Как найти логарифм по частям - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Содержание:

Логарифм произведения, сумма логарифмов
Логарифм частного, разность логарифмов
Логарифм степени
Логарифм корня
Разложение в ряд Маклорена натурального логарифма
Решение логарифмических уравнений
Решение логарифмических неравенств

Логарифмы (Логарифмирование) активно используются в решении задач, так как значительно упрощают обычные алгебраические операции.
Использование логарифмов позволяет заменить умножение на значительно более простое сложение, деление — на вычитание,
а возведение в степень и извлечение корня заменяются соответственно на умножение и деление на показатель степени числа.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по логарифмам, прочитать определения и
все свойства логарифмов.

Логарифм произведения, сумма логарифмов

Теоретический материал по теме — логарифм произведения.

Пример

Задание. Представить $log _{5} 6$ в виде суммы логарифмов.

Решение. $log _{5} 6=log _{5}(2 cdot 3)=log _{5} 2+log _{5} 3$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Упростить $log _{5} 4+log _{5} 3$

Решение. $log _{5} 4+log _{5} 3=log _{5}(4 cdot 3)=log _{5} 12$

Логарифм частного, разность логарифмов

Теоретический материал по теме — логарифм частного.

Пример

Задание. Известно, что $log _{5} 2=a$,
а $log _{5} 3=b$. Выразить $log _{5} frac{2}{3}$ через $a$ и $b$.

Решение. $log _{5} frac{2}{3}=log _{5} 2-log _{5} 3=a-b$

Пример

Задание. Вычислить значение выражения $log _{5} 10-log _{5} 2$

Решение. $log _{5} 10-log _{5} 2=log _{5} frac{10}{2}=log _{5} 5=1$

Логарифм степени

Теоретический материал по теме — логарифм степени.

Пример

Задание. Вычислить $log _{5} 10-log _{5} 2=log _{5} frac{10}{2}=log _{5} 5=1$

Решение.$log _{2} frac{1}{8}+log _{5} 25=log _{2} 2^{-3}+log _{5} 5^{2}=-3 cdot log _{2} 2+2 cdot log _{5} 5=$

$= -3 + 2 = -1$

Пример

Задание. Упростить выражение $2 log _{7} 4-log _{7} 8$

Решение. $2 log _{7} 4-log _{7} 8=log _{7} 4^{2}-log _{7} 8=log _{7} 16-log _{7} 8=$

$=log _{7} frac{16}{8}=log _{7} 2$

Логарифм корня

Теоретический материал по теме — логарифм корня.

Пример

Задание. Вычислить $log _{a} sqrt{a b}$, если
$log _{a} b = 7$

Решение. $log _{a} sqrt{a b}=frac{1}{2} log _{a}(a b)=frac{1}{2}left(log _{a} a+log _{a} bright)=$

$=frac{1}{2}(1+7)=4$

Пример

Задание. Упростить выражение $frac{1}{2} log _{8} 16+log _{8} 2$

Решение. $frac{1}{2} log _{8} 16+log _{8} 2=log _{8} sqrt{16}+log _{8} 2=$

$$=log _{8} 4+log _{8} 2=log _{8}(4 cdot 2)=log _{8} 8=1$$

Разложение в ряд Маклорена натурального логарифма

Теоретический материал по теме — натуральный логарифм.

Пример

Задание. Разложить в ряд Маклорена функцию $f(x)=ln left(1+x^{2}right)$

Решение. Сделаем замену $x^{2}=t$, тогда
$f(x)=ln (1+t)$. Используя приведенное выше разложение, получаем:

$$f(x)=ln (1+t)=t-frac{t^{2}}{2}+frac{t^{3}}{3}-ldots+(-1)^{n+1} cdot frac{t^{n}}{n}+ldots,|t|<1$$

Делаем обратную замену, получаем:

$f(x)=ln left(1+x^{2}right)=x^{2}-frac{left(x^{2}right)^{2}}{2}+frac{left(x^{2}right)^{3}}{3}-ldots+(-1)^{n+1} cdot frac{left(x^{2}right)^{n}}{n}+ldots,left|x^{2}right| lt $ lt p style=»text-align:center;»>или $$f(x)=ln left(1+x^{2}right)=x^{2}-frac{x^{4}}{2}+frac{x^{6}}{3}-ldots+(-1)^{n+1} cdot frac{x^{2 n}}{n}+ldots,|x|<1$$

Решение логарифмических уравнений

Теоретический материал по теме — логарифмические уравнения.

