Как найти логарифм от логарифма неравенство

Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.

Давайте повторим, что такое логарифмы:

Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

При этом

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)

(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду Знак здесь может быть любой: Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.

И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения .

Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение

Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.

1. Рассмотрим неравенство log₃x > log₃5.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log₃x₁ > log₃x₂ следует, что x₁ > x₂.

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.

Итак, x > 5.

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

2. log₅(15 + 3x) > log₅2x

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

15 + 3x > 2x.

Получаем: x > −15.

Итак,

Ответ: x > 0.

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

Приведем пример.

3.

Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

Решая эту систему, получим: x > 4,5.

Поскольку , логарифмическая функция с основанием монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

И если , то
2x − 9 ≤ x.

Получим, что x ≤ 9.

Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:

x ∈ (4,5; 9].

В следующей задаче логарифмическое неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

Теперь более сложные неравенства:

4. Решите неравенство

Ответ:

5. Решите неравенство

ОДЗ:

Если , то . Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.

Сделаем замену

Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!

Ответ:

6.

Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:

Упростим эту систему:

Это область допустимых значений неравенства.

Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что

В данном случае удобно перейти к основанию 4.

Сделаем замену

Упростим неравенство и решим его методом интервалов:

Итак,

Вернемся к переменной x:

Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).

Ответ:

7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов

Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае

Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:

Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:

Видим, что условие (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.

Решаем неравенство методом интервалов:

Ответ:

Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:

8. Решите неравенство:

Неравенство равносильно системе:

Ответ:

9. Решите неравенство:

Выражение 5^—x2навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:

Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда

Неравенство примет вид:

Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, (t − 3) (5⁹ · t − 1) > 0

Если это условие выполнено, то и частное будет положительным.

А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625t − 2)².

Это означает, что 625t − 2 ≠ 0, то есть

Аккуратно запишем ОДЗ

и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.

Итак,

Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:

«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.

Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:

Вспомним, что (это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.

Получим, что

Вернемся к переменной x

Поскольку

Ответ:

10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.

Запишем ОДЗ:

Воспользуемся формулой и перейдем к основанию 10:

Применим обобщенный метод интервалов. Выражение в левой части неравенства можно записать как функцию

Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.

Выражение lg |x − 3| равно нулю, если |x − 3| = 1, то есть x = 4 или x = 2.

Выражение lg (|x| − 2) равно нулю, если |x| = 3, то есть в точках 3 и −3.

Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.

Найдем знак функции g(x) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.

Ответ:

11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.

Запишем ОДЗ:

Итак, Это ОДЗ.

Обратите внимание, что .

Это пригодится вам при решении неравенства.

Упростим исходное неравенство:

Теперь главное – не спешить. Мы уже говорили, что задача непростая – в ней расставлены ловушки. В первую вы попадете, если напишете, что Ведь выражение в данном случае не имеет смысла, поскольку x < 18.

Как же быть? Вспомним, что (x — 18)²=(18 — x)². Тогда:

Вторая ловушка – попроще. Запись означает, что сначала надо вычислить логарифм, а потом возвести полученное выражение в квадрат. Поэтому:

Дальше – всё просто. Сделаем замену

Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому t = 2. Тогда

— не удовлетворяет ОДЗ;

Ответ: 2.

Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.

Читайте также: Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Логарифмические неравенства повышенной сложности

Как решать логарифмические неравенства?

Решение неравенств с логарифмами похоже на решение обычных логарифмических уравнений. Но есть несколько моментов, которые необходимо учитывать.

Для начала вспомним, что такое логарифм (log_{a}b) — это в какую степень нужно возвести число (a), чтобы получить (b). Кстати, число (a) называют основанием логарифма, а число (b) — аргументом. Например:
$$log_{3}(27)=3;$$
$$log_{frac{1}{3}}(9)=log_{frac{1}{3}}((frac{1}{3})^{-2})=-2;$$
$$log_{2}(sqrt{2})=log_{2}(2^{frac{1}{2}})=frac{1}{2};$$

Если у вас возникают сложности с вычислением логарифмов настоятельно рекомендую сначала почитать про логарифмы и их свойства.

При этом нужно помнить про ограничения, которые накладываются на логарифм (log_{a}b):
$$ begin{cases}
b>0, \
a>0, \
a neq 1.
end{cases}$$

Начнем изучение неравенств с небольшого примера:
$$log_{2}x>log_{2}4;$$
Сравниваются два логарифма с ОДИНАКОВЫМ основанием, значит вполне логично предположить, что (log_{2}x) будет больше (log_{2}4), при условии, что (x>4). Это и будет решением нашего простого неравенства.

Действительно, согласно определению логарифма, чем больше (х), тем в бОльшую степень нужно возвести (2-ку) в основании логарифма, а значит, и тем больше будет сам логарифм. Подставим в неравенство (х=16) — число большее (4):
$$log_{2}16>log_{2}4;$$
Посчитаем получившиеся логарифмы:
$$4>2;$$
Получили верное неравенство.

И подставляя любые числа большие (4), вы всегда будете получать верное неравенство. Некоторые логарифмы мы не можем посчитать, как например (log_{2}15), но логика сохраняется, если подставлять (x>4), неравенство будет верным. Кстати, калькулятор вам любезно подскажет, что (log_{2}15=3,907>log_{2}4), что нас устраивает.

Ответ: (x>4).

Теперь рассмотрим другой пример:
$$log_{frac{1}{2}}(x)>log_{frac{1}{2}}(4);$$
Обратите внимание, я поменял основания на (frac{1}{2}). Интересно, изменится ли логика рассуждений? Подставим (х=16>4):
$$log_{frac{1}{2}}(16)>log_{frac{1}{2}}(4);$$
$$log_{frac{1}{2}}(2^4)>log_{frac{1}{2}}(2^2);$$
$$log_{frac{1}{2}}((frac{1}{2})^{-4})>log_{frac{1}{2}}((frac{1}{2})^{-2});$$
Посчитаем логарифмы слева и справа:
$$-4>-2;$$

Опа! Получилось неверное неравенство! (-4) конечно же не больше (-2). Мы подставили под левый логарифм число большее, чем у правого, но получили, что значение логарифма меньше.
Другими словами, если основание логарифма будет меньше единицы, то чем бОльший аргумент мы подставляем, тем меньший логарифм будем получать.

Оказывается, если основание у логарифма больше единицы, то логарифм будет возрастающей функцией: чем БОЛЬШЕЕ значение аргумента, тем БОЛЬШЕ сам логарифм. Если основание логарифма меньше единицы, то логарифм будет убывающей функцией: чем БОЛЬШЕЕ значение аргумента, тем МЕНЬШЕ значение логарифма.

Для примера на рисунке показан график логарифмов (log_{2}(x)) с основанием 2 (красным цветом) — возрастающая функция. И (log_{frac{1}{2}}(x)) с основанием 0,5 — синим цветом (убывающая функция).

Находим пересечение указанных областей. И видим, что все (x>8) удовлетворяют ОДЗ, записываем ответ.

Ответ: (x>8.)

Пример 2
$$log_{3}(x+3)>log_{3}(2x-4);$$

Любой пример начинаем с ОДЗ:
$$ begin{cases}
x+3>0, \
2x-4>0. \
end{cases}$$
$$ begin{cases}
x>-3, \
x>2. \
end{cases}$$
Итого ОДЗ получается (x>2).
Теперь приступаем к решению самого неравенства. Слева и справа стоят логарифмы с одинаковыми основаниями большими единицы. Значит просто избавляемся от логарифмов:
$$x+3>2x-4;$$
$$x-2x>-4-3;$$
$$-x>-7;$$
$$x lt 7.$$
Сверяем с ОДЗ ((x>2)) — получается (хin(2;7)).

Ответ: (xin(2;7)).

В примере 2 был важный момент в ОДЗ, на который стоит отдельно обратить внимание. Мы накладывали условия, что оба выражения под логарифмами должны быть больше нуля:
$$ begin{cases}
x+3>0, \
2x-4>0. \
end{cases}$$
Но на самом деле, в этом случае в ОДЗ можно рассмотреть только (2x-4>0). А условие (x+3>0) необязательно! Это следует из простой логики, что если (2x-4>0), то (x+3>0) выполняется автоматически, так как, когда при решении примера избавляемся от логарифмов, мы ищем такие значения (х), при которых (x+3>2x-4>0).

Конкретно в этом примере это не критично, но дальше, когда будут гораздо более сложные примеры, решение дополнительных неравенств в ОДЗ может существенно усложнить жизнь. Особенно это касается заданий с параметром. Настоятельно рекомендую думать, а не просто по схеме накладывать ОДЗ на все подряд.

Пример 3
$$ log_{0,1}(x^2-x-2)>log_{0,1}(3-x);$$
ОДЗ:
$$ begin{cases}
x^2-x-2>0, \
3-x>0. \
end{cases}$$

Для того, чтобы решить первое неравенство в ОДЗ, необходим метод интервалов. Через дискриминант или по теореме Виета (как кому удобно) находим корни квадратного многочлена:
$$D=1-4*(-2)=9;$$
$$x_1=frac{1+3}{2}=2;$$
$$x_2=frac{1-3}{2}=-1;$$
Раскладываем на множители по формуле:
$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2);$$
$$x^2-x-2=(x-2)(x+1);$$
$$(x-2)(x+1)>0;$$
Рисуем ось (х), расставляем знаки, отмечаем подходящие промежутки и на этой же оси отмечаем решение второго неравенства в ОДЗ:
$$3-х>0;$$
$$x lt 3;$$

Метод замены переменной в неравенствах с логарифмом

Еще один очень популярный тип неравенств — это неравенства, которые решаются при помощи замены переменной. Как всегда, проще разобраться с этим на примерах:

Пример 5
$$log_{3}^{2}(x)+2>3log_{3}(x);$$
Сперва найдем ОДЗ, здесь оно крайне простое:
$$x>0.$$
Очень легкий пример, который решается при помощи замены. Действительно, обратите внимание, что логарифмы в неравенстве абсолютно одинаковые. Заменим их на какую-нибудь переменную (t):
$$Пусть t=log_{3}(x)$$
Тогда неравенство примет вид:
$$t^2+2>3t;$$
$$t^2-3t+2>0;$$
Получили обыкновенное квадратное неравенство, только относительно переменной не (х), а (t).
Находим корни (t), раскладываем на множители и решаем методом интервалов:
$$(t-1)(t-2)>0;$$
$$tin(-infty;1)cup(2;+infty);$$
То же самое можно переписать в виде совокупности неравенств, смысл остается такой же:
$$left[
begin{gathered}
t lt 1, \
t gt 2. \
end{gathered}
right.$$
Не путайте совокупность и систему! Знак системы используется, когда нужно найти значения (х), удовлетворяющие ОДНОВРЕМЕННО всем неравенствам, входящим в систему.

А знак совокупности используется, когда нужно объединить решение каждого неравенства — то есть решением совокупности будут все корни, полученные в каждом неравенстве по отдельности.

В данном примере мы используем совокупность, так как нас устраивают и (t<1), и (t>2). И то, и то является решением нашего неравенства.

Понимание разницы между совокупностью и системой — принципиальный момент при решении логарифмических и показательных неравенств. С совокупностью мы познакомились в этом примере, а когда используется система, поговорим чуть позже.

Итак, у нас совокупность из двух неравенств относительно переменной (t). Время сделать обратную замену — вместо (t) подставляем выражение, на которое мы его заменяли. Напоминаю (t=log_{3}(x)):
$$left[
begin{gathered}
log_{3}(x) lt 1, \
log_{3}(x) gt 2. \
end{gathered}
right.$$
Ну вот, перед нами два простеньких логарифмических неравенства, которые мы уже научились решать выше:
$$log_{3}(x)<1;$$
$$log_{3}(x)<log_{3}(3);$$
$$x<3.$$

$$log_{3}(x)>2;$$
$$log_{3}(x)>log_{3}(3^2);$$
$$x>9.$$
С учетом ОДЗ ((x>0)), и не забыв про совокупность, получаем:
Ответ: (xin(0;3),cup ,(9;+infty)).

Пример 6
$$frac{log_{4}(64x)}{log_{4}(x)-3}+frac{log_{4}(x)-3}{log_{4}(64x)}geqfrac{log_{4}(x^4)+16}{log_{4}^{2}(x)-9}.$$
Неравенство, на первый взгляд, выглядит немного страшно. Но именно такой пример был на ЕГЭ 2017 года, да и на самом деле оно совсем не страшное.

Запишем ОДЗ:
$$ begin{cases}
x>0, \
log_{4}(x)-3neq 0, \
log_{4}(64x)neq 0, \
log_{4}^{2}(x)-9 neq 0.
end{cases}$$

$$ begin{cases}
x>0, \
log_{4}(x)neq log_{4}(4^3), \
log_{4}(64x)neq log_{4}(4^0), \
(log_{4}(x)-3)(log_{4}(x)+3) neq 0.
end{cases}$$

$$ begin{cases}
x>0, \
log_{4}(x)neq log_{4}(4^3), \
log_{4}(64x)neq log_{4}(4^0), \
log_{4}(x)neq log_{4}({4}^{-3}).
end{cases}$$

В итоге, ОДЗ получается: (xin (0;frac{1}{64}) , cup , (frac{1}{64};64) , cup , (64;+infty).)

