Логарифмы степени числа — свойства с примерами, как решать задачи
Содержание:
- Что такое логарифм степени числа и как его посчитать
- Основные свойства логарифмов
- Примеры логарифмов с решением, пояснения
- Задачи для самостоятельной работы
Что такое логарифм степени числа и как его посчитать
Логарифм по основанию а от b представляет собой число t, демонстрирующее степень, в которую требуется возвести а для получения в результате b:
(Large{{log_a{b}=tquadLeftrightarrowquad a^t=b }})
Здесь a>0, b отлично от нуля и является положительным.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
По той причине, что степень может иметь любое значение без какого-либо предела, имеем:
(tin mathbb{R})
В результате получается вывести главное логарифмическое тождество.
Основное логарифмическое тождество является соотношением, записанным в виде:
(Large{a^{log_ab}=b})
Исходя из рассмотренных закономерностей, справедливы следующие соотношения:
({large{begin{array}{|ll|l|} hline qquad qquad qquad qquad {small{text{Формулы}}} && qquad qquad{small{text{Ограничения}}}\ &&\ hline textbf{(1)} log_a1=0&&a>0, ane 1\ &&\ textbf{(2)} log_aa=1 &&a>0, ane 1\ &&\ textbf{(3)} log_{a}{b^m}=mlog_a|b|&(m — {small{text{четн.}}})&a>0, ane 1, bne 0\ &&\ textbf{(4)}log_{a}{b^m}=mlog_ab& (m — {small{text{нечетн.}}})&a>0, ane 1, b>0\ &&\ textbf{(5)} log_{a^n}{b}=frac 1nlog_{|a|}b&(n — {small{text{четн.}}})&ane 0, ane 1, b>0\ &&\ textbf{(6)}log_{a^n}b=frac1nlog_ab&(n — {small{text{нечетн.}}})&a>0, ane 1, b>0\ &&\ textbf{(7)} log_a{bc}=log_a|b|+log_a|c|&&a>0, ane 1, bcne 0\ &&\ textbf{(8)} log_a{dfrac bc}=log_a|b|-log_a|c|&&a>0, ane 1,bcne 0 \ &&\ textbf{(9)} a^{log_ab}=b &&a>0, ane 1, b>0\ &&\ textbf{(10)}c^{log_ab}=b^{log_ac}&&a>0, ane 1, b>0, c>0\ &&\ textbf{(11)} log_abcdot log_bc=log_ac && a>0, ane 1,b>0, bne 1, c>0\ &&\ textbf{(11′}) log_bc=dfrac{log_ac}{log_ab}&&a>0, ane 1,b>0, bne 1, c>0\ &&\ &&\ {small{text{ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:}}}&& \ textbf{(12)} log_abcdot log_ba=1 && a>0, ane 1, b>0, bne 1\ &&\ textbf{(12′}) log_ab=dfrac1{log_ba}&&a>0, ane 1, b>0, bne 1\ &&\ hline end{array}}})
Если все условия, связанные с ограничениями, выполняются, то эти формулы справедливы в прямом и обратном направлениях.
Логарифм степени какого-либо числа представляет собой результат умножения логарифма модуля основания данной степени и показателя этой степени:
(log_{a}x^r=r cdot log_{a}|x|)
В данном случае (x^r,a > 0), (a ne 1).
Разберем наглядный пример такой взаимосвязи. Предположим, что имеется некое выражение, значение которого требуется определить:
(log_{5}frac{1}{125}+log_{11}121)
Рассмотрим выражение, записанное под знаком логарифма, и решим, что с ним делать. Заметим, что его можно переписать как основание логарифма в степени. Воспользуемся свойством логарифма степени, изученным ранее, и выполним преобразования:
(log_{5}frac{1}{125}+log_{11}121=log_{5}5^{-3}+log_{11}11^2=-3log_{5}5+2log_{11}11)
Известно, что:
(log_{a}a=1)
Доведем вычисления до конца:
(log_{5}frac{1}{125}+log_{11}121=log_{5}5^{-3}+log_{11}11^2=-3log_{5}5+2log_{11}11=-3+2=-1)
Ответ: (log_{5} frac{1}{125}+log_{11}121=-1.)
В процессе решения задач в разных главах разделов тригонометрии может потребоваться обратный перевод определения логарифма степени числа. Заметим, что оно также является справедливым.
Коэффициент, записанный перед знаком логарифма, допустимо заносить в степень выражения, находящегося под знаком логарифма:
(s log_{a}x=log_{a}x^s)
Здесь a и b > 0, a≠1.
Рассмотрим наглядный пример. Пусть дано выражение, которое требуется упростить:
(6 log_{13}x^2-log_{13}x^7)
Воспользуемся логарифмическим свойством, чтобы записать степень за знаком логарифма:
(6 log_{13}x^2-log_{13}x^7=6 cdot 2 log_{13}x-7 log_{13}x=12 log_{13}x-7 log_{13}x=5 log_{13}x)
Если под логарифмический знак записать коэффициент в виде числа 5, то получим:
(6 log_{13}x^2-log_{13}x^7=6 cdot 2 log_{13}x-7 log_{13}x=12 log_{13}x-7 log_{13}x=5 log_{13}x=log_{13}x^5.)
Основные свойства логарифмов
При решении задач на логарифмы, в том числе, для вычисления логарифма степени числа и поиск натуральных корней, полезно знать несколько свойств. Благодаря несложным закономерностям, можно сделать проще даже самое сложное выражение.
1. Рассмотрим свойство степени аргумента, записанное в виде уравнения:
({{log }_{a}}{{a}^{x}}=x)
Докажем, что записанное соотношение справедливо. Предположим, что:
({{log }_{a}}b=x)
В таком случае:
({{a}^{x}}=b)
В результате получим:
(frac{{{log }_{c}}b}{{{log }_{c}}a}=frac{{{log }_{c}}{{a}^{x}}}{{{log }_{c}}a}=frac{x{{log }_{c}}a}{{{log }_{c}}a}=x={{log }_{a}}b)
Данное свойство доказано.
