Как найти лучи на чертеже

Не секрет, что знания, которые вы получили в школьные годы не всегда остаются с вами впоследствии Иногда бывает полезно изучить новое или освежить в памяти то, что вы давно забыли. Сегодня вы вспомните такое понятие как луч.

Луч — геометрическое понятие

Луч — это такая прямая линия, один из концов которой ограничен точкой, а другой продолжается до бесконечности. Таким образом, фигура тянется вперёд без ограничений. но только с одной стороны. Вторая сторона не может тянуться дальше точки, которая является началом фигуры.

На картинке вы можете посмотреть, что такое луч и как он выглядит:

Луч отмечается посредством строчной латинской буквы или двух таких точек, которые обозначены заглавными буквами латинского алфавита.

Если вы увидите отрезок с двумя точками и продолжите его в одну из сторон, как показано на рисунке, то получится луч.

Отличия луча от прямой и от отрезка

В геометрии есть три схожих понятия, которые подразумевают под собой черту — это луч, отрезок, прямая. Эти фигуры всегда изображаются без изгибов и имеют ряд особенностей.

В рамках курса математики луч — это полупрямая. Дело в том, что с одного конца он обладает признаком бесконечности, который присущ прямой линии.

В начальной точке луч имеет сходство с отрезком, так как он так же ограничен точкой.

Обратите внимание — быстро отличить фигуры друг от друга вы можете по наличию у них начала и конца:

• отрезок имеет начальную и конечную точки;
• луч — только начало;
• прямая — не располагает начальной и конечной точками.

Взаимное расположение лучей

Если на прямой линии вы поставите точку, то на ней сформируются два таких луча, начало которых находится в одной точке.

На рисунке начало для лучей — общая точка A.

По взаимному расположению лучи делятся на пересекающиеся и непересекающиеся.

Параллельный луч — это фигура, у которой любая точка находится на одинаковом расстоянии от соответствующей точки другого луча. Параллельные лучи не могут пересекаться.

Дополнительные лучи — это фигуры, которые обладают такими признаками, как:

• имеют совпадающее начало в одной точке;
• располагаются на одной прямой линии;
• направляются в разные стороны, то есть угол между ними составляет 180 градусов.

Можно ли сравнить два луча?

Луч — это такая фигура, которую нельзя измерить. Он продолжается без ограничений, поэтому не обладает характеристикой длины.

Так как невозможно измерить несколько лучей, сравнить их вы тоже не сможете.

Луч — альтернативные значения слова

Русский язык достаточно сложен и необычайно многообразен, поэтому многие слова имеют несколько разных значений, а разнообразные сочетания способны радикально менять смысл слов, которые являются их составными частями.

Сможете ли вы сходу ответить на вопрос: «Что такое луч света?». Это словосочетание употребляется нами с детства, но не так легко выразить, что оно означает.

Такая фраза описывает прямую линию, по которой направляется световая энергия. Эта энергия исходит от разных источников:

• Солнце;
• звёзды;
• лампочка.

В быту вы можете услышать словосочетание «луч света в тёмном царстве». Такие слова означают — среди негативных явлений присутствует что-то хорошее. Короткое слово всегда ассоциируется с чем-то светлым, добрым и положительным.

Фраза «луч надежды» указывает, что среди множества нежелательных последствий существует не высокая вероятность благополучного исхода.

Начертим на плоскости прямую $a$ и точку $Ain{a}$. По определению прямая — это множество точек, и точка $A$ разбивает прямую $a$ на два отличных друг от друга множества точек. Ровно так же, как это делает прямая по отношению к плоскости, разделяя последнюю на две полуплоскости. В данном уроке мы предметнее исследуем идею разбиения прямой и в результате определим новую фигуру — луч в геометрии.

Примечание к уроку. В некоторых учебных пособиях и задачах луч также встречается под названием «полупрямая». Хоть этот термин и гораздо последовательнее отражает разбиение прямых, здесь и далее мы будем придерживаться современного толкования понятий. Полупрямая — это луч. Луч — это полупрямая. На всякий случай запомните, что это одно и то же.