Главное помнить про правило: мы должны стараться сделать так, чтобы все логарифмы были с одинаковым основанием, и, по возможности, привести их к одинаковым аргументам.
Здесь у каждого логарифма основание (4) — с этим тут все в порядке. А вот подлогарифмические функции постараемся сделать одинаковыми, воспользовавшись свойствами логарифмов. А именно, нам понадобятся следующие формулы:

$$a=log_{b}(b^a);$$
$$log_{a}(bc)=log_{a}(b)+log_{a}(c);$$
$$log_{a}(b^n)=n*log_{a}(b);$$

Воспользуемся ими для преобразования логарифмов в неравенстве:
$$frac{log_{4}(64)+log_{4}(x)}{log_{4}(x)-3}+frac{log_{4}(x)-3}{log_{4}(64)+log_{4}(x)}geqfrac{4*log_{4}(x)+16}{log_{4}^{2}(x)-9};$$

Заметим, что (log_{4}(64)=3)
$$frac{3+log_{4}(x)}{log_{4}(x)-3}+frac{log_{4}(x)-3}{3+log_{4}(x)}geqfrac{4*log_{4}(x)+16}{log_{4}^{2}(x)-9};$$
Теперь у нас везде одинаковые логарифмы, можно сделать замену. Пусть (t=log_{4}(x):)
$$frac{3+t}{t-3}+frac{t-3}{3+t}geqfrac{4*t+16}{t^2-9};$$
Получилось обыкновенное неравенство из 9-го класса, которое решается методом интервалов. Для этого перекинем все налево, приведем к общему знаменателю, приведем подобные и разложим на множители:
$$frac{3+t}{t-3}+frac{t-3}{3+t}geqfrac{4*t+16}{(t-3)(t+3)};$$
$$frac{(3+t)(t+3)}{(t-3)(t+3)}+frac{(t-3)(t-3)}{(t+3)(t-3)}-frac{4*t+16}{(t-3)(t+3)}geq0;$$
$$frac{9+6t+t^2+t^2-6t+9-4t-16}{(t-3)(t+3)}geq 0;$$
$$frac{2*t^2-4t+2}{(t-3)(t+3)}geq 0;$$
$$frac{2(t-1)^2}{(t-3)(t+3)}geq 0;$$
Воспользуемся методом интервалов, для этого нарисуем ось (х) и расставим знаки:

Обратите внимание, на точку (t=1), она нас устраивает, ведь при этом значении (t) все выражение равно нулю. В ЕГЭ очень часто попадаются отдельные точки, про которые надо не забыть.

$$left[
begin{gathered}
t lt -3, \
t=1, \
t gt 3.\
end{gathered}
right.$$

Сделаем обратную замену (t=log_{4}(x)):
$$left[
begin{gathered}
log_{4}(x)<-3, \
log_{4}(x)=1, \
log_{4}(x)>3. \
end{gathered}
right.$$
Решаем получившиеся простенькие логарифмические неравенства и, неожиданно, одно уравнение. Обратите внимание, что мы решаем опять не систему, а совокупность. Нас устраивают все решения, полученные в каждом уравнениинеравенстве по отдельности.

$$log_{4}(x)<log_{4}({4}^{-3});$$
$$x<{4}^{-3};$$
$$x<frac{1}{64}.$$

$$log_{4}(x)=1;$$
$$log_{4}(x)=log_{4}(4^1);$$
$$x=4.$$

$$log_{4}(x)>3;$$
$$log_{4}(x)>log_{4}(4^3);$$
$$x>64.$$

C учетом ОДЗ записываем ответ:
Ответ: (xin(-infty;frac{1}{64}) , cup , [1] , cup , (64;+infty).)

С основными стандартными типами логарифмических неравенств мы познакомились. Теперь обсудим «подводные камни», которые часто встречаются при решении логарифмических неравенств.

ОДЗ в логарифмических неравенствах. Как сделать проще?

Иногда можно немного упростить себе жизнь при поиске ОДЗ в неравенствах. Для этого нам понадобится немного логики. Разберем на примере:

Пример 7
$$1+log_{6}(4-x)leqlog_{6}(16-x^2).$$
Выпишем ОДЗ, но не будем его решать — да, так можно делать!

ОДЗ:
$$ begin{cases}
4-x>0, \
16-x^2>0.
end{cases}$$

ОДЗ выписали, теперь преобразуем исходное неравенство. Для этого (1) представим в виде логарифма с основанием (6): (1=log_{6}(6)). И воспользуемся формулой:
$$log_{a}(bc)=log_{a}(b)+log_{a}(c).$$
$$log_{6}(6)+log_{6}(4-x)leqlog_{6}(16-x^2).$$
$$log_{6}(6*(4-x))leqlog_{6}(16-x^2).$$
Сравниваются два логарифма с одинаковым основанием, можем смело избавляться от логарифмов, сохраняя знак неравенства:
$$6*(4-x)leq16-x^2;$$

И вот здесь остановимся и поговорим.
Согласно ОДЗ
$$begin{cases}
4-x>0, \
16-x^2>0.
end{cases}$$
Обратите внимание! Что если: (6*(4-x)geq0), то и (16-x^2) будем больше (0) автоматически, так как мы решаем неравенство (6*(4-x)leq16-x^2).

Для нас это означает радостную новость — оказывается необязательно решать все ОДЗ. В данном примере достаточно соблюдать условие (6*(4-x)geq0), а все остальное ОДЗ будет выполняться автоматически, исходя из логики примера. Таким образом, наш пример сводится к решению системы:
$$ begin{cases}
6*(4-x)leq16-x^2, \
6*(4-x)>0.
end{cases}$$

Что избавляет нас от необходимости решать (16-x^2>0), это будет лишним действием.
Конкретно в этом примере нет большой трудности решить все условия из ОДЗ и не думать. Но часто встречаются примеры, в которых выше представленная логика поможет вам не запутаться, ведь иногда это спасает от необходимости решения очень сложных неравенств. Особенно это касается решения заданий с параметрами в профильном ЕГЭ по математике. Вот там каждое лишнее условие в разы увеличивает объем работы.

Дорешаем пример:
$$ begin{cases}
6*(4-x)leq16-x^2, \
6*(4-x)>0.
end{cases}$$

$$ begin{cases}
24-6xleq16-x^2, \
4-x>0.
end{cases}$$

$$ begin{cases}
x^2-6x+8leq0, \
x>4.
end{cases}$$

$$ begin{cases}
2 leq x leq 4, \
4-x>0.
end{cases}$$

Ответ: (x in [2;4).)

Запишем эти правила в общем виде:

$$log_{a}(f(x)>log_{a}(g(x));$$
Эквивалентно
При (a>1):

$$ begin{cases}
f(x)>g(x), \
g(x)>0.
end{cases}$$

При (0 lt a lt 1:)

$$ begin{cases}
f(x) lt g(x), \
f(x) gt 0.
end{cases}$$

Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Что, если в основании логарифма будет стоять не положительное число, а некоторое выражение, зависящее от (х — log_{g(x)}(f(x)))? Такие логарифмы называются логарифмами с переменным основанием.

Разберемся, как решать, на примере:

Пример 8
$$ log_{frac{x}{3}}(3x^2-2x+1) ge 0);$$

Начнем решение с ОДЗ. Обратите внимание, что условия накладываются еще и на основание логарифма — оно должно быть больше нуля и не равно единице:
$$ begin{cases}
3x^2-2x+1>0;, \
frac{х}{3}>0; ,\
frac{x}{3}neq1.
end{cases}$$

Заметим, что данный квадратный многочлен больше нуля при любых значениях (х). Второе неравенство имеет решения при (х>0). А третье дает нам (xneq 1).
Объединяя все решения, получаем итоговое ОДЗ:
$$xin(0;3)cup(3;+infty);$$

Приступим к решению.
Мы знаем, чтобы решить неравенство, нужно представить (0) справа в виде логарифма с таким же основанием. Но проблема в том, что основание логарифма слева не число, а выражение, зависящее от (х). Нас не должно это смущать, продолжаем решать точно так же, как если бы в основании было число, то есть, приводим к одинаковому основанию:
$$ log_{frac{x}{3}}(3x^2-2x+1) ge log_{frac{x}{3}}((frac{x}{3})^0);$$
$$ log_{frac{x}{3}}(3x^2-2x+1) ge log_{frac{x}{3}}(1);$$

Получилось, что сравниваются два логарифма с одинаковым основанием. Вот только это основание может быть совершенно любым. Это важно, если вспомнить, как решать классические логарифмические неравенства: знак неравенства должен меняться, если в основании логарифмов стоит число от нуля до единицы, и оставаться таким же, если основание больше единицы. У нас в основании стоит (frac{x}{3}) — выражение, зависящее от (х). Оно может принимать значения, как больше единицы, так и меньше. Поэтому логично было бы рассмотреть два случая, когда основание больше (1), и когда от (0) до (1).

Рассмотрим первый случай:

$$ frac{x}{3}>1;$$
$$ frac{x}{3}-1>0;$$
$$frac{x-3}{3}>0;$$
$$x>3.$$

То есть при (х>3) основание будет больше (1) и знак неравенства должен сохраняться:

$$ begin{cases}
3x^2-2x+1 ge 1, \
х>3.
end{cases}$$

$$ begin{cases}
3x^2-2x ge 0, \
х>3.
end{cases}$$

$$ begin{cases}
x(3x-2) ge 0, \
х>3.
end{cases}$$

Решаем методом интервалов первое неравенство в системе и находим пересечения с условием (x>3):

Метод сужения ОДЗ в логарифмических неравенствах

Эта неприятная штука часто встречается в ЕГЭ по профильной математике и приводит к множеству ошибок и потерянным баллам.

Оказывается, при решении логарифмических неравенств не всегда можно применять формулы из свойств логарифмов (вынесение степени, логарифм от произведения или частного и т.д.). Это связано с изменением области определения логарифмов.

Что это все значит? Проще обсудить на примерах. Рассмотрим простое неравенство с логарифмом:

Пример 11
$$log_{3}(x^2)>4;$$

Как обычно, начинаем с ОДЗ:
$$x^2>0;$$
$$x neq 0.$$

Решаем сам пример, для этого представим (4)-ку справа в виде логарифма с основанием (3).
$$log_{3}(x^2)>log_{3}(3^4);$$
$$x^2>3^4;$$
Разложим в разность квадратов и методом интервалов решим:
$$(x-9)(x+9)>0;$$
$$xin(-infty;-9)cup(9;+infty);$$

А теперь обратите внимание, что этот же самый пример можно было решить по-другому. Согласно формуле вынесения степени из-под логарифма (log_{a}(b^n)=n*log_{a}(b)), можно вынести 2-ю степень. Сделаем это и посмотрим, к чему все это приведет.

$$log_{3}(x^2)>4;$$
$$2*log_{3}(x)>4;$$
Сократим на (2):
$$log_{3}(x)>2;$$
Отдельно обратим внимание на то, как изменилось ОДЗ неравенства после вынесения степени.
$$ОДЗ: x>0;$$
Продолжаем решать неравенство:
$$log_{3}(x)>log_{3}(3^2);$$
$$x>9;$$

Итак, мы решили одно и то же неравенство двумя способами, но ответ получился разный. Как вы думаете, почему? Какое из решений будет верным?

На самом деле, все очень просто. Напоминаю, что логарифм существует только от положительных чисел. Значит, когда под логарифмом стоит (x^2), то вместо (x) можно подставлять любые значения, кроме 0. Вторая степень будет превращать подлогарифмическое выражение в положительное, что нас устраивает. Поэтому могут существовать отрицательные значения (x), при подстановке которых ничего не нарушается. Собственно говоря, у нас так и получилось в первом случае: (xin(-infty;-9)cup(9;+infty)). Есть отрицательные корни, которые удовлетворяют ОДЗ.

А во втором случае, как только мы вынесли из-под логарифма четную степень, отрицательные корни (x) больше не подходят, ведь логарифм не будет существовать, и положительные корни — единственные, которые могут получиться. Другими словами, наше ОДЗ СУЗИЛОСЬ!
И, как мы увидели, ответ получился другой, без отрицательных промежутков. Что, разумеется, неправильно.

Очень важное общее правило. Нельзя с логарифмами производить такие преобразования, при которых происходит сужение области допустимых значений ВСЕГО ПРИМЕРА. Если ОДЗ после преобразования остается прежним или увеличивается, то такое преобразование разрешено.

Отдельная очень важная оговорка про то, что ОДЗ не должно сужаться у всего примера. Посмотрите еще раз на разобранный выше пример 6. Там в одном из логарифмов была четная четвертая степень, которую мы не постеснялись вынести, и ни про какое сужение ОДЗ даже речи не было. Неужели неправильно решили пример? Нет, все абсолютно верно, ведь ОДЗ всего неравенства не сузилось, а значит, можно было пользоваться формулой.

Кстати, все эти размышления касаются не только формул вынесения степени, а всех свойств логарифма (суммы, разности и т.д.), нужно быть внимательными! Но чаще всего встречаются ловушки, связанные с вынесением четной степени.

Пример 12
$$9*log_{7}(x^2+x-2)leq10+log_{7}left(frac{(x-1)^9}{x+2}right).$$
Найдем ОДЗ:
$$ begin{cases}
x^2+x-2>0, \
frac{(x-1)^9}{x+2}>0.
end{cases}$$

$$ begin{cases}
(x+2)(x-1)>0, \
frac{(x-1)^9}{x+2}>0.
end{cases}$$

Решаем методом интервалов:

«Логарифмические» и «неравенства». Оба слова тебе знакомы по отдельности?

Я очень надеюсь, что да. Иначе я настоятельно рекомендую (очень-очень прошу!) прочитать и освоить следующие разделы:

• Логарифмы
• Свойства степени
• Решение логарифмических уравнений
• Решение линейных неравенств
• Метод интервалов

Эти материалы очень важны для сдачи ЕГЭ по математике на максимум и поступления в ВУЗ мечты! Учти это!

Ну что, весь материал улегся в голове? Теперь ты легко сможешь ответить на вопрос, скажем, чему равен ( lo{{g}_{3}}81), ведь ясно, что это ( 4), правда?

А почему?

Да потому, что ( {{3}^{4}}=81), а логарифм – это и есть та степень, в которую нужно возвести маленькое число снизу (в данном случае ( 3)), чтобы получить большое число сверху (то есть ( 81)).

А вот ты знаешь, чему в точности равно ( lo{{g}_{2}}3)? Нет? И я нет, и никто не знает. (Для меня с такого постулата началась математика, что никто и ничего не знает)

А все почему?

Да потому что нет целой степени двойки такой, чтобы двойка в ней равнялась трем. Факт есть факт.

То есть логарифм, можно сказать, обобщает понятие степени.

Ну что я все про логарифмы да про логарифмы… Ты ведь мне пообещал, что прочитаешь все материалы по ним самостоятельно, и я тебе в этом вопросе полностью доверяю.

Ты ведь грамотный читатель и тебе не надо лишний раз напоминать, что

При делении (или умножении) на положительное число знак неравенства не меняется, а при умножении на отрицательное – меняется на противоположный?

Еще раз очень прошу тебя, если мои слова тебе мало что говорят, то срочно, прямо сейчас перечитай методы решения простейших линейных неравенств.

Азов нам пока что хватит.

Ну все, теперь, я думаю, самое время переходить к внешнему виду логарифма. Давай посмотрим на него повнимательнее.

ОДЗ логарифмического неравенства

Для логарифма (из его определения) следует, что ( 2x+4~>~0) (сейчас ( 2x+4~) выступает в роли ( b) в определении логарифма).

А как мы помним, это число обязано быть положительным (еще раз посмотри на определение логарифмического неравенства), я предупреждал, что это очень важно.

Это неравенство ты без труда решишь и скажешь, что ( x) обязан быть больше ( -2.)

Ну вот, с ОДЗ мы разобрались, время переходить непосредственно к решению неравенства ( log{{~}_{2}}left( 2x+4 right)~>~log{{~}_{2}}3).

Однако решение примера изменится от этого кардинально.

О нет, ОДЗ не изменится, куда уж ему деться. Тут все по-прежнему. ОДЗ: ( displaystyle text{x}>~-2).

А вот само неравенство, которое равносильно исходному, преобразится: из ( displaystyle lo{{g}_{0.2}}~left( 2x+4 right)>~lo{{g}_{0.2}}~3) у нас теперь будет следовать, что ( displaystyle 2x+4<3).

Отчего же это произошло? Кто виноват?