Пример

Задание. Прологарифмировать выражение

Решение. В левой и правой части допишем логарифм по основанию $log _{a} x=log _{a}(3 b c)$:

По свойствам логарифмов логарифм произведения,
стоящий в правой части, представим как сумму логарифмов от каждого из сомножителей, то есть:

$log _{a} x=log _{a} 3+log _{a} b+log _{a} c$

Пример

Задание. Пропотенцировать выражение $log _{a} x=5 log _{a} c-log _{a} d$

Решение. Используя
свойства логарифмов, преобразуем правую часть данного выражения:

$$5 log _{a} c-log _{a} d=log _{a} c^{5}-log _{a} d=log _{a} frac{c^{5}}{d}$$
$$log _{a} x=log _{a} frac{c^{5}}{d}$$
$$x=frac{c^{5}}{d}$$

Пример

Задание. Решить уравнение $log _{2}left(x^{2}+4right)=3$

Решение. ОДЗ: $x^{2}+4>0 Rightarrow x in R$

Замена: $x^{2}+4=t$, получаем уравнение
$log _{2} t=3$, решение которого

$t=2^{3}=8$

Делая обратную замену, получаем:

$x^{2}+4=8 Rightarrow x^{2}-4=0 Rightarrow(x-2)(x+2) Rightarrow x_{1}=2, x_{2}=-2$

Ответ. $x_{1}=2, x_{2}=-2$

Пример

Задание. Найти решение уравнения $log _{x}(x+2)=2$

Решение. ОДЗ:

$$left{begin{array}{l}
x+2>0, \
x>0, quad Rightarrow \
x neq 1
end{array} quadleft{begin{array}{l}
x>-2 \
x>0, quad Rightarrow x in(0 ; 1) cup(1 ;+infty) \
x neq 1
end{array}right.right.$$

Замена: $x+2=t Rightarrow log _{x} t=2 Rightarrow t=x^{2}$. Делая обратную замену, приходим
к уравнению

$$x^{2}=x+2 Rightarrow x^{2}-x-2=0 Rightarrow x_{1}=2, x_{2}=-1$$

Второй корень не принадлежит ОДЗ, а значит решение $x=2$

Ответ. $x=2$

Пример

Задание. Решить уравнение $ln (x+1)=ln (2 x-3)$

Решение. Находим ОДЗ:

$$left{begin{array}{l}
x+1>0 \
2 x-3>0
end{array} Rightarrowleft{begin{array}{l}
x>-1 \
2 x>3
end{array} Rightarrowleft{begin{array}{l}
x>-1 \
x>frac{3}{2}
end{array} Rightarrowleft(frac{3}{2} ;+inftyright)right.right.right.$$

Решаем уравнение $x+1=2 x-3: x=4 in$ ОДЗ.

Итак, решением исходного логарифмического уравнения
также является это значение.

Ответ. $x=4$

Решение логарифмических неравенств

Теоретический материал по теме — логарифмические неравенства.

Пример

Задание. Решить неравенство $log _{0,5}(x-1)>-1$

Решение. ОДЗ:

$$x-1>0 Rightarrow x>1 Rightarrow x in(1 ;+infty)$$

Учитывая выше написанное, получаем, что заданное логарифмическое неравенство равносильно неравенству:

$x-1
<0,5^{-1}$ или $x-1<2 Rightarrow x<3$

В пересечении с ОДЗ получаем, что $x in(1 ; 3)$

Ответ. $x in(1 ; 3)$

Пример

Задание. Решить неравенство $log _{5} 5>log _{5} x$

Решение. Данное неравенство равносильно системе:

$$left{begin{array}{l}
5>x, \
x>0
end{array} Rightarrowleft{begin{array}{l}
x0
end{array} Rightarrow x in(0 ; 5)right.right.$$

Ответ. $x in(0 ; 5)$

Читать первую тему — формулы и свойства логарифмов,
раздела логарифмы.

Источник

#статьи

6 окт 2022
0

Стыдные вопросы о логарифмах: всё, что нужно знать программисту

Объясняем, почему не стоит бояться логарифмов и как их считать в Python.

Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

Журналист, изучает Python. Любит разбираться в мелочах, общаться с людьми и понимать их.

Прежде чем начать обсуждение, давайте немного освежим знания и решим несколько стандартных задачек:

Чему равен log₃ 81?
А lg 2 × lb 10?
А сумма log₂₁₆ 2 + log₂₁₆ 3?

Если вы легко прорешали все три примера в уме, не пользуясь калькулятором, — можете сразу переходить к заключительной главе. Для тех же, кто слегка подзабыл школьные годы чудесные, — буквально пять минут ликбеза.

По большому счёту, логарифм — это просто перевёрнутая степень. Рассмотрим выражение 2³= 8. В нём:

2 — основание степени;
3 — показатель степени;
8 — результат возведения в степень.

У возведения в степень существует два обратных выражения. В одном мы ищем основание (это извлечение корня), в другом — показатель (это логарифмирование).

Таким образом, выражение 2³= 8 можно превратить в log₂ 8 = 3.

Закрепляем знания: логарифм — это число, в которое нужно возвести 2 (основание степени), чтобы получить 8 (результат возведения в степень).

Форма записи неинтуитивна, и поначалу можно легко спутать основание со степенью. Чтобы избежать этого, можно использовать следующее правило:

Основание у логарифма, как и у возведения в степень, находится внизу.

Чтобы лучше запомнить структуру записи, посмотрите на эти выражения и постарайтесь понять их смысл:

log₃ 9 = 2
log₄ 64 = 3
log₅ 625 = 4
log₇ 343 = 3
log₁₀ 100 = 2
log₂ 128 = 7
log₂ 0,25 = −2
log₆₂₅ 125 = 0,75

В общем виде запись log_AB читается так: логарифм B по основанию A.