Луч в геометрии: определение

Игрушечный лазер в темноте. Пучок света, проходящий через небольшое отверстие. Или то, как в иллюстрациях к сказкам изображают солнышко. Все эти явления можно описать одним словом — луч.

Давайте разберем, каким образом абстракция в виде прямой переносит ряд своих свойств на луч в геометрии. Рассмотрим еще раз чертеж с прямой $a$ и точкой $Ain{a}$.

Дополнительно отметим точки $B$, $C$ и $D$, все принадлежащие прямой $a$. Точки $B$ и $C$ располагаются по одну сторону от точки $A$, точка $D$ принадлежит другой стороне. Часть прямой, которая разбивается точкой $A$ и состоит из множества точек, включающее в том числе точки $B$ и $C$, — это луч.

Определим луч в геометрии:

Луч — часть прямой, состоящая из данной точки и множества точек, лежащих по одну сторону от данной точки.  

Чем отличается луч от прямой?

Полуплоскость есть часть плоскости. Деление плоскости на полуплоскости выполняется прямой. Проведем параллель: луч в геометрии есть часть прямой; деление прямой на лучи выполняется точкой. Чем отличается луч от прямой? Луч в геометрии частично ограничен, если сравнивать его с прямой.

В то время как прямая простирается от бесконечности до бесконечности, луч «стартует» в некоторой точке и простирается до бесконечности.  

Как обозначаются лучи?

Точка, разбивающая прямую на два луча, называется начальной точкой. Ее используют в качестве обозначения луча. К примеру, отметим на прямой $c$ точку $D$. Часть прямой $c$, направленную стрелкой, можно обозначить как луч $D$ — строчной латинской буквой согласно точке, являющейся для луча начальной.  

Когда говорят «луч $D$», какая часть луча имеется в виду — слева от точки или справа?

Вопросом, как обозначаются лучи с учетом направления, нам не пришлось задаваться, ведь мы определили направление с помощью чертежа. Чтобы избежать путаницы в том, как обозначаются лучи, иногда используется две точки: начальная и еще одна точка, направляющая, принадлежащая определяемому лучу.

Рассмотрим следующий пример: дана прямая $a$, точки $A$ и $B$. Так, луч $A$ также можно обозначить как луч $AB$.

Дополнительные лучи

И все-таки точка делит прямую на два луча — два отдельных друг от друга множества точек. При этом мы, задавая луч в геометрии, как бы делаем упор только на одно из этих возможных множеств. Второе множество точек тоже является важной сопутствующей фигурой и называется дополнительным лучом.

Дополнительный луч — это луч, лежащий на одной прямой с некоторым лучом и имеющий с ним общую начальную точку, но противоположные направления.

Рассмотрим, как дополнительные лучи выглядят на чертеже. Возьмем прямую $a$ и зададим на ней луч $AB$. Чтобы построить к лучу $AB$ дополнительный луч, достаточно отметить точку в противоположном направлении. Итого, луч $AC$ будет являться дополнительным к лучу $AB$. Объединяя оба луча — основной и дополнительный, — мы вновь получаем бесконечную прямую, которой принадлежат лучи.

Нечто вроде формулы: лучи + дополнительные лучи = прямые.

Луч в геометрии — выбор направляющей точки

Отдельно отметим, что выбор направляющей точки, определяющий лучи или дополнительные лучи, может быть произвольным. Добавим на чертеж выше точки $F$ и $G$ и подумаем: в чем отличие между лучами $AB$ и $AF$? Отличаются ли тогда соответствующие дополнительные лучи?

Нет. Выбор направляющей точки условен, поэтому между лучами $AB$ и $AF$ можно установить равенство $AB=AF$. Равные линейные фигуры называются совпадающими.

Важнейшая точка луча  — начальная точка, и если точка начала совпадает для двух лучей, то они представляют собой равные множества точек. Данный вывод распространяется также и на дополнительные лучи.

Дадим определение:

Совпадающие лучи — лучи, не являющиеся дополнительными друг к другу и лежащие на одной прямой, при этом имеющие общую начальную точку.  

Задача. Дан отрезок $AB$ на прямой $a$. Известно, что точка $Cin{AB}$. Среди лучей $AB$, $AC$, $CA$, $CB$ определите парами совпадающие лучи и дополнительные лучи.