2. Следующее свойство суммы логарифмов состоит в том, что при сложении логарифмов, имеющих одинаковые основания, получается в результате логарифм произведения:
({{log }_{a}}b+{{log }_{a}}c={{log }_{a}}left( bcdot c right))
Начнем доказательство со следующего предположения:
({{log }_{a}}b=x)
В таком случае:
({{a}^{x}}=b)
Представим, что:
({{log }_{a}}c=y)
В таком случае:
({{a}^{y}}=c)
В результате получим, что:
({{log }_{a}}left( bcdot c right)={{log }_{a}}left( {{a}^{x}}cdot {{a}^{y}} right)={{log }_{a}}{{a}^{x+y}}underset{text{по правилу 1}}{mathop{=}},x+y={{log }_{a}}b+lo{{g}_{a}}c)
Свойство суммы логарифмов доказано.
3. Свойство разности логарифмов звучит так: разность двух логарифмов, имеющих идентичные основания, равна логарифму частного. Это утверждение можно выразить формулой:
(lo{{g}_{a}}b-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c})
Доказательство данного свойства аналогично сумме логарифмов. Предположим, что:
({{log }_{a}}b=x)
В таком случае:
({{a}^{x}}=b)
Представим, что:
({{log }_{a}}c=y)
В таком случае:
({{a}^{y}}=c)
В результате получим, что:
({{log }_{a}}left( frac{b}{c} right)={{log }_{a}}left( frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}} right)={{log }_{a}}{{a}^{x-y}}=x-y={{log }_{a}}b-{{log }_{a}}c)
({{log }_{a}}b-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}left( frac{b}{c}cdot c right)-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c}+{{log }_{a}}c-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c}.)
4. Следующее свойство призвано упростить вынесение показателя степени из аргумента логарифма. Оно состоит в следующем: при наличии в аргументе логарифма степени ее показатель допустимо выносить за знак логарифма. Справедливым является следующее соотношение:
({{log }_{a}}{{b}^{n}}=ncdot {{log }_{a}}b)
Доказать данное утверждение можно с помощью определения логарифма. Представим, что:
({{log }_{a}}b=x)
В таком случае:
({{a}^{x}}=b)
Получим, что:
({{log }_{a}}{{b}^{n}}={{log }_{a}}{{left( {{a}^{x}} right)}^{n}}={{log }_{a}}{{a}^{nx}}=nx=ncdot {{log }_{a}}b)
Утверждение доказано. Также существует другой вариант записи свойства:
({{log }_{a}}{{b}^{n}}={{log }_{a}}left( underbrace{bcdot bcdot …cdot b}_{ntext{ раз}} right)text{ }underset{text{правило} text{2}}{mathop{=}},text{ }underbrace{{{log }_{a}}b+lo{{g}_{a}}b+…+{{log }_{a}}b}_{ntext{ раз}}=ncdot {{log }_{a}}b.)
Таким образом, степень аргумента допустимо записывать перед логарифмом в виде коэффициента.
5. Следующее свойство позволит выносить показатель степени из основания логарифма. Такое действие реализуемо, так как при наличии в основании логарифма степени ее показатель допустимо выносить за знак логарифма:
({{log }_{{{a}^{n}}}}b=frac{1}{n}cdot {{log }_{a}}b)
Докажем записанное соотношение, предположив, что:
({{log }_{a}}b=x), тогда (displaystyle {{a}^{x}}=b)
В таком случае:
({{log }_{{{a}^{n}}}}b={{log }_{{{a}^{n}}}}{{a}^{x}}={{log }_{{{a}^{n}}}}{{a}^{frac{xcdot n}{n}}}={{log }_{{{a}^{n}}}}{{left( {{a}^{n}} right)}^{frac{x}{n}}}=frac{x}{n}=frac{1}{n}cdot {{log }_{a}}b.)
Свойство доказано. Здесь следует отметить, что степень можно вынести из основания в виде обратного числа.
6. Существует свойство, позволяющее выносить показатель степени из основания и аргумента логарифма. Свойство заключается в следующем: при наличии степеней в основании и аргументе логарифма их показатели допустимо выносить за знак логарифма, то есть:
({{log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{m}}=frac{m}{n}cdot {{log }_{a}}b)
В том случае, когда степени не отличаются друг от друга, применимо следующее правило:
({{log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{n}}={{log }_{a}}b.)
7. Другое свойство логарифма оговаривает процесс перехода к новому основанию. В том случае, когда логарифмы обладают разными основаниями, целесообразно при решении задачи перейти к логарифмам, имеющим одинаковое основание:
({{log }_{a}}b=frac{{{log }_{c}}b}{{{log }_{c}}a}text{ }left( c>0;text{ }ne text{1} right))
Здесь доказательство свойства построено на следующем предположении:
({{log }_{a}}b=x,) тогда (displaystyle {{a}^{x}}=b)
В таком случае:
(frac{{{log }_{c}}b}{{{log }_{c}}a}=frac{{{log }_{c}}{{a}^{x}}}{{{log }_{c}}a}=frac{x{{log }_{c}}a}{{{log }_{c}}a}=x={{log }_{a}}b.)
8. В большинстве случаев при решении заданий на логарифмы используют свойство смены мест основания и аргумента логарифма. Допустимо переставлять основание и аргумент логарифма. При этом следует «перевернуть» все выражение, то есть записать логарифм в знаменатель:
({{log }_{a}}b=frac{1}{{{log }_{b}}a},text{ }left( bne 1 right))
Данное свойство является частным случаем записанного ранее правила. При подстановке c=b получается, что:
({{log }_{a}}b=frac{{{log }_{b}}b}{{{log }_{b}}a}=frac{1}{{{log }_{b}}a}.)
Примеры логарифмов с решением, пояснения
Задача 1
Дано выражение, значение которого требуется определить:
(log _{2} frac{1}{8}+log _{5} 25)
Решение
Данное выражение можно преобразовать. Для этого следует вспомнить свойство логарифма степени. С его помощью нужно вынести имеющиеся степени за знак логарифма. Далее пригодится следующее соотношение:
(log _{a} a=1.)