Главная часть любого логарифма — его основание. Именно наличие общего основания у нескольких логарифмических функций позволяет проводить с ними различные операции.

Основанием натурального логарифма является число Эйлера (e) — иррациональное число, приблизительно равное 2,71828.

На всякий случай напомним, что такое иррациональные числа. Так называют числа, которые нельзя записать в виде обыкновенной дроби с целыми числителем и знаменателем. При этом знаменатель не должен быть равен нулю.

Например, 0,333… — рациональное число, потому что его можно записать как 1/3. А вот число Пи или корень из 2 — иррациональны.

Так как натуральные логарифмы часто используются, для них ввели особый способ записи: ln x — это то же самое, что log_e x.

Представим кристалл, который весит 1 кг и растёт со скоростью 100% в год. Можно ожидать, что через год он будет весить 2 кг, но это не так.

Каждая новая выращенная часть начнёт растить свою собственную. Когда в кристалле будет 1,1 кг, он будет расти со скоростью 1,1 кг в год, а когда в нём будет 1,5 кг — со скоростью 1,5 кг в год. Математики подсчитали, что через год масса кристалла составит e, или ≈ 2,71828 кг.

Каждый новый отросток сразу начинает выращивать свой собственный, и скорость роста кристалла увеличивается вместе с его массой

Такой рост называется экспоненциальным. По экспоненте размножаются бактерии, увеличиваются популяции, приумножаются доходы, растут снежные комья, распадается радиоактивное вещество и остывают напитки.

Чтобы узнать, какой массы достигнет кристалл через три, пять, десять лет, нужно возвести e в соответствующую степень.

e³≈ 20,0855 кг

e⁵≈ 148,4132 кг

e¹⁰≈ 22 026,4658 кг

Но как рассчитать, когда кристалл будет весить тонну? Составим уравнение:

e^x= 1000

Нам известны основание степени и результат возведения в степень — осталось найти её показатель. Ничего не напоминает? Это ведь и есть логарифм x = log_e 1000! Или, если использовать сокращённую запись, x = ln 1000.

Подставим в калькулятор и выясним, что x ≈ 6,9. Именно столько лет потребуется кристаллу, чтобы его масса достигла тонны.

Десятичный логарифм — логарифм, основание которого равно 10. Он обозначается lg x и очень удобен, потому что с ним легко вычислять круглые числа.

Двоичный логарифм — логарифм, основание которого равно 2. Он обозначается lb x и часто используется программистами, потому что компьютеры думают и считают в двоичной системе.

Список операций, которые можно совершать с логарифмами, ограничен. Если вы запомните все и научитесь их выполнять, то сможете щёлкать логарифмические задачки, как семечки.

У всех логарифмов есть ограничения. Их основание и аргумент должны быть больше нуля, при этом основание не может быть равно единице. На математическом языке это звучит так:

Перейдём к свойствам логарифмов. Они работают в обе стороны, и их применяют как слева направо, так и справа налево.

1. Логарифм единицы по любому основанию всегда равен нулю:

Например: log₁₇ 1 = 0

2. Логарифм, где число и основание совпадают, равен единице:

Например: log₁₇ 17 = 1

3. Основное логарифмическое тождество:

Например: log₁₇ 17⁵ = 5

4. Логарифм произведения чисел равен сумме их логарифмов:

Например: log₅ 12,5 + log₅ 10 = log₅ (12,5 × 10) = log₅ 125 = 3

5. Логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя:

Например: log₃ 63 − log₃ 7 = log₃ 63/7 = log₃ 9 = 2

6. Если основание или аргумент возведены в степень, то их можно удобно выносить перед логарифмом:

Из этих двух формул следует:

Например: log_2³ 4⁹ = 9/3 × log₂ 4 = 3 × 2 = 6

7. Если нам неудобно основание логарифма, то его можно изменить:

Например: log₂₅ 125 = log₅ 125/log₅ 25 = 3/2 = 1,5

Из этой формулы следует, что мы можем поменять местами основание и аргумент вот так:

Например: log₁₆ 4 = 1/log₄ 16 = 1/2 = 0,5

А теперь возвращаемся к задачам, которые мы дали в начале статьи.

Пример 1

log₃ 81

Вспомните, что 81 — это 9². А 9 — это 3². Таким образом:

log₃ 81 = log₃ 9² = log₃ 3²⁺² = log₃ 3⁴

Теперь логарифм не представляет для нас никаких сложностей. Воспользуемся свойством степени и вынесём четвёрку.

log₃ 3⁴ = 4 × log₃ 3 = 4 × 1 =4

Ответ: 4.

Пример 2

lg 2 × lb 10

Переведём сокращённые записи в полный вид:

lg 2 × lb 10 = log₁₀ 2 × log₂ 10

Приведём оба логарифма к одному основанию.

log₁₀ 2 × log₂ 10 = 1/log₂ 10 × log₂ 10 = log₂ 10/log₂ 10 = 1

Ответ: 1.

