Как найти магнитную индукцию имея радиус

2018-05-14   

Определить индукцию магнитного поля в точке О, если проводник с током $I$ имеет вид, показанный на рис. а, б, в. Радиус изогнутой части проводника равен $R$, прямолинейные участки проводника предполагаются очень длинными.

Решение:

(a) Из симметрии

$B_{0} = B_{1} + B_{2} + B_{3} = 0 + frac{ mu_{0} }{4 pi} frac{i}{R} pi + ) = frac{ mu_{0} }{4 } frac{i}{R}$

(б) Из симметрии

$B_{0} = B_{1} + B_{2} + B_{3} = frac{ mu_{0} }{4 pi} frac{i}{R} + frac{ mu_{0} }{2 pi} frac{i}{R} frac{3 pi}{2} + 0 = frac{ mu_{0} }{4 pi} frac{i}{R} left [1 + frac{3 pi}{2} right ]$

(в) Из симметрии

$B_{0} = B_{1} + B_{2} + B_{3} = frac{ mu_{0} }{4 pi} frac{i}{R} + frac{ mu_{0} }{4 pi} frac{i}{R} pi + frac{ mu_{0} }{4 pi} frac{i}{R} = frac{ mu_{0} }{4 pi} frac{i}{R} (2 + pi)$

Французские ученые Ж. Био и Ф. Савар изучали магнитные поля, создаваемые постоянными токами разной формы. Результаты их работы обобщил известный математик и физик П. Лаплас.

Применение закона Био – Савара – Лапласа к вычислению магнитного поля кругового тока

Закон Био-Савара–Лапласа описывает порождение магнитного поля током $I$ на элементе проводника длиной $dl$ в некоторой точке пространства ($mu$ — магнитная проницаемость вещества в котором локализовано поле):

$dvec{B}=frac{mu_{0}mu }{4pi }frac{Ileft[ dvec{l}vec{r}right]}{r^{3}}left( 1 right)$

где $d vec l ⃗$ — вектор, длина которого равна длине элемента проводника $dl$, направленный по току; $vec r$ – радиус-вектор, который проведен от элемента $dl$ в точку, в которой исследуется магнитное поле. Поскольку в правой части формулы (1) находится векторное произведение, очевидно, что индукция элементарного магнитного поля будет направлена перпендикулярно плоскости, в которой находятся векторы $vec r$ и $vec l$ и при этом является касательной к силовой линии поля.

Величину вектора $vec{dB}$ из выражения (1) найдем как:

$dB=frac{mu_{0}mu }{4pi }frac{Idlsin alpha }{r^{2}}left( 2 right)$.

где $ alpha $– угол между векторами $vec r$ и $vec l$ .

Конкретное направление $vec{dB}$ находят по правилу буравчика (правилу правой руки):

Если правый винт вращать так, что его поступательное движение будет совпадать с направлением течения тока в избранном элементе, то вращение его головки укажет направление $vec{dB}$.

Магнитные поля подчиняются принципу суперпозиции:

Суммарную магнитную индукцию поля, создаваемого несколькими источниками, находят как геометрическую сумму векторов магнитной индукции отдельных полей:

$vec{B}=sumlimits_{i=1}^N vec{B}_{i} left( 3 right). $

Если распределение токов можно считать непрерывным, то принцип суперпозиции можно записать:

$vec{B}=int {dvec{B}_{i}} left( 4 right).$

Вычисление магнитной индукции поля с применением закона Био-Савара-Лапласа довольно сложная процедура. Но при существовании определенной симметрии в распределении токов, используя, рассмотренный нами закон и принцип суперпозиции, рассчитать конкретные поля просто. В любом случае следует придерживаться следующей схемы действий:

«Магнитное поле кругового тока» 👇

1. Выделить на проводнике с током элементарный отрезок $dl$.
2. Записать для исследуемой точки поля закон Био – Савара – Лапласа.
3. Определить направление элементарного поля $vec{dB}$ в избранной точке.
4. Воспользоваться принципом суперпозиции для магнитных полей (учесть, что суммируются векторы).

Магнитное поле кругового тока в его центре

Рассмотрим круговой проводник, по которому течет постоянный ток $I$ (рис.1). Выделим на этом проводнике элемент $dl$, который можно считать прямолинейным. Если перейти к другому элементу этого же тока, затем к третьему и так далее, применить правило правого винта, то очевидно, что все магнитные поля, созданные этими элементами в центре, направлены вдоль одной прямой, перпендикуляру к плоскости кольца. Это означает, применяя принцип суперпозиции, мы векторное сложение заменим алгебраическим.

Запишем закон Био-Савара-Лапласа для модуля вектора индукции поля, создаваемого элементом d$l_1$:

$dB=frac{mu_{0}mu }{4pi }frac{Idl_{1}sin alpha }{r^{2}}left( 5right).$

Из рис.1 мы видим:

1. что расстояние от элементарного тока до центра витка равно его радиусу ($R$) и будет одинаковым для всех элементов на этом витке,
2. элемент $dl$ (как и все остальные элементы) будут нормальны к радиус-вектору $vec r$.

Учитывая сказанное выражение (5) представим в виде:

$dB=frac{mu_{0}mu }{4pi }frac{Idl_{1}}{R^{2}}left( 6 right)$.

Обезличивая витки с током, положим далее $dl_1=dl$.

Поскольку наш ток является непрерывным, то для нахождения полного поля в его центре, мы проинтегрируем (6), имеем:

$B=ointlimits_L {dB=} frac{mu_{0}mu }{4pi}frac{I}{R^{2}}ointlimits_L {dl} =frac{mu_{0}mu }{4pi}frac{I}{R^{2}}2pi Rto$

$B=mu_{0}mu frac{I}{2R}left( 7 right)$.

Индукция магнитного поля кругового тока на его оси

Найдем индукцию магнитного поля на оси кругового тока, если ток, текущий по нему равен $I$, радиус витка — $R$ (рис.2).

Как основу для выполнения поставленной задачи возьмем закон Био-Савара-Лапласа (1), где из рис.2 мы видим, что:

• $vec{r}=vec{R}+vec{h}$,

• $dvec{l}times vec{r}=dvec{l}times vec{R}+dvec{l}times vec{h}(9).$

Используя принцип суперпозиции закон (1) для нашего тока и формулы (8-9) запишем:

$vec{B}=ointlimits_L {dB=}$$frac{mu mu_{0}}{4pi }Iointlimits_L frac{dvec{l}timesvec{r}}{r^{3}} $
$=frac{mu mu_{0}}{4pi }frac{I}{r^{3}}left( ointlimits_L{dvec{l}times vec{R}+} ointlimits_L {dvec{l}times vec{h}}right)left( 10 right).$

В выражении (10) при записи интеграла, мы учли, что величина вектора $vec{r}$ не изменяется. Кроме этого вектор $vec h$, определяющий положение точки, в которой мы ищем поле, не изменяется при движении по нашему контуру, поэтому:

$ointlimits_L {dvec{l}times vec{h}} =(ointlimits_L {dvec{l})timesvec{h}} =0, left( 11 right),$

так как ( $ointlimits_L {dvec{l})=0.}$

Вычислим интеграл: $ointlimits_L {dvec{l}times vec{R}.}$ Введем единичный вектор ($vec n$), нормальный к плоскости витка с током.