Выполним вычисления:
(log _{2} frac{1}{8}+log _{5} 25=log _{2} 2^{-3}+log _{5} 5^{2}=-3 cdot log _{2} 2+2 cdot log _{5} 5=-3+2=-1)
Ответ: ( log _{2} frac{1}{8}+log _{5} 25=-1)
Требуется упростить следующее выражение:
(2 log _{7} 4-log _{7} 
Решение
Данное выражение можно упростить. Перепишем его с помощью свойства логарифма степени. В процессе следует записать число 2 под знак логарифма. Затем удобно применить свойство разности логарифмов. Выполним вычисления:
(2 log _{7} 4-log _{7} 8=log _{7} 4^{2}-log _{7} 8=log _{7} 16-log _{7} 8=log _{7} frac{16}{8}=log _{7} 2)
Ответ: (2 log _{7} 4-log _{7} 8=log _{7} 2)Задача 2
Задача 3
Дано выражение, значение которого необходимо вычислить:
(lo{{g}_{5}}250-{{log }_{5}}2)
Решение
Воспользуемся свойствами логарифма и выполним вычисления:
({{log }_{5}}250={{log }_{5}}left( 125cdot 2 right)={{log }_{5}}left( {{5}^{3}}cdot 2 right)={{log }_{5}}{{5}^{3}}+{{log }_{5}}2=3+{{log }_{5}}2)
Заметим, что:
({{log }_{5}}250-{{log }_{5}}2=3+{{log }_{5}}2-{{log }_{5}}2=3)
Ответ: 3.
Задача 4
Нужно упростить следующее выражение:
(log _{2}^{2}2sqrt{3}-log _{2}^{2}sqrt{3}-{{log }_{2}}3)
Решение
Воспользуемся формулами сокращенного умножения, а именно — разностью квадратов:
(log _{2}^{2}2sqrt{3}-log _{2}^{2}sqrt{3}=left( {{log }_{2}}2sqrt{3}-{{log }_{2}}sqrt{3} right)left( {{log }_{2}}2sqrt{3}+{{log }_{2}}sqrt{3} right).)
Тогда, согласно свойствам логарифма:
(log _{2}^{2}2sqrt{3}-log _{2}^{2}sqrt{3}-{{log }_{2}}3= left( {{log }_{2}}2sqrt{3}-{{log }_{2}}sqrt{3} right)left( {{log }_{2}}2sqrt{3}+{{log }_{2}}sqrt{3} right)-{{log }_{2}}3={{log }_{2}}frac{2sqrt{3}}{sqrt{3}}cdot {{log }_{2}}left( 2sqrt{3}cdot sqrt{3} right)-{{log }_{2}}3={{log }_{2}}2cdot {{log }_{2}}left( 2cdot 3 right)-{{log }_{2}}3=1cdot left( 1+{{log }_{2}}3 right)-{{log }_{2}}3=1)
Ответ: 1.
Задача 5
Необходимо определить значение следующего выражения:
(frac{{{log }_{2}}25}{{{log }_{2}}5})
Решение
Воспользуемся свойствами логарифма и запишем вычисления:
(frac{{{log }_{2}}25}{{{log }_{2}}5}=frac{{{log }_{2}}{{5}^{2}}}{{{log }_{2}}5}=frac{2{{log }_{2}}5}{{{log }_{2}}5}=2)
Ответ: 2.
Задачи для самостоятельной работы
Задача 6
Даны выражения, которые нужно упростить, используя свойства логарифма:
({{log }_{3}}4-{{log }_{3}}12)
({{log }_{0,3}}3-{{log }_{0,3}}10)
({{log }_{1,75}}28+{{log }_{1,75}}2-{{log }_{1,75}}32)
(lg sqrt{0,05}-lg sqrt{5})
({{lg }^{2}}2sqrt{5}-{{lg }^{2}}5sqrt{2}-frac{3}{2}lg sqrt{frac{2}{5}})
Задача 7
Требуется найти значения для следующих выражений:
(displaystyle frac{{{log }_{2}}81}{{{log }_{2}}3})
(displaystyle frac{{{log }_{3}}125}{{{log }_{3}}625})
(displaystyle frac{log _{5}^{2}25sqrt{10}-log _{5}^{2}sqrt{10}}{{{log }_{5}}250})
Задача 8
Нужно определить значения записанных ниже выражений:
({{log }_{5}}75+{{log }_{5}}frac{1}{3})
({{log }_{3}}36-2{{log }_{3}}2)
({{log }_{8sqrt[5]{4}}}left( 32sqrt[5]{2} right))
(frac{log _{5}^{2}25sqrt{10}-log _{5}^{2}sqrt{10}}{{{log }_{5}}250})
Логарифмом положительного числа (c) по основанию (a) ((a>0, aneq1)) называется показатель степени (b), в которую надо возвести основание (a), чтобы получить число (c) ((c>0)), т.е.
(a^{b}=c) (Leftrightarrow) (log_{a}{c}=b)
Объясним проще. Например, (log_{2}{8}) равен степени, в которую надо возвести (2), чтоб получить (8). Отсюда понятно, что (log_{2}{8}=3).
|
Примеры: |
(log_{5}{25}=2) |
т.к. (5^{2}=25) |
||
|
(log_{3}{81}=4) |
т.к. (3^{4}=81) |
|||
|
(log_{2})(frac{1}{32})(=-5) |
т.к. (2^{-5}=)(frac{1}{32}) |
Аргумент и основание логарифма
Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:
Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание — подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».
Как вычислить логарифм?
Чтобы вычислить логарифм — нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?
Например, вычислите логарифм: а) (log_{4}{16}) б) (log_{3})(frac{1}{3}) в) (log_{sqrt{5}}{1}) г) (log_{sqrt{7}}{sqrt{7}}) д) (log_{3}{sqrt{3}})
а) В какую степень надо возвести (4), чтобы получить (16)? Очевидно во вторую. Поэтому:
(log_{4}{16}=2)
б) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (frac{1}{3})? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени).
(log_{3})(frac{1}{3})(=-1)
в) В какую степень надо возвести (sqrt{5}), чтобы получить (1)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!
(log_{sqrt{5}}{1}=0)
г) В какую степень надо возвести (sqrt{7}), чтобы получить (sqrt{7})? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.
(log_{sqrt{7}}{sqrt{7}}=1)
д) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (sqrt{3})? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень — это степень (frac{1}{2}).