Пример 3

log₂₁₆ 2 + log₂₁₆ 3

Воспользуемся свойством суммы.

log₂₁₆ 2 + log₂₁₆ 3 = log₂₁₆ 2 × 3 = log₂₁₆ 6

Представим 216 в виде степени числа 6 и вынесем с помощью свойства степени.

log₂₁₆ 6 = log₆³ 6 = 1/3 × log₆ 6 = 1/3 × 1 = 1/3

Ответ: 1/3.

Чтобы работать с логарифмическими выражениями в Python, необходимо импортировать модуль math:


import math

И теперь посчитаем log₂ 8, используя метод math.log (b, a):


print (math.log (8, 2))
>>> 3.0

Обратите внимание на два момента. Во-первых, мы сначала передаём функции аргумент и только потом — основание. Во-вторых, функция всегда возвращает тип данных float, даже если результат целочисленный.

Если мы не передаём функции основание, то логарифм по умолчанию считается натуральным:


#math.e — метод для вызова числа Эйлера.
print (math.log (math.e))
>>> 1.0

Для подсчёта десятичного и двоичного логарифма есть отдельные методы:


#Для десятичного.
print (math.log10 (100))
>>> 2.0

#Для двоичного.
print (math.log2 (512))
>>> 9.0

Ещё в Python есть специфичный метод, который прибавляет к аргументу единицу и считает натуральный логарифм от получившегося числа:


x = math.e
print (math.log1p (x-1))
>>> 1.0

Когда х близок к нулю, этот метод даёт более точные результаты, чем math.log (1+x). Сравните:


x = 0.00001

print (math.log(x+1))
>>> 9.999950000398841e-06
print (math.log1p(x))
>>> 9.99995000033333e-06

Это все основные инструменты для работы с логарифмами в Python.

Научитесь: Профессия Python-разработчик
Узнать больше

Источник

Загрузить PDF

Действия с логарифмами могут показаться довольно сложными, но, как и со степенными функциями или многочленами, необходимо просто знать основные правила. Их совсем немного: чтобы поделить логарифмы с одинаковым основанием или разложить логарифм частного, достаточно использовать пару основных свойств логарифмов.

1

Проверьте, не стоят ли под знаком логарифма отрицательные числа или единица. Данный метод применим к выражениям вида ${frac {log _{{b}}(x)}{log _{{b}}(a)}}$ . Однако он не годится для некоторых особых случаев:^[1]
2

Преобразуйте выражение в один логарифм. Если выражение не относится к приведенным выше особым случаям, его можно представить в виде одного логарифма. Используйте для этого следующую формулу: ${frac {log _{{b}}(x)}{log _{{b}}(a)}}=log _{{a}}(x)$ .
3

При возможности вычислите значение выражения вручную. Чтобы найти $log _{{a}}(x)$ , представьте себе выражение « $a^{{?}}=x$ «, то есть задайтесь следующим вопросом: «В какую степень необходимо возвести a, чтобы получить x?». Для ответа на этот вопрос может потребоваться калькулятор, но если вам повезет, вы сможете найти его вручную.
4

Оставьте ответ в логарифмической форме, если вам не удается упростить его. Многие логарифмы очень сложно вычислить вручную. В этом случае, чтобы получить точный ответ, вам потребуется калькулятор. Однако если вы решаете задание на уроке, то учителя, скорее всего, удовлетворит ответ в логарифмическом виде. Ниже рассматриваемый метод использован для решения более сложного примера:

Реклама

1
Рассмотрим случай, когда под знаком логарифма стоит частное (дробь). Данный раздел посвящен выражениям вида $log _{{a}}({frac {x}{y}})$ .
- Предположим, необходимо решить следующее задание:
  «Найдите n, при котором $log _{{3}}({frac {27}{6n}})=-6-log _{{3}}(6)$ «.
2
Проверьте, нет ли под знаком логарифма отрицательных чисел. Логарифм отрицательного числа не определен. Если x или y отрицательны, убедитесь в том, что задача имеет решение, прежде чем приступать к его поиску:
- Если x или y меньше нуля, задача не имеет решения.
- Если оба числа x и y отрицательны, сократите знак минус: ${frac {-x}{-y}}={frac {x}{y}}$ .
- В приведенном выше примере под знаком логарифма нет отрицательных чисел, поэтому можно перейти к следующему шагу.
3

Разложите логарифм частного на два логарифма. Еще одно полезное свойство логарифмов описывается следующей формулой: $log _{{a}}({frac {x}{y}})=log _{{a}}(x)-log _{{a}}(y)$ . Иными словами, логарифм частного всегда равен разности логарифмов делимого и делителя.^[2]
4

По возможности упростите выражение. Если получившиеся логарифмы представляются целыми числами, можно упростить выражение.
5

Отделим неизвестную величину. Как и при решении других алгебраических уравнений, рекомендуется перенести искомую величину в одну сторону, а все остальные члены — в другую сторону уравнения. При этом объединяйте подобные члены, чтобы упростить уравнение.
6

При необходимости используйте другие свойства логарифмов. В нашем случае неизвестная величина стоит под знаком логарифма. Чтобы отделить ее от других членов, следует использовать другие свойства логарифмов.
7

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 21 943 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Логарифмом положительного числа (c) по основанию (a) ((a>0, aneq1)) называется показатель степени (b), в которую надо возвести основание (a), чтобы получить число (c) ((c>0)), т.е.

