|= operatorname{cth}1= frac{e^2+1}{e^2-1},~~ arg z_2=pi$ . Окончательно, используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получаем

$|f(i)|= |z_1|cdot |z_2|= sqrt{2} operatorname{cth}1,qquad arg f(i)= arg z_1+ arg z_2= frac{3pi}{4},.$

Пример 2.20. Найти мнимую часть числа operatorname{ch}a , где — тот корень уравнения z^4+4=0 , который расположен в третьей четверти.

Решение

Корнями уравнения z^4+4=0 , или z^4=-4 , являются четыре комплексных числа, которые могут быть найдены по правилу извлечения корня из комплексного числа:

$z=sqrt[LARGE{4}]{-4},quad z_k=sqrt{2}exp frac{pi+2pi k}{4},quad k=0,1,2,3.$

Для того чтобы отобрать корень, которому соответствует точка в третьей четверти, нужно взять k=2 . Искомым корнем будет число $a=sqrt{2}exp frac{5pi i}{4}$ , или в алгебраической форме $a=sqrt{2}!left(-frac{sqrt{2}}{2}-i,frac{sqrt{2}}{2}right)=-(1+i)$ .

Вычислим теперь operatorname{ch}(-1-i) или, что то же, operatorname{ch}(1+i) . Можно перейти к показательной функции по формуле (2.12) или использовать формулу сложения для гиперболической функции и формулу (2.13):

operatorname{ch}(1+i)= operatorname{ch}1cdot operatorname{ch} i+operatorname{sh}1cdot operatorname{sh} i= operatorname{ch}1cdotcos1+ ioperatorname{sh}1cdot sin1,.

Получаем ответ: operatorname{Im}operatorname{ch}a= operatorname{sh}1cdot sin1 .

Комплексный логарифм

Понятие функции, обратной показательной функции, как и в действительной области, связано с понятием логарифма числа.

Логарифмом комплексного числа zne0 называется число такое, что справедливо равенство e^z=A ; обозначается A=ln z . Таким образом, ln z=ALeftrightarrow e^A=z,~zne0 .

Для нахождения логарифма числа , т.е. для нахождения действительной и мнимой частей числа A~(A=ln z) , запишем число в показательной форме, и число будем искать в алгебраической форме: A=u+iv .

Тогда равенство $e^{u+iv}=r,e^{ivarphi}$ или $e^{u}cdot e^{iv}= r,e^{ivarphi}$ есть равенство чисел, записанных в показательной форме, и из него находим и {v} , а именно e^u=r , то есть u=ln r~(r>0); v=varphi+2kpi,~ kin mathbb{Z} . Для искомого числа получаем выражение:

A=ln z= ln r+i(varphi+2kpi),~ kin mathbb{Z} , где r=|z|,~ varphi=arg z .

Из этого следует, что логарифм комплексного числа определяется неоднозначно; полученное выражение определяет множество значений логарифма данного числа ; обозначается operatorname{Ln}zcolon

operatorname{Ln}z= ln|z|+i(varphi+2kpi),quad kinmathbb{Z}.

(2.14)

Для каждого фиксированного значения kinmathbb{Z} получаем определенное число — значение логарифма числа ; при k=0 оно называется главным значением логарифма:

ln z=ln|z|+iarg z,quad-pi<arg zleqslantpi.

(2.15)

Пример 2.21. Найти ln z — главные значения и operatorname{Ln}z для следующих чисел:

а) z=1 ; б) z=1+i ; в) z=2-i .

Решение

а) Находим модуль и аргумент числа z=1colon, |z|=1,~ arg z=0 . По формулам (2.14) и (2.15) получаем:

ln1=0,qquad operatorname{Ln}1=2kpi i,quad k=0,pm1,pm2,ldots

б) Для числа z=1+i находим модуль и аргумент: $|z|=sqrt{2},~ arg z=frac{pi}{4}$ . Поэтому имеем результат:

$ln(1+i)= lnsqrt{2}+i,frac{pi}{4};qquad operatorname{Ln}(1+i)= lnsqrt{2}+ i left(frac{pi}{4}+2kpiright)!,quad k=0,pm1,pm2,ldots$

в) Находим модуль и аргумент числа $z=2-icolon, |z|=sqrt{5},~ arg z= operatorname{arctg}!left(-frac{1}{2}right)$ . Получаем ответ:

$ln(2-i)= lnsqrt{5}+ i operatorname{arctg}!left(-frac{1}{2}right)!,qquad operatorname{Ln}(2-i)= lnsqrt{5}+i left(operatorname{arctg}!left(-frac{1}{2}right)+ 2kpi right)!,quad kin mathbb{Z}.$

Пример 2.22. Найти модуль, аргумент, действительную и мнимую части числа ln2i .

