Как найти максимальное напряжение в сечении бруса

Решение задач по сопромату



Примеры решения задач по сопротивлению материалов

Как и в предыдущей статье, на этой странице приведены основные принципы решения задач технической механики на примере простейших заданий, в которых необходимо определить какие-либо силовые факторы, возникающие в конструкциях и телах напряжения, построить эпюры и т. п. Сопротивление материалов является базовой основой для решения вопросов наиболее практического раздела технической механики — «Детали машин».

Решение задачи на растяжение и сжатие

Построить эпюру напряжений в ступенчатом круглом брусе, нагруженном продольными силами и указать на наиболее напряженный участок.
Весом бруса пренебречь.

Решение:

При построении эпюры напряжений используем метод сечений, рассматривая отдельные участки бруса, как самостоятельные его элементы, находящиеся в состоянии равновесия под действием реальных и условных нагрузок. При этом исследование сечений начинаем со стороны свободного конца бруса, т. е. со стороны, где приложены известные нам силы.
Сначала разбиваем весь брус на однородные участки, границами которых служат точки приложения силовых факторов и (или) изменение размеров сечения. Для нашего бруса можно выделить три таких однородных участка — I, II, III (см. схему 2).

Для каждого из участков определяем нормальные напряжения в сечениях по формуле σ = F/A, где: F — величина продольной силы в сечении, А — площадь сечения. При этом следует учитывать знаки: если сила растягивающая, то ее условно считают положительной, если сжимающая — отрицательной. Соответственно, напряжения будут иметь такие же знаки, как и силы.

После подсчетов получим:
σ_I = F₁/A = —100×10³/0,1 = -1000000 Па (-1 МПа),
σ_II = F₁/2A = —100×10³/2×0,1 = -500000 Па (-0,5 МПа),
σ_III = (F₂ — F₁)/A = (400 — 100)×10³/0,1 = 3000000 Па (3 МПа).

Построение эпюры напряжений начинаем с проведения линии, параллельной оси бруса (эта линия условно изображает брус и является нулевой ординатой графика эпюры). Затем, начиная от свободного конца бруса, откладываем от линии, как от нулевой ординаты, величины напряжений по каждому участку с учетом их знаков.
На брусе, приведенном в задании, величина напряжений в каждом сечении отдельных участков будет одинакова, и лишь в граничных (расположенных между соседними участками) сечениях появится скачок напряжения в виде ступени (здесь используется принцип Сен-Венана, условно полагающий, что в месте приложения нагрузки напряжение изменяется скачкообразно).

Построение эпюры завершается указанием на ее площадках знаков напряжения в кружках, проведением тонких линий перпендикулярно оси (нулевой ординаты) эпюры (эти линии условно изображают сечения бруса) и расстановкой величины напряжений на внешних углах графика (на внутренних углах цифровые обозначения не наносятся). Слева от эпюры указывается, что на ней изображено (в нашем случае — Эпюра σ)

В результате построений мы получим график (эпюру) распределения напряжений по каждому сечению бруса, визуальное исследование которого позволяет определить наиболее напряженный участок. Для бруса, представленного в задаче, максимальные напряжения возникают в сечениях участка III (см. схему). Поскольку эти напряжения положительны, они являются растягивающими

Задача решена.

***

Решение задачи с использованием закона Гука

Определить величину растягивающей силы F, если известно, что под ее действием брус удлинился на величину ΔL.

Решение:

Решить задачу можно, используя известную зависимость между линейными удлинениями и нагрузками (закон Гука).
Согласно закону Гука, представленному в расширенном виде:

ΔL = FL/(EA),     откуда:     F = (ΔLEA)/L.