А виновато основание, и только оно.

Ничего, как только мы решим до конца этот пример, я сформулирую соответствующее простое правило.

А пока что решим простейшее неравенство: ( displaystyle 2x+4< 3 Rightarrow x<-frac{1}{2}).

Тогда исходное неравенство равносильно вот такой системе:

( displaystyle left{ begin{array}{l}x>~-2\x<~-frac{1}{2}end{array} right.)

И ее решением будет промежуток: ( displaystyle xin left( -2;-frac{1}{2} right).)

Все еще под впечатлением?

Изменилось ведь всего ничего (основание такое маленькое, что иногда и незаметно вовсе), а решение стало совсем другим.

Решение логарифмических неравенств

Если основание логарифма в неравенстве больше единицы, то знак неравенства сохраняется и для ( displaystyle fleft( x right)) и ( displaystyle gleft( x right)), если же основание логарифма больше нуля и меньше единицы, то знак между ( displaystyle fleft( x right)) и ( displaystyle gleft( x right)) заменяется на противоположный.

Теперь ты понял, почему так сильно отличались решения очень похожих неравенств?

Вся собака зарыта в основаниях!

Теперь ты во всеоружии можешь решать самые разнообразные примеры, щелкая их как орешки (хотя не все орешки имеют мягкую скорлупу).

Во-первых ( displaystyle {{x}^{2}}+6x+8>0).

Как называется метод, который позволяет решать такие неравенства?

Да! Метод интервалов.

Я просил или нет, повторить его? Кажется, просил. И не зря. Тебя предупреждали, что он может пригодиться в самом неожиданном месте.

Ну ладно, я еще раз напомню, но в первый и последний раз делаю тебе маленькую поблажку.

Первое, что тебе нужно сделать, это найти корни уравнения ( displaystyle {{x}^{2}}+6x+8=0), как понимаешь, они равны ( displaystyle x1=-4,text{ }x2=-2.)

Нанесем их на координатную прямую и разобьем ее на три интервала. Найдем знак нашего выражения на каждом из интервалов.

Для этого, как помнишь, я должен выбрать число из какого-нибудь промежутка и подставить его в исходное выражение.

Мне нравится подставлять ноль (не правда ли, удобно?), то есть я найду таким образом знак на крайне правом промежутке.

Выражение в нуле равно восьми, значит знак положительный. Ставлю плюсик. Далее чередую. Получу картинку:

Плюсики меня и интересуют, тогда ОДЗ первого выражения будет множество ( displaystyle xin left( -infty ;-4 right)mathop{cup }^{}left( -2;+infty right).)

Второе ОДЗ проще: ( displaystyle 5x+10>0). Тут ты и сам справишься и запишешь, что ( displaystyle x>-2).

Тогда я пересекаю первое ОДЗ со вторым, получу:

Тогда мое окончательное ОДЗ – есть та область, над которой проходят две дужки – это промежуток ( displaystyle left( -2;+infty right).)

Ответом будет голубой холмик, который ты видишь на картинке.

Ответ: ( xin left( -2;1 right).)

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Теперь давай сформулируем основной алгоритм решения простейших логарифмических неравенств вида ( lo{{g}_{a}}~fleft( x right)~>~lo{{g}_{a}}~gleft( x right).~).

• Находим ОДЗ: ( left{ begin{array}{l}fleft( x right)>0\gleft( x right)>0end{array} right.) (я напомню, что знак системы (фигурная скобка) означает, что должны выполняться одновременно оба неравенства;
• Смотрим на основание: если ( a>1), то решаем неравенство ( fleft( x right)>gleft( x right).) Если же ( 0<a<1), то решаем ( fleft( x right)<gleft( x right));
•  Совмещаем полученное решение неравенства из пункта 2 с нашим ОДЗ из пункта 1; 

Те же самые правила применимы и к трем другим видам логарифмических неравенств.

Но ты заметил, что я немного «кривил душой»? Во-первых, кто сказал, что всегда ясно однозначно, какое значение принимает основание. Никто этого не говорил…

Основание также может быть переменным, например, ( a=2x+1). И тогда нам нужно уже рассматривать отдельно 2 случая: когда оно больше единицы и когда лежит между нулем и единицей.

Однако этому «сложному» случаю будет посвящена следующая статья, где он рассматривается отдельно.

В общем случае, внешний вид логарифмических неравенств может существенно отличаться от простейших. В таком случае что мы с тобой должны сделать вначале?

Верно, привести неравенство к виду простейшего. И мы обязательно будем это делать, но самую малость попозже.

А пока давай немного потренируемся в решении самых базовых логарифмических неравенств.

Кстати, обрати пристальное внимание на первый пример (хотя и на второй тоже). Посмотри, тебя ничего не смущает?

Видишь, что решение неравенства ( {{x}^{2}}+2{x} -2>0) никак не вошло в наш окончательный ответ? И это неслучайно.

Поскольку исходное неравенство равносильно тому, что ( x+4<{{x}^{2}}+2{x} -2,~) но при этом ( x+4>0), то второе выражение и подавно автоматически будет больше нуля, так как по условию оно строго больше.

После того как ты разобрался в решении этих трех примеров, я думаю, что ты готов к осознанию некоторого более сложного правила решения логарифмических неравенств.

Правило, позволяющее экономить время при решении логарифмических неравенств

Решение логарифмического неравенства вида ( lo{{g}_{a}}~fleft( x right)<lo{{g}_{a}}~gleft( x right)) равносильно решению следующих систем:

Но для использования данного правила тебе нужно быть еще более внимательным.

Ничего страшного, если ты сразу не научишься применять его на практике!

Ты всегда можешь следовать уже «отлаженной» схемой, которую я разбирал выше, а потом, когда почувствуешь себя увереннее, сможешь пользоваться и этим правилом!

Теперь давай перейдем к более общему случаю логарифмических неравенств.

Общий случай логарифмических неравенств

…когда его левая или правая часть (или может так выйти, что и обе разом) не приведены сразу к виду простейшего логарифмического неравенства.

Например:

( displaystyle lo{{g}_{2}}left( {{x}^{2}}+4x+3 right)>3)

Мы с тобой видим, что с левой частью все в порядке – она представляет собой логарифмическое выражение. Не в порядке у нас правая часть – она есть просто число три.

Что же нам теперь делать?

Ну, во-первых, не отчаиваться. А, во-вторых, ты не представляешь, насколько может быть продуктивным такое на первый взгляд бесполезное действие, как умножение на единицу.

( displaystyle 3=3cdot 1).

Зачем я это сделал, как ты думаешь? А вот зачем: я (и ты тоже) помню, что для любого положительного числа ( displaystyle a) имеет место равенство:

( displaystyle lo{{g}_{a}}a=1)

Тебе, я надеюсь, очевидно, почему это так? Да все потому, что а нужно возвести в первую степень, чтобы само а и получить в итоге. Тогда я запишу, что

( displaystyle 3=3cdot lo{{g}_{2}}2.)

Сам подумай, почему я выбрал два в качестве основания логарифма. Теперь я воспользуюсь простым свойством:

( displaystyle rcdot lo{{g}_{a}}b=lo{{g}_{a}}{{b}^{r}})

И получу, что: ( displaystyle 3=3cdot lo{{g}_{2}}2=lo{{g}_{2}}{{2}^{3}}=lo{{g}_{2}}8.)

И наше неравенство превратилось в стандартное

( displaystyle lo{{g}_{2}}left( {{x}^{2}}+4x+3 right)>lo{{g}_{2}}8)

Которое ты и без моей помощи сам прекрасно решишь. Давай сверим ответы. У меня получилось, что ( displaystyle xin left( -infty ;-5 right)mathop{cup }^{}left( 1;+infty right)), а у тебя?

Вот видишь, каким волшебным может быть обычное умножение на единицу!!

Давай решим еще примеры на логарифмические неравенства.

Пример №4

( displaystyle 2+lo{{g}_{2}}sqrt{x+1}>1-lo{{g}_{frac{1}{2}}}sqrt{4-{{x}^{2}}}).

Решение:

Я опять представлю число ( displaystyle 2) как ( displaystyle 2cdot lo{{g}_{2}}2=lo{{g}_{2}}4), единицу как ( displaystyle lo{{g}_{2}}2), а в выражении ( displaystyle lo{{g}_{1/2}}sqrt{4-{{x}^{2}}}) воспользуюсь тем, что

( displaystyle 1/rcdot lo{{g}_{a}}b=lo{{g}_{{{a}^{r}}}}b) (все те же пресловутые свойства логарифмов!!)

Так как ( displaystyle frac{1}{2}={{2}^{-1}}) (свойства степени!!), то исходное неравенство преобразуется вот к такому:

( displaystyle lo{{g}_{2}}4+lo{{g}_{2}}sqrt{x+1}>lo{{g}_{2}}2-left( frac{1}{-1} right)lo{{g}_{2}}sqrt{4-{{x}^{2}}}) или

( displaystyle lo{{g}_{2}}4+lo{{g}_{2}}sqrt{x+1}>lo{{g}_{2}}2+lo{{g}_{2}}sqrt{4-{{x}^{2}}})

Теперь я воспользуюсь тем, что

( displaystyle lo{{g}_{a}}b+lo{{g}_{a}}c=lo{{g}_{a}}left( bc right)), тогда я получу:

( displaystyle lo{{g}_{2}}4sqrt{x+1}>lo{{g}_{2}}2sqrt{4-{{x}^{2}}})

Вы позволите мне воспользоваться нашим новым правилом решения логарифмических неравенств?

Ясно, что так как ( displaystyle 2>1), то наше неравенство будет равносильно такому:

( displaystyle 4sqrt{x+1}>2sqrt{4-{{x}^{2}}})

Из того, что ( displaystyle 2sqrt{4-{{x}^{2}}}>0) и из того, что это выражение меньше, чем ( displaystyle 4sqrt{x+1}), будет автоматически следовать, что и подавно ( displaystyle 4sqrt{x+1}>0) и нам не надо учитывать это в ОДЗ.

Еще раз!!!

Если тебе не очень пока понятно это утверждение, ты всегда можешь воспользоваться построением «полного» ОДЗ, результат будет тоже правильным!

Тогда мое исходное неравенство будет равносильно следующей системе:

( displaystyle left{ begin{array}{l}sqrt{4-{{x}^{2}}}>0\4sqrt{x+1}>2sqrt{4-{{x}^{2}}}end{array} right.)

Первое имеет решение: ( displaystyle xin left( -2;2 right))

А второе: ( displaystyle xin left( -infty ;-4 right)mathop{cup }^{}left( 0;+infty right))

Пересекая первое решение со вторым пишу ответ: ( displaystyle xin left( 0;2 right))

Пример №5

Теперь я усложню тебе задачу: каждый раз я буду сводить неравенство к простейшему виду, а уже решать будешь ты сам.

Готов? Начнем!

( displaystyle lg{{left( x+1 right)}^{2}}>0)

Решение:

Во-первых, что за зверь такой ( displaystyle lg)? Слышал о нем раньше? ( displaystyle lgleft( x right)) – это десятичный логарифм, то есть логарифм с основанием ( displaystyle 10). Иначе его можно написать в следующем виде: ( displaystyle lgleft( x right)=lo{{g}_{10}}x).

Во-вторых, что нам делать с нулем справа? А нужно всего лишь вспомнить, что

( displaystyle lo{{g}_{a}}1=0) для любого ( displaystyle a>0)!!!!

Попробуй сам объяснить, почему это так.

Теперь я перехожу от исходного неравенства к простейшему:

Средний уровень

В начальном уровне теории мы с тобой разобрали, как решать простейшие логарифмические неравенства вида:

( displaystyle {{log }_{a}}f(x)<{{log }_{a}}g(x))

Мы сформулировали основное правило их решения, которое гласит, что:

решение логарифмического неравенства вида ( displaystyle {{log }_{a}}f(x)<{{log }_{a}}g(x))

равносильно решению следующих систем:

• ( displaystyle 0<a<1:left{ begin{array}{l}f(x)>g(x)\g(x)>0end{array} right.)
• ( displaystyle a>1:left{ begin{array}{l}f(x)<g(x)\g(x)>0end{array} right.)

Неравенство ( displaystyle {{log }_{a}}f(x)>{{log }_{a}}g(x)) в каждом из двух случаев сводится к одной из систем:

• ( displaystyle 0<a<1:left{ begin{array}{l}f(x)<g(x)\g(x)>0end{array} right.)
• ( displaystyle a>1:left{ begin{array}{l}f(x)>g(x)\g(x)<0end{array} right.)

Также мы привели несколько примеров таких неравенств, которые некоторыми (не очень обременительными) процедурами приводятся к простейшему виду.

Так что при изложении дальнейшего материала в этой статье, я буду уже предполагать, что с базовыми навыками решения логарифмических неравенств ты знаком.

Однако за бортом у нас осталось несколько случаев…

Более сложные логарифмические неравенства

• А что, если неравенство нельзя привести к простейшему виду, описанному выше?
• А что, если основание у логарифма не постоянное число, а некоторая функция, зависящая от переменной ( displaystyle x)?
• А что, если основания в логарифмических неравенствах разные?

Ответы на эти вопросы дадут нам с тобой ключи, необходимые для решения более сложных логарифмических неравенств, нежели простейшие.

Я начну с первого метода, который мы используем не только при решении неравенств, но также и при отыскании корней некоторых уравнений: метод замены переменной.

Давай рассмотрим следующий пример:

( displaystyle {{log }_{2}}^{2}x+{{log }_{0,5}}x > 12)

Что мне видно сразу? А то, что ( displaystyle 0,5={{2}^{-1}}), и поскольку

( displaystyle frac{1}{r}cdot {{log }_{a}}b={{log }_{{{a}^{r}}}}b),

То я перейду к равносильному неравенству вида:

( displaystyle {{log }_{2}}^{2}x-{{log }_{2}}x>12)

Мы с тобой видим, что такое неравенство уже нельзя назвать элементарным. Почему? Да потому, что логарифм в него входит во второй степени.

А разве такие неравенства мы называли элементарными? Вот и я думаю, что нет. Как же нам поступить?

Логарифмическое неравенство с переменным основанием

( displaystyle {{log }_{h(x)}}f(x)V{{log }_{h(x)}}g(x)) (1)

где ( displaystyle h(x),g(x),f(x)) – некоторые функции, зависящие от ( displaystyle x), а ( displaystyle V) – один из знаков: ( displaystyle >,<,le ,ge ). Хитрые математики, когда видят логарифмы, сразу же стараются от них избавиться, переходя к равносильным неравенствам.

В частности для неравенства выше равносильным будет вот такое:

( displaystyle left{ begin{array}{l}(f(x)-g(x))cdot (h(x)-1)V0\f(x)>0\g(x)>0\h(x)>0\h(x)ne 1end{array} right.)