Решение

Находим модуль и аргумент числа $2icolon, |z|=2,~ arg z=frac{pi}{2}$ . По формуле (2.14) получаем $ln2i= ln2+i,frac{pi}{2}$ . Поэтому:

$operatorname{Re}(ln2i)= ln2,quad operatorname{Im}(ln2i)=frac{pi}{2},quad |ln2i|= sqrt{ln^22+frac{pi^2}{4}}= frac{1}{2}sqrt{ln^24+pi^2}.$

Точка a=ln2i расположена в первой четверти, так как operatorname{Re}a>0 и operatorname{Im}a>0 . Поэтому

$arg(ln2i)= operatorname{arctg}frac{pi}{2ln2}= operatorname{arctg} frac{pi}{ln4}.$

Замечание 2.4. Введение понятия логарифма числа позволяет определить в комплексной области степень с любым комплексным показателем $z^{alpha}$ и показательную функцию с любым комплексным основанием a^z .

При alpha=n и $alpha=frac{1}{n}$ , где — натуральное число, степени z^n и sqrt[LARGE{n}]{z} рассмотрены выше; при alpha=k и $alpha=frac{1}{k}$ , где — целое число (kne0) , определение к также очевидно.

В общем случае при любом комплексном alpha степень определяется формулой

$z^{alpha}=e^{alpha operatorname{Ln}z},quad zne0.$

(2.16)

Аналогично вводится функция a^z с любым комплексным основанием ane0

$a^z=e^{z operatorname{Ln}a}.$

(2.17)

В силу бесконечной значности логарифма, каждому числу z~(zne0) соответствует бесконечное множество значений степени $z^{alpha}$ , определяемой по формуле (2.16), и бесконечное множество чисел, определяемых по формуле (2.17) при ane0 . Среди этих множеств выделяются главные значения, которые соответствуют главным значениям логарифмов.

Пример 2.23. Показать, что выражение i^i принимает только действительные значения.

Решение

Пример 2.24. Найти ln a , где — корень уравнения z^6+8=0 , удовлетворяющий условию $frac{pi}{2}<arg z<pi$ .

Решение

Замечание 2.5. Введение понятия логарифма комплексного числа позволяет решать в комплексной области показательные уравнения. Простейшим таким уравнением является уравнение вида e^z+a=0 . Решение этого уравнения сводится к нахождению значений выражения operatorname{Ln}(-a) , то есть z=operatorname{Ln}(-a) .

Пример 2.25. Решить уравнения: a) e^z-2=0 ; б) e^z+2=0 ; в) e^z+2i=0 .

Решение

а) Из равенства e^z=2 по определению логарифма получаем z=operatorname{Ln}2 . Далее, учитывая равенства |2|=2,~ arg2=0 , по формуле (2.14) находим z=operatorname{Ln}2= ln2+i(2kpi),~ kinmathbb{Z} . Уравнение имеет бесчисленное множество решений, которые геометрически изображаются точками, расположенными на расстоянии 2pi друг от друга на прямой operatorname{Re}z=ln2 , параллельной мнимой оси. Среди решений есть действительное число z_0=ln2 — точка на оси .

б) Все решения уравнения получаются, как значения выражения operatorname{Ln}(-2) , то есть z=operatorname{Ln}(-2)= ln2+ i(pi+2kpi),~ kinmathbb{Z} .