(log_{3}{sqrt{3}}=)(frac{1}{2})
Пример: Вычислить логарифм (log_{4sqrt{2}}{8})
Решение:
|
(log_{4sqrt{2}}{8}=x) |
Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма: |
|
|
((4sqrt{2})^{x}=8) |
Что связывает (4sqrt{2}) и (8)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки: |
|
|
({(2^{2}cdot2^{frac{1}{2}})}^{x}=2^{3}) |
Слева воспользуемся свойствами степени: (a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}) и ((a^{m})^{n}=a^{mcdot n}) |
|
|
(2^{frac{5}{2}x}=2^{3}) |
Основания равны, переходим к равенству показателей |
|
|
(frac{5x}{2})(=3) |
Умножим обе части уравнения на (frac{2}{5}) |
|
|
(x=1,2) |
Получившийся корень и есть значение логарифма |
Ответ: (log_{4sqrt{2}}{8}=1,2)
Зачем придумали логарифм?
Чтобы это понять, давайте решим уравнение: (3^{x}=9). Просто подберите (x), чтобы равенство сработало. Конечно, (x=2).
А теперь решите уравнение: (3^{x}=8).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.
Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как (x=log_{3}{8}).
Хочу подчеркнуть, что (log_{3}{8}), как и любой логарифм — это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: (1,892789260714…..)
Пример: Решите уравнение (4^{5x-4}=10)
Решение:
|
(4^{5x-4}=10) |
(4^{5x-4}) и (10) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.
Воспользуемся определением логарифма: |
|
|
(log_{4}{10}=5x-4) |
Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева |
|
|
(5x-4=log_{4}{10}) |
Перед нами линейное уравнение. Перенесем (4) вправо. И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу. |
|
|
(5x=log_{4}{10}+4) |
Поделим уравнение на 5 |
|
|
(x=)(frac{log_{4}{10}+4}{5}) |
Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают. |
Ответ: (frac{log_{4}{10}+4}{5})
Десятичный и натуральный логарифмы
Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы ((a>0, aneq1)). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:
Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание — число Эйлера (e) (равное примерно (2,7182818…)), и записывается такой логарифм как (ln{a}).
То есть, (ln{a}) это то же самое, что и (log_{e}{a}), где (a) — некоторое число.
Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается (lg{a}).
То есть, (lg{a}) это то же самое, что и (log_{10}{a}), где (a) — некоторое число.
Основное логарифмическое тождество
У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:
Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.
Вспомним краткую запись определения логарифма:
если (a^{b}=c), то (log_{a}{c}=b)
То есть, (b) – это тоже самое, что (log_{a}{c}). Тогда мы можем в формуле (a^{b}=c) написать (log_{a}{c}) вместо (b). Получилось (a^{log_{a}{c}}=c) – основное логарифмическое тождество.
Остальные свойства логарифмов вы можете найти здесь. С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.
Пример: Найдите значение выражения (36^{log_{6}{5}})
Решение:
|
(36^{log_{6}{5}}=) |
Сразу пользоваться свойством (a^{log_{a}{c}}=c) мы не можем, так как в основании степени и в основании логарифма – разные числа. Однако мы знаем, что (36=6^{2}) |
|
|
(=(6^{2})^{log_{6}{5}}=) |
Зная формулу ((a^{m})^{n}=a^{mcdot n}), а так же то, что множители можно менять местами, преобразовываем выражение |
|
|
(=6^{2cdotlog_{6}{5}}=6^{log_{6}{5}cdot2}=(6^{log_{6}{5}})^{2}=) |
Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством. |
|
|
(=5^{2}=25) |
Ответ готов. |
Ответ: (25)
Как число записать в виде логарифма?
Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что (log_{2}{4}) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать (log_{2}{4}).
Но (log_{3}{9}) тоже равен (2), значит, также можно записать (2=log_{3}{9}) . Аналогично и с (log_{5}{25}), и с (log_{9}{81}), и т.д. То есть, получается
(2=log_{2}{4}=log_{3}{9}=log_{4}{16}=log_{5}{25}=log_{6}{36}=log_{7}{49}…)
Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.
Точно также и с тройкой – ее можно записать как (log_{2}{8}), или как (log_{3}{27}), или как (log_{4}{64})… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:
(3=log_{2}{8}=log_{3}{27}=log_{4}{64}=log_{5}{125}=log_{6}{216}=log_{7}{343}…)
И с четверкой:
(4=log_{2}{16}=log_{3}{81}=log_{4}{256}=log_{5}{625}=log_{6}{1296}=log_{7}{2401}…)
И с минус единицей:
(-1=) (log_{2})(frac{1}{2})(=) (log_{3})(frac{1}{3})(=) (log_{4})(frac{1}{4})(=) (log_{5})(frac{1}{5})(=) (log_{6})(frac{1}{6})(=) (log_{7})(frac{1}{7})(…)
И с одной третьей:
(frac{1}{3})(=log_{2}{sqrt[3]{2}}=log_{3}{sqrt[3]{3}}=log_{4}{sqrt[3]{4}}=log_{5}{sqrt[3]{5}}=log_{6}{sqrt[3]{6}}=log_{7}{sqrt[3]{7}}…)
И так далее.
Любое число (a) может быть представлено как логарифм с основанием (b): (a=log_{b}{b^{a}})
Пример: Найдите значение выражения (frac{log_{2}{14}}{1+log_{2}{7}})
Решение:
|
(frac{log_{2}{14}}{1+log_{2}{7}})(=) |
Превращаем единицу в логарифм с основанием (2): (1=log_{2}{2}) |
|
|
(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{2}+log_{2}{7}})(=) |
Теперь пользуемся свойством логарифмов: |
|
|
(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{(2cdot7)}})(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{14}})(=) |
В числителе и знаменателе одинаковые числа – их можно сократить. |
|
|
(=1) |
Ответ готов. |
Ответ: (1)
Смотрите также:
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
|
Конечно, может. И ничего необычного здесь нет. Например, логарифм одной второй по основанию два равен минус единице. Это ответ на вопрос — в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 1/2. Вот логарифм отрицательного числа — не существует, потому что вопрос — в какую степень нужно возвести, например, 2, чтобы получить отрицательное число, не имеет ответа. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Валерий Альбертович 7 месяцев назад Для начала вспомним что из себя представляет логарифм. Логарифм числа a по основанию b — это степень (конкретное число), в которую нужно возвести чисто b, чтобы получить число a, то есть если logb(a) = k, то b^k=a. Из этого определения можем заметить, что a никак не может быть быть меньше или равно нулю. Ясно, что мы не сможем найти такое число, что, возведя число 2 в степень, равную этому числу, мы получим (-1), к примеру. Но k может быть отрицательным, например, log2(1/2) = -1 < 0, так как чтобы получить 1/2, необходимо возвести число 2 в степень (-1). Так что да, логарифм вполне может быть отрицательным, его область значений — вся вещественная прямая.
