Как найти логарифм по основанию корень - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Логарифм с корнем в основании

Как преобразовать логарифм с корнем в основании?

Для этого следует корень представить в виде степени с рациональным показателем и показатель степени вынести за знак логарифма.

Схематически преобразование логарифма с корнем в основании можно изобразить так:

$[{log _{sqrt[k]{{{a^n}}}}}{b^m} = {log _{{a^{frac{n}{k}}}}}{b^m} = ]$

$[ = frac{m}{{frac{n}{k}}}{log _a}b = frac{{mk}}{n}{log _a}b]$

В частности, если показатель степени, стоящей под знаком логарифма, равен 1:

$[{log _{sqrt[k]{{{a^n}}}}}b = {log _{{a^{frac{n}{k}}}}}b = ]$

$[ = frac{1}{{frac{n}{k}}}{log _a}b = frac{k}{n}{log _a}b]$

Примеры.

$[1){log _{sqrt[5]{{{2^3}}}}}7 = {log _{{2^{frac{3}{5}}}}}7 = frac{5}{3}{log _2}7,]$

$[2){log _{sqrt[3]{{49}}}}625 = {log _{sqrt[3]{{{7^2}}}}}{5^4} = {log _{{7^{frac{2}{3}}}}}{5^4} = ]$

$[ = frac{4}{{frac{2}{3}}}{log _7}5 = frac{{4 cdot 3}}{2}{log _7}5 = 6{log _7}5,]$

$[3){log _{sqrt[4]{{243}}}}36 = {log _{sqrt[4]{{{3^5}}}}}{6^2} = {log _{{3^{frac{5}{4}}}}}{6^2} = ]$

$[ = frac{2}{{frac{5}{4}}}{log _3}6 = frac{{2 cdot 4}}{5}{log _3}6 = frac{{8}}{5}{log _3}6,]$

$[4){log _{sqrt {11} }}8 = {log _{{{11}^{frac{1}{2}}}}}8 = ]$

$[ = frac{2}{1}{log _{11}}8 = 2{log _{11}}8,]$

$[5){log _{sqrt[9]{{{a^5}}}}}b = {log _{{a^{frac{5}{9}}}}}b = ]$

$[ = frac{1}{{frac{5}{9}}}{log _a}b = frac{9}{5}{log _a}b,]$

(a>0, a≠1, b>0).

После преобразования корня в основании логарифма в степень с дробным показателем и вынесения этой степени за знак логарифма, число можно внести в показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма.

Например,

$[{log _{sqrt[3]{4}}}10 = {log _{sqrt[3]{{{2^2}}}}}10 = {log _{{2^{frac{2}{3}}}}}10 = ]$

$[ = frac{1}{{frac{2}{3}}}{log _2}10 = frac{3}{2}{log _2}10 = {log _2}{10^{frac{3}{2}}} = ]$

$[ = {log _2}sqrt {{{10}^3}} = {log _2}sqrt {1000} .]$

Источник

Логарифм корня вычисляется путем деления логарифма подкоренного выражения на показатель корня.

При этом, важно соблюдение обоих условий ниже:

a>0 и a≠1;
x>0.

Формула получена следующим образом:

1. Корень числа – это не что иное, как это же число, возведенное в дробную степень, в числителе которого стоит единица, а в знаменателе – показатель корня:

2. Теперь, применив формулу логарифма степени, получаем:

Это свойство логарифма можно представить и в “реверсном” виде:

Дробный коэффициент перед логарифмом можно внести в подлогарифмическое выражение в виде его корня, показатель которого равен знаменателю дроби.

При этом: a>0 и a≠1, x>0

Примеры:

Источник

Логарифм числа идентифицирует степень, которую определенное число, называемое основанием, должно быть увеличено, чтобы произвести это число. В общем виде это выражается как log a (b) = x, где a — основание, x — мощность, на которую возводится основание, и b — значение, в котором вычисляется логарифм. На основании этих определений логарифм также может быть записан в экспоненциальной форме типа a ^ x = b. Используя это свойство, можно найти логарифм любого числа с действительным числом в качестве основания, например квадратного корня, выполнив несколько простых шагов.

Преобразовать данный логарифм в экспоненциальную форму. Например, log sqrt (2) (12) = x будет выражаться в экспоненциальной форме как sqrt (2) ^ x = 12.

Возьмите натуральный логарифм или логарифм с основанием 10 обеих сторон вновь сформированного экспоненциального уравнения.

log (sqrt (2) ^ x) = log (12)

Используя одно из свойств логарифмов, переместите переменную экспоненты в начало уравнения. Любой экспоненциальный логарифм типа log a (b ^ x) с определенной «базой a» можно переписать как x_log a (b). Это свойство удалит неизвестную переменную из позиций экспоненты, что значительно облегчит решение проблемы. В предыдущем примере уравнение теперь было бы записано как: x_log (sqrt (2)) = log (12)

Решите для неизвестной переменной. Разделите каждую сторону на журнал (sqrt (2)), чтобы решить для x: x = log (12) / log (sqrt (2))

Вставьте это выражение в научный калькулятор, чтобы получить окончательный ответ. Использование калькулятора для решения примера задачи дает конечный результат как x = 7.2.

Проверьте ответ, увеличив базовое значение до вновь рассчитанного экспоненциального значения. Значение sqrt (2), возведенное в степень 7, 2, приводит к исходному значению 11, 9 или 12. Поэтому расчет был выполнен правильно:

sqrt (2) ^ 7.2 = 11.9

Источник

Логарифм корня, формула

Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.

[ log_c(sqrt[m]{a}) = frac{log_c(a)}{m} ]

Вычислить, найти логарифм корня по формуле (1)

c (основание логарифма)

a (подкоренное число)

m (показатель корня)

Вычислить

нажмите кнопку для расчета

Логарифм корня	стр. 91

Источник

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Источник