Бывают еще более печальные случаи, когда неравенство имеет вид:

( displaystyle {{log }_{f(x)}}h(x)V{{log }_{g(x)}}h(x)), (2)

то есть представляет собой логарифмическое неравенство с РАЗНЫМИ основаниями, но одинаковыми выражениями «сверху». Для него равносильной системой будет следующая:

( displaystyle left{ begin{array}{l}(f(x)-1)(g(x)-1)cdot (h(x)-1)(g(x)-f(x))V0\f(x)>0\g(x)>0\h(x)>0\g(x)ne 1\f(x)ne 1end{array} right.)

Все становится все ужаснее и ужаснее, правда? Но ничего, скоро мы перейдем к примерам (очень важным!) и все встанет на свои места!

Вот последний вид «сложного» неравенства:

( displaystyle text{lo}{{text{g}}_{text{t}left( text{x} right)}}text{f}left( text{x} right)cdot text{lo}{{text{g}}_{text{h}left( text{x} right)}}text{g}left( text{x} right)text{V }!!~!!text{ }0) (3)

Ему равносильна следующая система:

( displaystyle left{ begin{array}{l}(f(x)-1)(t(x)-1)cdot (h(x)-1)(g(x)-1)V0\f(x)>0\g(x)>0\h(x)>0\t(x)>0\t(x)ne 1\h(x)ne 1end{array} right.)

Представленный метод решения неравенств (1), (2), (3) говорит нам о том, как от сложного логарифмического неравенства (но одного!) перейти к простым неравенствам (но к целой системе!).

По сути этот метод позволяет одно сложное свести к системе простых. Этот метод получил название..

Метод декомпозиции (рационализации)

На самом деле, можно и не запоминать все формулы в каждой системе. Все, кроме первой – это просто-напросто ОДЗ (ну в самом деле, просто взгляни на них), а первое – это так называемое условие сохранения знака.

К нему ты всегда можешь прийти, рассматривая случаи, когда ( displaystyle 0<hleft( x right)<1) и когда ( displaystyle hleft( x right)>1).

В частности, если ( displaystyle 0<hleft( x right)<1), то неравенство ( displaystyle lo{{g}_{hleft( x right)}}fleft( x right)>~lo{{g}_{hleft( x right)}}gleft( x right)) влечет за собой ( displaystyle fleft( x right)<gleft( x right)).

С другой стороны, так как ( displaystyle hleft( x right)-1<0) неравенство ( displaystyle left( fleft( x right)-gleft( x right) right)left( hleft( x right)-1 right)>0) имеет место только тогда, когда ( displaystyle fleft( x right)-gleft( x right)<0) или ( displaystyle fleft( x right)<gleft( x right)).

Получили, что при ( displaystyle 0<hleft( x right)<1) неравенства ( displaystyle lo{{g}_{hleft( x right)}}fleft( x right)>~lo{{g}_{hleft( x right)}}gleft( x right)) и ( displaystyle left( fleft( x right)-gleft( x right) right)left( hleft( x right)-1 right)>0) равносильны (учитывая, конечно, ОДЗ). Аналогично ты можешь получить, что эти же неравенства будут равносильны и при ( displaystyle hleft( x right)>1).

Но если ты и эту формулу забыл, то ничего страшного, просто придется дольше поработать. Ты всегда можешь решить логарифмическое неравенство, опираясь только на определение логарифмической функции. В частности, неравенство

( displaystyle lo{{g}_{hleft( x right)}}fleft( x right)>~lo{{g}_{hleft( x right)}}gleft( x right))

Равносильно следующей системе:

( displaystyle left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}f(x)>g(x)\h(x)>1end{array} right.\left{ begin{array}{l}f(x)<g(x)\0<h(x)<1end{array} right.end{array} right.\f(x)>0\g(x)>0\h(x)>0\h(x)ne 0end{array} right.)

Где сложное условие ( displaystyle left( fleft( x right)-gleft( x right) right)left( hleft( x right)-1 right)>0) я заменил совокупностью из двух систем.

Решение любого сложного логарифмического уравнения я рекомендую начинать с ОДЗ.

В некоторых случаях это позволит тебе не решать одну из двух систем, поскольку будет заведомо известно, что ее решение не лежит в ОДЗ.

Ты уже в трепете перед этими сложными формулами? Я тебя понимаю. Однако, все, что я могу сказать: аппетит приходит во время еды.

И большинство «монструозных» задач сложного уровня, имеющих в своем составе логарифмы, сводятся в конечном счете к одному из неравенств вида (1)-(3), либо решаются при помощи некоторой замены переменной.

Я не хочу быть более голословным, поэтому перейду к примерам прямо сейчас. Обрати внимание, все следущие примеры взяты из ЕГЭ предыдущих лет!

Пример из ЕГЭ предыдущих лет №1 (на хорошую замену)

( displaystyle lo{{g}_{x}}3+2lo{{g}_{3x}}3-6lo{{g}_{9x}}3le 0)

Решение:

Во многих случаях, при решении «сложных» неравенств, может полезной оказаться одна из следующих формул:

( displaystyle lo{{g}_{a}}b=frac{lo{{g}_{c}}b}{lo{{g}_{c}}a}), ( displaystyle lo{{g}_{a}}b=frac{1}{lo{{g}_{b}}a}).

В данном случае мне удобно воспользоваться второй формулой. Понимаешь, почему? Да все потому, что все три логарифма содержат в себе тройку «наверху»!!

Если я преобразую исходное неравенство, то у меня получится:

Пример из ЕГЭ предыдущих лет №2 (на «сложную» замену переменной)

( displaystyle frac{lo{{g}_{{{7}^{x+3}}}}49}{lo{{g}_{{{7}^{x+3}}}}left( -49x right)}le frac{1}{lo{{g}_{7}}lo{{g}_{frac{1}{7}}}{{7}^{x}}})

Решение:

Вначале найдем ОДЗ:

( displaystyle left{ begin{array}{l}xne -1\xne -frac{1}{49}\xne -3\x<0end{array} right.)

Вы можете оспорить второе выражение системы. В самом деле, откуда оно берется?

А во всем виновато соотношение: ( displaystyle lo{{g}_{a}}b=frac{lo{{g}_{c}}b}{lo{{g}_{c}}a}), которое применимо к нашему случаю даст:

( displaystyle frac{lo{{g}_{{{7}^{x+3}}}}49}{lo{{g}_{{{7}^{x+3}}}}left( -49x right)}=lo{{g}_{left( -49x right)}}49=frac{1}{lo{{g}_{49}}left( -49x right)}=frac{1}{1+lo{{g}_{49}}left( -x right)}=frac{2}{2+lo{{g}_{7}}left( -x right)})

Второе выражение преобразуем вот так:

( displaystyle frac{1}{lo{{g}_{7}}lo{{g}_{frac{1}{7}}}{{7}^{x}}}=frac{1}{lo{{g}_{7}}left( -lo{{g}_{7}}{{7}^{x}} right)}=frac{1}{lo{{g}_{7}}left( -xlo{{g}_{7}}7 right)}=frac{1}{lo{{g}_{7}}left( -x right)}.)

Тогда наше неравенство преобразуется к вот такому виду:

( displaystyle frac{2}{2+lo{{g}_{7}}left( -x right)}le frac{1}{lo{{g}_{7}}left( -x right)}.)

Ага, теперь замена напрашивается сама собой!!

Пример из ЕГЭ предыдущих лет №4

( displaystyle lo{{g}_{12{{x}^{2}}-41x+35}}left( 3-x right)le lo{{g}_{2{{x}^{2}}-5x+3}}left( 3-x right))

Решение:

Данное неравенство имеет вид (2). Значит перейдем к равносильной ему системе:

( displaystyle left{ begin{array}{l}left( 12{{x}^{2}}-41x+34 right)left( 2-x right)left( 2{{x}^{2}}-5x+2 right)left( 10{{x}^{2}}-36x+32 right)le 0\12{{x}^{2}}-41x+35>0\2{{x}^{2}}-5x+3>0\3-x>0\12{{x}^{2}}-41x+35ne 1\2{{x}^{2}}-5x+3ne 1end{array} right.)

Теперь твоя цель – решить методом интервалов каждое из указанных в системе неравенств, а затем найти область их пересечения. Я самоустраняюсь от этой (хоть и тривиальной, но достаточно трудоемкой) задачи, и доверяю ее тебе. Окончательный ответ будет вот таким:

( displaystyle left( -infty;frac{1}{2}right)mathop{cup }^{}left(frac{3}{2}; frac{8}{5}right])

Итак….

В данной статье я постарался объяснить тебе подходы к решению одних из самых трудных задач, встречающихся в школьном курсе – решению логарифмических неравенств.

Я надеюсь, чтение и разбор примеров оказались для тебя полезными и время ты потратил не зря. Опять-таки повторюсь: чтобы освоить методы решения, тебе нужно совсем немного: всего три вещи: практика, практика и практика.

Мини-максный метод решения логарифмических неравенств

В дополнение к уже изложенному материалу (который, увы, не охватывает и не может охватывать весь спектр способов решения логарифмических неравенств), я рассмотрю еще один способ, который может быть полезен там, где ничего больше не помогает (но опять-таки, я сразу оговорюсь, что изложенный метод не является панацеей).

Данный метод будет основан на некоторых свойствах логарифмической функции: на ее монотонности и на наибольших и наименьших значениях на интервале ее существования.

Прежде чем приступать к рассмотрению метода, я напомню тебе, что такое монотонность функции:

Определение монотонности функции:

( displaystyle fleft( x right)) монотонно возрастает на ( displaystyle left[ a,b right]), если для любых ( displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}) из этого промежутка из того, что ( displaystyle {{x}_{1}}<{{x}_{2}}) следует, что ( displaystyle fleft( {{x}_{1}} right)<fleft( {{x}_{2}} right)) и наоборот, из того, что ( displaystyle {{x}_{1}}>{{x}_{2}}) следует, что ( displaystyle fleft( {{x}_{1}} right)>fleft( {{x}_{2}} right).)

Определение:

( displaystyle fleft( x right)) монотонно убывает на ( displaystyle left[ a,b right]), если для любых ( displaystyle {{x}_{1}},~{{x}_{2}}) из этого промежутка из того, что ( displaystyle {{x}_{1}}<{{x}_{2}}) следует, что ( displaystyle fleft( {{x}_{1}} right)>fleft( {{x}_{2}} right)) и наоборот, из того, что ( displaystyle {{x}_{1}}>{{x}_{2}}) следует, что ( displaystyle fleft( {{x}_{1}} right)<fleft( {{x}_{2}} right).)

Простые рисунки иллюстрируют эти определения:

Функция на рисунке слева – монотонно возрастающая, а справа – монотонно убывающая. Теперь обратимся к логарифмической функции ( displaystyle f(x)=lo{{g}_{a}}x4), известно, что выполняется следующая:

Теорема: если ( displaystyle a>1), то функция ( displaystyle fleft( x right)=~lo{{g}_{a}}x) является монотонно возрастающей, если ( displaystyle 0<a<1), то функция ( displaystyle fleft( x right)=~lo{{g}_{a}}x) является монотонно убывающей.

На рисунке приведены примеры монотонно возрастающей и монотонно убывающей логарифмической функции. Теперь я могу приступать к рассмотрению одного из приемов решения логарифмических неравенств.

Рассмотренный здесь метод называется мини-максным. 

Я думаю, что ты понимаешь, от каких слов произошло такое название? Верно, от слов минимум и максимум. Кратко метод можно представить в виде:

( displaystyle left{ begin{array}{l}fleft( x right)le gleft( x right)\fleft( x right)ge A\gleft( x right)le Aend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}fleft( x right)=gleft( x right)\fleft( x right)ge A\gleft( x right)le Aend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}fleft( x right)=A\gleft( x right)=Aend{array} right.)

Иногда данный метод позволяет решать на первый взгляд «безнадежные» неравенства вроде

( displaystyle lo{{g}_{2}}left( 6x-{{x}^{2}}-7 right)ge {{7}^{left| x-3 right|}})

Давай введем в рассмотрение две функции

( displaystyle fleft( x right)=~lo{{g}_{2}}left( 6x-{{x}^{2}}-7 right)), ( displaystyle gleft( x right)=~{{7}^{left| x-3 right|}})

Найдем для каждой из них область значений ( displaystyle Eleft( f right),Eleft( g right)):

Пусть ( displaystyle t=6x-{{x}^{2}}-7)

( displaystyle 6x-{{x}^{2}}-7=-{{left( x-3 right)}^{2}}+2,~) то есть ( displaystyle tle 2), с другой стороны, по определению логарифма ( displaystyle t>0).

Так как ( displaystyle y=fleft( t right)) возрастает на ( displaystyle left( 0;2 right]).

Причем, при ( displaystyle t) стремящемся к нулю, ( displaystyle fleft( t right)) стремится к минус бесконечности (смотри рисунок выше), а при ( displaystyle t=2,~fleft( t right)=fleft( 2 right)=1).

Таким образом, область значений ( displaystyle f(x)) есть множество:

( displaystyle Eleft( f right)=left( -infty ;1 right].)

Теперь найдем область значений ( displaystyle g(x)): вновь введем замену ( displaystyle z=left| x-3 right|,) ( displaystyle zge 0) (по определению модуля), так как ( displaystyle gleft( z right)={{7}^{z}}) возрастает на всей числовой прямой, то наименьшее значение ( displaystyle gleft( z right)) при ( displaystyle zge 0) достигается при ( displaystyle z=0), ( displaystyle gleft( 0 right)=1), ( displaystyle gleft( z right)>1) при ( displaystyle z>0). Таким образом:

( displaystyle Eleft( g right)=left[ 1;+infty right).)

Воспользуемся мини-максным методом: он говорит нам о том, что решение неравенства может иметь место только при

( displaystyle fleft( x right)=gleft( x right)=A). В нашем случае ( displaystyle A=1.)

Тогда ( displaystyle fleft( x right)=1) эквивалентно: ( displaystyle lo{{g}_{2}}left( 6x-{{x}^{2}}-7 right)=1) а из ( displaystyle gleft( x right)=1) получится ( displaystyle {{7}^{left| x-3 right|}}=1.) Первое уравнение имеет корень: ( displaystyle x=3), это же число является и корнем второго уравнения. Тогда наше исходное неравенство имеет место только при ( displaystyle x=3).

Вот такой пример (позаковырестее) я предлагаю решить тебе самому:

( displaystyle left{ begin{array}{l}lo{{g}_{frac{1}{3}}}left( 3+left| sinx right| right)ge {{2}^{left| x right|}}-2\lo{{g}_{left( x+2.5 right)}}{{left( frac{x-5}{2x-3} right)}^{2}}>0end{array} right.)