Логарифм может быть отрицательным. К примеру 3 в степени (-2) равно 1/3², то есть 1/9. Получается, что log3_(1/9) = -2. Логарифм по сути является степенью, в которою нужно ввести первое число, чтобы получить второе: log первое число_второе число Степень может быть отрицательной, просто тогда число, возводимое в степень оказывается под чертой: X ^ (-y) = 1/(X ^ y) Если можно число возвести в отрицательную степень, значит и отрицательный логарифм тоже существует.
Чосик более года назад Безусловно, может. В определении написано, что логарифм — это показатель степени, в которую возводят одно число, чтобы получить другое. То есть, число, которое мы возводим в степень, должно быть положительным и больше единицы. Число, которое получено после возведения первого числа в степень, также должно быть положительным. Но вот сам логарифм может быть отрицательным.
МарияСС 4 года назад Конечно может. Ничто ему не мешает не быть) Вспоминаем определение из школьной программы. Логарифм — это показатель степени и т.д. Дальше вспоминать не нужно. Достаточно то, что это показатель степени. А как мы помним показатель степени может быть как положительным, так и отрицательным.
владсандрович более года назад Логарифм может быть отрицательным, так как то или иное число, ведь можно возвести в отрицательную степень, а логарифмом как раз и считается та степень, в которую возводят то или иное число. То есть суть в том, что степень числа может ведь быть как положительная, так и отрицательная.
VANISHRAP 10 лет назад логарифм — это число, что показывает степень другого числа. У любого числа степень может быть отрицательной. А если и степень может быть отрицательной, то и логарифм тоже. К примеру, Х в степени -2 — это единица, разделенная на Х в степени 2
Школа Ясности 9 лет назад Знаете ответ? |
Содержание:
Множеством (областью) значений показательной функции 
Такое значение аргумента единственное, так как если 
и 
то по следствию из п. 2.3 верно равенство c = d. Это единственное значение аргумента с называют логарифмом числа b по основанию a и обозначают 
т. е.
Таким образом, равенство 
означает, что 
Сформулируем определение логарифма еще раз.
Определение:
Пусть 
Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.
Приведем несколько примеров:
Нахождение логарифма числа называется логарифмированием.
Обозначим 
Тогда, согласно определению логарифма, верно равенство 
т. е.
Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.
Согласно этому тождеству, например, имеем: 
Основное логарифмическое тождество позволяет данное число b представить в виде степени с любым положительным основанием.
Например: 
История логарифма
Логарифмы были изобретены в 1614 г. шотландским математиком Д. Непером (1550—1617) и независимо от него на 6 лет позднее швейцарским механиком и математиком И. Бюрги (1552—1632).
Оба исследователя хотели найти новое удобное средство арифметических вычислений, но их определения логарифма различны и у обоих не похожи на современные. Понимание логарифма как показателя степени с данным основанием впервые появилось в XVIII в. в работах английского математика В. Гардинера (1742). Широкому распространению этого определения логарифма более других содействовал Jl. Эйлер, который впервые применил в этой связи и термин «основание».
Термин «логарифм» принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов логос — отношение и аритмос — число. Слово «логарифм», таким образом, означало «число отношения».
Пример:
а) Записать число 
в виде логарифмов по основанию 
б) Записать число -5 в виде логарифмов по основанию 
и х 
Решение:
а) По определению логарифма имеем:
б) По определению логарифма имеем:
Пример:
Между какими целыми числами находится число
Решение:
Пусть 
тогда верно равенство 
Поскольку 
По свойствам показательной функции с основанием 2 имеем 
Значит,
находится между числами 4 и 5.
Ответ: 
Пример:
Решить уравнение:
Решение:
а) Поскольку 
то по определению логарифма имеем 
б)
Ответ: 
Логарифмы по основанию 10 имеют особое название — десятичные логарифмы. Десятичный логарифм числа b обозначается 
. Таким образом, 
▲ Особое обозначение и название имеют не только десятичные логарифмы, но и логарифмы, основанием которых является число е:
Такие логарифмы называются натуральными.
Логарифмы по основанию е позволяют выражать математическую зависимость, которая характеризует многие биологические, химические, физические, социальные и другие процессы. По-видимому, этим объясняется и название «натуральные логарифмы», т. е. естественные (этот термин ввел в 1659 г. итальянский математик П. Менголи). Натуральные и десятичные логарифмы имели большое значение для облегчения вычислений в XVII—XX вв. до создания мощных современных вычислительных средств. Натуральные логарифмы имеют и большое теоретическое значение.▲
Основные свойства логарифмов
Теорема:
При любых положительных значениях b и с верно равенство:
Доказательство:
Докажем утверждение (1).
По основному логарифмическому тождеству
по свойствам степени
Таким образом, имеем:
Отсюда по следствию из п. 2.3 получаем равенство (1).
Докажем утверждение (2). Преобразуем левую часть равенства (2):
I используя равенство (1), получим 
Заметим, что равенство (2) можно доказать тем же способом, что и равенство (1), — сделайте это самостоятельно.
Равенство (1) означает, что логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.
Равенство (2) означает, что логарифм дроби с положительными. числителем и знаменателем равен разности логарифмов числителя и знаменателя.
Замечание. Равенства, доказанные в теореме 1 (как и другие равенства этого пункта), являются тождествами. Действительно, каждое из них превращается в верное числовое равенство при любых значениях a, b и с, для которых входящие в равенство выражения имеют смысл.
Теорема:
При любых значениях s и положительных значениях b верно равенство
Доказательство:
По основному логарифмическому тождеству
по свойствам степени 
Таким образом, имеем
Отсюда по следствию из п. 2.3 получаем равенство (3).
Следствие 1. Если числа 
одного знака, то имеет место равенство
Следствие 2. При любом целом 
имеет место равенство
Пример №1
Найти значение выражения:
Решение:
Ответ: 
Теорема:
При любых значениях 
и 
верно равенство
Доказательство:
Способ 1. По основному логарифмическому тождеству имеем
Прологарифмировав левую и правую части этого тождества по основанию а, получим
Применив тождество (3), имеем
Так как 
Поэтому левую и правую части этого равенства можно разделить на 
В результате получим тождество (6). 