(a^{b}=c) (Leftrightarrow) (log_{a}{c}=b)

Объясним проще. Например, (log_{2}{8}) равен степени, в которую надо возвести (2), чтоб получить (8). Отсюда понятно, что (log_{2}{8}=3).

Примеры:	(log_{5}{25}=2)	т.к. (5^{2}=25)
	(log_{3}{81}=4)	т.к. (3^{4}=81)
	(log_{2})(frac{1}{32})(=-5)	т.к. (2^{-5}=)(frac{1}{32})

Аргумент и основание логарифма

Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:

Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание — подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».

Как вычислить логарифм?

Чтобы вычислить логарифм — нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?

Например, вычислите логарифм: а) (log_{4}{16}) б) (log_{3})(frac{1}{3}) в) (log_{sqrt{5}}{1}) г) (log_{sqrt{7}}{sqrt{7}}) д) (log_{3}{sqrt{3}})

а) В какую степень надо возвести (4), чтобы получить (16)? Очевидно во вторую. Поэтому:

(log_{4}{16}=2)

б) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (frac{1}{3})? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени).

(log_{3})(frac{1}{3})(=-1)

в) В какую степень надо возвести (sqrt{5}), чтобы получить (1)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

(log_{sqrt{5}}{1}=0)

г) В какую степень надо возвести (sqrt{7}), чтобы получить (sqrt{7})? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

(log_{sqrt{7}}{sqrt{7}}=1)

д) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (sqrt{3})? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень — это степень (frac{1}{2}).

(log_{3}{sqrt{3}}=)(frac{1}{2})

Пример: Вычислить логарифм (log_{4sqrt{2}}{8})

Решение:

(log_{4sqrt{2}}{8}=x)		Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма: (log_{a}{c}=b) (Leftrightarrow) (a^{b}=c)
((4sqrt{2})^{x}=8)		Что связывает (4sqrt{2}) и (8)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки: (4=2^{2}) (sqrt{2}=2^{frac{1}{2}}) (8=2^{3})
({(2^{2}cdot2^{frac{1}{2}})}^{x}=2^{3})		Слева воспользуемся свойствами степени: (a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}) и ((a^{m})^{n}=a^{mcdot n})
(2^{frac{5}{2}x}=2^{3})		Основания равны, переходим к равенству показателей
(frac{5x}{2})(=3)		Умножим обе части уравнения на (frac{2}{5})
(x=1,2)		Получившийся корень и есть значение логарифма

Ответ: (log_{4sqrt{2}}{8}=1,2)

Foxford

Зачем придумали логарифм?

Чтобы это понять, давайте решим уравнение: (3^{x}=9). Просто подберите (x), чтобы равенство сработало. Конечно, (x=2).

А теперь решите уравнение: (3^{x}=8).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.

Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как (x=log_{3}{8}).

Хочу подчеркнуть, что (log_{3}{8}), как и любой логарифм — это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: (1,892789260714…..)

Пример: Решите уравнение (4^{5x-4}=10)

Решение:

(4^{5x-4}=10)		(4^{5x-4}) и (10) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма. Воспользуемся определением логарифма: (a^{b}=c) (Leftrightarrow) (log_{a}{c}=b)
(log_{4}{10}=5x-4)		Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева
(5x-4=log_{4}{10})		Перед нами линейное уравнение. Перенесем (4) вправо. И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.
(5x=log_{4}{10}+4)		Поделим уравнение на 5
(x=)(frac{log_{4}{10}+4}{5})		Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Ответ: (frac{log_{4}{10}+4}{5})

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы ((a>0, aneq1)). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание — число Эйлера (e) (равное примерно (2,7182818…)), и записывается такой логарифм как (ln{a}).

То есть, (ln{a}) это то же самое, что и (log_{e}{a}), где (a) — некоторое число.

Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается (lg{a}).

То есть, (lg{a}) это то же самое, что и (log_{10}{a}), где (a) — некоторое число.

Основное логарифмическое тождество

У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:

Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.

Вспомним краткую запись определения логарифма:

если (a^{b}=c), то (log_{a}{c}=b)

То есть, (b) – это тоже самое, что (log_{a}{c}). Тогда мы можем в формуле (a^{b}=c) написать (log_{a}{c}) вместо (b). Получилось (a^{log_{a}{c}}=c) – основное логарифмическое тождество.

Остальные свойства логарифмов вы можете найти здесь. С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.

Пример: Найдите значение выражения (36^{log_{6}{5}})

Решение:

(36^{log_{6}{5}}=)		Сразу пользоваться свойством (a^{log_{a}{c}}=c) мы не можем, так как в основании степени и в основании логарифма – разные числа. Однако мы знаем, что (36=6^{2})
(=(6^{2})^{log_{6}{5}}=)		Зная формулу ((a^{m})^{n}=a^{mcdot n}), а так же то, что множители можно менять местами, преобразовываем выражение
(=6^{2cdotlog_{6}{5}}=6^{log_{6}{5}cdot2}=(6^{log_{6}{5}})^{2}=)		Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством.
(=5^{2}=25)		Ответ готов.