Давай посмотрим, что у нас получилось:

Я начну с анализа первого неравенства: Слева у меня стоит монотонно убывающая функция, а справа – монотонно возрастающая. Вначале мы разберемся с ( displaystyle fleft( x right)=lo{{g}_{frac{1}{3}}}left( 3+left| sinx right| right)), пусть ( displaystyle t=3+left| sinx right|), тогда из того, что ( displaystyle 0le left| sinx right|le 1), следует, что ( displaystyle 3le tle 4).

Функция ( displaystyle fleft( t right)) является монотонно убывающей при ( displaystyle 3le tle 4), тогда своего наибольшего значения она достигает при ( displaystyle t=3), а наименьшего – при ( displaystyle t=4).

Тогда:

( displaystyle -lo{{g}_{3}}4le fleft( t right)le -1)

Теперь рассмотрим ( displaystyle gleft( x right)={{2}^{left| x right|}}-2), сделаем замену ( displaystyle t=left| x right|,~tge 0). Тогда ( displaystyle gleft( t right)={{2}^{t}}-2) монотонно возрастает и наименьшего значения достигает при ( displaystyle t=0.) Это значение будет равно ( displaystyle gleft( 0 right)=-1.) При ( displaystyle t>0~gleft( t right)>-1.)

Вновь воспользуемся мини-максным методом. В данном случае первое неравенство может иметь место только при ( displaystyle fleft( x right)=gleft( x right)=-1). Ясно, что первое уравнение имеет бесконечное количество корней, задаваемых формулой

( displaystyle x=pi n,~nin Z.)

Тогда как второе имеет только один корень ( displaystyle x=0). Ясно, что при подстановке ( displaystyle n=0) в формулу корней первого уравнения, я получу, что ( displaystyle x=0). Тогда первое неравенство выполняется только при ( displaystyle x=0).

Что же теперь? Нужно ли нам решать второе неравенство? А смысл? Ведь если оно и имеет решение, то нам нужно будет его пересекать с тривиальным решением первого неравенства. Так не проще ли нам подставить во второе неравенство ( displaystyle 0) и проверить, имеет ли оно при этом место? Я думаю, что это не представляет никакого труда.

( displaystyle lo{{g}_{left( 0+2.5 right)}}{{left( frac{0-5}{2*0-3} right)}^{2}}=lo{{g}_{2.5}}left( frac{25}{9} right)>lo{{g}_{2.5}}1>0)

Тогда с чистой совестью записываю ответ: ( displaystyle x=0).

Конечно, мини-максный метод является не единственным методом решения сложных логарифмических неравенств, однако он в полной мере демонстрирует мощь «функционального» подхода к решению неравенств (кстати, и уравнений тоже).

Логарифмическое неравенство может встретиться вам в 13 задании ЕГЭ по математике. При решении логарифмического неравенства важно правильно определить область допустимых значений (ОДЗ). Как же решить логарифмическое неравенство? Давайте разберем основные правила.

1. Как найти ОДЗ (область допустимых значений) логарифмического неравенства
2. Решение логарифмического неравенства с основанием больше 1
3. Решение логарифмического неравенства с основанием от 0 до 1
4. Решение логарифмического неравенства с переменным основанием: классический подход и метод рационализации
5. Видео урок: решение сложного логарифмического неравенства

Как найти ОДЗ (область допустимых значений) логарифмического неравенства

Простейшее логарифмическое неравенство можно записать в виде:знак можно заменить на <, ≤ или ≥.

В логарифмическом неравенстве вначале решения нам важно определить область допустимых значений (ОДЗ).Далее мы смотрим на основание логарифма – a. Напомним, что основание логарифма должно быть положительным, и не должно равняться единице.

Если у логарифма в неравенстве  а > 1, то знак неравенства не меняется.

Если у логарифма в неравенстве 0 < а < 1, то знак неравенства меняется на противоположный.

Рассмотрим, как это работает на практике.

Решение логарифмического неравенства с основанием больше 1

Вначале определяем ОДЗ:  2х + 4 > 0

Решаем это простейшее неравенство и получаем х > -2.

Таким образом область допустимых значений данного неравенства х > -2.

Далее решаем непосредственно логарифмическое неравенство. Так как основание логарифмов (основание = 2) в неравенстве больше единицы, знак неравенства сохраняется:Так как логарифмы в неравенстве имеют одинаковое основание, то мы их можем просто отбросить и решить неравенство вида

Теперь вспоминаем про нашу ОДЗ и определяем окончательный ответ.Отметим полученные значения на числовой оси:

Решение логарифмического неравенства с основанием от 0 до 1

Теперь разберем то же самое неравенство, только основание логарифма будет равно ½. Таким образом, получим:

Определяем ОДЗ, как и в прошлом примере, х > -2.

Далее смотрим на основание логарифма. В данном случае основание равно ½, т.е. находится в области от 0 < а < 1. В этом случае знак исходного неравенства меняется на противоположный. Получим:

Решаем полученное неравенство. Так как основания у логарифмов в обеих частях равны, то их можно отбросить, в результате чего получим:Вспоминаем про ОДЗ и определяем окончательный ответ.Отметим полученные точки на числовой оси:Таким образом, решением нашего неравенства является:

Такие неравенства являются простыми, так как основания логарифмов, которые присутствовали в наших неравенствах, были четко определены.

Решение логарифмического неравенства с переменным основанием

А что делать, если основание логарифма, который присутствует в неравенстве, содержит Х? То есть нельзя четко сказать а > 1 или 0 < а < 1. Такое логарифмическое неравенство называется логарифмическим неравенством с переменным основанием. Решить его можно двумя способами – с помощью определения логарифма с переменным основанием и методом рационализации.

Давайте рассмотрим оба способа. И для наглядности решим одно логарифмическое неравенство двумя этими способами.

Итак, мы имеем неравенство

Решение логарифмического неравенства с переменным основанием: классический подход

Как правило, в школе учат решать логарифмические неравенства с переменным основанием только с помощью определения логарифма, поэтому-то его и назвали классическим подходом.

Выше мы говорили о том, что при решении неравенств, содержащих логарифмы, необходимо обращать внимание на основание логарифма, которое может быть либо больше единицы, либо меньше единицы, но при этом больше ноля. И в зависимости от этого определяем знак неравенства.

С помощью такого подхода можно решить и логарифмическое неравенство с переменным основанием, то есть с основанием, которое содержит Х, и о котором невозможно сказать больше оно единицы или меньше. В этом случае нам просто нужно рассмотреть два случая: когда исходное неравенство больше единицы, и когда исходное неравенство меньше единицы, но больше ноля.

Вернемся к нашему примеру.Для начала нам нужно преобразовать данное неравенство в такой вид, где слева и справа будут логарифмы с одинаковым основанием. Для этого вспомним такое свойство логарифмов, как логарифмическая единица:То есть в нашем примере правую часть можно преобразовать следующим образом:Таким образом наше неравенство примет вид:

Теперь нам нужно рассмотреть два случая, когда основание логарифма больше единицы и, когда основание логарифма меньше единицы, но больше нуля. При этом не забываем про область допустимых значений.
Отметим полученные точки на числовой оси:Таким образом, решением исходного неравенства является (-2/3;6) .

Решение логарифмического неравенства с переменным основанием: метод рационализации

 Метод рационализации заключается в том, что исходное неравенство видаВместо V может стоять знак: >, <, ≤ или ≥.

Далее неравенство можно переписать в виде:

В этом случае необходимо поставить тот же знак, что и в изначальном неравенстве.

Далее нам необходимо учесть область допустимых значений:

Применим метод рационализации для решения нашего неравенства:Первое, что нам нужно сделать, это привести его к виду

Для этого снова воспользуемся свойством логарифмов – логарифмическая единица:Теперь перепишем неравенство, используя метод рационализации:

Нам необходимо учесть ОДЗ, тогда получим следующую систему:Первое неравенство системы решим методом интервалов:Таким образом, решение первого неравенства -2 < х < 6

Решение второго неравенства: х > -4½

Решение третьего неравенства: х < 7

Решение четвертого неравенства: х ≠ 6

Совместим решения всех неравенств на числовой оси:

На приведенном примере мы разобрали, как решить логарифмическое неравенство двумя способами. Часто решение методом рационализации бывает более коротким, соответственно, на него вы потратите гораздо меньше драгоценного времени, отведенного на ЕГЭ. Потому рекомендуем потренироваться в решении логарифмических неравенств этим методом, чтобы без затруднения воспользоваться им на ЕГЭ.

Видео урок: решение сложного логарифмического неравенства

В данной статье мы разобрали, как решить логарифмическое неравенство. Еще больше примеров решения логарифмических неравенств вы можете найти

Содержание:

В этой лекции рассмотрим некоторые уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится под знаком логарифма. Уравнения такого вида принято называть логарифмическими.

Решение логарифмических уравнений

При решении логарифмических уравнений часто будет использоваться следующее утверждение.

Следствие. Пусть

Доказательство:

Воспользовавшись данными условия и основным логарифмическим тождеством, получим: При решении уравнений часто используются утверждения, вытекающие из доказанного следствия:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

По определению логарифма имеем равносильное данному уравнение

Решим это уравнение:

Ответ: -1; 1.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно системе

Уравнение (2) равносильно уравнению (поясните почему). Решая его, получаем: х = -2 или х = 2.

С учетом неравенства (1) оставляем х = 2.

Ответ: 2.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Обозначив получим уравнение откуда

Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

или

Решая уравнение (3), получаем откуда х = 1,5.

Решая уравнение (4), получаем откуда х = 65.

Ответ:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Используя формулу перехода к логарифму с другим основанием, получаем равносильное данному уравнение

Решим его:

Ответ:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Поскольку при любых значениях х, то можно прологарифмировать обе части данного уравнения, например, по основанию 10; в результате получим:

Ответ:

В примере 5 уравнение можно прологарифмировать и по другому основанию, например по основанию 2 (сделайте это). А можно решить его и так:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Способ 1 (сохранение равносильности).

Ответ: 2,5

Способ 2 (использование уравнения-следствия). Из данного уравнения следует, что

Откуда получим:

Проверка полученных значений по исходному уравнению (5) показывает, что число 7 не является его корнем. Действительно, при этом значении х выражения не имеют смысла. Значение — корень (убедитесь в этом).

Пример:

Решить уравнение:

Решение:

а) По определению логарифма для уравнения Решая последнее уравнение, находим

а поскольку х > 0, то получаем х = 4.

б) Уравнение равносильно системе

которая не имеет решении.

Можно рассуждать иначе. Так как при верно равенство то уравнение не имеет решений.

в) Любое положительное и отличное от 1 число х является корнем уравнения (поясните почему).

Ответ:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Ответ: 6.

Пример:

Решить уравнение с неизвестным х:

Решение:

а) Если или то выражение не имеет смысла.

Если то уравнение имеет единственное решение

б) При любом действительном значении а уравнение имеет единственное решение

Ответ:

Вычисление логарифмических неравенства

В этом пункте рассмотрим некоторые неравенства, в которых переменная (неизвестное) находится под знаком логарифма. Неравенства такого вида принято называть логарифмическими.

При решении логарифмических неравенств часто будет использоваться утверждение, которое следует из свойств логарифмической функции.

Следствие

Доказательство:

Пусть а> 1. Поскольку по условию то, воспользовавшись основным логарифмическим тождеством и следствием из пункта 2.4, имеем

Доказательство утверждения при 0 < а < 1 аналогично доказательству при а > 1. Проведите его самостоятельно.

При решении неравенств часто используются утверждения, вытекающие из доказанного следствия:

Пример №1

Решить неравенство:

a)

б)

в)

r)

Решение:

а) Заметим, что в неравенстве

выражение принимает положительные значения при любых значениях переменной х.

Поскольку из двух логарифмов с одинаковым основанием 0,29 больше тот, который берется от меньшего числа, то получим неравенство равносильное данному. Решая его, имеем т. е.

б) Поскольку из двух логарифмов с одинаковым основанием 5,7 меньше тот, который берется от меньшего числа, то из неравенства

следует неравенство

Кроме того, должны выполняться неравенства и (объясните, почему неравенство можно и не записывать).

Таким образом, данное неравенство равносильно системе

Решив эту систему, получим

Решение системы проиллюстрировано на рисунке 41.

Решение этого примера можно оформить так:

Сравните решения примеров а) и б). Почему в примере а) достаточно решить одно неравенство а не систему неравенств, как в примере б)?

в) Отметим, что для любых значений х выполняется неравенство Поскольку из двух логарифмов с одинаковым основанием 0 < а < 1 больше тот, который берется от меньшего числа, то получим неравенство

которое равносильно данному. Решим его:

г) Неравенство равносильно неравенству

Так как и, учитывая область определения логарифмической функции, имеем равносильную данному неравенству систему

Решив ее, получим

Ответ:

Пример №2

Решить неравенство

Решение:

Ответ:

Пример №3

Решить неравенство

Решение:

Способ 1. Пусть тогда имеем откуда находим

Таким образом, с учетом обозначения имеем:

Поскольку из двух логарифмов с основанием 0,5 больше тот, который берется от меньшего числа, то получим:

Ответ:

Способ 2 (метод интервалов). Пусть левая часть неравенства обозначена Найдем промежутки, где функция принимает неположительные значения. Для этого в области определения функции найдем ее нули: (убедитесь в правильности вычислений самостоятельно).

Затем на каждом из промежутков определим знаки значений функции например, в точках

Пример №4

Решить неравенство

Решение:

Данное неравенство равносильно неравенству

Решив его:

Поскольку из двух логарифмов с основанием 2 больше тот, который берется от большего числа, то

Ответ:

Пример №5

Решить неравенство

Решение:

Способ 1.

Ответ: (0; 1).

Способ 2.

так как функция возрастающая, то числитель дроби в левой части последнего неравенства принимает только положительные значения, значит, знаменатель этой дроби должен быть отрицательным

Способ 3.

Решим последнее неравенство методом интервалов. Пусть

Итак,

Найдем нули функции Так как при любом значении х верно неравенство (поясните почему), то функция нулей не имеет.

Определим и отметим над координатной прямой (рис. 42) знаки значений функции на ее области определения. ▲

Логарифмические уравнения, неравенства и их системы

Рассмотрим логарифмические уравнения, т. е. уравнения, в которых переменная содержится под знаком логарифма.

Теорема 11.

Логарифмы при одном и том же положительном и не равном единице основании равны тогда и только тогда, когда положительны и равны подлогарифмические выражения:

Доказательство:

Пусть Из равенства следует, что Кроме того, Получили, что из равенства следует система

А если истинна последняя система, то для любого положительного и не равного единице числа существуют и равны значения выражений Это означает, что из системы условий следует равенство

Для завершения доказательства остается заметить, что системы и равносильны. Действительно, последняя система является следствием предыдущей, и, в свою очередь, неравенство следует из равенства и неравенства (соответственно ).

В соответствии с доказанной теоремой при решении уравнения можно решить уравнение и из полученных корней выбрать те, которые удовлетворяют какому-либо из неравенств или

Пример №6

Решим уравнение

Здесь мы для проверки выбрали более простое неравенство

Ответ. = 4.

Теорема 12.

Если то а если то

Доказательство:

Пусть В этом случае функция возрастает. Потому из неравенства следует, что существуют значения выражений Из возрастания показательной функции получаем, что из неравенства следует, что Кроме того, истинно неравенство Значит, из условия следует условие Таким образом, первое утверждение теоремы доказано.

Если то функции обе являются убывающими. В этом случае из неравенства получаем, что значения выражений существуют и В свою очередь, из неравенства следует, что Этим обоснована равносильность условий и

Пример №7

Решим неравенство

Преобразуем правую часть неравенства:

С учетом теорем 11 и 12 данное неравенство равносильно системе

Опустив первое неравенство, которое является следствием третьего и второго неравенств, и упростив третье неравенство, получим систему

Изобразим полученные решения на координатной прямой (рис. 176) и запишем ответ.

Ответ.

При решении логарифмических неравенств и уравнений важно обеспечивать равносильность проводимых преобразований.

Пример №8

Решим неравенство

Выражения имеют значения только при положительных значениях . С учетом этого имеем:

Ответ. (0; 1].

Пример №9

Решим неравенство

Учтем, что

Это позволяет ввести замену и привести исходное неравенство к виду Решим полученное дробно-рациональное неравенство:

Если то:

Если то:

Таким образом, решениями исходного неравенства являются все числа из промежутков

Ответ.

Разобранные примеры демонстрируют два пути решения логарифмических уравнений и неравенств. На первом пути используется потенцирование для сведения исходного условия к отношению между логарифмами некоторых выражений. Так решался пример 3. На втором пути, как при решении примера 4, используется новая переменная для сведения исходного условия к другому, более простому.

Пример №10

Решим систему уравнений

Решение системы должно удовлетворять условиям При этих условиях первое уравнение дает а второе — или

Таким образом, исходная система равносильна системе которая равносильна системе Решением этой системы является пара чисел = 9, = 6.

Ответ. (; ) = (6; 9).

Пример №11

Решим неравенство где — определенное число.

Значения переменных должны удовлетворять системе условий

которой на координатной плоскости соответствует множество точек, лежащих ниже прямой правее оси ординат и не принадлежащих прямой = 1 (рис. 177).

Если то исходное неравенство равносильно неравенству а если то неравенству Прямая = 1 и парабола разделяют область на четыре части (рис. 178), в которых знаки каждого из выражений постоянны.

Если то должно выполняться неравенство т. е. должны быть выбраны те точки области , которые расположены на параболе или ниже ее, т. е. точки фигуры .

Если то должно выполняться неравенство т. е. должны быть выбраны точки области определения, расположенные на параболе или выше ее, т. е. точки фигуры .

Чтобы записать ответ, нужно для каждого значения переменной найти те точки фигур и , ординаты которых равны , и установить, какими могут быть их абсциссы. Например, для значения , показанного на рисунке 179, ответ составляют абсциссы внутренних точек отрезка и луча .

Для выписывания ответа найдем абсциссы точек пересечения прямой и параболы которые являются корнями уравнения Получим:

Видно, что прямая пересекает параболу если

Ответ. Если то или

если

если

если

если

Как решать показательные и логарифмические уравнения

Некоторые показательные и логарифмические уравнения можно решить, используя свойства соответствующих функций. Напомним основные приемы, которые применяются при решении уравнений с помощью свойств функций, и приведем примеры решения уравнений и неравенств, содержащих показательные, логарифмические и другие функции.

1. Конечная ОДЗ

Ориентир:

Если область допустимых значений (ОДЗ) уравнения (неравенства или системы) состоит из конечного числа значений, то для решения достаточно проверить все эти значения.

Пример:

Итак, ОДЗ:

Проверка. — корень

Других корней нет, поскольку ОДЗ входит только одно число. Ответ: 1.

2. Оценка значений левой и правой частей уравнения

Если требуется решить уравнение вида f (x) = g (x) и выяснилось, что m a, то равенство между левой и правой частями возможно тогда и только тогда, когда f (x) и g (x) одновременно будут равны а.

Пример:

Оценим значения левой и правой частей данного уравнения: (поскольку ); если то . Итак, Тогда данное уравнение равносильно системе . Из первого уравнения получаем = 0, то есть x = 0, что удовлетворяет и второму уравнению.

Ответ: 0.

3. Использование монотонности функций

Схема решения уравнения:

1. Подбираем один или несколько корней уравнения.
2. Доказываем, что других корней это уравнение не имеет (используя теоремы о корнях уравнения или оценку значений левой и правой частей уравнения).

Теоремы о корнях уравнения:

1. Если в уравнении f (x) = a функция f (x) возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Пример

Уравнение имеет единственный корень , то есть 5 = 5), поскольку функция возрастает (на всей области определения R) как сумма двух возрастающих функций.

2. Если в уравнении f (x) = g (x) функция f (x) на некотором промежутке возрастает, а функция g (x) — убывает (или наоборот), то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Пример:

Уравнение = 27 – x имеет единственный корень х = 2 = 27 – 2, то есть 25 = 25), так как f (x) = возрастает, а g (x) = 27 – х убывает (при всех х ∈ R).

4. «Ищи квадратный трехчлен»

Ориентир:

Попытайтесь рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно некоторой переменной (или некоторой функции).

Пример:

Запишем и введем замену = t.

Получаем

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно t. Его дискриминант

Тогдато есть

Обратная замена дает = 4 (отсюда x = 2) или = 3 – x. Последнее уравнение имеет единственный корень x = 1, так как f (x) = возрастает, а g (x) = 3 – x убывает (при всех x ∈ R).

Ответ: 1; 2

Пример №12

Решите уравнение

Решение:

Если то Получаем ОтсюдаТогда Обратная замена дает (отсюда x = 2) или (отсюда x = –2).

Ответ: –2; 2.

Комментарий:

Замечаем, что

Таким образом, если то то есть данное уравнение имеет вид Его можно решить с помощью замены Но теперь эту замену можно непосредственно применить для данного уравнения, не вводя промежуточные обозначения. После обратной замены учитываем, что

Пример №13

Решите уравнение

Комментарий:

Если привести все степени к одному основанию 2 и обозначить то получим уравнение (1) (см. решение), в котором можно ввести замену (тогда , отсюда). На ОДЗ данного уравнения (x ∈ R) все замены и обратные замены являются равносильными преобразованиями этого уравнения. Таким образом, решив уравнения, полученные в результате замен, и выполнив обратные замены, мы получим корни данного уравнения.

Решение:

Замена = t дает уравнение

. (1)

Обозначим, тогда, таким образом, из уравнения (1) получаем уравнение , которое имеет корни: = 1, = –2.

Обратная замена дает

Тогда – t – 1 = 0 или t2 + 2t – 1 = 0.

Получаем или

Тогд(отсюда или (корней нет, поскольку, или (отсюда) или (корней нет, так как

Ответ:

Пример №14

Решите уравнение

І способ

Комментарий:

Поскольку > 0, получаем, что в левой части уравнения стоит сумма двух взаимно обратных положительных чисел, которая всегда больше или равна 2. (Действительно, если a > 0, то

следовательно, при всех a > 0 )

Для оценки значений правой части достаточно вспомнить, что областью значений функции cos 2x является промежуток [–1; 1], таким образом,

Решение:

Оценим значения левой и правой частей уравнения.как сумма двух взаимно обратных положительных чисел. ЕслиТаким образом,

тогда данное уравнение равносильно системе

Из первого уравнения, используя замену получаем

то есть – 2t + 1 = 0. Отсюда t = 1.

Тогда = 1, отсюда x = 0, что удовлетворяет и второму уравнению.

Ответ: 0.

ІІ способ

Комментарий:

Если обозначить = t, то данное уравнение приводится к уравнению (2) (см. решение), которое можно рассматривать как квадратное относительно переменной t. Заметим, что t = ≠ 0, поэтому при таких значениях t уравнения (1) и (2) равносильны. Далее используем условие существования корней квадратного уравнения.

Решение:

После замены = t (t > 0) из данного уравнения получаем равносильное уравнение

которое, в свою очередь, равносильно уравнению

Рассмотрим уравнение (2) как квадратное относительно переменной t. Тогда его дискриминант Уравнение (2) может иметь корни только тогда, когда то есть когда

Отсюда

(3)

У этого неравенства знак «больше» не может выполняться всегда), таким образом, неравенство (3) равносильно уравнению Тогда cos 2x = 1 или cos 2x = –1. Подставляя эти значения в уравнение (2), получаем две системы: илиВо второй системе из второго уравнения имеем t = –1, что не удовлетворяет условию t > 0. Таким образом, данное уравнение равносильно только первой системе. Из второго уравнения первой системы имеем t = 1, тогда = 1, то есть x = 0, что удовлетворяет и первому уравнению этой системы.

Ответ: 0.

Пример №15

Решите уравнение

Комментарий:

Для решения уравнения с несколькими модулями можем применить общую схему, рассмотренную в 10 классе (см. также табл. 43 на с. 391):

• 1) найти ОДЗ;
• 2) найти нули всех подмодульных функций;
• 3) отметить нули на ОДЗ и разбить ОДЗ на промежутки;
• 4) найти решения уравнения в каждом из промежутков.

Решение:

ОДЗ: R.

Нули подмодульных функций: x = 0 и

Этот нуль (x = 0) разбивает ОДЗ на два промежутка, в каждом из которых каждая подмодульная функция имеет постоянный знак (рис. 20.1).

Промежуток І. При x ∈ имеем уравнение . Тогда = 2, таким образом,

Промежуток ІІ. При имеем уравнение . Тогда отсюда Но таким образом, в промежутке ІІ данное уравнение корней не имеет.

Ответ: –1.

Пример №16

Решите уравнение

Решение:

ОДЗ: то есть x > 1.

Поскольку x = 2 не является корнем данного уравнения, то при делении обеих частей уравнения на получаем равносильное (на ОДЗ при x ≠ 2) уравнение

После замены имеем уравнение корни которого:

Выполнив обратную замену, получаем

Тогда на ОДЗ (при x ≠ 2) имеем равносильные уравнения:

Учитывая ОДЗ, получаем x = или x = 3.

Ответ:; 3.

Комментарий:

Если выполнить замену lg (x + 1) = = u, lg (x – 1) = v, то получим уравнение все члены которого имеют одинаковую суммарную степень — два. Напомним, что такое уравнение называется однородным и решается делением обеих частей на наибольшую степень одной из переменных. Разделим, например, обе части на (то есть на

Чтобы не потерять корни уравнения при делении на выражение с переменной, необходимо значения переменной, при которых это выражение равно нулю, рассмотреть отдельно. Значение x, при котором lg (x – 1) = 0 (тогда x – 1 = 1), то есть x = 2, подставляем в данное уравнение.

Для реализации полученного плана решения не обязательно вводить переменные u и v, достаточно заметить, что данное уравнение однородное, разделить обе части на а затем ввести новую переменную t.

В конце учитываем, что все преобразования были равносильными на ОДЗ, следовательно, необходимо выбирать только те из найденных корней, которые входят в ОДЗ.

Пример №17

Решите уравнение

Комментарий:

Логарифмические функции, стоящие в левой части данного уравнения, принимают только неотрицательные значения.

Действительно, на всей области определения таким образом, аналогично, поскольку на своей области определения В этом случае сумма двух неотрицательных функций может равняться нулю тогда и только тогда, когда каждая из этих функций равна нулю.

Заметим, что при переходе от данного уравнения к системе уравнений ОДЗ не изменяется, таким образом, ее можно не записывать в явном виде. При решении полученных простейших логарифмических уравнений ОДЗ также учитывается автоматически, поэтому ее можно вообще не записывать в решение.

Решение:

Поскольку на всей области определения и то данное уравнение равносильно системе

Из первого уравнения системы получаем Тогда то есть х = 2, что удовлетворяет и второму уравнению системы.

Ответ: 2.

Пример №18

При каких значениях параметра a неравенствовыполняется для любых значений x?

Комментарий:

Сначала воспользуемся формулой Далее запишем правую часть неравенства как значение логарифмической функции и, переходя к аргументу, учтем, что в случае, когда основание этой функции больше 1, функция возрастает, а когда меньше 1 (но больше 0) — убывает. При дальнейшем анализе полученных неравенств учитываем, что неравенство sin t > b выполняется для любых значений t тогда и только тогда, когда b < –1, а неравенство sin t < c — когда c > 1.

Решение:

Данное неравенство равносильно неравенству

Это неравенство равносильно совокупности систем

Тогда

Неравенства с переменной x в последней совокупности систем будут выполняться для любых значений x при условии:

Тогда a > 12 или 7,5 < a < 8.

Ответ: при любом а ∈ (7,5; (12;

Пример №19

При каких значениях параметра a уравнение имеет единственный корень?

Комментарий:

Выполняя равносильные преобразования данного уравнения, учитываем, что при использовании определения логарифма для решения этого простейшего логарифмического уравнения его ОДЗ учитывается автоматически.

При выполнении замены переменной в задании с параметром учитываем, что после замены требование задачи может измениться.

Исследуя расположение корней квадратного трехчлена применим условия, (для записи соответствующих условий используем обозначения: D — дискриминант, — абсцисса вершины параболы). Как известно, для того чтобы корни квадратного трехчлена f (t) (с положительным коэффициентом при были расположены по разные стороны от числа A, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие f (A) < 0.

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнению

(1)

то есть Замена дает уравнение

(2)

Требование задачи будет выполняться тогда и только тогда, когда уравнение (2) будет иметь единственный положительный корень. Это будет в одном из двух случаев:

• 1) уравнение (2) имеет единственный корень, и он положительный;
• 2) уравнение (2) имеет два корня, из которых только один положительный, а второй — отрицательный или нуль.

Для первого случая получаем

Таким образом,

Для второго случая значение t = 0 исследуем отдельно.

При t = 0 из уравнения (2) получаем a = 0. При a = 0 уравнение (2) имеет корни Таким образом, условие задачи при a = 0 выполняется.

Остается еще один случай — корни уравнения (2) имеют разные знаки (расположены по разные стороны от нуля). Это будет тогда и только тогда, когда будет выполняться условие f (0) < 0 (где), то

есть условие –a < 0, тогда a > 0. Объединяя все результаты, получаем ответ.

Ответ: при или уравнение имеет единственный корень.

Сведения из истории:

Понятие показательной функции было введено, опираясь на степенную функцию с рациональным показателем, которая имеет давнюю историю. В частности, дробные показатели степени и простейшие правила действий над степенями с дробными показателями встречаются в XIV в. у французского математика Н. О р е м а (ок. 1323—1382). Известно, что Н. Шюке (ок. 1445—ок. 1500) рассматривал степени с отрицательными и нулевым показателями. С. Стевин предложил понимать под корень Однако систематически дробные и отрицательные показатели первым стал применять И. Ньютон (1643—1727).