Поскольку сила F приложена не к крайнему сечению бруса, а к его середине, то удлинился лишь участок между жесткой заделкой и сечением, к которому приложена растягивающая сила, имеющий длину L₁ = 2 м.
Учитывая это, определяем силу, вызвавшую удлинение бруса (не забываем привести все величины к единицам системы СИ):

F = (ΔLEA)/L₁ = (0,005×10^-3×2×10¹¹×0,01)/2 = 5000 Н = 5,0 кН.

Задача решена.

***

Решение задачи на срез и смятие

Венец зубчатого колеса прикреплен к ступице болтовыми соединениями из шести болтов с гайками, размещенными равномерно по окружности диаметром D.

Определить касательные напряжения сдвига (среза), действующие в каждом из болтов при номинальной нагрузке.
При расчете не учитывать ослабление стержня болта впадинами резьбы.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся зависимостью между напряжением среза, внешней нагрузкой и площадью сечения по плоскости среза:

τ_ср = F_окр /A,

где: τ_ср — касательное напряжение среза, F_окр — окружная сила на расстоянии от оси вращения до центра болта, A — площадь сечения (в нашем случае — площадь поперечного сечения 6 болтов).

Окружную силу можно определить, зная крутящий (вращающий) момент на валу зубчатого колеса и расстояние от оси вращения зубчатого колеса до центра болта:
F_окр = 2Мкр/D.
Площадь сечения одного болта: А(1) = πd²/4, шести болтов: А = 3πd²/2 .
Подставив эти значения в исходную формулу, определим касательное напряжение сдвига (среза) болта:

τ_ср = F_окр /A = (2Мкр/D) / (3πd²/2) = (2×10/0,4) / (3×3,14 0,01²/2) ≈ 106 000 Па (или 0,106 МПа).

Задача решена.

***



Решение задачи на срез и смятие шпонки

Произвести проверочный расчет призматической шпонки на смятие.

Решение:

Решение задачи сводится к определению напряжения смятия, возникающего в продольном сечении шпонки, выступающем над канавкой вала (рабочая площадь шпонки). Это напряжение можно определить из формулы:

σ_см = F_окр /A_раб     (1)

где: σ_см — искомое напряжение смятия,
F_окр — окружная сила, действующая на рабочую поверхность шпонки: F_окр = Т/r.

Учитывая, что высота рабочей поверхности шпонки невелика, можно принять для расчета напряжения окружную силу, действующую на расстоянии r от оси вращения вала (радиус вала). Если необходимо выполнить более точный расчет, следует к радиусу вала прибавить половину высоты рабочей поверхности шпонки (в нашем случае — h/4).

A_раб — площадь шпонки, подвергаемая смятию: A_раб = hl_р /2 (здесь l_р — рабочая длина шпонки).

Подставив полученные значения окружной силы и площади шпонки, работающей на смятие, в формулу (1), получим:

σ_см = F_окр /A_раб = (Т/r) / (hl_р /2) = (120/0,03) / (0,003×0,03/2) = 88 900 000 Па (или 88,9 МПа).

Полученное напряжение сравниваем с допускаемым напряжением смятия [σ_см] = 200 МПа, и делаем вывод, что шпонка выдержит нагрузку.

Задача решена.

***

Решение задачи на кручение

Построить эпюру вращающих моментов для круглого однородного бруса, представленного на схеме. Указать наиболее нагруженный участок бруса и определить напряжение в его сечениях.

Решение:

Построение эпюр вращающих (крутящих моментов) начинаем со стороны свободного конца бруса, откладывая величины крутящих моментов от оси абсцисс (нулевой ординаты) бруса с соблюдением знаков моментов (см. схему).

Из эпюры очевидно, что максимальный крутящий момент возникает в сечениях участка I: Мкр = 500 Нм. Для определения напряжения (при кручении возникает касательное напряжение), воспользуемся зависимостью, полученной ранее:

τ_max = М_кр / W_r ,

где: W_r ≈ 0,2d³ — момент сопротивления круглого сечения кручению (или полярный момент сопротивления круглого сечения).