$ointlimits_L {dvec{l}times vec{R}=ointlimits_L {vec{n}Rdl=vec{n}R}} ointlimits_L {dl=vec{n}R} 2pi R=2pi R^{2}vec{n}left( 12 right)$.

Подставляем результаты интегрирования из (12) в (10), имеем:

$vec{B}=frac{mu mu_{0}}{4pi }frac{I}{r^{3}}2pi R^{2}vec{n}=frac{mumu_{0}I}{2}frac{R^{2}}{left( R^{2}+h^{2}right)^{frac{3}{2}}}vec{n}left( 13 right)$

где при записи окончательного результата мы учли, что:

$r^{3}=left( R^{2}+h^{2} right)^{frac{3}{2}}$.

Кольца Гельмгольца

Кольцами Гельмгольца считают пару проводников в виде колец одного радиуса, расположенных в параллельных плоскостях (рис.3) на одной оси. Расстояние между плоскостями колец равно их радиусу.

Рассмотрим магнитное поле на оси этих колец.

Декартову систему координат разместим так, что ее начало совпадает с центром нижнего кольца с током. Ось Z нашей системы будет направлена по оси колец (рис.3).

Запишем индукцию магнитного поля в точке с координатой $z$ на оси колец. Используем формулу (13):

$B_{z}=frac{mu mu_{0}I}{2}R^{2}left[ frac{1}{left( R^{2}+z^{2}right)^{frac{3}{2}}}+frac{1}{left[ left( z-d right)^{2}+R^{2}right]^{frac{3}{2}}} right]left( 14right)$.

Исследуем полученное поле. Считается, что магнитное поле на оси колец Гельмгольца на посередине между ними является однородным.

Неоднородность в первом приближении характеризуют первой производной:

$frac{partial B_{z}}{partial z}=frac{3mu mu_{0}I}{2}R^{2}left[frac{-z}{left( R^{2}+z^{2} right)^{frac{5}{2}}}+frac{z-d}{left[ left(z-d right)^{2}+R^{2} right]^{frac{5}{2}}} right]left( 15 right)$.

Если $z=frac{d}{2}quad$ , подставим в (15), имеем:

$frac{partial B_{z}}{partial z}=0.$

Найдем $frac{partial^{2}B_{z}}{partial z^{2}}:$

$frac{partial^{2}B_{z}}{partial z^{2}}=frac{3mu mu_{0}I}{2}R^{2}left( frac{5z^{2}}{left( R^{2}+z^{2}right)^{frac{7}{2}}}-frac{1}{left( R^{2}+z^{2}right)^{frac{5}{2}}}+frac{5left( z-d right)^{2}}{left[ left( z-d right)^{2}+R^{2} right]^{frac{7}{2}}}-frac{1}{left[ left( z-dright)^{2}+R^{2} right]^{frac{5}{2}}} right)left( 16 right)$

По условию для колец Гельмгольца, имеем:
$d=R.$

На середине их общей оси ($z=frac{d}{2})$, получаем:

$frac{partial^{2}B_{z}}{partial z^{2}}=0, left( 17 right)$.

Равенство нулю второй производной от $B_z$ по координате $z$, показывает, что в на середине оси колец магнитное поле является однородным с высокой степенью точности.

Всем доброго времени суток. В прошлой статье я рассказал о магнитном поле и немного остановился на его параметрах. Данная статья продолжает тему магнитного поля и посвящена такому параметру как магнитная индукция. Для упрощения темы я буду рассказывать о магнитном поле в вакууме, так как различные вещества имеют разные магнитные свойства, и как следствие необходимо учитывать их свойства.

Для сборки радиоэлектронного устройства можно преобрески DIY KIT набор по ссылке.

Закон Био – Савара – Лапласа

В результате исследования магнитных полей создаваемых электрическим током, исследователи пришли к таким выводам:

• магнитная индукция, создаваемая электрическим током пропорциональна силе тока;
• магнитная индукция имеет зависимость от формы и размеров проводника, по которому протекает электрический ток;
• магнитная индукция в любой точке магнитного поля зависит от расположения данной точки по отношению к проводнику с током.

Французские учёные Био и Савар, которые пришли к таким выводам обратились к великому математику П. Лапласу для обобщения и вывода основного закона магнитной индукции. Он высказал гипотезу, что индукция в любой точке магнитного поля, создаваемое проводником с током можно представить в виде суммы магнитных индукций элементарных магнитных полей, которые создаются элементарным участком проводника с током. Данная гипотеза и стала законом магнитной индукции, называемого законом Био – Савара – Лапласа. Для рассмотрения данного закона изобразим проводник с током и создаваемую им магнитную индукцию

Магнитная индукция dB, создаваемая элементарным участком проводника dl.

Тогда магнитная индукция dB элементарного магнитного поля, которое создается участком проводника dl, с током I в произвольной точке Р будет определяться следующим выражением

где I – сила тока, протекающая по проводнику,

r – радиус-вектор, проведённый от элемента проводника к точке магнитного поля,

dl – минимальный элемент проводника, который создает индукцию dB,

k – коэффициент пропорциональности, зависящий от системы отсчёта, в СИ k = μ₀/(4π)

Так как [dl r] является векторным произведением, тогда итоговое выражение для элементарной магнитной индукции будет выглядеть следующим образом

Таким образом, данное выражение позволяет найти магнитную индукцию магнитного поля, которое создается проводником с током произвольной формы и размеров при помощи интегрирования правой части выражения

где символ l обозначает, что интегрирование происходит по всей длине проводника.

Магнитная индукция прямолинейного проводника

Как известно простейшее магнитное поле создает прямолинейный проводник, по которому протекает электрический ток. Как я уже говорил в предыдущей статье, силовые линии данного магнитного поля представляют собой концентрические окружности расположенные вокруг проводника.

Магнитная индукция магнитного поля создаваемого прямолинейным проводником с током.

Для определения магнитной индукции В прямого провода в точке Р введем некоторые обозначения. Так как точка Р находится на расстоянии b от провода, то расстояние от любой точки провода до точки Р определяется как r = b/sinα. Тогда наименьшую длину проводника dl можно вычислить из следующего выражения

В итоге закон Био – Савара – Лапласа для прямолинейного провода бесконечной длины будет иметь вид

где I – ток, протекающий по проводу,

b – расстояние от центра провода до точки, в которой рассчитывается магнитная индукция.

Теперь просто проинтегрируем получившееся выражение по dα в пределах от 0 до π.