Ответ: (25)

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что (log_{2}{4}) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать (log_{2}{4}).

Но (log_{3}{9}) тоже равен (2), значит, также можно записать (2=log_{3}{9}) . Аналогично и с (log_{5}{25}), и с (log_{9}{81}), и т.д. То есть, получается

(2=log_{2}{4}=log_{3}{9}=log_{4}{16}=log_{5}{25}=log_{6}{36}=log_{7}{49}…)

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как (log_{2}{8}), или как (log_{3}{27}), или как (log_{4}{64})… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

(3=log_{2}{8}=log_{3}{27}=log_{4}{64}=log_{5}{125}=log_{6}{216}=log_{7}{343}…)

И с четверкой:

(4=log_{2}{16}=log_{3}{81}=log_{4}{256}=log_{5}{625}=log_{6}{1296}=log_{7}{2401}…)

И с минус единицей:

(-1=) (log_{2})(frac{1}{2})(=) (log_{3})(frac{1}{3})(=) (log_{4})(frac{1}{4})(=) (log_{5})(frac{1}{5})(=) (log_{6})(frac{1}{6})(=) (log_{7})(frac{1}{7})(…)

И с одной третьей:

(frac{1}{3})(=log_{2}{sqrt[3]{2}}=log_{3}{sqrt[3]{3}}=log_{4}{sqrt[3]{4}}=log_{5}{sqrt[3]{5}}=log_{6}{sqrt[3]{6}}=log_{7}{sqrt[3]{7}}…)

И так далее.

Любое число (a) может быть представлено как логарифм с основанием (b): (a=log_{b}{b^{a}})

Пример: Найдите значение выражения (frac{log_{2}{14}}{1+log_{2}{7}})

Решение:

(frac{log_{2}{14}}{1+log_{2}{7}})(=)		Превращаем единицу в логарифм с основанием (2): (1=log_{2}{2})
(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{2}+log_{2}{7}})(=)		Теперь пользуемся свойством логарифмов: (log_{a}{b}+log_{a}{c}=log_{a}{(bc)})
(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{(2cdot7)}})(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{14}})(=)		В числителе и знаменателе одинаковые числа – их можно сократить.
(=1)		Ответ готов.

Ответ: (1)

Смотрите также:
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства

Источник

Содержание:

Множеством (областью) значений показательной функции

Такое значение аргумента единственное, так как если и то по следствию из п. 2.3 верно равенство c = d. Это единственное значение аргумента с называют логарифмом числа b по основанию a и обозначают т. е.

Таким образом, равенство означает, что Сформулируем определение логарифма еще раз.

Определение:

Пусть Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Приведем несколько примеров:

Нахождение логарифма числа называется логарифмированием.

Обозначим Тогда, согласно определению логарифма, верно равенство т. е.

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.

Согласно этому тождеству, например, имеем: Основное логарифмическое тождество позволяет данное число b представить в виде степени с любым положительным основанием.

Например:

История логарифма

Логарифмы были изобретены в 1614 г. шотландским математиком Д. Непером (1550—1617) и независимо от него на 6 лет позднее швейцарским механиком и математиком И. Бюрги (1552—1632).

Оба исследователя хотели найти новое удобное средство арифметических вычислений, но их определения логарифма различны и у обоих не похожи на современные. Понимание логарифма как показателя степени с данным основанием впервые появилось в XVIII в. в работах английского математика В. Гардинера (1742). Широкому распространению этого определения логарифма более других содействовал Jl. Эйлер, который впервые применил в этой связи и термин «основание».

Термин «логарифм» принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов логос — отношение и аритмос — число. Слово «логарифм», таким образом, означало «число отношения».

Пример:

а) Записать число в виде логарифмов по основанию

б) Записать число -5 в виде логарифмов по основанию и х

Решение:

а) По определению логарифма имеем:

б) По определению логарифма имеем:

Пример:

Между какими целыми числами находится число

Решение:

Пусть тогда верно равенство Поскольку По свойствам показательной функции с основанием 2 имеем Значит,находится между числами 4 и 5.

Ответ:

Пример:

Решить уравнение:

Решение:

а) Поскольку то по определению логарифма имеем

б)

Ответ:

Логарифмы по основанию 10 имеют особое название — десятичные логарифмы. Десятичный логарифм числа b обозначается . Таким образом,

▲ Особое обозначение и название имеют не только десятичные логарифмы, но и логарифмы, основанием которых является число е:

Такие логарифмы называются натуральными.

Логарифмы по основанию е позволяют выражать математическую зависимость, которая характеризует многие биологические, химические, физические, социальные и другие процессы. По-видимому, этим объясняется и название «натуральные логарифмы», т. е. естественные (этот термин ввел в 1659 г. итальянский математик П. Менголи). Натуральные и десятичные логарифмы имели большое значение для облегчения вычислений в XVII—XX вв. до создания мощных современных вычислительных средств. Натуральные логарифмы имеют и большое теоретическое значение.▲

Основные свойства логарифмов

Теорема:

При любых положительных значениях b и с верно равенство:

Доказательство:

Докажем утверждение (1).