Подставив полученные зависимости и их числовые значения в формулу, получим максимальное напряжение τ_max, возникающее в сечениях участка I при кручении бруса:

τ_max ≈ М_кр / 0,2d³ ≈ 500/0,2×0,05³ ≈ 200 000 000 Па (или 200 МПа).

Задача решена.

С правилами и примерами построения эпюр при деформации кручения можно ознакомиться здесь.

***

Решение задачи на изгиб

Определить максимальное нормальное напряжение, возникающее в сечении круглого бруса, расположенном рядом с жесткой заделкой, если к свободному концу бруса приложена поперечная сила F.
Вес бруса не учитывать.

Исходные данные:

Поперечная сила F = 1000 Н;
Длина бруса L = 5 м;
Диаметр бруса d = 0,1 м.

Решение:

Изгибающий момент силы F и возникающие в сечениях бруса напряжения зависят от расстояния между линией приложения (вектором) силы и плоскостью рассматриваемого сечения (очевидно, что величина изгибающего момента находится в прямо пропорциональной зависимости от расстояния до вектора силы). Поэтому для данного бруса изгибающий момент достигает максимального значения в сечении рядом с жесткой заделкой:

Ми_max = FL = 1000×5 = 5000 Нм.

Максимальные нормальные напряжения в этом сечении можно определить по формуле:

σ_max = Ми_max / W,

где: W ≈ 0,1d³ — момент сопротивления круглого сечения изгибу (или осевой момент сопротивления круглого сечения). Подставив зависимости и их величины в формулу, получим:

σ_max ≈ Ми_max / 0,1d³ ≈ 5000/0,1х0,1³ ≈ 50 000 000 Па (или 50 МПа).

Задача решена.

***

Решение задачи на изгиб с построением эпюр

Построить эпюру поперечных сил и изгибающих моментов, действующих на защемленный одним концом брус (см. схему).

Решение:

Для построения эпюр определим границы участков бруса, в пределах которых внешние нагрузки и размеры сечений одинаковы. Для данного бруса можно выделить два таких участка (см. схему).

Далее, используя метод сечений, строим эпюру поперечных сил, учитывая знаки. Очевидно, что на первом участке поперечная сила будет постоянной во всех сечениях, и эпюра представляет собой горизонтальную линию, отстоящую от оси эпюры на величину -F (сила отрицательная).

В среднем сечении бруса начинает действовать распределенная нагрузка, которая линейно увеличивается и суммируется с поперечной силой F в каждом последующем сечении бруса по направлению к жесткой заделке. Поскольку эпюра поперечных сил на втором участке представляет собой отрезок наклонной прямой, то для ее построения достаточно определить величину поперечной силы в середине бруса (очевидно, что здесь F = 50 Н) и величину поперечной силы в сечении рядом с жесткой заделкой:
F₂ = -FL — 6q = -50 — 10×6 = -110 Н.
По полученным значениям строим эпюру поперечных сил F (см. схему).

Построение эпюры изгибающих моментов строится аналогично эпюре поперечных сил — при помощи метода сечений. При этом учитывается расстояние от сечения, в котором приложена поперечная сила, до рассматриваемого сечения (плечо силы).
Очевидно, что изгибающий момент от силы F будет увеличиваться прямо пропорционально по мере удаления от сечения, к которому она приложена, причем в крайнем сечении (где приложена сила) момент этой силы равен нулю (поскольку плечо силы равно нулю).
В среднем сечении бруса изгибающий момент достигает значения: Ми = FL/2 = -50×6 = -300 Нм .

Начиная с середины бруса начинает действовать изгибающий момент от распределенной нагрузки q, который в каждом сечении определяется, как произведение приведенной силы F_пр = ql на половину расстояния l (здесь l — расстояние от рассматриваемого сечения до начала действия распределенной нагрузки).
Очевидно, что по мере удаления от среднего сечения к жесткой заделке изгибающий момент от распределенной нагрузки q изменяется по квадратичной зависимости, и линия эпюры изгибающих моментов на втором участке представляет собой параболу.