Таким образом, итоговое выражение для магнитной индукции прямолинейного провода бесконечной длины будет иметь вид

где μ₀  – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м,

I – ток, протекающий по проводу,

b – расстояние от центра проводника до точки, в которой измеряется индукция.

Магнитная индукция кольца

Индукция прямого провода имеет небольшое значение и уменьшается при удалении от проводника, поэтому в практических устройствах практически не применяется. Наиболее широко используются магнитные поля созданные проводом, намотанным на какой либо каркас. Поэтому такие поля называются магнитными полями кругового тока. Простейшим таким магнитным поле обладает электрический ток, протекающий по проводнику, который имеет форму окружности радиуса R.

В данном случае практический интерес представляет два случая: магнитное поле в центре окружности и магнитное поле в точке Р, которое лежит на оси окружности. Рассмотрим первый случай.

Магнитная индукция в центре кругового тока.

В данном случае каждый элемент тока dl создаёт в центре окружности элементарную магнитную индукцию dB, которая перпендикулярна к плоскости контура, тогда закон Био-Савара-Лапласа будет иметь вид

Остается только проинтегрировать полученное выражение по всей длине окружности

где μ₀  – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м,

I – сила тока в проводнике,

R – радиус окружности, в которое свернут проводник.

Рассмотрим второй случай, когда точка, в которой вычисляется магнитная индукция, лежит на прямой х, которая перпендикулярна плоскости ограниченной круговым током.

Магнитная индукция в точке, лежащей на оси окружности.

В данном случае индукция в точке Р будет представлять собой сумму элементарных индукций dB_X, которые в свою очередь представляет собой проекцию на ось х элементарной индукции dB

Применив закон Био-Савара-Лапласа вычислим величину магнитной индукции

Теперь проинтегрируем данное выражение по всей длине окружности

где μ₀ – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м,

I – сила тока в проводнике,

R – радиус окружности, в которое свернут проводник,

х – расстояние от точки, в которой вычисляется магнитная индукция, до центра окружности.

Как видно из формулы при х = 0, получившееся выражение переходит в формулу для магнитной индукции в центре кругового тока.

Циркуляция вектора магнитной индукции

Для расчёта магнитной индукции простых магнитных полей достаточно закона Био-Савара-Лапласа. Однако при более сложных магнитных полях, например, магнитное поле соленоида или тороида, количество расчётов и громоздкость формул значительно увеличится. Для упрощения расчётов вводится понятие циркуляции вектора магнитной индукции.

Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному контуру.

Представим некоторый контур l, который перпендикулярный току I. В любой точке Р данного контура, магнитная индукция В направлена по касательной к данному контуру. Тогда произведение векторов dl и В описывается следующим выражением

Так как угол dφ достаточно мал, то векторов dl_В определяется, как длина дуги

Таким образом, зная магнитную индукцию прямолинейного проводника в данной точке, можно вывести выражение для циркуляции вектора магнитной индукции

Теперь остаётся проинтегрировать получившееся выражение по всей длине контура

В нашем случае вектор магнитной индукции циркулирует вокруг одного тока, в случае же нескольких токов выражение циркуляции магнитной индукции переходит в закон полного тока, который гласит:

Циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру пропорциональна алгебраической сумме токов, которые охватывает данный контур.

Магнитное поле соленоида и тороида

С помощью закона полного тока и циркуляции вектора магнитной индукции достаточно легко определить магнитную индукцию таких сложных магнитных полей как у соленоида и тороида.

Соленоидом называется цилиндрическая катушка, которая состоит из множества витков проводника, намотанных виток к витку на цилиндрический каркас. Магнитное поле соленоида фактически состоит из множества магнитных полей кругового тока с общей осью, перпендикулярной к плоскости каждого кругового тока.

Магнитная индукция соленоида.

Воспользуемся циркуляцией вектора магнитной индукции и представим циркуляцию по прямоугольному контуру 1-2-3-4. Тогда циркуляция вектора магнитной индукции для данного контура будет иметь вид

Так как на участках 2-3 и 4-1 вектор магнитной индукции перпендикулярен к контуру, то циркуляция равна нулю. На участке 3-4, который значительно удалён от соленоида, то его так же можно не учитывать. Тогда с учётом закона полного тока магнитная индукция в соленоиде достаточно большой длины будет иметь вид

где n – число витков проводника соленоида, которое приходится на единицу длины,

I – ток, протекающий по соленоиду.

Тороид образуется путём намотки проводника на кольцевой каркас. Данная конструкция эквивалентна системе из множества одинаковых круговых токов, центры которых расположены на окружности.

Магнитная индукция тороида.

В качестве примера рассмотрим тороид радиуса R, на который намотано N витков провода. Вокруг каждого витка провода возьмём контур радиуса r, центр данного контура совпадает в центром тороида. Так как вектор магнитной индукции B направлен по касательной к контуру в каждой точке контура, то циркуляция вектора магнитной индукции будет иметь вид

где r – радиус контура магнитной индукции.

Контур проходя внутри тороида охватывает N витков провода с током I, тогда закон полного тока для тороида будет иметь вид

где n – число витков проводника, которое приходится на единицу длины,

r – радиус контура магнитной индукции,

R – радиус тороида.

Таким образом, используя закон полного тока и циркуляцию вектора магнитной индукции можно рассчитать сколь угодно сложное магнитное поле. Однако закон полного тока дает правильные результаты только лишь в вакууме. В случае расчёта магнитной индукции в веществе необходимо учитывать так называемые молекулярные токи. Об этом пойдёт речь в следующей статье.

Индукция магнитного поля в центре и на оси кругового витка с током

Вначале решим более общую задачу нахождения магнитной индукции на оси витка с током. Для этого сделаем рисунок 3.8, на котором изобразим элемент тока и вектор магнитной индукции , который он создает на оси кругового контура в некоторой точке .

Рис. 3.8 Определение магнитной индукции

на оси кругового витка с током

Вектор магнитной индукции , создаваемый бесконечно малым элементом контура может быть определен с помощью закона Био-Савара-Лапласа (3.10).

Как следует из правил векторного произведения, магнитная индукция будет перпендикулярна плоскости, в которой лежат вектора и , поэтому модуль вектора будет равен

.

Для нахождения полной магнитной индукции от всего контура необходимо векторно сложить от всех элементов контура, т. е. фактически сосчитать интеграл по длине кольца

.

Данный интеграл можно упростить, если представить в виде суммы двух составляющих и

При этом в силу симметрии , поэтому результирующий вектор магнитной индукции будет лежать на оси . Следовательно, для нахождения модуля вектора нужно сложить проекции всех векторов , каждая из которых равна

.

Учитывая, что и , получим для интеграла следующее выражение

. (3.18)

Нетрудно заметить, что вычисление получившегося интеграла даст длину контура, т. е. . В итоге суммарная магнитная индукция, создаваемая круговым контуром на оси в точке , равна

. (3.19)

Используя магнитный момент контура, формулу (3.19) можно переписать следующим образом

.

Теперь отметим, что полученное в общем виде решение (3.19) позволяет проанализировать предельный случай, когда точка помещена в центре витка. В этом случае и решение для магнитной индукции поля в центре кольца с током примет вид

. (3.20)

Результирующий вектор магнитной индукции (3.19) направлен вдоль оси тока, а его направление связано с направлением тока правилом правого винта (рис. 3.9).

Рис. 3.9 Определение магнитной индукции

в центре кругового витка с током

Индукция магнитного поля в центре дуги окружности

Данная задача может быть решена как частный случай рассмотренной в предыдущем пункте задачи. В этом случае интеграл в формуле (3.18) следует брать не по всей длине окружности, а только по ее дуге l. А также учесть то, что индукция ищется в центре дуги, поэтому . В результате получим

, (3.21)

где – длина дуги; – радиус дуги.

5 Вектор индукции магнитного поля движущегося в вакууме точечного заряда (без вывода формулы)

,

где – электрический заряд; – постоянная нерелятивистская скорость; – радиус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения.

Силы Ампера и Лоренца

Опыты по отклонению рамки с током в магнитном поле показывают, что на всякий проводник с током, помещенный в магнитное поле, действует механическая сила, называемая силой Ампера.

Закон Ампера определяет силу, действующую на проводник с током, помещенный в магнитное поле:

; , (3.22)

где – сила тока; – элемент длины провода (вектор совпадает по направлению с током ); – длина проводника. Сила Ампера перпендикулярна направлению тока и направлению вектора магнитной индукции.

Если прямолинейный проводник длиной находится в однородном поле, то модуль силы Ампера определяется выражением (рис. 3.10):

. (3.23)

Сила Ампера всегда направлена перпендикулярно плоскости, содержащей векторы и , а ее направление как результат векторного произведения определяется правилом правого винта: если смотреть вдоль вектора , то поворот от к по кратчайшему пути должен происходить по часовой стрелке.

Рис. 3.10 Правило левой руки и правило буравчика для силы Ампера

С другой стороны, для определения направления силы Ампера можно также применить мнемоническоеправило левой руки (рис. 3.10): нужно поместить ладонь так, чтобы силовые линии магнитной индукции входили в нее, вытянутые пальцы показывали направление тока, тогда отогнутый большой палец укажет направление силы Ампера.

Исходя из формулы (3.22), найдем выражение для силы взаимодействия двух бесконечно длинных, прямых, параллельных друг другу проводников, по которым текут токи I₁ и I₂ (рис. 3.11) (опыт Ампера). Расстояние между проводами равно a.

Определим силу Ампера dF₂₁, действующую со стороны магнитного поля первого тока I₁ на элемент l₂dl второго тока.

Величина магнитной индукции этого поля B₁ в точке расположения элемента второго проводника с током равна

.

Рис. 3.11 Опыт Ампера по определению силы взаимодействия

двух прямолинейных токов

Тогда с учетом (3.22) получим

. (3.24)

Рассуждая точно так же, можно показать, что сила Ампера, действующая со стороны магнитного поля, создаваемого вторым проводником с током, на элемент первого проводника I₁dl , равна

,

т. e. dF₁₂ = dF₂₁. Таким образом, мы вывели формулу (3.1), которая была получена Ампером экспериментальным путем.

На рис. 3.11 показано направление сил Ампера. В случае, когда токи направлены в одну и ту же сторону, то это ‑ силы притяжения, а в случае токов разного направления ‑ силы отталкивания.

Из формулы (3.24), можно получить силу Ампера, действующую на единицу длины проводника

. (3.25)

Таким образом, сила взаимодействия двух параллельных прямых проводников с токами прямо пропорциональна произведению величин токов и обратно пропорциональна расстоянию между ними.

Закон Ампера утверждает, что на элемент с током, помещенный в магнитное поле, действует сила. Но всякий ток есть перемещение заряженных частиц. Естественно предположить, что силы, действующие на проводник с током в магнитном поле, обусловлены силами, действующими на отдельные движущиеся заряды. Этот вывод подтверждается рядом опытов (например, электронный пучок в магнитном поле отклоняется).

Найдем выражение для силы, действующей на заряд, движущийся в магнитном поле, исходя из закона Ампера. Для этого в формулу, определяющую элементарную силу Ампера

,

подставим выражение для силы электрического тока

,

где I – сила тока, протекающего через проводник; Q – величина полного заряда протекшего за время t; q – величина заряда одной частицы; N – общее число заряженных частиц, прошедших через проводник объемом V, длиной l и сечением S; n – число частиц в единице объема (концентрация); v – скорость частицы.

В результате получим:

. (3.26)

Направление вектора совпадаёт с направлением скорости v, поэтому их можно поменять местами.

. (3.27)

Эта сила действует на все движущиеся заряды в проводнике длиной и сечением S, число таких зарядов:

.

Следовательно, сила, действующая на один заряд, будет равна:

. (3.28)

Формула (3.28) определяет силу Лоренца, величина которой

, (3.29)

где a — угол между векторами скорости частицы и магнитной индукции.

В экспериментальной физике часто встречается ситуация, когда заряженная частица движется одновременно и в магнитном и электрическом поле. В этом случае рассматривают полную силу Лоренца в виде

,

где – электрический заряд; – напряженность электрического поля; – скорость частицы; – индукция магнитного поля.

Только в магнитном поле на движущуюся заряженную частицу действует магнитная составляющая силы Лоренца (рис. 3.12)

. (3.30)

Рис. 3.12 Сила Лоренца

Магнитная составляющая силы Лоренца перпендикулярна вектору скорости и вектору магнитной индукции. Она не изменяет величины скорости, а изменяет только ее направление, следовательно, работы не совершает.

Взаимная ориентация трех векторов ‑ , и , входящих в (3.30), показана на рис. 313 для положительно заряженной частицы.

Рис. 3.13 Сила Лоренца, действующая на положительный заряд

Как видно из рис. 3.13, если частица влетает в магнитное поле под углом к силовым линиям , то она равномерно движется в магнитном поле по окружности радиусом и периодом обращения:

; ,

где – масса частицы.

Отношение магнитного момента к механическому L (моменту импульса) заряженной частицы, движущейся по круговой орбите,

,

где ‑ заряд частицы; т ‑ масса частицы.

Рассмотрим общий случай движения заряженной частицы в однородном магнитном поле, когда ее скорость направлена под произвольным углом a к вектору магнитной индукции (рис. 3.14). Если заряженная частица влетает в однородное магнитное поле под углом , то она движется по винтовой линии.

Разложим вектор скорости на составляющие v_|| (параллельную вектору ) и v_^(перпендикулярную вектору ):

.

Наличие v_^ приводит к тому, что на частицу будет действовать сила Лоренца и она будет двигаться по окружности радиусом R в плоскости перпендикулярной вектору :

.

Период такого движения (время одного витка частицы по окружности) равен

.

Рис. 3.14 Движение по винтовой линии заряженной частицы

в магнитном поле

За счет наличия v_|| частица будет двигаться равномерно вдоль , так как на v_|| магнитное поле не действует.

Таким образом, частица участвует одновременно в двух движениях. Результирующая траектория движения представляет собой винтовую линию, ось которой совпадает с направлением индукции магнитного поля. Расстояние h между соседними витками называется шагом винтовой линии и равно:

.

Действие магнитного поля на движущийся заряд находит большое практическое применение, в частности, в работе электронно-лучевой трубки, где используется явление отклонения заряженных частиц электрическим и магнитным полями, а также в работе масс-спектрографов, позволяющих определить удельный заряд частиц (q/m) и ускорителей заряженных частиц (циклотронов).

Рассмотрим один такой пример, назыаемый «магнитной бутылкой» (рис. 3.15). Пусть неоднородное магнитное поле создано двумя витками с токами, протекающими в одном направлении. Сгущение линий индукции в какой-либо пространнственной области означает большее значение величины магнитной индукции в этой области. Индукция магнитного поля вблизи витков с током больше, чем в пространстве между ними. По этой причине радиус винтовой линии траектории частицы, обратно пропорциональный модулю индукции, меньше вблизи витков, чем в пространстве между ними. После того, как частица, двигаясь вправо по винтовой линии, пройдет среднюю точку, сила Лоренца, действующая на чатицу, приобретает компоненту , тормозящую ее движение вправо. В определенный момент эта компонента силы останавливает движение частицы в этом направлении и отталкивает ее влево к витку 1. При приближении заряженной частицы к витку 1 она также тормозится и начинает циркулировать между витками, оказавшись в магнитной ловушке, или между «магнитными зеркалами». Магнитные ловушки используются для удержания в определенной области пространства высокотемпературной плазмы ( К) при управляемом термоядерном синтезе.

Рис. 3.15 Магнитная «бутылка»

Закономерностями движения заряженных частиц в магнитном поле можно объяснить особенности движения космических лучей вблизи Земли. Космические лучи – это потоки заряженных частиц большой энергии. При приближении к поверхности Земли эти частицы начинают испытывать действие магнитного поля Земли. Те из них, которые направляются к магнитным полюсам, будут двигаться почти вдоль линий земного магнитного поля и навиваться на них. Заряженные частицы, подлетающие к Земле вблизи экватора, направлены почти перпендикулярно к линиям магнитного поля, их траектория будет искривляться. и лишь самые быстрые из них достигнут поверхности Земли (рис. 3.16).

Рис. 3.16 Образование Полярного сияния

Поэтому интенсивность космических лучей доходящих до Земли вблизи экватора, заметно меньше, чем вблизи полюсов. С этим связан тот факт что, Полярное сияние наблюдается главным образом в приполярных областях Земли.

Эффект Холла

В 1880г. американский физик Холл провел следующий опыт: он пропускал постоянный электрический ток I через пластинку из золота и измерял разность потенциалов между противолежащими точками A и C на верхней и нижней гранях (рис. 3.17).

Рис. 3.17 Эффект Холла

В отсутствии магнитного поля , т. к. для однородной пластины поперечное сечение является эквипотенциальной поверхностью. Когда пластины помещаются в однородное магнитное поле с индукцией , перпендикулярное к ее боковым граням ‑ между точками A и C возникала разность потенциалов. Это явление было позднее названо эффектом Холла.

Экспериментально было обнаружено, что

, (3.31)

где I ‑ сила тока; B ‑ индукция магнитного поля; b ‑ ширина пластины; ‑ постоянная Холла.

Дальнейшее исследование показало, что эффект Холла наблюдается во всех проводниках и полупроводниках. Величина константы Холла зависит от материала пластины, причем этот коэффициент для одних веществ положителен, а для других ‑ отрицателен.

Явление Холла можно объяснить, исходя из силы Лоренца. На заряд, движущийся в магнитном поле с индукцией B, действует сила Лоренца

.

Рис. 3.18 Знак эффекта Холла

Если носителями тока в веществе являются положительные заряды то под действием силы Лоренца эти заряды q отклоняются к верхней грани (при выбранных направлениях и ). Следовательно, вблизи верхней грани возникнет избыток зарядов, а вблизи нижней грани – недостаток зарядов, т. е. возникает разность потенциалов. В случае отрицательных зарядов, как видно из рисунка 3.18, знак разности потенциалов будет противоположым.

Найдем теперь выражение для . При возникновении разности потенциалов в пластине возникает электрическое поле в вертикальном направлении. Со стороны этого электрического поля на заряд q будет действовать сила , направленная против силы Лоренца. При некотором значении эти силы уравновесят друг друга, и установится равновесный процесс прохождения тока

,

.(3.32)

Если пластина достаточно длинная и широкая, то поперечное электрическое поле можно считать однородным. Для однородного поля можно написать связь между E и в виде:

. (3.33)

Силу тока I можно выразить следующим образом:

, (3.34)

где v ‑ скорость упорядоченного движения зарядов; n ‑ число зарядов в единице объема; – площадь поперечного сечения пластины.

, (3.35)

подставляя (3.35) в (3.33) получим

. (3.36)

Сравнивая эту формулу с экспериментальной (3.31), имеем

. (3.37)

Отсюда видно, что, знак константы Холла совпадает со знаком заряда q носителей тока. В полупроводниках носителями тока могут быть электроны ( ) и положительные дырки ( ). На основании измерения константы Холла для полупроводников можно судить о природе его проводимости. При электронной проводимости , при дырочной проводимости .

С помощью константы Холла можно также определить концентрацию носителей тока, если характер проводимости и заряд носителей тока известны (например, для металлов):

.

На принципе, похожем на эффект Холла, основана работа МГД- генераторов (магнитогидродинамических генераторов). В эффекте Холла используется ток проводимости, а можно использовать конвекционный ток. Например, по трубе продувается поток раскаленных газов (следовательно, ионизированных) в магнитном поле. В трубу вводятся электроды, на них возникает разность потенциалов. Величина оказывается пропорциональной скорости движения газа. Для увеличения электропроводимости должна быть велика концентрация ионов n, что можно достигнуть повышением температуры газа. Кроме того, в поток газа вводятся специальные присадки ‑ элементы с малой энергией ионизации.

К.П.Д. МГД-генераторов может достигать 50…60%, в то время, как у тепловых электростанций . Также преимуществом МГД-генераторов является то, что в них нет никаких механических движущихся частей и, следовательно, потерь на преодоление трения.

Магнитное поле кругового тока

Рассмотрим магнитное поле постоянного тока /, текущего по проводу в форме окружности С радиуса а. Применим закон Био — Савара — Лапласа для определения магнитной индукции в центре кругового тока.

К расчету магнитного по^хя кругового тока

На рис. 6.2 изображены вектор dl, характеризующий произвольный малый

участок проводника с током, и вектор R , соединяющий этот участок с точкой О, в которой требуется определить магнитную инндукцию В . По определению векторного произведения из формулы (6.1)

следует, что вектор dB магнитной индукции поля, создаваемого рассматриваемым участком тока, перпендикулярен и

вектору dl , и вектору R . Таким образом, начало вектора dB находится в точке О, а сам вектор перпендикулярен плоскости контура С.

Так как векторы dl и R образуют прямой угол, модуль вектора dB согласно формуле (6.3) будет

Векторы dB магнитной индукции полей, создаваемых различными участками контура в точке О, совпадают по направлению. В таком случае их векторная сумма будет представлять собой вектор В , который имеет то же направление. При этом модуль этого вектора будет равен

сумме модулей векторов dB :

Интеграл от dl равен длине окружности:

Таким образом, придем к следующей формуле для магнитной индукции поля, создаваемого круговым током в центре окружности:

Модуль р_т вектора магнитного момента кругового тока равен произведению силы тока на площадь круга:

Используя это соотношение, выражение (6.5) можно записать так:

В центре кругового витка с током вектор магнитной индукции направлен так же, как вектор магнитного момента р_т. При этом справедливо соотношение

Отметим, что направление вектора магнитной индукции в центре кругового тока связано с направлением электрического тока правилом правого винта.

Линии в пространстве, к которым вектор В в любой точке является касательным, называются силовыми линиями магнитного поля. На рис. б.З изображены силовые линии магнитного поля кругового тока.

Рис. 6.8. Силовые линии магнитного поля кругового тока

Магнитная индукция в центре окружности

Магнитное поле постоянных токов различной конфигурации изучалось экспериментально французскими учеными Ж. Био и Ф. Саваром (1820 г.). Они пришли к выводу, что индукция магнитного поля токов, текущих по проводнику, определяется совместным действием всех отдельных участков проводника. Магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции :

Если магнитное поле создается несколькими проводниками с током, то индукция результирующего поля есть векторная сумма индукций полей, создаваемых каждым проводником в отдельности.

Индукцию проводника с током можно представить как векторную сумму элементарных индукций создаваемых отдельными участками проводника. На опыте невозможно выделить отдельный участок проводника с током, так как постоянные токи всегда замкнуты. Можно измерить только суммарную индукцию магнитного поля, создаваемого всеми элементами тока. Закон Био–Савара определяет вклад в магнитную индукцию результирующего магнитного поля, создаваемый малым участком Δ проводника с током .

Здесь – расстояние от данного участка Δ до точки наблюдения, α – угол между направлением на точку наблюдения и направлением тока на данном участке, μ₀ – магнитная постоянная. Направление вектора определяется правилом буравчика: оно совпадает с направлением вращения рукоятки буравчика при его поступательном перемещении вдоль тока. Рис. 1.17.1 иллюстрирует закон Био–Савара на примере магнитного поля прямолинейного проводника с током. Если просуммировать (проинтегрировать) вклады в магнитное поле всех отдельных участков прямолинейного проводника с током, то получится формула для магнитной индукции поля прямого тока:

которая уже приводилась в § 1.16.

Рисунок 1.17.1. Закон Био–Савара позволяет рассчитывать магнитные поля токов различных конфигураций. Нетрудно, например, выполнить расчет магнитного поля в центре кругового витка с током. Этот расчет приводит к формуле где – радиус кругового проводника. Для определения направления вектора также можно использовать правило буравчика, только теперь его рукоятку нужно вращать в направлении кругового тока, а поступательное перемещение буравчика укажет направление вектора магнитной индукции. Расчеты магнитного поля часто упрощаются при учете симметрии в конфигурации токов, создающих поле. В этом случае можно пользаоваться теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции , которая в теории магнитного поля токов играет ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике. Поясним понятие циркуляции вектора Пусть в пространстве, где создано магнитное поле, выбран некоторый условный замкнутый контур (не обязательно плоский) и указано положительное направление его обхода. На каждом отдельном малом участке Δ этого контура можно определить касательную составляющую вектора в данном месте, то есть определить проекцию вектора на направление касательной к данному участку контура (рис. 1.17.2). Рисунок 1.17.2. Циркуляцией вектора называют сумму произведений Δ, взятую по всему контуру : Некоторые токи, создающие магнитное поле, могут пронизывать выбранный контур в то время, как другие токи могут находиться в стороне от контура. Теорема о циркуляции утверждает, что циркуляция вектора магнитного поля постоянных токов по любому контуру всегда равна произведению магнитной постоянной μ0 на сумму всех токов, пронизывающих контур: В качестве примера на рис. 1.17.2 изображены несколько проводников с токами, создающими магнитное поле. Токи 2 и 3 пронизывают контур в противоположных направлениях, им должны быть приписаны разные знаки – положительными считаются токи, которые связаны с выбранным направлением обхода контура правилом правого винта (буравчика). Следовательно, , а . Ток 1 не пронизывает контур . Теорема о циркуляции в данном примере выражается соотношением: Теорема о циркуляции в общем виде следует из закона Био–Савара и принципа суперпозиции. Простейшим примером применения теоремы о циркуляции является вывод формулы для магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током. Учитывая симметрию в данной задаче, контур целесообразно выбрать в виде окружности некоторого радиуса , лежащей в перпендикулярной проводнику плоскости. Центр окружности находится в некоторой точке проводника. В силу симметрии вектор направлен по касательной , а его модуль одинаков во всех точках окружности. Применение теоремы о циркуляции приводит к соотношению: откуда следует формула для модуля магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током, приведенная ранее. Этот пример показывает, что теорема о циркуляции вектора магнитной индукции может быть использована для расчета магнитных полей, создаваемых симметричным распределением токов, когда из соображений симметрии можно «угадать» общую структуру поля. Имеется немало практически важных примеров расчета магнитных полей с помощью теоремы о циркуляции. Одним из таких примеров является задача вычисления поля тороидальной катушки (рис. 1.17.3). Рисунок 1.17.3. Предполагается, что катушка плотно, то есть виток к витку, намотана на немагнитный тороидальный сердечник. В такой катушке линии магнитной индукции замыкаются внутри катушки и представляют собой концентрические окружности. Они направлены так, что глядя вдоль них, мы увидели бы ток в витках, циркулирующим по часовой стрелке. Одна из линий индукции некоторого радиуса изображена на рис. 1.17.3. Применим теорему о циркуляции к контуру в виде окружности, совпадающей с изображенной на рис. 1.17.3 линией индукции магнитного поля. Из соображений симметрии ясно, что модуль вектора одинаков вдоль всей этой линии. По теореме о циркуляции можно записать: где – полное число витков, а – ток, текущий по виткам катушки. Следовательно, Таким образом, модуль вектора магнитной индукции в тороидальной катушке зависит от радиуса . Если сердечник катушки тонкий, то есть , то магнитное поле внутри катушки практически однородно. Величина = представляет собой число витков на единицу длины катушки. В этом случае В это выражение не входит радиус тора, поэтому оно справедливо и в предельном случае . Но в пределе каждую часть тороидальной катушки можно рассматривать как длинную прямолинейную катушку. Такие катушки называют соленоидами . Вдали от торцов соленоида модуль магнитной индукции выражается тем же соотношением, что и в случае тороидальной катушки. На рис. 1.17.4 изображено магнитное поле катушки конечной длины. Следует обратить внимание на то, что в центральной части катушки магнитное поле практически однородно и значительно сильнее, чем вне катушки. На это указывает густота линий магнитной индукции. В предельном случае бесконечно длинного соленоида однородное магнитное поле целиком сосредоточено внутри него. Рисунок 1.17.4. В случае бесконечно длинного соленоида выражение для модуля магнитной индукции можно получить непосредственно с помощью теоремы о циркуляции, применив ее к прямоугольному контуру, показанному на рис. 1.17.5.