Немецкий математик М. Штифель (1487—1567) ввел обозначениеесли a ≠ 0, и название показатель (это перевод с немецкого Ехроnеnt). Немецкое potenzieren означает возвести в степень. (Отсюда происходит и слово потенцировать, которое применяется для обозначения переходов от логарифмов (log) выражений f (x) и g (x) к соответствующим степеням, то есть от равенствак равенству В свою очередь, термин eхроnеnten возник вследствие не совсем точного перевода с греческого слова, которым Диофант Александрийский (около ІІІ в.) обозначал квадрат неизвестной величины.

Термин логарифм происходит от сочетания греческих слов «логос» (в значении «отношение») и «аритмос» (число) и переводится как отношение чисел. Выбор изобретателем логарифмов Дж. Непером такого названия (1594 г.) поясняется тем, что логарифмы возникли вследствие сопоставления двух чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а второе — геометрической. Логарифмы по основанию e ввел Спейдел (1619 г.), который составил первые таблицы для функции ln х. Название натуральный (естественный) для этого логарифма предложил Н. Меркатор (1620—1687), который выяснил, что ln х — это площадь под гиперболой

Близкое к современному пониманию понятие логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень, — впервые появилось в работах Дж. Валлиса и И. Бернулли, а окончательно было уточнено Л. Эйлером в XVIII в. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Ейлер дал современное определение как показательной, так и логарифмической функций и привел их разложение в степенные ряды, отметил особую роль натурального логарифма.

Логарифм и его свойства

Легко решить уравнения и Их корнями будут соответственно числа 2 и 3.

Однако для уравнения сразу указать его корень сложно.

Возникает естественный вопрос: есть ли вообще корни у этого уравнения?

Обратимся к графической интерпретации. На рисунке 19.1 изображены графики функций и Они пересекаются в некоторой точке Следовательно, уравнение имеет единственный корень

Однако графический метод не позволяет определить точное значение

С подобной ситуацией мы встречались, решая в 10-м классе уравнение Графическая интерпретация также показывает, что это уравнение имеет единственный корень (рис. 19.2). Потребность называть и записывать этот корень в свое время привела к новому понятию «кубический корень» и обозначению

Корень уравнения договорились называть логарифмом числа 5 по основанию 2 и обозначать Таким образом, число это показатель степени, в которую надо возвести число 2, чтобы получить число 5. Можно записать:

Рассмотрим уравнение где Так как для всех выполняется неравенство то при это уравнение не имеет решений. Если то это уравнение имеет единственный корень (рис. 19.3). Его называют логарифмом числа по основанию и обозначают

Логарифмом положительного числа по основанию где и называют показатель степени, в которую надо возвести число чтобы получить число .

Например, это показатель степени, в которую надо возвести число 3, чтобы получить число 9. Имеем: поскольку

Еще несколько примеров:

Из определения логарифма следует, что при и выполняется равенство

Его называют основным логарифмическим тождеством.

Например,

Также из определения логарифма следует, что при и

Рассмотрим равенство

Вы знаете, что действие нахождения числа по данным числам и называют возведением числа в степень .

Действие нахождения числа по данным числам и , где и называют логарифмированием числа по основанию Действительно,

Отметим, что при левая часть равенства положительна. Следовательно,

Поэтому при выражение не имеет смысла.

Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом. Вместо пишут

Используя это обозначение и основное логарифмическое тождество, для каждого можно записать:

Рассмотрим основные свойства логарифмов.

Теорема 19.1 (логарифм произведения). Если и то выполняется равенство

Коротко формулируют: логарифм произведения равен сумме логарифмов.

Доказательство. Рассмотрим два выражения: и Докажем, что они равны.

Используя основное логарифмическое тождество, запишем:

Следовательно, Отсюда по теореме 17.1 получаем, что

Теорема 19.2 (логарифм частного). Если и то выполняется равенство

Коротко формулируют: логарифм частного равен разности логарифмов.

Воспользовавшись идеей доказательства теоремы 19.1, докажите эту теорему самостоятельно. Теорема 19.3. Если и то для любого выполняется равенство

Доказательство. Рассмотрим два выражения: и Докажем, что они равны. Имеем:

Следовательно, Отсюда по теореме 17.1 получаем:

Теорема 19.4 (переход от одного основания логарифма к другому). Если то выполняется равенство

Доказательство. Рассмотрим выражение Преобразуем его, воспользовавшись теоремой 19.3 при Имеем:

Следовательно, Так как то легко показать, что Теперь можно записать:

Следствие 1. Если то выполняется равенство

Докажите это следствие самостоятельно.

Следствие 2. Если то для любого выполняется равенство

Доказательство. В выражении перейдем к основанию

Пример №20

Решите уравнение:

Решение:

1) Из определения логарифма следует, что

2) Имеем:

Ответ:

Пример №21

Вычислите значение выражения:

Решение:

1) Применяя свойства степени и основное логарифмическое тождество, получаем:

2) Имеем:

Пример №22

При каком значении выполняется равенство:

Решение:

1) Выражение определено при Из определения логарифма следует, что то есть

2) Выражение определено при и Согласно определению логарифма имеем: Отсюда

Пример №23

Вычислите значение выражения:

Решение:

1) Используя теоремы о логарифме произведения и логарифме частного, получаем:

2) Имеем:

Пример №24

Постройте график функции

Решение:

Данная функция определена на множестве Так как

для всех значений то приходим к выводу, что графиком функции является часть прямой (рис. 19.4).

Пример №25

Известно, что Найдите

Решение:

Имеем:

Логарифмическая функция и ее свойства

Выберем положительное число отличное от 1. Каждому положительному числу можно поставить в соответствие число такое, что Тем самым задана функция с областью определения

Эту функцию называют логарифмической.

Покажем, что логарифмическая функция является обратной к показательной функции

Для любого уравнение имеет корень (он равен ).

Это означает, что областью значений логарифмической

функции является множество

Имеем:

Для любого выполняется равенство Иными словами, для всех Сказанное означает, что и взаимно обратные функции.

Так как графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой то, пользуясь графиком показательной функции можно построить график логарифмической функции (рис. 20.1).

Функция имеет единственный нуль Функция имеет два промежутка знакопостоянства.

Если то на на если то на на Если функция возрастающая (убывающая), то обратная к ней функция является также возрастающей (убывающей). Показательная функция является возрастающей при и убывающей при

Поэтому функция является возрастающей при и убывающей при

Так как логарифмическая функция является либо возрастающей (при ), либо убывающей (при ), то она не имеет точек экстремума.

Вы знаете, что если определенная на некотором промежутке функция является обратимой и непрерывной, то обратная к ней функция также непрерывна. Показательная функция непрерывна.

Поэтому функция является непрерывной. Логарифмическая функция дифференцируема. Подробнее о производной логарифмической функции вы узнаете в п. 23.

График функции имеет вертикальную асимптоту когда стремится к нулю справа. В таблице приведены свойства функции , изученные в этом пункте.

Пример №26

Сравните с единицей основание логарифма, если известно, что

Решение:

Если предположить, что то функция является возрастающей. Поэтому Но по условию это не так. Значит,

Пример №27

Найдите область определения функции:

Решение:

1) Так как область определения логарифмической функции — множество положительных чисел, то областью определения данной функции является множество решений неравенства

Имеем: или

Следовательно,

2) Выражение имеет смысл при выражение при Кроме того, знаменатель дроби не может быть равным нулю, поэтому Таким образом, область определения данной функции — это множество решений системы неравенств:

Имеем:

Обратившись к рисунку 20.2, приходим к выводу, что последняя система равносильна совокупности

Следовательно,

3) Область определения данной функции найдем, решив систему неравенств:

Тогда

Отсюда

Пример №28

Сравните:

Решение:

1) Так как логарифмическая функция возрастающая, то

2) Так как логарифмическая функция убывающая, то 3) Имеем: то есть Вместе с тем то есть Следовательно, 4) Учитывая, что имеем: Следовательно,

5) Имеем:

Так как

Определение логарифмического уравнения

Уравнение вида где называют простейшим логарифмическим уравнением.

Поскольку графики функций и пересекаются в одной точке (рис. 21.1), то простейшее логарифмическое уравнение имеет единственный корень при любом Этот корень можно найти, используя определение логарифма. Имеем:

Пример №29

Решите уравнение

Решение:

По определению логарифма можно записать

Ответ:

Решенное уравнение — частный случай уравнения вида где Рассуждая, как в примере 1, можно показать, что это уравнение равносильно уравнению

При решении многих логарифмических уравнений применяют следующую теорему.

Теорема 21.1. Пусть Если то и наоборот, если и то

Решение логарифмических уравнений

Поскольку логарифмическая функция является возрастающей или убывающей, то для доказательства этой теоремы можно воспользоваться идеей доказательства теоремы 17.1. Убедитесь в этом самостоятельно.

Следствие. Пусть Уравнение вида равносильно любой из систем

или

Выбор соответствующей системы, как правило, связан с тем, какое из неравенств, или решить легче.

Воспользовавшись идеей доказательства следствия из теоремы 17.1, докажите следствие из теоремы 21.1 самостоятельно.

Теперь решение уравнения примера 1 можно оформить и так:

Пример №30

Решите уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно системе

Имеем:

Отсюда

Ответ:

Пример №31

Решите уравнение

Решение:

Естественно преобразовать это уравнение так:

Отсюда или

Легко убедиться, что число не является корнем данного уравнения (не входит в его область определения), а число 5 является корнем данного уравнения. Таким образом, данное уравнение решено методом следствий.

Ответ:

Обратим внимание, что сделанный во время решения примера 3 переход от уравнения к уравнению не был равносильным и привел к появлению постороннего корня.

Действительно, область определения исходного уравнения задается системой неравенств множеством решений которой является промежуток Заменив выражение на выражение мы расширили область определения исходного уравнения, так как область определения уравнения задается неравенством множеством решений которого является множество

Следовательно, расширение области определения уравнения от множества до множества и стало причиной появления постороннего корня

На самом деле уравнение равносильно системе

Отсюда

Получаем

Пример №32

Решите уравнение

Решение:

Так как то данное уравнение равносильно уравнению

Пусть Тогда получаем: Отсюда Следовательно, Тогда исходное уравнение равносильно совокупности

Отсюда

Ответ:

Пример №33

Решите уравнение

Решение:

Так как на области определения уравнения, то есть на множестве обе его части принимают положительные значения, то можем записать уравнение, равносильное данному

Далее имеем: Пусть Тогда

Отсюда

Ответ:

Пример №34

Решите уравнение

Решение:

Отметим, что переход от уравнения (1) к уравнению

может привести к потере решений.

Действительно, областью определения исходного уравнения является множество а область определения уравнения (2) — это множество Следовательно, такой переход сужает область определения исходного уравнения на множество (2; 4), которое может содержать корни уравнения (1).

На самом деле уравнение (1) равносильно такому уравнению:

Отсюда

Это уравнение равносильно совокупности двух систем:

Далее имеем:

Ответ:

Пример №35

Решите уравнение

Решение:

Перейдем к логарифмам по основанию 2: Поскольку из условия следует, что то

Далее имеем:

Пусть тогда получим

Отсюда или Имеем:

Ответ:

Пример №36

Решите уравнение

Решение:

Рассмотрим функции и Функция является возрастающей, функция убывающей. Тогда уравнение имеет не более одного корня. Так как то единственный корень данного уравнения.

Ответ:

Пример №37

Решите уравнение

Решение:

Ошибочно считать, что уравнение вида равносильно совокупности При таком переходе существует опасность получить в ответе посторонние корни. Например, нет гарантии, что все корни уравнения принадлежат области определения функции

На самом деле уравнение равносильно системе

Воспользовавшись этим, запишем систему, равносильную уравнению

Единственным корнем первого уравнения совокупности является число 3. Так как (рис. 21.2), то не является корнем исходного уравнения.

Все числа вида являются корнями второго уравнения совокупности. Среди них следует выбрать только те, которые удовлетворяют условию Для этого достаточно потребовать, чтобы Ответ:

Пример №38

Решите систему уравнений

Решение:

Имеем:

Из первого уравнения системы следует, что Отсюда или

Следовательно, данная система равносильна совокупности двух систем.

Имеем: Тогда

Легко убедиться (сделайте это самостоятельно), что эта система решений не имеет.

Ответ:

Логарифмические неравенства

При решении многих логарифмических неравенств используют следующую теорему.

Теорема 22.1. При неравенство выполняется тогда и только тогда, когда при неравенство выполняется тогда и только тогда, когда

Справедливость этой теоремы следует из того, что при логарифмическая функция является возрастающей, а при убывающей.

Следствие. Если , то неравенство равносильно системе

Если то неравенство равносильно системе

Воспользовавшись идеей доказательства следствия из теоремы 17.1, докажите это следствие самостоятельно.

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Поскольку то можно записать:

Это неравенство равносильно такому: Отсюда

Ответ:

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Имеем:

Это неравенство равносильно системе

Ответ:

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Данное неравенство равносильно системе

Отсюда

Ответ:

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Так как областью определения данного неравенства является промежуток то выполняется равенство

Тогда данное неравенство можно переписать так:

Пусть Получаем

Имеем:

Ответ:

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Имеем:

Пусть Тогда Отсюда

Воспользовавшись методом интервалов (рис. 22.1), получаем

Далее,

Ответ:

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Перепишем данное неравенство так: Это неравенство равносильно совокупности двух систем.

Отсюда

Отсюда

Ответ:

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Имеем:

Рассмотрим функцию Она возрастает на Заметим, что Следовательно, при получим, что а при получим, что

Ответ:

Свойство логарифмической функции

Равенство справедливо при тогда и только тогда, если х = у.

1)Уравнение при условии равносильно уравнению . Решив уравнение , и найдя его корни необходимо проверить, удовлетворяют ли они условию .

2)Если уравнение заменить эквивалентному уравнению в экспоненциальной форме получим . Решение логарифмический уравнений, после определённых преобразований, сводится к решению простейших логарифмических уравнений.

1) Решение логарифмических уравнений при помощи свойства логарифма.

Пример:

2) Решение уравнения при помощи введения новой переменной.

Пример:

3) Решение уравнений, приведением к одинаковому основанию.

Пример:

Рассмотрим ещё один пример уравнения, решение которого сводится к применению свойства логарифма.

Пример:

Проверка.

Выражение стоящее под знаком логарифма должно всегда быть положительным, то есть .

Значение -5,5 не удовлетворяет этому условию, значит оно является посторонним корнем. Значение -1 данному условию удовлетворяет.

Ответ: -1

Физика. Альтиметр — это прибор, который измеряя атмосферное давление определяет высоту над уровнем моря. Зависимость между высотой (в метрах) и атмосферным давлением (в паскалях) задаётся формулой

Землетрясение. Амплитуда землетрясения находится но формуле , где А_о — амплитуда самого слабого землетрясения, м — сила землетрясения по шкале Рихтера.

Финансы. Если на счёт в банке поместить 1 руб под 6% рост, то размер вклада через t лет можно посчитать но формуле . Выразить переменную t можно через S.

Радиоактивный распад изотопа Углерод 14 учёные широко используют для определения возраста останков животных и растений. Изотоп Углерод 12 встречается на Земле чаще, но он не радиоактивен и не распадается, в отличии о изотопа Углерод 14. Изотоп Углерод 14 получается в атмосфере из солнечных лучей и проникает в растения посредством фотосинтеза, а оттуда в организм животных, которые питаются этими растениями и т.д. В растениях и животных содержится 10 ^-10 процентов атомов углерода изотопа Углерод 14. Когда растение или животное погибают они прекращают получать Углерод 14, а тот углерод который остался в организме начинает распадаться. Период полураспада этого изотопа 5730 лет. Подсчитав сколько процентов атомов углерода изотопа Углерода 14 осталось в растении или животном можно определить время их гибели.

Решение задач по формуле . (здесь -первоначальная масса вещества, Т — период полураспада, — время).

Показательные и логарифмические неравенства

Решение показательных неравенств обычно приводит к решению неравенств вида или . Здесь .

Решаются данные неравенства при помощи свойства возрастания или убывания показательной функции :

При неравенство равносильно неравенству , неравенство равносильно неравенству . При неравенство равносильно неравенству , а неравенство равносильно неравенству .

Примеры:

С помощью тождества , решение неравенств (или ) сводится к решению равносильных неравенств (или ). Решение показательных неравенств при помощи определённых методов сводится к решению простейших показательных неравенств.

1) Применение свойства степени.

Если показатели степени равны, то удобнее всего разделить обе части неравенства на одну из степеней.

Пример:

2) Введение новой переменной.

Пример:

Логарифмические неравенства

Логарифмические неравенства решаются при помощи свойств возрастания или убывания логарифмической функции на множестве допустимых значений.

Пример: 

Так как функция возрастающая, то на области определения данной функции получим . Значит, надо найти значения х удовлетворяющие неравенствам и Отсюда .

Ответ:

Пример: 

Так как Функция убывающая, то на области определения данной функции , получим . Значит, надо решить двойное неравенство . Отсюда .

Ответ: (1; 4)

Пример: Неравенство равносильно двойному неравенству или системе неравенств

Отсюда получаем, что и . Множество решений неравенства:

Пример: решим неравенство . Выражение, стоящее под знаком логарифма по определению логарифма, положительно: . Выполним замену , получим неравенство . Промежуток является решением неравенства. Выполним обратную замену, получим . Отсюда . Ответ:

Количество членов общественной организации каждый год уменьшается на 7%. Формула , показывает какое количество членов будет через лет, если изначально их количество было равно N.

Остаток при распаде Углерода-14 через t лет можно вычислить (в граммах) по формуле .

Пример: За сколько лет, сумма, вложенная в банк под сложные проценты с процентной ставкой 8%, выросла с 1000 руб до как минимум 1500 руб.

Решение:

Ответ: приблизительно через 5,1 лет сумма на счету достигнет 1500 руб.

Зависимость численности населения от времени вычисляется по формуле где Р_о — численность населения, — скорость прироста населения, — количество лет, Р показывает численность населения через лет.

Система логарифмических уравнений

При решении логарифмических систем также используют способ замены, алгебраического сложения и т. д., а также свойства логарифмических функций. Рассмотрим это на примерах:

Пример №39

Решите систему уравнений

Решение:

понятно, что и

Из первого уравнения системы получим из второго получим

или

Таким образом, получаем систему

Подставим в уравнение Тогда получим квадратное уравнение Его корнями являются числа Подставим их в получим Решением данной системы является пара и

Пример №40

Решите систему уравнений

Решение:

из первого уравнения системы имеем Выполним замену: во второе уравнение вместо подставим Тогда можно записать Отсюда и получим, что Тогда Таким образом, решением данной системы является пара

Логарифмические уравнения и неравенства

 Уравнение называется логарифмическим, если его переменные . содержатся только под знаками логарифмов.

Примеры: 

Примечание. Уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма, например  не являются логарифмическими. Но они сводятся к логарифмическим, или при их решении используют свойства логарифмов. Поэтому и такие уравнения, а также неравенства, будем рассматривать в этом и следующем параграфах.

Простейшими логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

По определению логарифма при любом действительном  такое уравнение имеет единственное решение 

Решение других логарифмических уравнений основывается на свойствах логарифмической функции, определении и свойствах логарифма.

Решая логарифмические уравнения, нужно установить область допустимых значений уравнения или осуществить проверку полученных корней.

Для логарифмических уравнений общего метода решения нет, однако можно выделить несколько групп уравнений, для решения которых используются определённые способы. Рассмотрим эти способы на конкретных примерах.

Способ решения логарифмических уравнений по определению логарифма

Пример №41

Решите уравнение

Решение:

По определению логарифма  Решим полученное уравнение:  отсюда 

Проверка. 

Ответ. 2.

Пример №42

Решите уравнение 

Решение:

Область допустимых значений неизвестного определяется из условий:

Следовательно, 

Решение заданного уравнения сводится к решению уравнения

  не принадлежит области допустимых значений.

Ответ. Уравнение не имеет действительных корней.

Способ решения логарифмических уравнений по свойствам логарифмов и логарифмической функции

Пример №43

Решите уравнение 

Решение:

Представим число 3 как логарифм по основанию  Воспользуемся свойством  и запишем уравнение в виде

 Согласно утверждению 1 имеем:  Решим это уравнение:

 отсюда  Проверку сделайте самостоятельно.

Ответ. 5; 7.

Способ решения логарифмических уравнений по введению новой переменной

Многие логарифмические уравнения заменой  можно свести к алгебраическому уравнению с неизвестным 

Пример №44

Решите уравнение 

Решение:

Заменив  на  получим уравнение

имеющее корни:  Итак,  отсюда 

Проверка показывает, что оба значения удовлетворяют уравнение.

Ответ. 100; 

Графический способ решения логарифмических уравнений

Некоторые логарифмические уравнения можно решать графически.

Пример №45

Решите графически уравнение 

Решение:

Построим в одной системе координат графики функций  (рис. 37).Как видим, графики этих функций пересекаются в точке с абсциссой Чтобы убедиться, что  — корень данного уравнения, сделаем проверку: 

Ответ. 4.

Логарифмирование — способ решения логарифмических уравнений

Рассмотрим уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма, но и в основании степени. Их решают способом логарифмирования.

Пример №46

Решите уравнение 

Решение:

Найдём логарифмы от обеих частей уравнения по основанию 2 и упростим полученное уравнение. Имеем:

 Отсюда:

Проверкой убеждаемся, что эти числа являются корнями уравнения.

Если в логарифмическом уравнении знак равенства изменить на знак неравенства, то получим логарифмическое неравенство.

 Неравенство называется логарифмическим, если его переменные содержатся лишь под знаком логарифма.

Для решения логарифмических неравенств используют те же методы, что и для решения логарифмических уравнений, а также правила решения простейших логарифмических неравенств, т.е. неравенств вида 

Для решения простейших логарифмических неравенств используют монотонность и учитывают область определения логарифмической функции. А именно:

1. Если 

2. Если 

Рассмотрим примеры.

Пример №47

Решите неравенство 

Решение:

Способ 1. Поскольку   Учитывая область определения, имеем 

Способ 2.  Функция  на всей области определения  убывает, так как  Поэтому  Следовательно, 

Ответ. 

Пример №48

Решите неравенство

Решение:

Найдём сначала область допустимых значений  Решением системы неравенств  есть интервал  На этом множестве данное неравенство равносильно неравенству  То есть 

Множество решений образованного квадратного неравенства:  Учитывая, что  получим решение заданного неравенства 

Ответ. 

Пример №49

Решите неравенство 

Решение:

Сведём второй логарифм к основанию 8. Получим неравенство, равносильное заданному:

Пусть  тогда  Составим неравенство с новой переменной  и решим его. Квадратный трёхчлен  имеет корни 1 и 2, а множество решений соответствующего неравенства изображено на рисунке 38.

Следовательно,  Тогда  Решим каждое из неравенств, учитывая, что 

Если 

Если 

Ответ. 

Решая неравенства, содержащие переменную и под знаком логарифма и в основании логарифма, следует рассматривать два случая: 1) основание логарифма больше нуля, но меньше единицы; 2) основание логарифма больше единицы.

Пример №50

Решите неравенство 

Решение:

Запишем неравенство в виде 

1)    Если  то неравенство равносильно системе:

Решением этой системы неравенств является промежуток 

2) Если  то неравенство равносильно системе:

Система решений не имеет.

Множество решений неравенства  — объединение множеств решений каждой из рассматриваемых систем, то есть промежуток 

Пример №51

Решите уравнение

Решение:

Чтобы имели смысл выражения  нужно, чтобы одновременно выполнялись неравенства  и  Система этих неравенств решений не имеет.

Ответ. Уравнение не имеет решений.

Пример №52

Решите уравнение

Решение:

Перепишем уравнение так:

Тогда число, стоящее в скобках, по определению логарифма равно  т. е. 1:

Запишем это уравнение так:  Отсюда получаем 

Ответ. 81.

Пример №53

Решите неравенство

Решение:

Пусть  тогда 

Полученное неравенство удовлетворяют значения  а также  Итак,  отсюда  отсюда 

Ответ. 

Пример №54

Решите систему уравнений

Решение:

ОДЗ:  Преобразуем систему, используя свойства логарифмов. Имеем:

Последняя система имеет два решения 

С учётом ОДЗ заданная система имеет единственное решение 

Ответ. 

Пример №55

Решите неравенство 

Решение:

ОДЗ: 

Перенесём  из правой части неравенства в левую и превратим полученное неравенство, используя свойства логарифмов.

 Решением последнего неравенства есть промежуток 

Учитывая ОДЗ, найдём множество решений заданного неравенства: 

Ответ. 

Показательные и логарифмические уравнения, неравенства и их системы с параметрами

Напомним, что под задачами с параметрами понимают те задачи, в которых ход решения и ответ зависят от величин, входящих в условия задачи, но численные значения которых не заданы. Эти величины называются параметрами и могут принимать произвольные значения, или значения, которые удовлетворяют условие задачи.

Чтобы решать логарифмические и показательные уравнения, неравенства и их системы с параметрами, нужно, прежде всего, уметь хорошо решать обычные показательные и логарифмические уравнения и неравенства, знать различные методы их решения, не забывать об области допустимых значений. Также нужно помнить свойства квадратного трёхчлена и условия размещения его корней на числовой прямой, не забывать о графических методах решения задач, особенно в случаях, когда требуется найти количество решений уравнения.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №56

При каких значениях параметра  уравнение  имеет два различных действительных корня?

Решение:

Заменой  данное уравнение сводится квадратному уравнению  в котором  Найдем корни уравнения: 

Для того чтобы исходное уравнение имело два различных действительных корня, должна выполняться система условий:

Следовательно, 

Ответ, 

Пример №57

Для каждого значения параметра  найдите количество корней уравнения 

Решение:

Данное уравнение равносильно системе

Обозначим: 

Построим графики функций  (рис. 39).

Из рисунка видно, что данное уравнение может иметь одно решение, два решения или не иметь ни одного.

1) Рассмотрим условие  Если  т.е.  следовательно, если  то уравнение решений не имеет.

2)    Найдём, при каких значениях  графики функций соприкасаются. Графики будут иметь одну общую точку, если уравнение  имеет одно решение. Найдём эти значения 

В данном случае уравнение будет иметь один корень, если  (что невозможно, поскольку тогда  или если 

Поскольку 

Следовательно, если  то уравнение имеет одно решение. Далее из рисунка видно, что если  то уравнение имеет два решения, если  одно решение, если  — уравнение решений не имеет. .

Ответ. Если  — уравнение имеет одно решение;

если  — два решения;

если  — уравнение решений не имеет.

Пример №58

Решите неравенство 

Решение:

Рассмотрим случаи:

1)  что невозможно. Следовательно, если  то неравенство не имеет решений.

а) если  то неравенство решений не имеет, так как  при всех значениях 

б)если  т.е. 

В этом случае имеем 

 Поскольку  то выполняется неравенство  Следовательно, если 

Ответ. Если  то неравенство решений не имеет; если  то 

Пример №59

Решите неравенство

Решение:

Преобразуем данное неравенство:

Последнее неравенство равносильно системе

Если  то 
то неравенство решений не имеет. Если  то, подставив это значение в условие (сделайте это самостоятельно), получим, что неравенство решений тоже не имеет.

Ответ. Если  то неравенство решений не имеет; если 

Пример №60

При каком значении  неравенство

 выполняется для произвольного значения 

Решение:

1)    Рассмотрим случай, когда  Поскольку квадратичная функция не ограничена, то двойное неравенство не может выполняться для всех значений  поэтому этот случай рассматривать дальше нет смысла.

2)Если  то заданное неравенство можно записать в виде

Следовательно, данное неравенство равносильно системе неравенств

Поскольку квадратный трёхчлен принимает положительные значения для всех  при условии, что ветки параболы направлены вверх и  то получим систему

Ответ. 

Пример №61

Найдите все значения параметра  при которых система уравнений  имеет решения.

Решение:

Запишем первое уравнение в виде  и разделим его на  Получим уравнение  Заменой  приведём его к квадратному уравнению  корни которого  (не удовлетворяет условию  Тогда отсюда  или 

Итак, систему можно записать в виде

Решим второе уравнение:

 или 

Уравнение, а следовательно и заданная система, будет иметь решение, если дискриминант 

 Поскольку  если  то при этих значениях  система имеет решения. 

Ответ, 

Справочный материал

Понятие степени:

Понятие степени обобщается такими равенствами:

Если  — действительное, а  — иррациональное, то под степенью понимают некоторое действительное число, которое является границей бесконечной последовательности  — бесконечная последовательность, пределом которой является число 

Логарифмом числа  по основанию  называют показатель степени, в которую нужно возвести число  чтобы получить 

То есть, если

 Свойства логарифмов:

Условия, при которых эти равенства правильные.

Показательная и логарифмическая функции с тем же основанием — взаимно обратные. Их графики симметричны относительно прямой 

Уравнение (неравенство) называется показательным, если его переменные входят только в показатели степеней.

Основные методы решения показательных уравнений и неравенств

1. Приведение обеих частей уравнения к степеням с одинаковыми основаниями.
2. Введение новой переменной.
3. Функционально-графический метод.

Свойства показательной и логарифмической функций

Уравнение (неравенство) называется логарифмическим, если его переменные содержатся только под знаками логарифмов.

Основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств

• По определению логарифма.
• По свойствам логарифмов и логарифмической функции.
• Введение новой переменной.
• Графический.
• Логарифмирование.