Чтобы построить параболу недостаточно двух точек, необходимо определить величину изгибающего момента в нескольких сечениях бруса (на втором участке). При этом следует учитывать изгибающий момент от силы F, который суммируется с изгибающим моментом от распределенной нагрузки q на данном участке бруса.
Максимальной величины изгибающий момент достигает в сечении рядом с жесткой заделкой:

Ми_max = — FL + [-q×(L/2)×(L/4)] = -50×12 + [-10×(12/2)×(12/4)] = -780 Нм.

Выполнив необходимые подсчеты, строим эпюру изгибающих моментов, начиная со свободного конца бруса (см. схему).

Задача решена.

***

Пример расчета бруса (стержня)

Сопротивление материалов



Определение наиболее опасного сечения бруса при деформации растяжение — сжатие

NovaInfo 56, с.336-341, скачать PDF
Опубликовано 1 декабря 2016
Раздел: Педагогические науки
Просмотров за месяц: 27

Аннотация

Расчет многоступенчатого бруса является важной и актуальной задачей, поскольку аналогичные элементы часто встречаются в строительных конструкциях. Умение быстро определить слабые места таких конструкций должно способствовать инженеру пожарной безопасности при проведении инспекций объектов, а также при тушении пожаров.

Ключевые слова

РАСТЯЖЕНИЕ, ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ, СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Текст научной работы

Расчет многоступенчатого бруса является важной и актуальной задачей, поскольку аналогичные элементы часто встречаются в строительных конструкциях. Умение быстро определить слабые места таких конструкций должно способствовать инженеру пожарной безопасности при проведении инспекций объектов, а также при тушении пожаров.

Постановка задачи: провести расчет многоступенчатого бруса на прочность, определить критическую температуру нагрева при пожаре, построить эпюры внутренних силовых факторов.

Допускаемое напряжение на растяжение для материала бруса 180 МПа, а модуль упругости 200000 МПа. Материал бруса — сталь.

Исходные данные:

Решение данной задачи может быть выполнено в несколько этапов.

1. Построение эпюры продольных сил.

Для построения эпюры требуется, чтобы один из концов стержня был свободным, поэтому отбрасываем одну заделку, заменив ее действие реакцией (рис. 2).

Далее составляется уравнение деформаций для приведенной выше схемы. Из полученного выше уравнения определяем значение реакции N. Если значение реакции получится положительным, то ее направление на рис. 2 верное.

Для построения эпюры разбиваем брус на участки и определяем внутренние силы.

Найденные значения сил на каждом из участков используем для построения эпюры продольных сил (рис. 4).

2. Построение эпюры нормальных напряжений.

Для построения эпюры разбиваем брус вновь на участки и согласно правилу построения эпюр определяем значения напряжений.

Если проверка покажет, что на каком-либо участке эпюры напряжений, прочность бруса будет недостаточной, то необходимо будет увеличить соответствующую площадь.

Найденные значения напряжений на каждом из участков используем для построения эпюры нормальных напряжений (рис. 4).

3. Определение критической температуры.

По величине максимального значения нормального напряжения определяем значение предельной температуры равномерного нагрева бруса. Например, если значение напряжения получилось равным 178 МПа, то по графику (рис. 4) можно определить, что предельная температура нагрева бруса t = 390°C.

Наиболее опасный участок деталей или элементов конструкций, работающих на растяжение, всегда располагается в том сечении, где нормальное напряжение достигает максимального значения.

Список литературы

1. Киселев В.В. Использование интерактивных форм обучения для формирования профессионально-значимых качеств обучающихся // NovaInfo.Ru (Электронный журнал.) – 2016 г. – № 54; URL: http://novainfo.ru/article/8655.
2. Киселев В.В. Актуальность разработки электронных учебников по дисциплине механика // NovaInfo.Ru (Электронный журнал.) – 2016 г. – № 53; URL: http://novainfo.ru/article/8091.
3. Киселев В.В. Разработка электронных учебных изданий по дисциплине механика для реализации дистанционных образовательных технологий // NovaInfo.Ru (Электронный журнал.) – 2016 г. – № 53; URL: http://novainfo.ru/article/8090.
4. Топоров А.В., Топорова Е.А. Использование магнитоэластоменрного материала для удержания магнитожидкостной смазки в области трения. /
5. NovaInfo.Ru. – 2016. – Т. 2. – № 52. – С. 20-25.
6. Топоров А.В. Анализ конструкций бесконтактных уплотнений. / NovaInfo.Ru. – 2016. – Т. 2. – № 54. – С. 53-55.
7. Топоров А.В. Анализ конструкций контактных уплотнений. / NovaInfo.Ru. – 2016. – Т. 2. – № 54. – С. 55-57.
8. Киселев В.В. Исследования по выявлению оптимальной концентрации разработанного медно-оловянного комплекса в масле. / Депонированная рукопись № 836-В2003 29.04.2003.
9. Киселев В.В. К проблеме улучшения триботехнических свойств смазочных материалов. / Известия высших учебных заведений. Серия: Химия и химическая технология. – 2006. – Т. 49. – № 12. – С. 115-116.
10. Киселев В.В. Меры по снижению износа деталей пожарной техники. / NovaInfo.Ru. – 2016. – Т. 1. – № 51. – С. 37-40.
11. Киселев В.В., Пучков П.В. Проведение экспресс оценки качества смазок, используемых в спасательной технике. / Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. – 2015. № 12-1. – С. 105-107.
12. Киселев В.В. Роль смазочных материалов в процессе трения и изнашивания // NovaInfo.Ru (Электронный журнал.) – 2016 г. – № 54; URL: http://novainfo.ru/article/8437
13. Киселев В.В. Влияние механо-химических процессов при трении на образование поверхностных пленок // NovaInfo.Ru (Электронный журнал.) – 2016 г. – № 53; URL: http://novainfo.ru/article/8206.
14. Киселев В.В. К вопросу надежности деталей тормозных механизмов пожарных автомобилей. // NovaInfo.Ru (Электронный журнал.) – 2016 г. – № 54; URL: http://novainfo.ru/article/8439
15. Киселев В.В. Повышение долговечности узлов трения строительной техники. // NovaInfo.Ru (Электронный журнал.) – 2016 г. – № 55; URL: http://novainfo.ru/article/8687

Цитировать

Киселев, В.В. Определение наиболее опасного сечения бруса при деформации растяжение — сжатие / В.В. Киселев. — Текст : электронный // NovaInfo, 2016. — № 56. — С. 336-341. — URL: https://novainfo.ru/article/9052 (дата обращения: 26.05.2023).

Поделиться

Важнейшим критерием оценки прочности балок при изгибе являются напряжения.

Рассмотрим способы расчета напряжений при плоском поперечном изгибе балки

Расчет напряжений

Возникающий в поперечных сечениях при чистом прямом изгибе изгибающий момент M_x

представляет собой равнодействующий момент внутренних нормальных сил, распределенных по сечению и вызывающих нормальные напряжения в точках сечения.

Закон распределения нормальных напряжений по высоте сечения выражается формулой:

где:
M — изгибающий момент, действующий в рассматриваемом сечении относительно его нейтральной линии X;
I_x — осевой момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси;
y – расстояние от нейтральной оси до точки, в которой определяется напряжение.

Нейтральная ось при изгибе проходит через центр тяжести поперечного сечения.

По вышеуказанной формуле, нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону.

Наибольшие значения имеют напряжения у верхнего и нижнего краев сечения.