§ 21. Магнитное поле постоянного тока .

Основные формулы

 Закон Био
— Савара — Лапласа

где dB
— магнитная индукция поля, создаваемого
элементом i
водника с током; 
— магнитная проницаемость; ₀
— магнитная постоянная (₀
=4
· 10 ^-7
Гн/м); dl
— вектор, равный по модулю длине dl
проводника и совпадающий
по направлению с током ( элемент
проводника); I
— сила тока; r
— радиус-вектор, проведенный от середины
элемента проводника к точке, магнитная
индукция в которой определяется.

Модуль вектора dB
выражается формулой

где

— угол между векторами dl
и r.

 Магнитная
индукция В
связана с напряженностью Н магнитного
поля (в случае однородной, изотропной
среды) соотношением

или в вакууме

 Магнитная
индукция в центре кругового проводника
с током

где R
— радиус кривизны
проводника.

 Магнитная индукция поля, создаваемого
бесконечно длинным прямым проводником
с током,

где
r — расстояние от оси проводника.

Магнитная индукция поля, создаваемого
отрезком проводником

Обозначения ясны из рис.
21.1, а. Вектор индукции В
перпенди­кулярен плоскости чертежа,
направлен к нам и поэтому изображен
точкой.

При симметричном расположении
концов проводника относи­тельно
точки, в которой определяется магнитная
индукция (рис. 21.1, б),
и, следовательно,


Магнитная индукция поля, создаваемого
соленоидом в сред­ней его части (или
тороида на его оси),

где п —
число витков,
приходящих­ся на единицу длины
соленоида; I
— сила тока в одном
витке.

 Принцип
суперпозиции маг­нитных полей:
магнитная индук­ция В
результирующего поля равна векторной
сумме магнитных индукций В₁,
В₂,
…, В_n
складываемых полей, т. е.

В частном случае наложения двух полей

а модуль магнитной продукции

где 
— угол между векторами В₁
и В₂.

Примеры решения задач

Пример 1. Два
параллельных бесконечно длинных провода,
по которым текут в одном направлении
токи I=60
А, расположены на

расстоянии d=10
см друг от друга.
Определить магнитную индукцию В
в точке, отстоящей от
одного про­водника на расстоянии г₁=5
см и от другого — на расстоянии r₂=12
см.

Решение.
Для нахождения магнитной индукции в
указанной точ­ке А
(рис. 21.2) определим
направле­ния векторов индукций В₁
и В₂
по лей, создаваемых каждым проводни­ком
в отдельности, и сложим их геометрически,
т. е. B=B₁+B₂.
Модуль индукции найдем
по теоре­ме косинусов:

Значения индукций Bi
и В₂
выражаются соответственно через силу
тока I
и расстояния r₁
и r₂
от провода до точки, индукцию

в которой мы вычисляем:
Подставляя B₁
иВ₂
в формулу (1) и вынося

за знак корня, получим

(2)

Убедимся в том, что правая часть этого
равенства дает единицу магнитной
индукции (Тл):

Здесь мы воспользовались
определяющей формулой для маг­нитной
индукции (В=М_mак
/р_п).
Откуда следует, что

Вычисляем cos.
Заметим, что =/_DAC.
Поэтому по теореме
косинусов запишем ,
где d
— расстояние между
проводами. Отсюда

Подставив данные, вычислим
значение косинуса: cos

= 0,576.

Подставив в формулу (2)
значения ₀,
I,
r₁,
r₂
и cos
,
найдем В=286
мкТл.

Пример 2.
По двум длинным прямолинейным проводам,
находя­щимся на расстоянии r=5
см друг от друга в
воздухе, текут токиI=10
А каждый. Определить магнитную индукциюВ поля,
создаваемого то­ками в точке, лежащей
по­середине между проводами, для
случаев: 1) провода параллельны, токи
текут в одном направлении (рис. 21.3, а);
2) провода парал­лельны, токи текут в
про­тивоположных направле­ниях
(рис. 21.3, б); 3) про­вода перпендикулярны,
на­правление токов указано на рис.
21.3, в.

Решение:
Результирующая
индукция магнитного
поля равна векторной сумме: B=B₁+B₂,
где B₁
— индукция поля,создаваемого
током 1₁;
В₂
— индукция поля создаваемого током I₂.

Если B₁
и В₂
направлены по одной прямой, то векторная
сумма может быть заменена алгебраической
суммой:

В=В₁+В₂.

(1)

При этом слагаемые В₁
и В₂
должны быть взяты с
соответствую­щими знаками.В
данной задаче во всех трех случаях
модули индукций В₁
и В₂
одинаковы, так как
точки выбраны на равных расстояниях от
про­водов, по которым текут равные
токи. Вычислим эти индукции по формуле

B=₀I/(2r).

(2)

Подставив значения величин
в формулу (2), найдем модули В₁
и В₂:

В₁=В₂=80
мкТл.

1-й
случай. Векторы B₁
и В₂
направлены по одной прямой (рис. 21.3, а);
следовательно, результирующая индукция
В
опреде­ляется по формуле (1). Приняв
направление вверх положительным, вниз
— отрицательным, запишем: В₁=—80
мкТл, В₂=80
мкТл.

Подставив в формулу (1) эти
значения В₁
и B₂,
получим

В=В₁+В₂=0.

2-й
случай. Векторы В₁
и В₂
направлены по одной прямой в одну сторону
(рис. 21.3, б). Поэтому
можем за­писать

В₁=В₂=—80
мкТл.

Подставив в формулу (1)
значения B₁
и В₂
получим

В=В₁+В₂=—160
мкТл.