Способ 2. Пусть 
тогда 
Логарифмируя обе части этого равенства по основанию а, получаем
Откуда имеем
Итак, 
Тождество (6) называется формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.
Обычно в таблицах, калькуляторах даются значения логарифмов по основанию 10, а когда нужно найти значение логарифма по другому основанию, пользуются формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.
Следствием из тождества (6) при основании а = с является формула
(убедитесь в этом самостоятельно).
Пример №2
Найти значение выражения, если 
Решение:
согласно тождеству (6) имеем
используя тождество (3), получим
используя тождество (1), имеем
с учетом условия 
получим
6)
на основании тождеств (6) и (7) получим
по тождеству (3) и с учетом условия имеем
Ответ: 
Следствие 3. Имеют место тождества:
Тождества (8) и (9) можно доказать, используя уже доказанные тождества из этого пункта.
Пример №3
Упростить выражение 
Решение:
Используя определение логарифма, представим числа 1 и 3 в виде логарифмов по основанию 2:
по свойству (2) логарифмов имеем
воспользовавшись формулой (7), получим
Ответ: 
Развитие науки, прежде всего астрономии, уже в XVI в. привело к необходимости громоздких вычислений при умножении и делении многозначных чисел. Эти вычислительные проблемы были в некоторой степени решены с открытием логарифмов и созданием таблиц логарифмов.
Логарифмическая функция
Рассмотрим выражение 
где х — переменная, а — постоянная, 
Это выражение имеет смысл при любом значении х > 0 и не имеет смысла при любом значении 
Таким образом, естественной областью определения выражения 
является множество всех положительных действительных чисел, т. е. промежуток 
Определение:
Логарифмической функцией называется функция вида 
где а — постоянная, 
Область определения логарифмической функции — это естественная область определения выражения 
т.е. множество 
Графики некоторых логарифмических функций изображены на рисунке 34. Эти изображения (как и для графиков других функций) можно было получить, строя их по точкам. Отметим некоторые особенности изображенных графиков.
График функции 
расположен справа от оси Оу и пересекает ось Ох в точке (1; 0).
Когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» опускается вниз. А когда значения аргумента х увеличиваются, то график «медленно» поднимается вверх (ем. рис. 34). Аналогично для любой функции 
при а > 1 (рис. 35). График функции 
расположен справа от оси Оу и пересекает ось Ох в точке (1; 0) (см. рис. 34).
Заметим, что когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» поднимается вверх. А когда значения аргумента х увеличиваются, то график «медленно» опускается вниз. Аналогично для любой функции 
при 0 < а < 1 (рис. 36).
Теорема (о свойствах логарифмической функции 
)
- Областью определения логарифмической функции является интервал
- Множеством (областью) значений логарифмической функции является множество R всех действительных чисел.
- Логарифмическая функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.
- График логарифмической функции пересекается с осью абсцисс в точке (1; 0) и не пересекается с осью ординат.
- Значение аргумента х = 1 является нулем логарифмической функции.
- 6. При а > 1 логарифмическая функция принимает отрицательные значения на интервале (0; 1) и принимает положительные значения на интервале И при 0 < а < 1 логарифмическая функция принимает отрицательные значения на интервале и принимает положительные значения на интервале (0; 1).
- Логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной.
- При а > 1 логарифмическая функция возрастает на всей области определения. При 0 < а < 1 логарифмическая функция убывает на всей области определения.
- Логарифмическая функция не является периодической.
И при 0 < а < 1 логарифмическая функция принимает отрицательные значения на интервале 
и принимает положительные значения на интервале (0; 1).Изображение графика логарифмической функции позволяет наглядно представить эти свойства.
Множество (область) значений логарифмической функции — проекция ее графика на ось Оу, а на рисунках 35 и 36 видно, что эта проекция есть ось Оу. Это значит, что для любой точки 
лежащей на оси Оу, найдется такая точка 
принадлежащая интервалу 
(свойство 2).
Множество (область) значений логарифмической функции — это множество всех действительных чисел, а в нем нет ни наименьшего числа, ни наибольшего (свойство 3).
График логарифмической функции проходит через точку (1; 0) и лежит в правой полуплоскости (свойства 4, 5).
При а > 1 график логарифмической функции лежит в IV координатном угле, когда 
и лежит в I координатном угле, когда 
При 0 < а < 1 график логарифмической функции лежит в I координатном угле, когда 
и лежит в IV координатном угле, когда 
(свойство 6).
Область определения логарифмической функции — интервал 
поэтому логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической (свойства 7, 9).
На рисунке 35 видно, что при а > 1 логарифмическая функция возрастает на области определения, а на рисунке 36 видно, что при 0 < а < 1 логарифмическая функция убывает на области определения (свойство 8).
Пусть точка 
лежит на графике функции 
Это значит, что верно числовое равенство 
следовательно, согласно определению логарифма верно числовое равенство 
В свою очередь, последнее равенство означает, что точка 
лежит на графике функции 
Заметим, что точки 
симметричны относительно прямой 
Таким образом, каждой точке М на графике функции 
соответствует симметричная ей относительно этой прямой точка N на графике функции 
и наоборот. Следовательно, графики функций 
симметричны относительно прямой у = х (рис. 37).
Последнее утверждение дает возможность, зная график функции 
изобразить график функции 
(не используя построение по точкам).
▲ Симметричность графиков функций 
относительно прямой у=х означает, что эти функции взаимно обратны.
Функции 
называются взаимно обратными, если для любого 
верно равенство
и для любого 
верно равенство 
Покажем, что показательная и логарифмическая функции с одним, и тем же основанием а взаимно обратны.
Пусть 
Тогда 
Для любого 
Для любого 
Покажем, что графики взаимно обратных функций 
симметричны относительно прямой у = х.
Пусть точка 
лежит на графике функции 
Это означает, что верно числовое равенство 
Тогда по определению взаимно обратных функций 
А равенство 
означает, что точка 
лежит на графике функции 
Таким образом, каждой точке М на графике функции 
соответствует симметричная относительно прямой у = х точка N на графике функции 
и наоборот. Следовательно, графики функций 
симметричны относительно прямой 
- Заказать решение задач по высшей математике
Логарифмы и их свойства
В предыдущем параграфе вы находили корни уравнения вида 
Например: 
А какой корень имеет уравнение 
Графическим методом можно убедиться, что оно имеет единственное решение (рис. 28). Это число больше 2 и меньше 3, но как его записать?