в) Из равенства e^z=-2i получаем z=operatorname{Ln}(-2i) . Находим модуль и аргумент числа $(-2i)colon, r=2,~varphi=-frac{pi}{2}$ . Множество решений уравнения описывается равенством

$z= operatorname{Ln}(-2i)= ln2+ i left(-frac{pi}{2}+2kpiright)!,quad kin mathbb{Z}.$

В случаях «б» и «в» уравнения не имеют действительных решений, так как ни при каких значениях среди полученных множеств нет действительных чисел. Геометрически же соответствующие точки расположены на той же прямой operatorname{Re}z=ln2 , что и в случае «а», на расстоянии 2pi друг от друга; начальными значениями (при k=0 ) для них являются z_0=ln2+ipi и $z_0^{ast}=ln2-i,frac{pi}{2}$ . Решения уравнений «б» и «в» изображены на рис. 2.10 (по осям масштабы разные).

Решения уравнений на комплексной плоскости

Пример 2.26. Найти из уравнения operatorname{ch}z=-2i .

Решение

Используя формулу (2.12), сведем задачу к решению показательного уравнения $e^{z}+e^{-z}=-4i$ . Получим квадратное уравнение относительно функции $e^zcolon, e^{2z}+4i,e^z+1=0$ , корнями которого являются числа (-2pmsqrt{5})i . Далее нужно найти значения выражений operatorname{Ln}(-2pmsqrt{5})i . Для этого используем формулу (2.14):

$begin{aligned}operatorname{Ln}(-2+sqrt{5})i&= ln(sqrt{5}-2)+ ileft(frac{pi}{2}+ 2kpiright)!,quad kin mathbb{Z}; operatorname{Ln}(-2-sqrt{5})i&= ln(sqrt{5}+2)+ ileft(-frac{pi}{2}+2kpiright)!,quad kin mathbb{Z}. end{aligned}$

Получили два множества решений исходного уравнения:

$z_k=ln(sqrt{5}-2)+ ileft(frac{pi}{2}+ 2kpiright)!,quad ln(sqrt{5}+2)+ ileft(-frac{pi}{2}+2kpiright)!,quad kin mathbb{Z}.$

Геометрически — это точки, лежащие на прямых

$operatorname{Re}z= ln(sqrt{5}-2)= ln frac{1}{sqrt{5}+2}=-ln(sqrt{5}+2),qquad operatorname{Re}z=ln(sqrt{5}+2),$

параллельных мнимой оси; расстояние между любыми соседними точками на каждой прямой равны 2pi ; начальные значения (при k=0 ):

$z_0= ln(sqrt{5}-2)+ i,frac{pi}{2}$ или $z_0=-ln(sqrt{5}+2)+ i,frac{pi}{2}$ и $z_0^{ast}= ln(sqrt{5}+2)- i,frac{pi}{2}$ (рис. 2.11).

Логарифмическая функция комплексного переменного

Логарифмическая функция вводится, как функция, обратная к показательной, т.е. как решение уравнения $e^w=z,~ w=operatorname{Ln}z$ , значения функции при любом zne0 определяются по формуле (2.14).

Функция, очевидно, многозначная и отображает плоскость на каждую из полос:

2(k-1)pi< operatorname{Im}z<2kpi,~kin mathbb{Z} , или (2k-1)pi< operatorname{Im}z<(2k+1)pi,~ kin mathbb{Z} .

В плоскости с разрезом по лучу [0;+infty) возможно выделение однозначных ветвей, каждая из которых однозначно отображает эту плоскость на одну из полос 2(k-1)pi< operatorname{Im}z< 2kpi,~kin mathbb{Z} , в частности функция ln z — главное значение логарифмической функции отображает плоскость на полосу 0< operatorname{Im}z<2pi (см. рис. 2.9). В плоскости с разрезом (-infty;0] также возможно выделение однозначных ветвей, каждая из которых однозначно отображает эту плоскость на одну из полос (2k-1)pi< operatorname{Im}z<(2k+1)pi,~ kin mathbb{Z} , в частности функция ln z — главное значение логарифмической функции отображает плоскость на полосу -pi<operatorname{Im}z<pi . Выделение ветви определяется заданием значения функции в одной из точек области.

Пример 2.27. Найти решение уравнения e^z+2i=0 при условии ln(-1)=3pi i .

Решение

Обратные тригонометрические и гиперболические комплексные функции

Функции, обратные к тригонометрическим и гиперболическим функциям, определяются, как и в действительной области.

Например, обратным тригонометрическим синусом числа называется число такое, что выполняется равенство sin w=z . Отображение обозначается, как и в действительной области, w=arcsin z .