3-й случай.
Векторы индукций
магнит­ных полей, создаваемых токами
в точке, лежащей посередине между
проводами, взаимно перпендикулярны
(рис. 21.3, в). Результирующая
индукция по модулю и направлению является
диагональю квадра­та, построенного
на векторах В₁
и В₂.
По теореме Пифагора найдем

(3)

Подставив в формулу (3)
значения В₁
и В₂
и вычислив, получим
Рис. 21.4B =113
мкТл.

Пример
3. Определить магнитную
индукцию В поля,
создаваемо­го отрезком бесконечно
длинного прямого провода, в точке,
равно­удаленной от концов отрезка и
находящейся на расстоянии r₀=20
см от середины его
(рис. 21.4). Сила тока I,
текущего по про­воду, равна 30 А, длина
l
отрезка равна 60 см.

Решение.Для определения магнитной
индукции поля, соз­даваемого отрезком
провода, воспользуемся законом Био —
Савара—

— Лапласа:

(1)

Прежде чем интегрировать
выражение (1), преобразуем его так, чтобы
можно было интегрировать по углу .
Выразим длину элемента dl
проводника через d.
Согласно рис. 21.4, запишем

Подставим это выражение dl
в формулу (1): Рис. 21.4

Но r
— величина переменная, зависящая от 
и равная
Подставив r
в предыдущую формулу,
найдем

(2)

Чтобы определить магнитную
индукцию поля, создаваемого от­резком
проводника, проинтегрируем выражение
(2) в пределах от ₁
до ₂:

Заметим, что при симметричном
расположении точки A относитель­но
отрезка провода cos
₂=
– cos
₁.
С учетом этого формула (3) примет вид

Из рис. 21.4 следует

Подставив
выражение cos
₁
в формулу (4), получим

Подставим числовые значения в формулу
(5) и произведем вы­числения:

Пример 4.
Длинный провод с током I=50
А изогнут под углом =2/3.
Определить магнитную индукцию В
в точке А (рис.
21.5). Расстояние d=5
см.

Решение.
Изогнутый провод можно рассматривать
как два длинных провода, концы которых
соединены в точке О. В соответ­ствии
с принципом суперпозиции магнитных
полей магнитная ин­дукция В
в точке А будет
равна геометрической сумме магнитных
индукций B₁
и В₂
полей, создаваемых
отрезками длинных проводов

1 и
2,
т. е.
В = В₁+В₂.
Магнитная индукция В₂
равна нулю. Это следует
из закона Био — Савара — Лапласа,
согласно которому в точках, лежащих на
оси проводника, dВ=0([dlr]=0).

Магнитную индукцию В₁
найдем, воспользовавшись
формулой (3), полученной в примере 3:

где г₀
— кратчайшее
расстояние от проводника 1
до точки А
(рис.21.6)

В нашем случае α₁→0
(проводник
длинный), α₂=α=
=2π/3 (cos
α₂=cos
(2π/3))=–½. Расстояние
г₀=d
sin
(π−α)= d
sin(π/3)=.
Тогда магнитная
индукция

Так
как В=В₁(В₂=0),
то

Вектор В
сонаправлен с вектором В₁
и определяется правилом правого винта.
На рис. 21.6 это направление отмечено
значком X
(перпендикулярно плоскости чертежа от
нас).

.

Проверка единиц аналогична выполненной
в примере 1.

Произведем вычисления:

Пример 5. По
тонкому проводящему кольцу радиусом R
= 10 см течет ток I=80
А. Найти магнитную индукцию В
в точке A,
равно­удаленной от всех точек кольца
на расстояние г=20 см.

Решение. Для
решения задачи воспользуемся законом
Био — Савара — Лапласа:

где
dB
—магнитная индукция поля, создаваемого
элементом тока Idl
в точке, определяемой радиусом-вектором
г.

Выделим на кольце элемент
dI
и от него в точку А
проведем радиус-вектор
г
(рис. 21.7). Вектор dB
направим в соответствии с правилом
буравчика.

Согласно принципу
суперпозиции магнитных полей, магнитная
индукции В в
точке А
определяется интегралом

Рис. 21.7

где интегрирование ведется
по всем элементам dI
кольца Разложим вектор dB
на две составляющие:
dB_┴
– перпендикулярную плоскости кольца
и dB_║
— параллельную плоскости кольца, т. е.

dB=dB_+dB_.
Тогда

Заметив, что
из
соображений симметрии и что векторыdB_┴
от различных элементовdIсонаправлены, заменим векторное
суммирование, заменим векторное
суммирование (интегрирование) скалярным:

^{где(
поскольку dI
перпендикулярен r
и, следовательно, sin
=1).
Таким образом,}

После сокращения на 2π и замены cosβ наR/r(рис.
21.7) получимВыразим
все величины в единицах СИ, произведем
вычисления:

или

Вектор В направлен на оси кольца
(пунктирная стрелка на рис.21.7) в
соответствии с правилом буравчика.

Пример
6. бесконечно
длинный проводник изогнут так, как это
изображено на рис. 21.8. Радиус дуги
окружности R=10
см. Определить магнитную индукцию В
поля, создаваемого в токе О током I=80
A,
текущим по этому проводнику.

Решение.
Магнитную индукцию В
в точке О найдем,
используя принцип суперпозиции магнитных
полей В=∑В_i.
В на­шем случае
проводник можно разбить на три части
(рис. 21.9) два прямолинейных проводника
(1 и
3),
одним концом уходящие в бесконечность,
и дугу полуокружности (2) радиуса R.
Тогда

B=B₁+B₂+B₃

где B₁,
В₂
и В₃
— магнитные индукции поля в точке О,
создавае­мые током, текущим соответственно
на первом, втором и третьем участках
проводника.

Так как точка О
лежит на оси проводника
1,
то В₁=0
и тогда

B=B₂+B₃

Учитывая, что векторы В₂
и В₃
направлены в соответствии с пра­вилом
буравчика перпендикулярно плоскости
чертежа от нас, гео­метрическое
суммирование можно заменить алгебраическим:

В=В₂+В₃.

Магнитную индукцию поля В₂
можно найти, используя
выраже­ние для магнитной индукции в
центре кругового проводника с то­ком
I:

Так как магнитная индукция
В₂
создается в точке О
половиной такого кругового проводника
с током, то, учитывая равный вклад в
магнитную индукцию от каждой половинки
проводника, можно написать

Магнитную индукцию В₃
найдем, используя
формулу (3) при­мера 3:

Внашем случае

Тогда

Используя найденные выражения
для В₂
и В₃
получим

или

Произведем вычисления:

Задачи

Связь между напряженностью и индукцией

магнитного поля в вакууме

21.1. Напряженность
Н магнитного
поля равна 79,6 кА/м. Определить магнитную
индукцию В₀
этого поля в вакууме.

21.2. Магнитная
индукция В поля
в вакууме равна 10 мТл. Найти напряженность
Н магнитного
поля.

21.3. Вычислить
напряженность Н
магнитного поля, если
его индукция в вакууме В₀=0,05
Тл.