Для записи корней показательного уравнения используют понятие «логарифм» и соответствующий символ. Корнем уравнения 
является число, которое записывают в виде 
и читают «логарифм числа 5 по основанию 2».
Рассмотрим общий случай-.
Пусть 
— действительные числа; 
Если 
то число 
называют логарифмом числа 
по основанию 
Логарифмом числа 
по основанию 
называют показатель степени, в которую нужно возвести число 
чтобы получить 
Логарифм числа 
по основанию 
обозначают символом 
Примеры:
так как 
так как 
так как 
Основанием логарифма может быть произвольное положительное число, кроме единицы. Как известно, если 
то область определения показательной функции 
— множество всех действительных чисел 
а область значений — множество всех положительных действительных чисел. Поэтому при таких значениях 
для любого положительного числа 
найдётся такое 
что 
Другими словами: при любом основании 
где 
существует логарифм каждого положительного числа. Логарифм отрицательного числа и нуля не существует.
Полезно помнить, что для каждого 
(почему?).
Нахождение логарифма числа называют логарифмированием. Эта операция обратная к операции возведения в степень с соответствующим основанием.
Согласно определению логарифма, если 
Это разные записи одной зависимости. Из них следует равенство
которое называют основным логарифмическим тождеством. Оно правильное для любых положительных 
Например: 
С помощью основного логарифмического тождества любое положительное число можно представить в виде степени, имеющей заданное основание.
Например: 
Докажем ещё несколько важных свойств логарифмов (для положительных 
1) По основному логарифмическому тождеству и основному свойству степени
Итак, 
— показатель, в который нужно возвести число 
чтобы получить 
то есть
Эту формулу можно обобщить на три и более множителя:
Кратко говорят: логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей.
2) Доказательство аналогичное предыдущему:
отсюда
Кратко говорят: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
3) Возведём обе части тождества 
в степень 
Итак,
Доказанные формулы можно использовать и справа налево, например:
В логарифмах переходить от одного основания к другому можно при помощи формулы перехода
где 
Докажем эту формулу. Поскольку положительные числа 
и 
равны, то равны и их логарифмы по основанию 
Поэтому
откуда и следует доказываемая формула.
Обратите внимание! Как следствия из формулы перехода можно получить следующие формулы:
Докажите их самостоятельно.
Пример №4
Упростите выражение 
Решение:
Сведём все логарифмы к основанию 5. Имеем:
Особенно часто используют логарифмы по основаниям 10 и 
их называют десятичными и натуральными логарифмами. Вместо 
пишут соответственно 
Рассмотренные в параграфе свойства логарифмов правиль-1 ные при условии, что переменные принимают положительные значения. С помощью модуля можно расширить использование некоторых формул. Например:
Для преобразования выражений, решения уравнений и неравенств используют и другие формулы, содержащие логарифмы:
Докажите их самостоятельно.
Пример №5
Вычислите: 
Решение:
Пример №6
Решите уравнение: 
Решение:
Пусть 
тогда 
Подставим 
в данное уравнение.
Получим: 
отсюда 
Поскольку 
или 
Ответ. 
Пример №7
Найдите 
из равенства:
Решение:
Поскольку 
Ответ. 
Пример №8
Вычислите 
если 
Решение:
Ответ. 
- Корень из числа — нахождение и вычисление
- Теория множеств — виды, операции и примеры
- Числовые множества
- Вектор — определение и основные понятия
- Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
- Периодические дроби
- Степень с рациональным показателем
- Степень с действительным показателем
Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.
Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.
Логарифм от числа 32 по основанию 2 ((log_{2}(32))) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:
$$ log_{2}(32)=5;$$
Аналогично, глядя в таблицу получим, что:
$$log_{2}(4)=2;$$
$$log_{2}(8)=3;$$
$$log_{2}(16)=4;$$
$$log_{2}(64)=6;$$
$$log_{2}(128)=7.$$
Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0 и неравных 1. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.
Теперь дадим определение логарифма в общем виде:
Логарифмом положительного числа (b) по основанию положительно числа (a) называется степень (c), в которую нужно возвести число (a), чтобы получить (b)
$$log_{a}(b)=c;$$
$$a^{c}=b.$$
Будьте внимательны! В первое время обычно путают, что такое основание и то, что стоит под логарифмом (аргумент). Логарифм — это всегда функция, зависящая от двух переменных. Чтобы их не путать, помните определение логарифма – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.
Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:
$$log_{2}(5)=???$$
Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:
$$log_{2}(5)=2,32192809…$$
Или логарифм шести по основанию 4:
$$log_{4}(6)= 1.2924812…$$
На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!
Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм (log_{4}(6)). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6-ке:
$$ log_{4}(4) lt log_{4}(6) lt log_{4}(16);$$
$$ 1 lt log_{4}(6) lt 2. $$
Значит (log_{4}(6)) принадлежите промежутку от 1 до 2:
$$ log_{4}(6) in (1;2). $$
Как посчитать логарифм
Перед тем, как научиться считать логарифмы, нужно ввести несколько ограничений. Дело в том, что функция логарифма (log_{a}(b)) существует только при положительных значениях основания (a) и аргумента (b). И кроме этого на основание накладывается условие, что оно не должно быть равно (1).
$$ log_{a}(b) quad существует,;при quad a gt 0; ;b gt 0 ;a neq 1.$$
Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть (0). А основание не равно (1), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь (1) в любой степени это будет (1).
При этих ограничениях логарифм существует.
В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.
Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.
$$log_{3}(frac{1}{3})=-1;$$
Так как (вспоминайте определение отрицательной степени)
$$3^{-1}=frac{1}{3};$$
Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:
- Во-первых, постарайтесь представить основание и аргумент (то, что стоит под логарифмом) в виде степеней с одинаковым основанием. Параллельно с этим избавляемся от всех десятичных дробей – переводим их в обыкновенные.
- Разобраться в какую степень (x) нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Когда у вас там и там степени с одинаковым основанием, это сделать довольно просто.
- (x) и будет искомым значением логарифма.
Давайте разберем на примерах.
Пример 1. Посчитать логарифм (9) по основанию (3): (log_{3}(9))
- Сначала представим аргумент и основание в виде степени тройки:
$$ 3=3^1, qquad 9=3^2;$$ - Теперь надо разобраться в какую степень (x) нужно возвести (3^1), чтобы получить (3^2)
$$ (3^1)^x=3^2, $$
$$ 3^{1*x}=3^2, $$
$$ 1*x=2,$$
$$ x=2.$$ - Вот мы и решили:
$$log_{3}(9)=2.$$
Пример 2. Вычислить логарифм (frac{1}{125}) по основанию (5): (log_{5}(frac{1}{125}))
- Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
$$ 5=5^1, qquad frac{1}{125}=frac{1}{5^3}=5^{-3};$$ - В какую степень (x) надо возвести (5^1), чтобы получить (5^{-3}):
$$ (5^1)^x=5^{-3}, $$
$$ 5^{1*x}=5^{-3},$$
$$1*x=-3,$$
$$x=-3.$$ - Получили ответ:
$$ log_{5}(frac{1}{125})=-3.$$
Пример 3. Вычислить логарифм (4) по основанию (64): (log_{64}(4))
- Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
$$ 64=2^6, qquad 4=2^2;$$ - В какую степень (x) надо возвести (2^6), чтобы получить (2^{2}):
$$ (2^6)^x=2^{2}, $$
$$ 2^{6*x}=2^{2},$$
$$6*x=2,$$
$$x=frac{2}{6}=frac{1}{3}.$$ - Получили ответ:
$$ log_{64}(4)=frac{1}{3}.$$
Пример 4. Вычислить логарифм (1) по основанию (8): (log_{8}(1))
- Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
$$ 8=2^3 qquad 1=2^0;$$ - В какую степень (x) надо возвести (2^3), чтобы получить (2^{0}):
$$ (2^3)^x=2^{0}, $$
$$ 2^{3*x}=2^{0},$$
$$3*x=0,$$
$$x=frac{0}{3}=0.$$ - Получили ответ:
$$ log_{8}(1)=0.$$
Пример 5. Вычислить логарифм (15) по основанию (5): (log_{5}(15))
- Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
$$ 5=5^1 qquad 15= ???;$$
(15) в виде степени пятерки не представляется, поэтому этот логарифм мы не можем посчитать. У него значение будет иррациональное. Оставляем так, как есть:
$$ log_{5}(15).$$
Внимание!
Как понять, что некоторое число (a) не будет являться степенью другого числа (b). Это довольно просто – нужно разложить (a) на простые множители.
$$16=2*2*2*2=2^4,$$
(16) разложили, как произведение четырех двоек, значит (16) будет степенью двойки.
$$ 48=6*8=3*2*2*2*2,$$
Разложив (48) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя (2) и (3), значит (48) не будет степенью.
Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.
Десятичный логарифм
На самом деле, все просто. Десятичный логарифм – это любой обыкновенный логарифм, но с основанием 10. Обозначается — (lg(a)).
Пример 6
$$ log_{10}(100)= lg(100)=2;$$
$$log_{10}(1000)=lg(1000)=3;$$
$$log_{10}(10)=lg(10)=1.$$
Натуральный логарифм
Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию (e). Обозначение — (ln(x)). Что такое (e)? Так обозначают экспоненту, число-константу, равную, примерно, (2,718281828459…). Это число известно тем, что используется в многих математических законах. Просто запомните, что логарифмы с основанием (e) часто встречаются, и поэтому им придумали специальное название – натуральный логарифм.
Пример 7
$$ log_{e}(e^2)=ln(e^2)=2;$$
$$ log_{e}(e)=ln(e)=1;$$
$$ log_{e}(e^5)=ln(e^5)=5.$$
Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.
У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.
Свойства логарифмов
$$1. ; log_{a}(1)=0;$$
$$2. ; log_{a}(a)=1;$$
$$3. ; log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+ log_{a}(c);$$
$$4. ; log_{a}(frac{b}{c})= log_{a}(b)- log_{a}(c);$$
$$5. ; log_{a}(b^m)= m*log_{a}(b);$$
$$6. ; log_{a^m}(b)=frac{1}{m}* log_{a}(b);$$
$$ 7. ; log_{a}(b)=frac{ log_{c}(b)}{ log_{c}(a)}, ; b gt 0; ; c gt 0; ; c neq 1; $$
$$ 8. ; log_{a}(b)=frac{1}{log_{b}(a)};$$
$$ 9. ; a^{ log_{a}(b)}=b.$$
Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.
Пример 8. Воспользоваться формулой (3). Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.
$$log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+ log_{a}(c);$$
$$ log_{3}(12)=log_{3}(3*4)=log_{3}(3)+log_{3}(4)=1+log_{3}(4);$$
$$ log_{3}(2.7)+log_{3}(10)=log_{3}(2.7*10)=log_{3}(27)=3;$$
Пример 9. Воспользоваться формулой (4). Логарифм от частного – это разность логарифмов.
$$ log_{a}(frac{b}{c})= log_{a}(b)- log_{a}(c);$$
$$ log_{7}(98)-log_{7}(2)=log_{7}(frac{98}{2})=log_{7}(49)=2;$$
Пример 10. Формула (5,6). Свойства степени.
$$log_{a}(b^m)= m*log_{a}(b);$$
$$log_{a^m}(b)=frac{1}{m}* log_{a}(b);$$
Логично, что будет выполняться и такое соотношение:
$$log_{a^m}(b^n)=frac{n}{m}* log_{a}(b);$$
И если (m=n), то:
$$log_{a^m}(b^m)=frac{m}{m}* log_{a}(b);=log_{a}(b)$$
$$log_{4}(9)=log_{2^2}(3^2)=log_{2}(3);$$
Пример 11. Формулы (7,8). Переход к другому основанию.
$$ log_{a}(b)=frac{ log_{c}(b)}{ log_{c}(a)}, ; b gt 0;c gt 0;c neq 1; $$
$$ log_{a}(b)=frac{1}{log_{b}(a)};$$
$$log_{4}(5)=frac{1}{log_{5}(4)};$$
$$log_{4}(5)=frac{log_{7}(5)}{log_{7}(4)};$$