Аналогично определяются и другие тригонометрические функции комплексного аргумента:

arccos z,quad operatorname{arctg}z,quad operatorname{arcctg}z,quad operatorname{arsh}z,quad operatorname{arch}z,quad operatorname{arth}z,quad operatorname{arcth}z.

Из определений могут быть получены формулы для нахождения числа по заданному числу .

Рассмотрим эту задачу на примере нахождения w=arcsin z . По определению имеем z=sin w . Заменим sin w по формуле Эйлера (2.11), и из соотношения $z=frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}$ или $e^{2iw}-2iz,e^{iw}-1=0$ , т.е. квадратного уравнения относительно $e^{iw}$ , находим $e^{iw}colon, e^{iw}= iz+sqrt{(iz)^2+1}$ . Перед радикалом записан только знак плюс, так как в комплексной области sqrt{a} — двузначное выражение. Далее, используя определение логарифма, находим

$iw= operatorname{Ln}bigl(iz+sqrt{1-z^2}bigr),qquad w= frac{1}{i} operatorname{Ln} bigl(iz+sqrt{1-z^2}bigr).$

Для каждого числа получаем бесконечное множество значений для в силу двузначности $sqrt{1-z^2}$ и бесконечной значности логарифма. Все это множество значений обозначается operatorname{Arcsin}z . Окончательный результат:

$operatorname{Arcsin}z= frac{1}{i} operatorname{Ln}bigl(iz+ sqrt{1-z^2}bigr).$

(2.18)

Формулы, аналогичные (2.18), могут быть получены и для других функций:

$begin{gathered}operatorname{Arccos}z= frac{1}{i} operatorname{Ln}bigl(z+ sqrt{z^2-1}bigr);quad operatorname{Arctg}z=-frac{i}{2} operatorname{Ln}frac{1+iz}{1-iz};quad operatorname{Arcctg}z= frac{i}{2} operatorname{Ln}frac{z-i}{z+i};\[5pt] operatorname{Arsh}z= operatorname{Ln}bigl(z+ sqrt{1+z^2}bigr);quad operatorname{Arch}z= operatorname{Ln}bigl(z+ sqrt{z^2-1}bigr);quad operatorname{Arth}z= frac{1}{2} operatorname{Ln}frac{1+z}{1-z};quad operatorname{Arcth}z= frac{1}{2} operatorname{Ln}frac{z+1}{z-1}. end{gathered}$

Все эти формулы, как и (2.18), дают бесконечнозначные выражения — определяют многозначные функции. Выделяя однозначную ветвь выражения operatorname{Ln}A , можно получить однозначные функции в каждом случае.

Большого практического значения эти формулы, как и (2.18), не имеют. Для нахождения значений обратных тригонометрических и обратных гиперболических функций можно использовать их определения и формулы связи тригонометрических и гиперболических функций с показательной функцией (формулы Эйлера (2.11)-(2.12)), т.е. применять метод, с помощью которого выведена формула (2.18). Этим методом решен пример 2.26, где найдено значение operatorname{Arch}(-2i) .

Замечание 2.6. Рассмотрим уравнения, содержащие тригонометрические и гиперболические функции. Простейшими из них являются уравнения:

$begin{array}{llll}sin z=a,&quad cos z=a,&quad operatorname{tg}z=a,&quad operatorname{ctg}z,\[5pt] operatorname{sh}z=a,&quad operatorname{ch}z,&quad operatorname{th}z=a,&quad operatorname{cth}z=a.end{array}$

Решение их, согласно определению, сводится к нахождению обратных тригонометрических и обратных гиперболических функций.

Пример 2.28. Решить уравнение sin z=2 .