Трудности? Здесь решение!

Скрыть решение

Луч

• Дополнительные лучи
• Обозначение лучей

Луч — это часть прямой линии, расположенная по одну сторону от любой точки, лежащей на этой прямой. Луч также называется полупрямой.

Любой луч имеет начало и направление. Начало луча, начальная точка или вершина луча — это точка, из которой исходит луч. Таким образом, у луча есть начало, но нет конца.

Рассмотрим три луча с общим началом:

Все 3 луча имеют общую начальную точку  O,  но разные направления. Про каждый из них можно сказать: луч исходит из точки  O  или луч исходящий из точки  O.

Дополнительные лучи

Любая точка, лежащая на прямой линии, делит эту прямую на две полупрямые, то есть на две части. Каждая из этих частей будет называться дополнительным лучом относительно второго луча:

Дополнительные лучи — это лучи, имеющие общее начало, противоположные направления и лежащие на одной прямой. Также можно сказать, что дополнительными называются лучи, дополняющие друг друга до прямой линии.

Обозначение лучей

Луч обозначают одной строчной латинской буквой:

луч  h.

Также луч можно обозначить двумя точками, лежащими на нём:

При обозначении луча двумя точками, на первом месте ставится буква, обозначающая начало луча, а на втором — буква, обозначающая какую-либо другую его точку: луч  BC.

Посмотрим на следующий пример:

Луч с началом в точке  A  можно обозначить как  AB  или  AC.

Первое представление о прямой линии можно получить, натянув между двумя точками А и В шнур (чертёж 7). Так получится, однако, не вся прямая, а только ее отрезок, заключённый между точками А и В. На чертеже 8 отрезок А В продолжен до краёв классной доски, Но прямая, часть которой видна на чертеже, продолжается и дальше неограниченно в обе стороны.

Вокруг себя вы найдёте много отрезков прямой: край стола, край листа бумаги. Если аккуратно сложить лист бумаги, то линия сгиба будет прямолинейным отрезком (чертёж 9). Постарайтесь во всех этих случаях представить себе всю прямую, на которой лежит какой-либо отрезок. Укажите, например, точки, в которых прямая, проходящая по краю стола, пересекает стены класса.

В геометрии отвлекаются от практических трудностей, возникающих при желании продолжить отрезок очень далеко, и считают, что каждая прямая линия уже продолжается в обе стороны неограниченно, что у неё совсем нет «концов». Только такую бесконечно.

продолжающуюся в обе стороны линию называют в геометрии прямой линией или просто прямой. Сформулируем первое свойство прямой.

1. Прямая бесконечна.

Сформулируем второе важное свойство прямой.

2. Через любые две точка проходит прямая, и притом только одна.

На этом свойстве прямой основана проверка линейки. Если мы на бумаге обозначим две точки и через них карандашом аккуратно проведём по краю линейки линию, а затем повернём линейку другой стороной и снова проведём по краю линейки через те же точки другую линию и если при этом линии сольются, то линейка правильная (чертёж 11). Если же линии не сольются, то это покажет, что линейка сделана неправильно (чертёж 12).

Прямая линия на доске или на бумаге обозначается или одной малой буквой латинского алфавита, или двумя большими буквами, поставленными в двух различных точках этой прямой (чертёж 13).

Если на прямой линии отметим какую-нибудь точку, то получим два луча (чертёж 14).

Лучом называют часть прямой линии, ограниченную с одной стороны (чертёж 15). Луч также обозначается или одной малой буквой латинского алфавита, или двумя большими буквами, из которых одна ставится в начале луча.

Часть прямой, ограниченная с обеих сторон, называется отрезком прямой (чертёж 16).

Отрезок, как и прямая линия, обозначается .или одной буквой, или двумя. В последнем случае эти буквы обозначают концы отрезка (чертёж 16).

Линия, состоящая из нескольких отрезков, не лежащих на одной прямой, называется ломаной. (чертёж 17, а).

Если концы ломаной совпадают, то такая ломаная называется замкнутой (чертёж 17, б).