По основному логарифмическому тождеству

по свойствам степени

Таким образом, имеем:

Отсюда по следствию из п. 2.3 получаем равенство (1).

Докажем утверждение (2). Преобразуем левую часть равенства (2):

I используя равенство (1), получим

Заметим, что равенство (2) можно доказать тем же способом, что и равенство (1), — сделайте это самостоятельно.

Равенство (1) означает, что логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.

Равенство (2) означает, что логарифм дроби с положительными. числителем и знаменателем равен разности логарифмов числителя и знаменателя.

Замечание. Равенства, доказанные в теореме 1 (как и другие равенства этого пункта), являются тождествами. Действительно, каждое из них превращается в верное числовое равенство при любых значениях a, b и с, для которых входящие в равенство выражения имеют смысл.

Теорема:

При любых значениях s и положительных значениях b верно равенство

Доказательство:

По основному логарифмическому тождеству

по свойствам степени

Таким образом, имеем

Отсюда по следствию из п. 2.3 получаем равенство (3).

Следствие 1. Если числа одного знака, то имеет место равенство

Следствие 2. При любом целом имеет место равенство

Пример №1

Найти значение выражения:

Решение:

Ответ:

Теорема:

При любых значениях и верно равенство

Доказательство:

Способ 1. По основному логарифмическому тождеству имеем

Прологарифмировав левую и правую части этого тождества по основанию а, получим

Применив тождество (3), имеем

Так как Поэтому левую и правую части этого равенства можно разделить на В результате получим тождество (6).

Способ 2. Пусть тогда Логарифмируя обе части этого равенства по основанию а, получаем

Откуда имеем

Итак,

Тождество (6) называется формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Обычно в таблицах, калькуляторах даются значения логарифмов по основанию 10, а когда нужно найти значение логарифма по другому основанию, пользуются формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Следствием из тождества (6) при основании а = с является формула

(убедитесь в этом самостоятельно).

Пример №2

Найти значение выражения, если

Решение:

согласно тождеству (6) имеем

используя тождество (3), получим

используя тождество (1), имеем

с учетом условия получим

на основании тождеств (6) и (7) получим

по тождеству (3) и с учетом условия имеем

Ответ:

Следствие 3. Имеют место тождества:

Тождества (8) и (9) можно доказать, используя уже доказанные тождества из этого пункта.

Пример №3

Упростить выражение

Решение:

Используя определение логарифма, представим числа 1 и 3 в виде логарифмов по основанию 2:

по свойству (2) логарифмов имеем

воспользовавшись формулой (7), получим

Ответ:

Развитие науки, прежде всего астрономии, уже в XVI в. привело к необходимости громоздких вычислений при умножении и делении многозначных чисел. Эти вычислительные проблемы были в некоторой степени решены с открытием логарифмов и созданием таблиц логарифмов.

Логарифмическая функция

Рассмотрим выражение где х — переменная, а — постоянная, Это выражение имеет смысл при любом значении х > 0 и не имеет смысла при любом значении Таким образом, естественной областью определения выражения является множество всех положительных действительных чисел, т. е. промежуток

Определение:

Логарифмической функцией называется функция вида где а — постоянная,

Область определения логарифмической функции — это естественная область определения выражения т.е. множество

Графики некоторых логарифмических функций изображены на рисунке 34. Эти изображения (как и для графиков других функций) можно было получить, строя их по точкам. Отметим некоторые особенности изображенных графиков.

График функции расположен справа от оси Оу и пересекает ось Ох в точке (1; 0).

Когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» опускается вниз. А когда значения аргумента х увеличиваются, то график «медленно» поднимается вверх (ем. рис. 34). Аналогично для любой функции при а > 1 (рис. 35). График функции расположен справа от оси Оу и пересекает ось Ох в точке (1; 0) (см. рис. 34).

Заметим, что когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» поднимается вверх. А когда значения аргумента х увеличиваются, то график «медленно» опускается вниз. Аналогично для любой функции при 0 < а < 1 (рис. 36).

Теорема (о свойствах логарифмической функции )

Областью определения логарифмической функции является интервал
Множеством (областью) значений логарифмической функции является множество R всех действительных чисел.
Логарифмическая функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.
График логарифмической функции пересекается с осью абсцисс в точке (1; 0) и не пересекается с осью ординат.
Значение аргумента х = 1 является нулем логарифмической функции.
6. При а > 1 логарифмическая функция принимает отрицательные значения на интервале (0; 1) и принимает положительные значения на интервале И при 0 < а < 1 логарифмическая функция принимает отрицательные значения на интервале и принимает положительные значения на интервале (0; 1).
Логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной.
При а > 1 логарифмическая функция возрастает на всей области определения. При 0 < а < 1 логарифмическая функция убывает на всей области определения.
Логарифмическая функция не является периодической.

Изображение графика логарифмической функции позволяет наглядно представить эти свойства.