Решение

Множество решений уравнения определяется выражением z=operatorname{Arcsin}2 , или с помощью формулы (2.18): z=-i operatorname{Ln}bigl(2i+sqrt{1-4}bigr) . Выражение в скобках, в силу двузначности корня, записывается в виде a=2i+isqrt{3} и b=2i-isqrt{3} . Для каждого из этих чисел по сформулированному выше правилу находим логарифм:

а) для числа a=(2+sqrt{3})i имеем $|a|=2+sqrt{3},~ arg a=frac{pi}{2}$ , поэтому

$operatorname{Ln}a= operatorname{Ln}(2+sqrt{3})i= ln(2+sqrt{3})+ i left(frac{pi}{2}+2kpiright)!,quad kin mathbb{Z};$

б) для числа b=(2-sqrt{3})i имеем $|b|=2-sqrt{3},~ arg b=frac{pi}{2}$ , поэтому

$operatorname{Ln}b= operatorname{Ln}(2-sqrt{3})i= ln(2-sqrt{3})+ i left(frac{pi}{2}+2kpiright)!,quad kin mathbb{Z}.$

Получаем два множества решений уравнения:

$z_k=left(frac{pi}{2}+2kpiright)- iln(2+sqrt{3}),qquad z_k^{ast}= left(frac{pi}{2}+ 2kpiright)- iln(2-sqrt{3})$

Геометрически — это множество точек, расположенных на расстоянии 2pi друг от друга на прямых, параллельных мнимой оси (рис. 2.12):

$operatorname{Im}z= ln(2-sqrt{3})= ln frac{1}{2+sqrt{3}}=-ln(2+sqrt{3})$ и $operatorname{Im}z= ln(2+sqrt{3})= ln frac{1}{2-sqrt{3}}=-ln(2-sqrt{3})$ ,

Действительных решений уравнение не имеет, так как ни при каком значении среди чисел z_k нет действительных. Это соответствует известному свойству функции sin x в действительной области |sin x|leqslant1 .

Множество точек на комплексной плоскости

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Привет, сегодня поговорим про комплексный логарифм, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое
комплексный логарифм , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Комплексный анализ и операционное исчисление (теория функций комплексного переменного).

Наглядное представление функции натурального комплексного логарифма (главная ветвь). Аргумент значения функции обозначается цветом, а модуль — яркостью.

комплексный логарифм — аналитическая функция , получаемая распространением вещественного логарифма на всюкомплексную плоскость (кроме нуля). Существует несколько эквивалентных способов такого распространения. Данная функция имеет широкое применение в комплексном анализе. В отличие от вещественного случая, функция комплексного логарифма многозначна.

Содержание

1 Определение и свойства
2 Примеры значений комплексного логарифма
3 Комплексная логарифмическая функция и риманова поверхность
4 Аналитическое продолжение
5 Связь с обратными тригонометрическими и гиперболическими функциями
6 Исторический очерк
7 Литература
8 Примечания

Определение и свойства[править ]

Для комплексных чисел логарифм можно определить так же, как для вещественных, то есть как обращениепоказательной функции. На практике используется практически только натуральный комплексный логарифм, основание которого — число Эйлера : он обозначается обычно .

Другие, эквивалентные данному, варианты определения приведены ниже.

В поле комплексных чисел решение этого уравнения, в отличие от вещественного случая, не определено однозначно. Например, согласно тождеству Эйлера, ; однако также . Это связано с тем, что показательная функция вдоль мнимой оси является периодической (с периодом )^[2], и одно и то же значение функция принимает бесконечно много раз. Таким образом, комплексная логарифмическая функция является многозначной.

Комплексный нуль не имеет логарифма, поскольку комплексная экспонента не принимает нулевого значения. Ненулевое можно представить в показательной форме:

где

— произвольное целое число

Тогда находится по формуле^[3]:

Здесь — вещественный логарифм. Отсюда вытекает:

Вещественная часть комплексного логарифма

Из формулы видно, что у одного и только одного из значений мнимая часть находится в интервале . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Это значение называется главным значением комплексного натурального логарифма^[1]. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается . Иногда через также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви. Если — вещественное число, то главное значение его логарифма совпадает с обычным вещественным логарифмом.

Из приведенной формулы также следует, что вещественная часть логарифма определяется следующим образом через компоненты аргумента:

На рисунке показано, что вещественная часть как функция компонентов центрально-симметрична и зависит только от расстояния до начала координат. Она получается вращением графика вещественного логарифма вокруг вертикальной оси. С приближением к нулю функция стремится к

Логарифм отрицательного числа находится по формуле^[3]:

Примеры значений комплексного логарифма[править ]

Приведем главное значение логарифма () и общее его выражение () для некоторых аргументов:

Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

— явная ошибка.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви (). Причина ошибки — неосторожное использование свойства , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Комплексная логарифмическая функция и риманова поверхность[править ]

Риманова поверхность для комплексного логарифма

В комплексном анализе вместо рассмотрения многозначных функций на комплексной плоскости принято иное решение: рассматривать функцию как однозначную, но определенную не на плоскости, а на более сложном многообразии, которое называется римановой поверхностью^[4]. Комплексная логарифмическая функция также относится к этой категории: ее образ (см. рисунок) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных в виде спирали. Эта поверхность непрерывна и односвязна. Единственный нуль у функции (первого порядка) получается при . Особые точки: и (точки разветвления бесконечного порядка)^[5].

В силу односвязности риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей^[6] для комплексной плоскости без точки .

Аналитическое продолжение[править ]

Логарифм комплексного числа также может быть определен как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всюкомплексную плоскость. Пусть кривая начинается в единице, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке кривой можно определить по формуле^[5]:

Если — простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например:

Главная ветвь логарифмической функции непрерывна и дифференцируема на всей комплексной плоскости, кроме отрицательной части вещественной оси, на которой мнимая часть скачком меняется на . Но этот факт есть следствие искусственного ограничения мнимой части главного значения интервалом . Если рассмотреть все ветви функции, то непрерывность имеет место во всех точках, кроме нуля, где функция не определена. Если разрешить кривой пересекать отрицательную часть вещественной оси, то первое такое пересечение переносит результат с ветви главного значения на соседнюю ветвь, а каждое следующее пересечение вызывает аналогичное смещение по ветвям логарифмической функции^[5] (см. рисунок).

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма^[2]:

Для любой окружности , охватывающей точку :

Интеграл берется в положительном направлении (против часовой стрелки). Это тождество лежит в основе теории вычетов.

Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью рядов, известных для вещественного случая:

(Ряд 1)

(Ряд 2)

Однако из вида этих рядов следует, что в единице сумма ряда равна нулю, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма. Радиус сходимости обоих рядов равен 1.

Связь с обратными тригонометрическими и гиперболическими функциями[править ]

Поскольку комплексные тригонометрические функции связаны с экспонентой (формула Эйлера), то комплексный логарифм как обратная к экспоненте функция связан собратными тригонометрическими функциями^[7] ^[8]:

Гиперболические функции на комплексной плоскости можно рассматривать как тригонометрические функции мнимого аргумента, поэтому и здесь имеет место связь с логарифмом ^[8]:

— обратный гиперболический синус

— обратный гиперболический косинус

— обратный гиперболический тангенс

— обратный гиперболический котангенс

Исторический очерк[править ]

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда еще не было ясно определено само понятие логарифма^[9]. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Д’Аламбером и Эйлером. Бернулли и Д’Аламбер считали, что следует определить , в то время как Лейбниц доказывал, что логарифм отрицательного числа есть мнимое число^[9]. Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной^[10]. Хотя спор продолжался (Д’Аламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал ее в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), подход Эйлера к концу XVIII века получил всеобщее признание.

В XIX веке, с развитием комплексного анализа, исследование комплексного логарифма стимулировало новые открытия. Гаусс в 1811 году разработал полную теорию многозначности логарифмической функции^[11], определяемой как интеграл от . Риман, опираясь на уже известные факты об этой и аналогичных функциях, построил общую теорию римановых поверхностей.

Разработка теории конформных отображений показала, что меркаторская проекция в картографии, возникшая еще до открытия логарифмов (1550), может быть описана как комплексный логарифм^[12].

Литература[править ]

Теория логарифмов

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.

История логарифмов

Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трех томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. — М.: Наука, 1981. — Т. II.

Напиши свое отношение про комплексный логарифм. Это меня вдохновит писать для тебя всё больше и больше интересного. Спасибо Надеюсь, что теперь ты понял что такое комплексный логарифм
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Комплексный анализ и операционное исчисление (теория функций комплексного переменного)

Источник

Комплексный логарифм по любому основанию

Основание логарифма

Число

Логарифм комплексного числа по комплексному основанию

Прежде, чем мы начнем речь непосредственно о логарифмах, хотелось бы поговорить о степенях чисел и их свойствах.

Действия над степенями осуществляются по следующим правилам и они Вам должны быть хорошо известны

$?{ab}^p=a^pb^p$

$(a^p)^q=a^{pq}$

(cfrac{a^p}{a^q}=a^{p-q})

((cfrac{a}{b})^p=cfrac{a^p}{b^p})

где a,b,p и q —произвольные числа.

В 16 веке когда возникла насущная потребность рассчитывать многозначные числа, чаще всего для астрономии и мореплавания, возник вопрос «А можно ли заменить умножение и деление многозначных чисел на более легкие операции сложения и вычитания?»

Взглянув на выше приведенные формулы , мы замечаем что то похожее в двух формулах

(a^pa^q=a^{p+q}) и (cfrac{a^p}{a^q}=a^{p-q})

Осталось теперь превратить произвольное многозначное число в число вида a^p

Для некоторых чисел это известно 8=2^3 27=3^3 и так далее, то есть любое число можно выразить в подобном виде.

число a — называется основание степени, p-степень числа

Итак у нас все готово для того что бы мы могли «заменить» умножение сложением, а деление — вычитанием.

Для этого придуман логарифм, обладающим таким свойством что $a^{log_ab}=b$

$a^{log_ab}$

a — основание логарифма, которое равно численно основанию степени.

$8=2^3 => log_2{8}=3$

$27=3^3 =>log_3{27}=3$

Так вот, с 16-ого века, для решения задач, стали применять предварительно рассчитанные таблицы логарифов, для определенных чисел. В мои школьные годы мы использовали таблицы Брадиса.

Сейчас, при тотальной информатизации населения и товаров, наверное только наручные часы не умеют автоматически рассчитывать логарифмы.

Логарифмы обладают следующими свойствами

({log_a(uv)}=log_au+log_av)

({log_a(cfrac{u}{v})}=log_au-log_av)

({log_a(u)}^k=k*log_au)

(log_a(u)=cfrac{log_bu}{log_ba})

Последняя формула примечательна тем, что с помощью можно рассчитывать логарифм любого числа (кроме нуля) и любого основания, в том числе и комплексных чисел

b— это основание логарифма и оно может быть любым. Поэтому мы можем взять за основу число e=2.718… и получим что

(log_a(u)=cfrac{ln(u)}{ln(a)})

Натуральные логарифы комплексных чисел мы считать уже умеем, поэтому рассчитать логарифм любого числа по любому основанию не вызовет никаких затруднений.

В основании можно кроме цифровых значений можно ввести две тестовых константы e(2.718281828459) и pi(3.1415926535898)

Если введет e — то получите значение натурального логарифма

Чему равен натуральный логарифм мнимой единицы?

Логарифм комплексного числа по комплексному основанию

Логарифм числа 0+1i
По основанию 2.718281828459
Равен = 0+1.5707963267949i

Таким образом бот помогает считать любые значения и выражения по любому основанию.

Где используются комплексные логарифмы?

Удачи в расчетах!

Источник

Элементарные функции комплексного переменного.

Рассмотрим некоторые
элементарные функции комплексного
переменного, а именно, показательную
функцию

,
логарифмическую функцию

,
тригонометрические —

,

,

,

и,
обратные тригонометрические функции

,

,

,

,а
также гиперболические функции

,

,

,

и обратные к ним функции

,

,

,

).

1. Показательная функция комплексного переменного.

Показательная
функция

определяется как

или

(12)

Очевидны следующие
свойства функции

1)

;

2)

.

Так как

,
то показательная функция

— периодическая функция периода

.

Пример 24.
Найти значение функции

в точке

и указать координаты точки комплексной
плоскости, соответствующей найденному
значению.

Решение.

,
откуда координаты искомой точки

.●

2. Логарифмическая функция комплексного переменного.

Логарифмическая
функция

определяется как обратная к показательной.

Определение.
Натуральным логарифмом
(
)
комплексного числа

называется показатель степени

в которую необходимо возвести число

,
чтобы получить число

Пусть

,
где

Тогда

,
откуда

,

,

.

,
где

(13)

Определение.
Выражение

называется главным
значением натурального логарифма числа

Из формулы (13)
следует, что действительная часть
натурального логарифма определяется
однозначно, а мнимая часть содержит
неопределенное слагаемое, кратное

,
т. е. существует бесконечное множество
значений натурального логарифма любого
числа

,
отличного от нуля.

Логарифм нуля не
существует.

Пример 25.
Вычислить

и

.

Решение.
Найдем модуль и аргумент числа

.

Так
как действительная и мнимая части числа

отрицательны, то главное значение
аргумента равно

.

Тогда

—

главное
значение логарифма данного числа и

.●

Пример 26.
Вычислить

и

.

Решение.
Модуль числа

равен

,
а главное значение аргумента равно

,
следовательно,

,

.●

С помощью логарифма
может быть определена любая степень
комплексного числа.

Пример 27.
Вычислить

.

Решение.

,

где

Обратите внимание,
что

-действительные числа.●

3. Тригонометрические функции комплексного переменного.

Тригонометрические
функции синус и косинус определены
ранее (см. формулы (6)).

Определение.
Тригонометрическая функция синус
комплексного переменного определяется
как

,
где

,
(14)

функция косинус
как

,
где

, (15)

функция тангенс
как

,
где

, (16)

функция котангенс
как

,
где

. (17)

Пример 28.
Вычислить

.

Решение.

.●

Пример 29.
Вычислить

.
Пример
28.
Вычислить

.

Решение.

●

Пример 30.
Доказать, что

.

Решение.

.●

Замечание.
Для тригонометрических функций
комплексной переменной имеют место и
другие тождества, справедливые для
тригонометрических функций действительного
аргумента

(см. пример 31).

Пример 31.
Доказать, что

.

Решение.

Пример 32.
Решить уравнение

.

Решение.

,
откуда

,

и

.

Решая квадратное
относительно

,
имеем

или

,
откуда

Ответ:

Замечание.
Числа

при

имеют одинаковые мнимые части, поэтому
они лежат на прямой, параллельной
действительной оси и отстоящей от нее
на расстоянии

.●

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

ТФКП логарифм комплексного числа [0:41]

Логарифм комплексного числа (комплексный логарифм) — это решение уравнения вида e^z = c относительно комплексной переменной z. В теории функций комплексного переменного рассматривается как многозначная аналитическая функция.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

x — действительная часть (абсцисса) числа;

y — мнимая часть (ордината) числа;

r — модуль комплексного числа;

φ — аргумент комплексного числа;

x + iy — комплексное число;

ln x — натуральный логарифм вещественного числа;

Ln(x + iy) — комплексный натуральный логарифм.

Формула[править]

${displaystyle Ln(x+iy)=ln {sqrt {x^{2}+y^{2}}}+ileft(arctg{frac {y}{x}}+2pi nright), nin mathbb {Z} Leftrightarrow }$

${displaystyle Lnleft[r(cos varphi +isin varphi )right]=ln r+i(varphi +2pi n), r={sqrt {x^{2}+y^{2}}}, varphi =arctg{frac {y}{x}}, nin mathbb {Z} }$

Примеры:[править]

{displaystyle Ln(x)=ln(x)+2pi ni, x>0, nin mathbb {Z} }

{displaystyle Ln(-x)=ln(x)+(2n+1)pi i, x>0, nin mathbb {Z} }

${displaystyle Ln(iy)=ln(y)+left(2n+{frac {1}{2}}right)pi i, y>0, nin mathbb {Z} }$

{displaystyle Ln(1)=2pi ni, nin mathbb {Z} }

{displaystyle Ln(-1)=(2n+1)pi i, nin mathbb {Z} }

${displaystyle Ln(i)={frac {4n+1}{2}}pi i, nin mathbb {Z} }$

${displaystyle Ln(-i)={frac {4n-1}{2}}pi i, nin mathbb {Z} }$

См. также[править]

Выражение гиперболических функций через тригонометрические
Выражение тригонометрических функций через гиперболические

Другие операции:[править]

сложение чисел;
вычитание чисел;
умножение чисел;
деление чисел;
обращение числа;
возведение в степень;
извлечение квадратного корня;
извлечение кубического корня;
извлечение корня n-ой степени;
логарифмирование числа;
возведение в комплексную степень;
взятие комплексно сопряжённого числа;
- сложение комплексно сопряжённых чисел;
- вычитание комплексно сопряжённых чисел;
- умножение комплексно сопряжённых чисел;
- деление комплексно сопряжённых чисел;
- обращение комплексно сопряжённого числа.

Литература[править]

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970, стр.623.

Источник