Например, для симметричного относительно нейтральной оси сечения, где y₁=y₂=h/2:

Напряжения в крайних точках по вертикали (точки 1 и 2) равны по величине, но противоположны по знаку.

Для несимметричного сечения

напряжения определяются отдельно для нижней точки 1 и верхней точки 2:

где:

W_X — осевой момент сопротивления симметричного сечения;
W_X(1) и W_X(2) — осевые моменты сопротивления несимметричного сечения для нижних и верхних слоев балки.

Знаки нормальных напряжений при их расчете, рекомендуется определять по физическому смыслу в зависимости от того, растянуты или сжаты рассматриваемые слои балки.

Условия прочности при изгибе

Прочность по нормальным напряжениям

Условие прочности по нормальным напряжениям для балок из пластичного материала записывается в одной крайней точке.

В случае балки из хрупких материалов, которые, как известно, по-разному сопротивляются растяжению и сжатию – в двух крайних точках сечения.

Здесь:
M_max — максимальное значение изгибающего момента, определяемого по эпюре M_x;
[σ], [σ]_р, [σ]_с — допустимые значения напряжений для материала балки (для хрупких материалов – на растяжение (р) и сжатие (с)).

Для балки из хрупкого материала обычно применяют сечения, несимметричные относительно нейтральной оси. При этом сечения располагают таким образом, чтобы наиболее удаленная точка сечения размещалась в зоне сжатия, так как [σ]_с>[σ]_р.

В таких случаях, проверку прочности следует обязательно проводить в двух сечениях: с наибольшим положительным изгибающим моментом и с наибольшим по абсолютной величине (модулю) отрицательным значением изгибающего момента.

При расчете элементов конструкций, работающих на изгиб, с использованием вышеуказанных условий прочности решаются три типа задач:

1. Проверка прочности
   
2. Подбор сечений
   
3. Определение максимально допустимой нагрузки
   

Прочность по касательным напряжениям

В случае прямого поперечного изгиба в сечениях балки, кроме нормальных напряжений σ от изгибающего момента, возникают касательные напряжения τ от поперечной силы Q.

Закон распределения касательных напряжений по высоте сечения выражается формулой Д.И. Журавского

где
S_{x отс} — статический момент относительно нейтральной оси отсеченной части площади поперечного сечения балки, расположенной выше или ниже точки, в которой определяются касательные напряжения;
b_y — ширина поперечного сечения балки на уровне рассматриваемой точки, в которой рассчитывается величина касательных напряжений τ.

Другие видео

Условие прочности по касательным напряжениям записывается для сечения с максимальным значением поперечной силы Q_max:

где [τ] – допустимое значение касательных напряжений для материала балки.

Полная проверка прочности

Полную проверку прочности балки производят в следующей последовательности:

1. По максимальным нормальным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольший по абсолютному значению изгибающий момент M.
2. По максимальным касательным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольшая по абсолютному значению поперечная сила Q.
3. По главным напряжениям для сечения, в котором изгибающий момент и поперечная сила одновременно достигают значительных величин (или когда M_max и Q_max действуют в одном и том же сечении балки).

При анализе плоского напряженного состояния главные напряжения при изгибе, примут вид:

так как нормальные напряжения в поперечном направлении к оси балки принимаются равными нулю.

Другие видео

Проверка прочности осуществляется с помощью соответствующих гипотез прочности, например, гипотезы наибольших касательных напряжений:

Деформации при изгибе >
Угловые и линейные перемещения в балках >
Примеры решения задач >
Лекции по сопромату >

Определить максимальное нормальное напряжение, возникающее в сечении круглого бруса, расположенном рядом с жесткой заделкой, если к свободному концу бруса приложена поперечная сила F, равная 2000 Н, длина бруса ℓ = 10 м; диаметр бруса d = 0,2 м. Вес бруса не учитывать.

Решения задачи

Чтобы предложить решение пожалуйста войдите или зарегистрируйтесь