Множество (область) значений логарифмической функции — проекция ее графика на ось Оу, а на рисунках 35 и 36 видно, что эта проекция есть ось Оу. Это значит, что для любой точки лежащей на оси Оу, найдется такая точка принадлежащая интервалу (свойство 2).

Множество (область) значений логарифмической функции — это множество всех действительных чисел, а в нем нет ни наименьшего числа, ни наибольшего (свойство 3).

График логарифмической функции проходит через точку (1; 0) и лежит в правой полуплоскости (свойства 4, 5).

При а > 1 график логарифмической функции лежит в IV координатном угле, когда и лежит в I координатном угле, когда При 0 < а < 1 график логарифмической функции лежит в I координатном угле, когда и лежит в IV координатном угле, когда (свойство 6).

Область определения логарифмической функции — интервал поэтому логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической (свойства 7, 9).

На рисунке 35 видно, что при а > 1 логарифмическая функция возрастает на области определения, а на рисунке 36 видно, что при 0 < а < 1 логарифмическая функция убывает на области определения (свойство 8).

Пусть точка лежит на графике функции Это значит, что верно числовое равенство следовательно, согласно определению логарифма верно числовое равенство В свою очередь, последнее равенство означает, что точка лежит на графике функции

Заметим, что точки симметричны относительно прямой Таким образом, каждой точке М на графике функции соответствует симметричная ей относительно этой прямой точка N на графике функции и наоборот. Следовательно, графики функций симметричны относительно прямой у = х (рис. 37).

Последнее утверждение дает возможность, зная график функции изобразить график функции (не используя построение по точкам).

▲ Симметричность графиков функций относительно прямой у=х означает, что эти функции взаимно обратны.

Функции называются взаимно обратными, если для любого верно равенство и для любого верно равенство

Покажем, что показательная и логарифмическая функции с одним, и тем же основанием а взаимно обратны.

Пусть Тогда

Для любого

Покажем, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х.

Пусть точка лежит на графике функции Это означает, что верно числовое равенство Тогда по определению взаимно обратных функций А равенство означает, что точка лежит на графике функции

Таким образом, каждой точке М на графике функции соответствует симметричная относительно прямой у = х точка N на графике функции и наоборот. Следовательно, графики функций симметричны относительно прямой

Заказать решение задач по высшей математике

Логарифмы и их свойства

В предыдущем параграфе вы находили корни уравнения вида Например: А какой корень имеет уравнение Графическим методом можно убедиться, что оно имеет единственное решение (рис. 28). Это число больше 2 и меньше 3, но как его записать?

Для записи корней показательного уравнения используют понятие «логарифм» и соответствующий символ. Корнем уравнения является число, которое записывают в виде и читают «логарифм числа 5 по основанию 2».

Рассмотрим общий случай-.

Пусть — действительные числа; Если то число называют логарифмом числа по основанию

Логарифмом числа по основанию называют показатель степени, в которую нужно возвести число чтобы получить

Логарифм числа по основанию обозначают символом

Примеры:

так как

так как так как

Основанием логарифма может быть произвольное положительное число, кроме единицы. Как известно, если то область определения показательной функции — множество всех действительных чисел а область значений — множество всех положительных действительных чисел. Поэтому при таких значениях для любого положительного числа найдётся такое что Другими словами: при любом основании где существует логарифм каждого положительного числа. Логарифм отрицательного числа и нуля не существует.

Полезно помнить, что для каждого

(почему?).

Нахождение логарифма числа называют логарифмированием. Эта операция обратная к операции возведения в степень с соответствующим основанием.

Согласно определению логарифма, если Это разные записи одной зависимости. Из них следует равенство

которое называют основным логарифмическим тождеством. Оно правильное для любых положительных

Например:

С помощью основного логарифмического тождества любое положительное число можно представить в виде степени, имеющей заданное основание.

Например:

Докажем ещё несколько важных свойств логарифмов (для положительных

1) По основному логарифмическому тождеству и основному свойству степени

Итак, — показатель, в который нужно возвести число чтобы получить то есть

Эту формулу можно обобщить на три и более множителя:

Кратко говорят: логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей.

2) Доказательство аналогичное предыдущему:

отсюда

Кратко говорят: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

3) Возведём обе части тождества в степень

Итак,

Доказанные формулы можно использовать и справа налево, например:

В логарифмах переходить от одного основания к другому можно при помощи формулы перехода

где

Докажем эту формулу. Поскольку положительные числа и равны, то равны и их логарифмы по основанию Поэтому

откуда и следует доказываемая формула.

Обратите внимание! Как следствия из формулы перехода можно получить следующие формулы:

Докажите их самостоятельно.

Пример №4

Упростите выражение

Решение:

Сведём все логарифмы к основанию 5. Имеем:

Особенно часто используют логарифмы по основаниям 10 и их называют десятичными и натуральными логарифмами. Вместо пишут соответственно

Рассмотренные в параграфе свойства логарифмов правиль-1 ные при условии, что переменные принимают положительные значения. С помощью модуля можно расширить использование некоторых формул. Например: